Skkn khai thác vẽ đường phụ trong giải toán hình học thcs

PHẦN I CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập Tự do Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS Tháng 04, năm 2019 skkn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM[.]

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC THCS Tháng 04, năm 2019 skkn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC THCS Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Bình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Mai Thủy Tháng 04, năm 2019 skkn PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hình học lĩnh vực cổ xưa toán học, với số học xuất thời kì sơ khai lồi người Hình học có vẻ đẹp kì diệu làm say mê từ nhà toán học đến em học sinh THCS Trong trình tìm kiếm lời giải có tìm thêm lời giải khác, lời giải hay tốn hình học việc vẽ thêm yếu tố phụ giúp cho việc kết nối từ giả thiết đến kết luận toán dễ dàng hợn, thuận lợi Tuy nhiên việc vẽ thêm hình phụ để có lời giải vấn đề khiến phải đầu tư suy nghĩ Thực tế cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học Tùy tốn cụ thể mà có cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để đến với lời giải tốn Sự xuất hình phụ thổi hồn vào tốn mà hẳn có lần lúng túng, chật vật trước toán hình học giật phát cần vẽ thêm yếu tố đến với lời giải toán Vẽ thêm hình phụ sáng tạo “nghệ thuật” tùy theo yêu cầu toán cụ thể Bởi việc vẽ thêm hình phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn thuận lợi công việc tùy tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm hình phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình Vẽ thêm hình phụ nhằm giúp vấn đề sau: Giúp giải số tốn hình học mà khơng vẽ thêm hình phụ bế tắc Trình bày lời giải số tốn hình học gọn hơn, nhanh Phát vấn đề chưa học vốn kiến thức hạn chế mà sau vấn đề học đến đơn giản Các tốn hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ skkn giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) địi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải tốn phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ, biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay cịn gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh Trên thực tế, học sinh giải tốn dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có vẽ thêm đường phụ học sinh cịn Còn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ cịn hạn chế Chính lý trên, mạnh dạn thực đề tài : “Khai thác vẽ đường phụ giải tốn hình học THCS”, nhằm mang lại kết dạy học tốt cho giáo viên, học sinh Mong với số kinh nghiệm mình, tơi hy vọng đề tài góp phần nhỏ vào việc giảng dạy hình học trường THCS đạt hiệu 1.2 Phạm vi đề tài: Nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8A năm học 2018 - 2019 trường nơi công tác 1.3 Điểm đề tài: Trong q trình giảng dạy mơn hình học trường THCS tơi nhận thấy nhiều học sinh cịn lúng túng làm tập chứng minh hình học, tập cần phải vẽ thêm đường phụ Khi gặp tập dạng này, hầu hết học sinh khơng nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ, vẽ đường phụ cách mò mẫm, chí cịn có học sinh cịn vẽ thêm đường phụ sai Bên cạnh dù áp dụng phương pháp dạy học đa số giáo skkn viên mang nặng phương pháp dạy học truyền thống thêm lí thời gian không nhiều nên giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ mà không giải thích rõ lí lại làm dẫn đến học sinh khơng hiểu hết vai trị đường phụ không phát huy khả tư duy, sáng tạo thân Chính điểm đề tài giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu toán học từ đạt kết cao giải tốn nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Xây dựng phương pháp tối ưu để quỹ thời gian cho phép hồn thành hệ thống chương trình quy định nâng cao thêm mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Từ phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu kiến thức vốn có học sinh, gây hứng thú học tập cho em Nội dung đề tài chia dạng hướng dẫn cụ thể bài, học sinh dễ dàng tiếp cận gây nên tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích cho em ham học, ham hiểu biết lịng say mê học Tốn, tạo tảng vững cho em tiếp cận kiến thức tính toán sau skkn PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu Giải toán hình có kẻ thêm đường phụ địi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì địi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học thuật phát triển Do định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ sách giáo khoa (SGK) đề cập đến, việc làm ví dụ tốn lớp có loại tốn dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán tập nâng cao tốn khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đường phụ Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng qt hố vấn đề rút điều bổ ích Việc “Khai thác vẽ đường phụ giải tốn hình học THCS” yếu tố quan trọng phân mơn hình học đáp ứng u cầu này, tảng, làm sở để học sinh phát triển tư suy hình học, đặt điểm cao đề có câu hỏi khó kiểu chứng minh học tiếp sau Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh mà chương trình đề cập đến số tốn q chưa đủ học sinh nhận dạng hiểu hết phương pháp chứng minh Vấn đề đặt làm để học sinh “Khai thác vẽ đường phụ giải tốn hình học THCS” cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Tồn nhiều học sinh cịn hạn chế kĩ phân tích nhận xét, nhận dạng thực hành giải toán, phần lớn chưa nắm vững định lý liên kết kiến thức hình học, chưa chủ động học tập từ đầu chương skkn trình lớp 7, chay lười học tập, ỷ lại, nhờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Trước đưa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải tốn hình có lời giải vẽ thêm đường phụ học sinh sau: - Đối tượng điều tra lần 1: Học sinh lớp 8A, năm học 2018-2019 - Tổng số học sinh điều tra: 25 em - Thống kê điều tra sau: - Số học sinh nắm sơ lược loại đường phụ thường sử dụng giải Tốn THCS có: em chiếm tỉ lệ % - Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải tốn THCS có: em chiếm tỉ lệ 4% - Số học sinh dựng đường kẻ phụ hợp lý giải số tốn chương trình tốn lớp gồm có: em chiếm tỉ lệ 4% - Số học sinh lúng túng, chưa giải tốn hình học có vẽ thêm đường phụ giải Tốn THCS có: 20 em chiếm tỉ lệ 80 % - Số học sinh thành thạo dạng tốn, có kỹ tốt giải tốn tương đối khó: em chiếm tỉ lệ 4% 2.2 Các giải pháp 2.2.1 Các yêu cầu vẽ đường phụ a) Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, mày mị dự đốn theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho tốn kết luận phải tìm Do khơng vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đốn) đường phụ khơng skkn giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vẽ đường phụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn khơng?" Nếu "không" nên loại bỏ b) Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định c) Lựa chọn cách dựng đường phụ thích hợp: Đường phụ thường thỏa mãn tính chất đó, việc lựa chọn đường phụ quan trọng Tuy đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác d) Các kĩ thuật vẽ thêm đường phụ : * Kĩ thuật 1 : Điểm * Kĩ thuật 2 : Đường thẳng, đoạn thẳng + Vẽ thêm đường vng góc + Vẽ thêm đường song song + Vẽ thêm tia phân giác góc + Vẽ thêm đường kính đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến đường tròn + Vẽ thêm tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc + Vẽ thêm dây chung hai đường tròn cắt * Kĩ thuật 3: Tam giác vng cân, tam giác đều, hình bình hành, đường trịn + Vẽ thêm tam giác vng cân, tam giác + Vẽ thêm hình bình hành + Vẽ thêm đường trịn * Kĩ thuật 4 : Hình 2.2.2 Các sở để xác định đường phụ: Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vẽ đường ? vẽ từ đâu ? - Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải tốn skkn - Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán - Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng - Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải tốn 2.2.3 Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đường phụ: 2.2.3.1 Dựa vào toán biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất học, học sinh nghiên cứu giả thiết kết luận tốn, tìm điểm tương đồng từ vẽ đường phụ thích hợp để đưa tốn cần giải tốn quen thuộc Ví dụ1: Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam giác A E ABC B CMR: CE = CD Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ Phân tích: C M D Từ kết luận tốn gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đơi đoạn thẳng chuyển tốn chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE = CM CE = DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh EBC =  MBC ta có CE = CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh  EBC =  MBC, hai tam giác theo trường hợp c.g.c skkn Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đưa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm CD, em cho biết CE CM cạnh tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ chứng minh điều gì? - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? 2.2.3.2 Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với trường hợp (dạng này) thường toán chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến tam giác, tam giác cân có đường cao đồng thời đường trung tuyến Ví dụ 2: Bài tốn: Cho hình chữ nhật E B ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N C I K điểm đường chéo AC cho M F  BNM  900 Gọi F điểm đối xứng A qua N N, chứng minh:FB  AC A D Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ gợi ý chứng minh Phân tích:  Ta thấy BFC góc BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng góc    tam giác 180O có FBC  BCF  BFC  1800 , ta chưa thể tính    FBC độ nên suy số đo góc BFC  BCF Vậy khơng thể vận dụng định lý để chứng minh - Nhưng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vng trung điểm đoạn thẳng, ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh tốn cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hướng dẫn em tự đặt câu hỏi Liệu BF có đường cao  BNC khơng? skkn Để chứng minh BF đường cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm BNC Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE  BC E Gọi giao điểm NE với BF I Ta suy chứng minh CI // MN suy CI vng góc với BN (Vì MNBN) tức CI đường cao  BNC Vậy I trực tâm  BNC (Vì I  NE  CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF  AC Tóm lại việc kể thêm NE BC E nhằm tạo điểm I  NE  BF để chứng minh I trực tâm  BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tự giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi như: - Để chứng minh BF vng góc với AC ta chứng minh BF đường  BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm BCN ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đường phụ để có điểm giao BF với đường cao  BNC? - Với NE đường cao  BNC NE  BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dụ 3: Cho  ABC M điểm tam giác Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây tốn tương đối khó với học sinh Sau tìm nhiều cách chứng minh khơng có kết Ta ý đến giả thiết toán cho ta yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đợi định lý Talet skkn - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’, BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? - Điểm P Q giao KH với AB AC A B' C' P M K H B Q C A' Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Theo định lý Talét MH CA' MQ BC MP BA'  ;  ;  MP CB MK BA' MQ CA'  MH MQ MP CA' CB BA'  MP MK MQ CB BA' CA'  MH   MH  MK MK 2.2.3.3 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ Ví dụ 4: Cho  ABC có A  B Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB Hướng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta cơng thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago cơng thức gần với cơng thức này, GV cần hướng dẫn học sinh loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago khơng tạo góc vng có liên quan đến độ dài ba cạnh - Ngoài định lý Pitago cịn cách khác khơng? Câu trả lời mong đợi định lý ta lét tam giác đồng dạng skkn - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng BC  AC  AC AB  BC  AC  AC  AB  Đến GV yêu cầu học sinh đưa toán quen thuộc việc chứng minh hệ thức ab= cd dựa vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC - Từ học sinh đưa hai cách vẽ đường phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh để vận dụng giả thiết A  B ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D Giải: A Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi  ABC cân A nên:  BAC  ABD  ADB B C 1   ABC  BAC Xét  ABC  BDC có: BDC  chung nên  ABC đồng dạng với  BDC (g.g) C  BC AC   BC  AC.CD  AC ( AC  AD )  AC ( AC  AB )  AC  AC AB CD BC Như việc dạy cho học sinh biết cách giải tốn mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng tốn đưa vào gợi mở học sinh tìm lời giải cho toán cụ thể Trong q trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải toán hình học 2.2.4 Một số tập hướng dẫn học sinh giải tiết ngoại khóa Bài tốn 1: Cho ABC (AB = AC) Gọi AH đường cao tam giác, BD  phân giác ABC Biết A=108 Chứng minh BD = AH skkn A D B H C a) Hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ: Để vẽ thêm đường phụ trước hết ta cần phân tích cặn kẽ đề để xem phải vẽ đường phụ vẽ thêm đường phụ ? Xuất phát từ kết luận BD = 2AH, để chứng minh BD = 2AH BD AH khơng nằm đường thẳng, khơng có quan hệ đường trung bình cạnh thứ ba, chưa có đoạn thẳng BD để chứng minh đoạn thẳng AH, chưa có đoạn thẳng 2AH để chứng minh đoạn thẳng BD, nên suy BD = 2AH mà không tạo đường phụ (đường vẽ thêm) Vấn đề đặt phải vẽ thêm đường phụ để đạt mục đích chứng minh BD = 2AH Đến phần lớn học sinh suy luận theo hai hướng: - Tạo đoạn thẳng 2AH chứng minh đoạn thẳng BD - Tạo đoạn thẳng BD chứng minh đoạn thẳng AH * Giả sử ta theo hướng thứ nhất: Tạo đoạn thẳng 2AH chứng minh đoạn thẳng BD Đến lại nảy sinh vấn đề tạo đoạn thẳng cho có lợi, để liên hệ giả thiết với Nhận thấy ABC cân A nên đường cao AH trung tuyến phân giác Sử dụng kết AH trung tuyến ABC có học sinh tạo đoạn thẳng sau: e Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC Nối EB dễ thấy BE = 2AH A D skkn B H C Ta cần chứng minh BD = BE, điều khơng khó khăn Thật ta có AH // BE (tính chất đường trung bình) 108    CAH   540  1  EAB Mặt khác ABC cân A nên : 0  C   180  108  360 B 36    DBC  360   540   Xét BDC có ADB  DCB Từ (1) (2) suy BDE cân B  BD = BE Do BD = 2AH (đpcm) * Giả sử ta theo hướng thứ hai: Tạo đoạn thẳng BD chứng minh đoạn thẳng AH - Vấn đề tạo đoạn thẳng cho có lợi ? Vì có nhiều cách tạo đoạn thẳng tam giác BD lấy trung điểm BD; tạo đường trung bình BD Căn vào giả thiết AH trung tuyến ABC, việc tạo đường trung bình BDC có lợi sử dụng trung điểm H BC - Do đường phụ tạo sau: Gọi E trung điểm DC Khi HE đường trung bình DBC  HE = BD A D e B H C Việc chứng minh HE = HA khơng khó khăn, ta cần  HAE  AEH  540 xong (việc dành cho học sinh tự chứng minh) skkn b) Nhận xét: - Khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo nên kết hợp thêm phương pháp phân tích lên - Người giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ cách vẽ hình cho học sinh mà nên gợi ý, tạo tình có vấn đề để học sinh tự giải nhằm phát huy tính sáng tạo lực suy diễn học sinh Đơi có đường phụ lời giải mà học sinh tự nghĩ định hướng giáo viên lại lời giải hay làm cho giáo viên bất ngờ thán phục Bài toán 2: Cho M điểm nằm hai điểm A B Trên mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, ta dựng tam giác AMC BMD Gọi E F trung điểm AD BC Chứng minh: EF = CD a/ Nhận xét: * Kết luận toán dạng với kết luận toán Nhìn từ góc độ vẽ thêm đường phụ hai toán dạng với giáo viên cần hướng dẫn toán 1, tức có hướng vẽ thêm hình: - Tạo đoạn thẳng CD chứng minh đoạn EF - Tạo đoạn thẳng 2EF chứng minh đoạn CD * Vẽ thêm sau: Gọi I, K trung điểm MC, MD Gọi G trung điểm AB Dễ thấy IK = CD cần chứng minh: IK = EF Điều suy từ  GEF =  MKI ( c.g.c) Do EF = CD (đpcm) D C K E F I A skkn G M B b/ Một số cách vẽ thêm đường phụ toán 2: - Sau giảng lại tốn cho học sinh, tơi gợi ý em chứng minh theo hướng: + Hướng thứ nhất: Tạo đoạn thẳng CD chứng minh đoạn thẳng EF + Hướng thứ hai: Tạo đoạn thẳng 2EF chứng minh đoạn CD - Kết thật bất ngờ: Ngồi cách giải trên, học sinh cịn có nhiều cách vẽ thêm hình khác lời giải tương đối ngắn