Bài 2 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm A Lý thuyết I Số trung bình cộng (Số trung bình) 1 Định nghĩa Số trung bình cộng của một mẫu n số liệu thống kê bằng tổng của[.]
Bài Các số đặc trưng đo xu trung tâm cho mẫu số liệu khơng ghép nhóm A Lý thuyết I Số trung bình cộng (Số trung bình) Định nghĩa Số trung bình cộng mẫu n số liệu thống kê tổng số liệu chia cho số số liệu Số trung bình cộng x mẫu số liệu x1, x2, …, xn là: x x1 x x n n Ví dụ: Tìm số trung bình cộng số 13, 15, 17, 20 Hướng dẫn giải Mẫu có số liệu Khi đó, số trung bình cộng x 13 15 17 20 16,25 Vậy trung bình cộng số cho 16,25 Nhận xét: - Đối với bảng tần số: Số trung bình cộng x mẫu số liệu thống kê bảng phân bố tần số là: x - Đối với bảng tần số tương đối: n1x1 n x n k x k n1 n n k Số trung bình cộng x mẫu số liệu thống kê bảng phân bố tần số tương đối là: x f1x1 f x f k x k , f1 n1 n n , f , …, f k k , với n = n1 + n2 + …+ nk n n n Ví dụ: a) Thời gian giải toán (đơn vị: phút) 30 học sinh ghi lại bảng tần số sau: Thời gian (phút) 10 12 13 15 Số học sinh 4 Tính thời gian trung bình để giải tốn b) Số cân nặng (đơn vị: kg) 20 học sinh ghi lại bảng tần số tương đối sau: Cân nặng (kg) 28 29 30 35 37 42 Tần số tương đối 10 20 10 20 Hãy tính cân nặng trung bình 20 học sinh Hướng dẫn giải a) Thời gian trung bình để giải tốn x 5.5 4.6 2.7 3.8 4.9 1.10 3.12 5.13 3.15 9,3 1 Vậy thời gian trung bình để giải tốn 9,3 phút b) Ta có cân nặng trung bình 20 học sinh là: x 3 1 28 29 30 35 37 42 33,15 10 20 10 20 Vậy cân nặng trung bình 20 học sinh 33,15 kg Ý nghĩa Khi số liệu mẫu sai lệch với số trung bình cộng, ta giải vấn đề cách lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu Ví dụ: Để dự báo lượng mưa tháng Hà Nội người ta tiến hành đo lượng mưa ngày tháng gồm 31 số liệu Số trung bình cộng mẫu số liệu xem lượng mưa trung bình tháng Hà Nội Thống kê lượng mưa trung bình tháng Hà Nội nhiều năm liên tiếp cho ta dự báo lượng mưa trung bình tháng Hà Nội năm tới II Trung vị Định nghĩa Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành dãy không giảm (hoặc không tăng) - Nếu n số lẻ số liệu đứng vị trí thứ n 1 (số đứng giữa) gọi trung vị - Nếu n số chẵn số trung bình cộng hai số liệu đứng vị trí thứ n n 2 gọi trung vị Trung vị kí hiệu Me Nhận xét: - Trung vị không thiết số mẫu số liệu dễ tính tốn - Khi số liệu mẫu khơng có chênh lệch lớn số trung bình cộng trung vị xấp xỉ Ví dụ: Điểm kiểm tra Toán bạn học sinh tổ lớp 10B sau: 9; 5; 4; 5; 8; 7; Tìm trung vị Me mẫu số liệu Hướng dẫn giải - Sắp xếp số liệu mẫu theo thứ tự không giảm: 5 9 - Xác định xem số số liệu chẵn hay lẻ để tìm số trung vị: Mẫu có số liệu Giá trị Vì thế, trung vị mẫu Vậy Me = Ý nghĩa Nếu số liệu mẫu có chênh lệch lớn ta nên chọn thêm trung vị làm đại diện cho mẫu số liệu nhằm điều chỉnh số hạn chế sử dụng số trung bình cộng Những kết luận đối tượng thống kê rút tin cậy Ví dụ: Thời gian giải tập (đơn vị: phút) nhóm học sinh sau: 20 Tính trung vị mẫu số trung bình cộng mẫu Ta nên chọn trung vị hay số trung bình cộng để đại diện cho mẫu kết luận thời gian giải tập nhóm học sinh đáng tin cậy hơn? Hướng dẫn giải Sắp xếp số liệu theo thứ tự khơng giảm: 20 Mẫu có số liệu, trung vị mẫu trung bình cộng Ta có Me = 35 Trung bình cộng mẫu số liệu: x 20 6,2 Ta thấy nên lựa chọn trung vị Me = đại diện cho mẫu kết luận thời gian giải