Skkn phương pháp giải bài tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp 6 ở trường thcs

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong suốt chương trình học nhà trường, mơn học góp phần vào việc hình thành phát triển sở ban đầu cho học sinh Trong mơn Tốn giữ vai trị quan trọng, thời gian dành cho việc học Toán chiếm tỉ lệ cao Thực tế năm gần đây, việc dạy học Toán có bước cải tiến phương pháp, nội dung hình thức dạy học Các dạng tập mơn Tốn chương trình trung học sở (THCS) đa dạng phong phú Một dạng tốn mơn Tốn giải toán phần phân số Đặc biệt kì thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp cấp huyện Lệ Thủy phân số nội dung hay đề cập đến thường khó Các tốn phân số đơn làm tập sách giáo khoa dễ tốn nâng cao phức tạp, đa dạng khơng có quy tắc chung để giải, phải sử dụng phương pháp khác cách linh hoạt, sáng tạo Trong lực tư duy, khả phân tích tổng hợp học sinh hạn chế nên học sinh thường bế tắc việc tìm cách giải cho loại toán Vấn đề đặt việc giải toán phải biết nhận dạng toán lựa chọn phương pháp thích hợp để giải Là giáo viên trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG) Toán 6, để giúp học sinh giải khó khăn đó, đồng thời bổ sung số kiến thức phần phân số, làm tài liệu tham khảo công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, góp phần vào việc “đào tạo bồi dưỡng nhân tài” Tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải tập nâng cao phần phân số cho học sinh giỏi lớp trường THCS” Đây đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp nhận dạng toán phân số hướng dẫn phương pháp để có lời giải hợp lý 1.2 Điểm đề tài Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, phương pháp dạy học phổ biến nhằm hình thành cho em tư khoa học Nội dung đề tài chia hướng dẫn cụ thể phần, học sinh dễ dàng tiếp cận gây nên hứng thú học tập cho học sinh, kích thích cho em ham học, ham hiểu biết lịng say mê học Tốn Tạo tảng vững cho em tiếp cận kiến thức tính tốn sau Thơng qua dạng tập, giáo viên đưa giải chi tiết từ đưa phương pháp giải cụ thể giúp học sinh nắm kiến thức để làm tập vận dụng skkn 1.3 Phạm vi áp dụng đề tài Nghiên cứu phạm vi em đội tuyển học sinh giỏi hai năm học liền kề: 2013-2014 2014-2015 trường nơi công tác PHÇN NéI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề nghiên cứu skkn Trong năm học 2013-2014, sau đội tuyển HSG trường tham gia kì thi HSG lớp mơn Tốn cấp huyện Lệ Thủy, tơi thống kê kết chất lượng làm học sinh (HS) phần phân số sau: Câu phần phân số Số HS không làm Số HS làm từ 0,5 ->1 điểm Số HS làm từ ->1,5 điểm (1,5 điểm) SL % SL % SL % Tống số HS: 37,5 50 12,5 Kêt chung xếp thứ: 13/28 ( có giải ba, giải khuyến khích) Qua bảng cho thấy, học sinh làm tập phần phân số đạt kết chưa cao, phương pháp bồi dưỡng giáo viên phần phân số chưa tốt nên ảnh hưởng đến chất lượng đội tuyển HSG Chính thân tơi cịn nhiều trăn trở, suy nghĩ muốn tìm phương pháp dạy học chuyên đề để rèn kĩ cho học sinh nhằm góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường THCS 2.2 Biện pháp thực giải pháp đề tài Để thực tốt giải pháp hai yếu tố định giáo viên học sinh Chính giáo viên học sinh cần phải thực tốt nội dung sau: 2.2.1 Đối với giáo viên: - Để giúp giáo viên giảng dạy thành cơng phương pháp trên, vai trị người học khơng nhỏ Vì giáo viên cần phải kích thích cho em ham học, ham hiểu biết lịng say mê học Tốn nói chung, đặc biệt phần phân số nói riêng, nhằm đem lại hiệu cao - Phải nắm thật vững phương pháp giải em học sinh để chuẩn bị giảng tốt - Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ hay ứng dụng để giảng tốt, luyện tốt - Phải hướng dẫn học sinh nắm bắt kiến thức đến đâu, luyện đến Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng tập - Suốt trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ sao, làm nào? Tại nghĩ đạt kết 2.2.2 Đối với học sinh: skkn - Các em phải ln đóng vai trị chủ động việc tiếp thu kiến thức, chỗ cịn khó khăn vướng mắc học sinh cần mạnh dạn đặt câu hỏi cho giáo viên bồi dưỡng - Học sinh phải nắm thật kiến thức sách giáo khoa kiến thức liên quan , để từ vận dụng tốt phương pháp làm tập nâng cao - Thường xuyên nghiên cứu tài liệu qua sách tham khảo, qua báo Toán học Tuổi thơ ….hoặc tìm tập có liên quan thơng qua mạng Internet nội dung tập mạng nhiều 2.2.2.1 Các kiến thức liên quan Phân số: * Dạng phân số với a, b Z, b  a: tử b: mẫu phân số *a= với a  Z Phân số nhau: = ad = bc với b  0, d  Tính chất phân số - Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho = với m  z, m  0, b  - Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung ta phân số phân số cho = với n  ƯC (a, b), b  * Chú ý: - Mỗi phân số có vơ số phân số - Mọi phân số viết dạng phân số mà mẫu số số dương Rút gọn phân số - Rút gọn phân số tìm phân số đơn giản phân số cho skkn - Muốn rút gọn phân số, ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác -1) chúng - Phân số tối giản phân số rút gọn (tử mẫu có ước chung -1) * Muốn tìm phân số tối giản, ta cần chia tử mẫu phân số cho ƯCLN chúng Quy đồng mẫu nhiều phân số Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số ta làm sau: Bước 1: Tìm bội chung mẫu (thường BCNN) để làm mẫu chung Bước 2: Tìm thừa số phụ mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho mẫu) Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng Chú ý: - Nếu phân số cho có phân số chưa tối giản nên rút gọn phân số trước quy đồng - Nếu mẫu phân số số nguyên tố mẫu chung tích mẫu thừa số phụ mẫu tích mẫu phân số lại So sánh phân số - Trong hai phân số có mẫu dương, phân số có tử lớn lớn - Muốn so sánh hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu dương so sánh tử với nhau: phân số có tử lớn lớn * Nhận xét: - Phân số có tử mẫu hai số nguyên dấu lớn - Phân số lớn gọi phân số dương - Phân số có tử mẫu hai số nguyên khác dấu nhỏ - Phân số nhỏ gọi phân số âm Phép cộng phân số - Muốn cộng hai phân số mẫu, ta cộng tử giữ nguyên mẫu - Muốn cộng hai phân số không mẫu, ta viết chúng dạng hai phân số có mẫu cộng tử giữ nguyên mẫu chung skkn Phép trừ phân số - Muốn trừ phân số cho phân số, ta cộng số bị trừ với số đối số trừ - Phép trừ phân số phép toán ngược phép cộng phân số Phép nhân phân số Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử với nhân mẫu với 2.2.2.2 Một số phương pháp giải tập phân số Dạng1: Tìm điều kiện để phân số tồn tại, điều kiện để phân số có giá trị số nguyên Bài tập1: Cho biểu thức (nz) a) Số ngun n phải có điều kiện để A phân số b) Tìm phân số A biết : n = 0; n = 10 ; n = -3 c) Tìm tất giá trị nguyên n để A số nguyên Giải: a) Biểu thức A có 3 Z, n  Z nên n+1  Z Để A phân số cần có điều kiện n+1 ≠ hay n ≠-1 b) Với n = Với n = 10 Với n= -3 c) Để A số nguyên ta phải có n+1 ước Ư(3) = Ta có bảng sau: n+1 -3 -1 n -4 -2 Vậy n Bài tập 2: Cho phân số Tìm tất giá trị nguyên n để B số nguyên skkn (Câu a: Đề kiểm tra chất lượng HSG mơn Tốn phịng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2013- 2014) Giải: Ta có: Để B số ngun phải có số ngun, tức 5n-3 phải ước Ư(6) = , ta có bảng sau: 5n-3 -6 -3 -2 -1 n -3/5 1/5 2/5 4/5 6/5 9/5 Vì n  Z nên n  Vậy n  Bài tập 3: Tìm số n  Z để phân số số nguyên