gọn, tóm tắt cách giải sau: Cách 1: Gọi I, K, H trung điểm AC, AM, AB Dễ thấy IE = D CD C E Ta cần chứng minh: IEK = FEH (c.g.c)  EF = IE  EF = F I CD (đpcm) A M K B H Cách 2: Tương tự cách lấy trung điểm đoạn thẳng BD, MB, BA Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song D với MD cắt AF kéo dài I C Dễ ràng chứng minh DI = EF E F MCD = BID (c.g.c)  DI = CD, EF = I CD (đpcm) skkn A M B Cách 4: Tương tự cách kẻ đường thẳng từ A song song với BD cắt BE kéo dài N Cách 5: Kéo dài DF phía F đoạn FI D = FD Nối AI có AI = 2EF Ta C E cần chứng minh AI = CD Thật ta F thấy CM // BD; CI // BD  C, M, I A thẳng hàng ta lại có ACI = CMD B M I (c.g.c)  AI = CD Do EF = CD c) Kết luận: - Qua toán ta thấy sức sáng tạo học sinh lớn , nói khơng phải giáo viên tốn nghĩ cách vẽ thêm đường phụ - Không thể phủ nhận sức sáng tạo khả suy luận học sinh Vì muốn trao đổi hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, giáo viên không nên áp đặt suy nghĩ cho học sinh mà giáo viên nên hướng dẫn, định hướng để học sinh tự tìm rả cách vẽ đường phụ chứng minh toán Bài toán 3: Trên hai cạnh AB, AC ABC lấy hai điểm D E cho BD = CE, kéo dài DE cắt BC F Chứng minh AB FE  AC FD a) Nhận xét: A Không thể chứng minh trực tiếp D AB FE  khơng phải AC FD cạnh tương ứng hai tam giác đồng E F B C dạng, khơng thể dung tính chất đường phân giác để suy Do đo để chứng minh AB FE  ta phải dùng tỉ số trung gian để biến đổi AC FD skkn AB ? Hãy liệt kê tỉ số ? AC Vấn đề đặt tỉ số Nhưng hình vẽ khơng có tỉ số AB FE Do phải vẽ AC FD thêm đường phụ Đường phụ vẽ thêm cần phải đạt mục đích: - Vận dụng giả thiết toán - Biến đổi tỉ số AB FE AC FD Do đường phụ vẽ thêm phải đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước b) Một số hướng vẽ đường phụ: A Cách : (Hình 1) Từ D kẻ đường thẳng song song D E với AC cắt BC M, ta có: F B AB DB EC FE    AC DM DM FD C (H×nh 1) M A Cách : (Hình 2) N D Từ D kẻ đường thẳng song song với E BC cắt AC N, ta có: F B AB DB EC FE    AC NC NC FD C (H×nh 2) Cách : (Hình 3) A Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC K, ta có: AB EK EK FE    AC EC BD FD D E F B (H×nh 3) K C A Cách : (Hình 4) D E i F B skkn (H×nh 4) C Từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB I, ta có: AB IB IB FE    AC EC BD FD c) Kết luận: Chỉ thông qua số định hướng nhỏ học sinh tự tìm cách vẽ thêm đường phụ 2.2.5 Một số tập luyện tập tăng cường nhà Bài 1: Cho ABC (AB = AC), cạnh AB lấy điểm D, phần kéo dài cạnh AC lấy điểm E cho BD = CE Gọi F giao điểm DE BC Chứng minh: DF = FE Bài 2: Cho ABC, hai đường cao AK BD cắt H Gọi E, F trung điểm BC AC Đường trung trực BC AC cắt O Chứng minh AH = 2OE Bài 3: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Gọi E, F trung điểm BC AD Kéo dài BA, CD, EF cắt M, N P Chứng minh   PMN  PNM Bài 4: Cho ABC cân A Có AM trung tuyến, kẻ AH  AC, gọi O trung điểm MH Chứng minh: AO  BH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Chứng minh AM AN chia hình bình hành thành ba phần Bài 6: Cho ABC có BM CN trung tuyến, G trọng tâm Gọi E, F trung điểm GB GC Chứng minh tứ giác MNEF hình bình hành Bài 7: Cho ABC có AC = 2AB Kẻ phân giác AD Chứng minh DC = 2DB Bài 8: Cho ABC, trung tuyến BM Gọi I trung điểm BM Điểm D thuộc cạnh AB cho BD = DA Chứng minh D, I, C ba điểm thẳng hàng Bài 9: Cho ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi M  trung điểm BC Biết BIM  900 BI = 2IM  a) Tính BAC skkn ... vẽ thêm hình phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình Vẽ thêm hình phụ nhằm giúp vấn đề sau: Giúp giải số tốn hình học mà khơng vẽ thêm hình phụ bế tắc Trình bày lời giải số tốn hình học. .. xác định đường phụ: Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vẽ đường ? vẽ từ đâu ? - Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán skkn - Kẻ thêm đường phụ để tạo... việc vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học Tùy tốn cụ thể mà có cách vẽ thêm hình phụ hợp lý để đến với lời giải tốn Sự xuất hình phụ thổi hồn vào toán mà hẳn có lần lúng túng, chật vật trước tốn hình