tập nhóm học sinh đáng tin cậy Vậy trung vị mẫu Me = 4; số trung bình cộng 6,2 nên lựa chọn trung vị Me = đại diện cho mẫu kết luận thời gian giải tập nhóm học sinh đáng tin cậy III Tứ phân vị Định nghĩa Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành dãy không giảm Tứ phân vị mẫu số liệu ba giá trị: tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai tứ phân vị thứ ba; ba giá trị chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử - Tứ phân vị thứ hai Q2 trung vị - Nếu n số chẵn tứ phân vị thứ Q1 trung vị nửa dãy phía tứ phân vị thứ ba Q3 trung vị nửa dãy phía - Nếu n số lẻ tứ phân vị thứ Q1 trung vị nửa dãy phía (khơng bao gồm Q2) tứ phân vị thứ ba Q3 trung vị nửa dãy phía (khơng bao gồm Q2) Ta minh họa tứ phân vị mẫu số liệu gồm 11 số liệu trục số sau: Ví dụ: Tìm tứ phân vị mẫu số liệu sau: 21 Hướng dẫn giải 32 10 45 11 35 24 Mẫu số liệu xếp theo thứ tự tăng dần sau: 10 11 21 24 32 35 45 Dãy số liệu gồm số liệu, số chẵn Do ta có: • Trung vị mẫu số liệu là: Q2 = 21 24 22,5 • Trung vị dãy 8, 10, 11, 21 Q1 = 10 11 10,5 • Trung vị dãy 24, 32, 35, 45 Q3 = 32 35 33,5 Vậy Q1 = 10,5, Q2 = 22,5, Q3 = 33,5 Tứ phân vị biểu diễn trục số sau: Ý nghĩa - Trong thực tiễn, có mẫu số liệu mà nhiều số liệu mẫu cịn chênh lệch lớn so với trung vị Ta nên chọn thêm số khác làm đại diện cho mẫu Bằng cách lấy thêm trung vị dãy số liệu tách trung vị mẫu nói trên, ta nhận tứ phân vị đại diện cho mẫu số liệu - Bộ ba giá trị Q1, Q2, Q3 tứ phân vị phản ánh độ phân tán mẫu số liệu Nhưng giá trị Q1, Q2, Q3 lại đo xu trung tâm phần số liệu tương ứng mẫu IV Mốt Định nghĩa Mốt mẫu số liệu giá trị có tần số lớn bảng phân bố tần số kí hiệu Mo Chú ý: Một mẫu số liệu có nhiều mốt Ví dụ: Cho bảng tần số sau: Giá trị Tần số 12 14 25 25 Tìm mốt mẫu số liệu Hướng dẫn giải Quan sát bảng tần số ta thấy giá trị có tần số lớn 25 Suy mốt dấu hiệu Mo = Mo = Vậy mốt dấu hiệu Mo = Mo = Ý nghĩa Mốt mẫu số liệu đặc trưng cho số lần lặp lặp lạ nhiều vị trí mẫu số liệu Dựa vào mốt, ta đưa kết luận (có ích) đối tượng thống kê Ví dụ: Một cửa hàng bán loại quạt với giá tiền 150; 200; 350; 400; 500 (nghìn đồng) Số quạt bán mùa hè vừa qua thống kê bảng sau: Giá tiền 150 200 350 400 500 Số quạt bán 25 80 100 123 75 Năm cửa hàng nên nhập nhiều số lượng loại quạt có giá tiền để bán? Hướng dẫn giải Quan sát bảng thống kê ta thấy quạt có giá 400 nghìn đồng có số lượng bán nhiều nhất, nghĩa quạt giá 400 nghìn có tần số lớn Suy Mo = 400 Vậy năm hàng nên nhập nhiều quạt có giá tiền 400 nghìn đồng để bán V Tính hợp lí số liệu thống kê Sau thu thập, tổ chức, phân loại biểu diễn số liệu bảng biểu đồ, ta cần phân tích xử lí số liệu để xem xét tính hợp lí số liệu thống kê, đặc biệt số liệu bất thường (hay gọi dị biệt, tiếng Anh Outliers) Ta sử dụng số liệu đặc trưng đo xu trung tâm cho mẫu số liệu khơng ghép nhóm để thực điều Ví dụ: Chiều cao nhóm học sinh nữ tuổi (đơn vị cm) ghi lại sau: 100 112 113 115 115 116 118 117 120 122 122 125 123 162 97 a) Tìm tứ phân vị mẫu b) Từ kết câu a) bước đầu xác định giá trị bất thường mẫu số liệu Hướng dẫn giải a) Ta xếp số liệu theo thứ tự tăng dần sau: 97 100 112 113 115 115 116 117 118 120 122 122 123 125 145 Mẫu có 15 số liệu Trung vị mẫu số liệu Q2 = 117 Trung vị nửa phía 97, 100, 112, 113, 115, 115, 116 Q1 = 113 Trung vị nửa phía 118, 120, 122, 122, 123, 125, 145 Q3 = 122 Vậy tứ phân vị mẫu Q1 = 113; Q2 = 117; Q3 = 122 b) Dựa vào trung vị tứ phân vị mẫu số liệu, bước đầu ta thấy số liệu bất thường mẫu 97 145 B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Điểm số kiểm tra Toán bạn tổ lớp 10A ghi lại bảng sau: Tổ 8 Tổ 9 Tổ có kết tốt hơn? Tại sao? Hướng dẫn giải Ta có số bạn tổ (người) Điểm trung bình tổ : x1 878879 7,83 Điểm trung bình tổ : x 789769 7,67 Vì x x1 (7,67 7,83) nên điểm trung bình tổ nhỏ tổ Vậy tổ có kết kiểm tra tốt tổ Bài Cân nặng 12 học sinh (đơn vị: kg) lớp cho bảng sau: 25 34 36 41 19 35 27 57 36 37 29 30 a) Xác định trung vị, tứ phân vị mẫu số liệu b) Từ kết câu a), bước đầu xác định số liệu bất thường mẫu số liệu Hướng dẫn giải a) Ta xếp số liệu theo thứ tự tăng dần sau: 19 25 27 29 30 34 35 36 36 37 41 51 Mẫu có 12 số liệu, số chẵn Trung vị mẫu số liệu Q2 = 34 35 = 34,5 Trung vị nửa phía 19, 25, 27, 29, 30, 34 Q1 = 27 29 = 28 Trung vị nửa phía 35, 36, 36, 37, 41, 51 Q3 = 36 37 = 36,5 Vậy tứ phân vị mẫu Q1 = 28; Q2 = 34,5; Q3 = 36,5 b) Dựa vào trung vị tứ phân vị mẫu số liệu, bước đầu ta thấy số liệu bất thường mẫu 51 Bài Một cửa hàng thống kê số lượng loại giày bán tháng bảng sau: Size giày 35 36 37 38 39 Số giày bán 12 50 31 32 22 a) Tìm mốt mẫu số liệu trên? b) Cửa hàng nên nhập nhiều size giày để bán? Hướng dẫn giải a) Ta thấy số giày bán size giày 36 lớn 50 nên mốt mẫu số liệu Mo = 36 Vậy mốt mẫu số liệu Mo = 36 b) Vì Mo = 36 nên số lượng bán size 36 lớn Do đó, cửa hàng nên nhập nhiều số lượng giày size 36 Vậy cửa hàng nên nhập nhiều số lượng giày size 36 B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Người ta thống kê cân nặng 10 học sinh theo thứ tự tăng dần Số trung vị mẫu số liệu là: A Khối lượng học sinh thứ 5; B Khối lượng học sinh thứ 6; C Khơng tìm trung vị; D Số trung bình cộng khối lượng học sinh thứ thứ Hướng dẫn giải Đáp án là: D Mẫu số liệu có 10 số (là số chẵn) nên trung vị số trung bình cộng hai số liệu đứng vị trí thứ 10 10 = +1 = 2 Nghĩa trung vị dãy số liệu số trung bình cộng khối lượng học sinh thứ thứ Câu 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm 20) Kết cho bảng sau: Điểm (x) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Số học sinh 1 13 19 24 14 10 (n ) Điểm trung bình học sinh dự thi mơn tốn bao nhiêu? A 15; B 15,23; C 15,50; D 16 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Điểm trung bình học sinh dự thi mơn tốn là: 9.1 10.1 11.3 12.5 13.8 14.13 15.19 16.24 17.14 18.10 19.2 100 = 15,23 Câu Cho mẫu số liệu thống kê: 5 10 Mốt trung vị mẫu số liệu A 6; B 6; C 5; D 10 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Số xuất nhiều lần mẫu số liệu (2 lần) nên M0 = Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần 5 10 Mẫu số liệu có số nên trung vị Me = ... số liệu, bước đầu ta thấy số liệu bất thường mẫu 97 145 B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Điểm số kiểm tra Toán bạn tổ lớp 10A ghi lại bảng sau: Tổ 8 Tổ 9 Tổ có kết tốt hơn? Tại sao?... tốn là: 9.1 10. 1 11.3 12.5 13.8 14.13 15.19 16.24 17.14 18 .10 19.2 100 = 15,23 Câu Cho mẫu số liệu thống kê: 5 10 Mốt trung vị mẫu số liệu A 6; B 6; C 5; D 10 Hướng dẫn giải... số liệu có 10 số (là số chẵn) nên trung vị số trung bình cộng hai số liệu đứng vị trí thứ 10 10 = +1 = 2 Nghĩa trung vị dãy số liệu số trung bình cộng khối lượng học sinh thứ thứ Câu 100 học sinh