Giải: Ta có = Để + số ngun phải có số nguyên Tức n+1 phải ước 13 Ư(13) = , ta có bảng sau: n+1 -13 -1 13 n -2 12 -14 Vậy n  * Phương pháp giải : Phân số tồn tử mẫu số nguyên mẫu khác không Phân số có tử số nguyên, mẫu có chứa ẩn có giá trị số nguyên mẫu ước tử Phân số có tử mẫu chứa ẩn biến đổi thành tổng số nguyên với phân số có tử số nguyên mẫu có chứa ẩn * Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phân số a) Chứng tỏ phân số A ln tồn skkn b) Tìm phân số A biết: n = -3 ; n = 0 ; n = Bài 2: Cho phân số a) Viết tập hợp M số nguyên n để phân số B tồn b) Tìm phân số B biết n = -13; n = 0; n = 13 c) Với giá trị n B số nguyên Bài 3: Cho phân số Tìm n để C có giá trị nguyên Bài 4: Cho A= tìm giá trị nguyên n để : a) A phân số b) A số nguyên (Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 2010-2011) Bài 5: Cho phân số B = với n  Z n3 a) Số nguyên n phải có điều kiện để phân số B tồn b) Tìm phân số B biết: n = 0; n = 10; n = -2 c) Tìm giá trị n để B số nguyên Dạng 2 : Phân số tối giản Bài tập 1: Trong phân số sau phân số tối giản Giải: = ƯCLN (5, 36)=1 ƯCLN ƯCLN(30, 42)=6 ƯCLN = ƯCLN(18,43)=1 ƯCLN = ƯCLN(7, 118)=1 ƯCLN Vậy phân số tối giản là: Bài tập 2: Tìm phân số tối giản biết a Cộng tử với 4, mẫu với 10 giá trị phân số khơng đổi b Cộng mẫu vào tử, cộng mẫu vào mẫu phân số giá trị phân số tăng lên lần skkn Giải: a Ta có: b Ta có: phân số giảm lần so với phân số mà phân số tăng gấp lần so với phân số suy a+b = 4a hay b=3a Tuy nhiên có học sinh làm cách khác: Theo ta có: => (a+b)b = 2b 2a => ab + b2 = 4ab => b2 = 3ab => b= 3a Vậy Bài tập 3: Chứng minh với số tự nhiên phân số có dạng phân số tối giản Vì nên 21n +4 Giải: N* 14n+3 Do để chứng minh phân số N* phân số tối giản với n N, ta phải chứng minh 21n +4 14n+3 hai số nguyên tố Gọi ƯCLN ( 21n + 4, 14n + ) = d (d N* ) Khi Hay => 42n + - 42n -8 d =>1 d Vậy d =1 Như phân số phân số tối giản với số tự nhiên n Bài tập 4: Tìm tất số tự nhiên n để phân số Giải: Ta có: n  13 n   15 15   1 (n  2) n2 n2 n2 skkn n  13 phân số tối giản n2 Để phân số n  13 15 phân số tối giản phân số phân số tối giản n2 n2 Muốn 15 n - phải số ngun tố Vì 15 có ước khác 1, khác 15 Từ suy n - không chia hết cho tức là: n -  3k n -  5k Hay n  3k +2 n  5k + (kN, k  0) * Phương pháp giải: Để tìm phân số tối giản phân số cho trước, ta tìm ƯCLN giá trị tuyệt đối tử mẫu phân số Phân số có ƯCLN phân số tối giản Để chứng tỏ phân số tối giản, ta chứng minh ƯCLN tử mẫu 1(trường hợp tử mẫu số nguyên dương, số nguyên âm ta xét số đối ) Ngược lại, muốn chứng minh phân số chưa tối giản (hay rút gọn nữa) ta chứng minh ƯCLN chúng khác * Bài tập vân dụng: Bài 1: Trong phân số sau đây, phân số phân số tối giản Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ biết tích tử số mẫu số bằng120 Bài 3: Tìm số tự nhiên khơng lớn 10 để phân số phân số tối giản Bài 4: Chứng tỏ với số nguyên n, phân số sau phân số tối giản Bài 5: Cho phân số n  19 (n  N ) n6 a Tìm giá trị n để phân số có giá trị số tự nhiên b Tìm giá trị n để phân số tối giản Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số A= 8n  193 4n  a Có giá trị số tự nhiên b Là phân số tối giản c Với 150 < n < 170 A rút gọn Dạng : Tổng phân số viết theo quy luật 10 skkn Bài tập 1: a) Tính b) Áp dụng tính: A= Giải: a) b) A = Bài tập 2: Tính tổng Giải: Bài tập 3: Tính tổng Giải: * Phương pháp giải: Với tốn có tử mẫu viết theo quy luật: Tử không thay đổi hiệu hai thừa số mẫu, thừa số cuối mẫu trước thừa số đầu mẫu sau Ta dùng công thức: để viết số hạng thành 11 skkn hiệu hai phân số, số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau, cịn lại số bị trừ số trừ cuối cùng, lúc phép tính thực dễ dàng Nếu số hạng có dạng phức tạp cơng thức: ta dùng để viết số hạng thành hiệu hai phân số * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính tổng Bài 2: Tính tổng: (Bài tập chuyên đề học sinh giỏi lớp phòng GD&Đ Lệ Thủy) Bài 3: Chứng minh rằng: (Đề kiểm tra chất lượng HSG lớp phòng GD&ĐT Lệ Thủy năm học 20102011) Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh với n  N ; n  ta có: 3 3      9.14 14.19 19.24 (5n  1)(5n  4) 15 4 16 16    chứng minh:  A  15.19 19.23 399.403 81 80 2 ; ; ; Bài 7: Cho dãy số : 4.11 11 18 18.25 Bài 6: Cho A  a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Gọi S tổng 100 số hạng dãy Tính S Bài 8: Cho A  1 1     Chứng minh  A  9 Dạng4 : Tìm số chưa biết đẳng thức Bài tập 1: Tìm số ngun x cho phân số có giá trị -4 Giải: Phân số có giá trị - nên = - => x = - 4.19 Vậy x = -76 Bài tập 2: Tìm số nguyên x, y, z biết : = = = 12 skkn Trước giải toán giáo viên nên lưu ý học sinh rút gọn phân số phân số tối giản Giải: = = * = * = = => = = = => 3.y = 4.21 3.y = 84 y = 84:3 y = 28 * = => 4.z = (-80) 4.z = -240 z = (-240):4 z = -60 Vậy: x = -3; y =28; z =-60 * Phương pháp giải : + nên a.d = b.c (định nghĩa hai phân số nhau) suy ra: + Áp dụng tính chất phân số để biến đổi hai phân số cho thành hai phân số chúng có tử ( mẫu ) Khi đó, mẫu ( tử ) chúng phải nhau, từ tìm số chưa biết * Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên x cho biết a ; b ; c Bài 2: Tìm số nguyên x, y biết x+y = 20 Bài 3: Tìm số nguyên x, y, z, u, t, biết : Dạng 5: So sánh phân số Bài tập 1: So sánh phân số và 13 skkn Giải: a) Ta có: -1>-2 nên b)Ta có: Vì -2N + Nếu mà M>Nthì - Dùng phân số làm trung gian - Sử dụng phép cộng phân số thích hợp: số trường hợp để so sánh hai phân số, ta cộng chúng với hai phân số thích hợp có tử So sánh hai phân số giúp ta so sánh hai phân số cho * Bài tập vận dụng: Bài 1: So sánh phân số: Bài 2: Cho a, m, n  N* Hãy so sánh : (Bài tập chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán huyện Lệ Thủy) 15 skkn 2.2.3 Kết nghiên cứu Trong trình nghiên cứu thực thu số thành cơng bước đầu: 2.2.3.1.Về phía giáo viên: Tơi thấy trình độ chuyên môn nâng cao hơn, đặc biệt phù hợp với trình đổi phương pháp dạy học ngành đề Bên cạnh hình thành giáo viên phương pháp làm việc khoa học Hơn phát huy tích cực chủ động người học, hình thành học sinh kĩ năng, kĩ xảo giải tốn 2.2.3.2.Về phía học sinh: Qua việc giới thiệu cho học sinh hệ thống dạng tập phân số, thấy phát huy tính tích cực, tư sáng tạo, say mê mơn học học sinh, giúp học sinh hình thành phương pháp cách làm việc với mơn Tốn học Học sinh u thích mơn Tốn hơn, đồng thời kích thích trí tị mị tìm hiểu nội dung chuyên đề nâng cao khác chương trình bồi dưỡng mơn Tốn lớp Chính kết làm em tốt nên chất lượng đội tuyển HSG có nhiều bước đột phá 2.2.3.3 Kết đạt đề tài cụ thể sau: Sau đội tuyển HSG trường tham gia kì thi HSG lớp mơn Tốn cấp huyện Lệ Thủy năm học 2014-2015, đề có câu phần phân số ( câu 2) khảo sát thống kê kết chất lượng làm học sinh phần sau: Câu phần phân số SốHS không làm Số HS làm từ 0,5 ->1 điểm Số HS làm từ ->1,5 điểm (1,5 điểm) SL % SL % SL % Tổng số HS:10 0 30 70 Kêt chung : Giải ba đồng đội ( có giải nhì, giải ba giải khuyến khích) Kết cho thấy chất lượng bồi dưỡng HSG có bước chuyển biến Tuy chưa cao hi vọng có phương pháp tốt cho học sinh năm học 2015-2016 đội tuyển học sinh giỏi tốn trường chúng tơi gặt hái nhiều thành công 16 skkn KẾT LUẬN 3.1 Ý nghĩa đề tài Việc phát bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ nhà trường mà cụ thể nhà quản lí, giáo viên giảng dạy Năng khiếu học sinh phát bồi dưỡng sớm định hướng phát triển dần định hình trở thành học sinh giỏi Qua năm bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp 6, thấy để giúp HS hiểu sâu sắc vấn đề ngồi việc nghiên cứu kỹ dạng tập, chuẩn bị cách chu đáo, giáo viên cịn cần có “nghệ thuật giảng dạy” - phương pháp giảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với tập nâng cao phân số cho HS lớp cần phải hướng dẫn em cách dần dần, từ vấn đề đơn giản, bản, sau thay đổi vài chi tiết để nâng dần đến tập phức tạp Sau giáo viên cần củng cố phương pháp giải khai thác thành tốn cách thay đổi kiện để HS tự vân dụng làm tập khó Việc bồi dưỡng chuyên đề phân số giúp HS có thêm kiến thức kỹ giải tập kỳ thi HSG cấp huyện, góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn nhà trường Nói tóm lại việc tìm hiểu phát học sinh giỏi công việc quan trọng nhà trường, giai đoạn Việc bồi dưỡng nhân tài mang tính chiến lược ngành Giáo dục Đào tạo nhằm tạo lớp người động, sáng tạo, đáp ứng công đổi nước nhà Bậc trung học sở bậc học có đầy đủ điều kiện thuận lợi cho phát hiện, tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, ươm trồng tài cho đất nước Tuy nhiên, thời gian cơng tác trường lại có cách làm khác nhau, chưa mang tính thống nhất, có nơi làm tốt có nơi cịn nhiều hạn chế Song trách nhiệm người giáo viên phải mục tiêu cao cả, phải ươm tài để làm cho phát triển trở thành 17 skkn nguyên khí quốc gia, tài sản quý báu gia đình, cộng đồng tồn xã hội Qua q trình nghiên cứu đề tài tơi thấy, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen khơng dừng lại kết vừa tìm mà phải phân tích, khai thác để có kết Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tịi, sáng tạo tốn từ toán học, gặp giúp học sinh tự tin giải tốn, nhờ mà học sinh phát huy tư nâng cao lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học 3.2 Kiến nghị, đề xuất 3.2.1 Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán - Cần tổ chức hội thảo chuyên đề bồi dưỡng HSG chuyên sâu cho giáo viên tỉnh, huyện nhằm trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn giúp ích cho hoạt động chuyên môn ngành 3.2.2 Với BGH nhà trường Nhà trường cần làm tốt công tác tư tưởng với thành viên tham gia, tạo mọị điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi như: thời gian, sở vật chất… để hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi không ngừng nâng cao 3.2.3 Với phụ huynh học sinh Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà em Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Trên sáng kiến kinh nghiệm với biện pháp giúp học sinh giải tốt tập nâng cao phần phân số Toán trường THCS.Vì điều kiện thời gian có hạn trình độ nâng lực cịn hạn chế, đề tài tơi chắn cịn nhiều thiếu sót Do tơi mong góp ý đồng nghiệp phụ trách chuyên môn Tôi xin chân thành cảm ơn 18 skkn 19 skkn ... dạng phân số mà mẫu số số dương Rút gọn phân số - Rút gọn phân số tìm phân số đơn giản phân số cho skkn - Muốn rút gọn phân số, ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác -1) chúng - Phân số tối... chung skkn Phép trừ phân số - Muốn trừ phân số cho phân số, ta cộng số bị trừ với số đối số trừ - Phép trừ phân số phép toán ngược phép cộng phân số Phép nhân phân số Muốn nhân hai phân số, ta... phân số phân số tối giản Bài 2: Tìm phân số tối giản nhỏ biết tích tử số mẫu số bằng120 Bài 3: Tìm số tự nhiên không lớn 10 để phân số phân số tối giản Bài 4: Chứng tỏ với số nguyên n, phân số