Skkn hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài toán giới hạn trong toán 11

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 11, các em học sinh đã được tiếp cận với giới hạn dãy số giới hạn hàm số cũng cách giải Tuy nhiên thực tế các bài toán tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số rất phong phú và đa dạng Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng – Trung cấp chuyên nghiệp các em sẽ gặp một lớp các bài toán về giới hạn dãy số giới hạn hàm số mà có không ít các em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có q trình tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số dẫn đến kết sai Trong q trình dạy học mơn tốn THPT tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số Hầu hết em không phân biệt dạng giới hạn dãy số giới hạn hàm số Điều vô quan trọng dạng lại có cách giải khác nhau, không phân biệt rõ dẫn đến giải sai cho kết sai Để giúp học sinh hiểu tính giới hạn dãy số giới hạn hàm số tốt nghĩ phải có biện pháp giúp học sinh hiểu tường tận vấn đề từ hiểu sâu tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số cách nhanh chóng dễ dàng mà khơng phạm phải sai lầm đáng tiếc Là giáo viên trăn trở với vấn đề này, tơi ln có suy nghĩ làm để làm cho học sinh hiểu tường tận cặn kẽ giới hạn dãy số giới hạn hàm số Vì lúc tơi cố gắng tìm tịi biện pháp giúp học sinh hiểu dạng tốn tìm giới hạn dãy số giới hạn hàm số đơn giản dễ hiểu nhằm giúp học sinh có hứng thú từ học nội dung giới hạn tốt Qua tìm hiểu tơi nhận thấy: “Hệ thống tập giới hạn” giúp cho học sinh có cách nhìn giới hạn Giúp học sinh hiểu sâu giới hạn từ giải tốn tìm giới hạn cách nhanh chóng, khơng cách trình bày cịn gọn gàng hơn, chặt chẽ, dễ hiểu hơn, khơng tính sai kết Đây sai lầm mà học sinh thường dễ gặp phải, làm điểm học sinh trình làm thi Trong qúa trình tìm hiểu nguồn thơng tin mạng tơi thấy có nhiều thầy giáo nhiều suy nghĩ vấn đề thông qua nhiều đề tài liên quan đến giới hạn với nhiều cách tiếp cận khác nhau, cách đề cập đến vấn đề khác Tên số đề tài sáng kiến kinh nghiệm biết: Phương pháp giải tập giới hạn hàm số lớp 11; Một số sai lầm thường gặp phương pháp tìm giới hạn; Với đề tài tác giả đề cập đến đối tượng nghiên cứu học sinh hệ THPT Còn với đối tượng học sinh hệ GDNN - GDTX với ý thức tổ chức kỷ luật yếu, học lực yếu việc áp dụng sáng skkn kiến học sinh khó thân học sinh có trình độ mơn văn hóa thường yếu, ý thức lại chưa cao, lại độ tuổi ham chơi Vì để em tiếp thu tốt nội dung học ghi nhớ học từ vận dụng tốt vào việc giải tập, thấy việc phải có phương pháp phù hợp lựa chọn nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh Vì trình giảng dạy đại số 11 “Hệ thống tập giới hạn” từ học sinh tiếp cận với nội dung kiến thức giới hạn cách đơn giản nhất, dễ hiểu để làm dạng tập chương nhằm tạo hứng thú học tập từ đạt kết học tập tốt góp phần đạt thành tích cao năm học Tôi nhận thấy việc “Hệ thống tập giới hạn” giúp em tiến hơn, có ý thức từ tiếp thu học dễ dàng hơn, phù hợp với đối tượng học sinh hệ GDTX Tên sáng kiến “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” Tác giả sáng kiến - Họ tên: LÊ THỊ MINH LÝ - Địa tác giả sáng kiến: Trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương - Số điện thoại: 0987357077 E_mail: lethi.minhly2@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến - Họ tên: LÊ THỊ MINH LÝ giáo viên trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào học đại số lớp 10a 1, 10a2 trung tâm GDNN – GDTX Tam Dương Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Ngày 10/3/2020 Mô tả chất sáng kiến: A Lý chọn đề tài: Giới hạn nội dung quan trọng toán giải tích 11, 12 mơn học khác vật lí dựa kiến thức giới hạn người ta xây dựng kiến thức khác tính liên tục hàm số, đạo hàm tích phân, vật lí giới hạn tham gia giải toán chuyển động Tuy nhiên sau học xong chương giới hạn tốn 11 khơng có nhiều học sinh hiểu giải tốt toán giới hạn Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải sai sót trình bày lí luận Theo tơi nhận thấy học sinh hệ thống tập với lí thuyết đơi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng học sinh Bài tập đưa mục trước có liên hệ để hình thành kiến thức mục sau Do hiệu hệ thống tập sách giáo khoa chưa skkn cao Vì tơi nghiên cứu tập giới hạn Bắt đầu từ lí thuyết tốn Tơi sử dụng phương pháp so sánh, phương pháp tổng hợp từ hệ thống xếp phân thành dạng có phương pháp giải đơn giản cụ thể nhằm hạn chế khó khăn học sinh học chương giới hạn Chính tầm quan trọng thực tế khó khăn học sinh nên định chọn đề tài: “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” B Nội dung đề tài: PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ: I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Dãy số có giới hạn 0: 1.1 Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) có giới hạn với mổi số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Kí hiệu: hoặc 1.2 Một vài giới hạn đặc biệt =0 (k ) ; =0(k ) ; Định lí: Cho hai dãy số (un) (vn).Nếu |un| lim un=0 Dãy số có giới hạn hữu hạn 2.1 Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L Kí hiệu: hoặc 2.2 Một vài giới hạn đặc biệt 2.3 Một số định lý Định lý 1: Giả sử lim(un)=L a) b) Nếu un với n L Định lý 2: Nếu lim(un)=L , lim(vn)=M thì : a) skkn =0( ) với n lim vn=0 b) c) 2.4 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q ,với : Dãy số có giới hạn vơ cực: 3.1 Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn với mổi số dương bất kỳ, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Kí hiệu: lim(un)= hay limun= hay un Ta nói dãy số (un) có giới hạn với mổi số âm bất kỳ, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số dương Kí hiệu: lim(un)= hay limun= hay un 3.2 Một vài giới hạn đặc biệt limnk= (k ) lim = (k ) 3.3 Định lý: Tính chất 1: Nếu cho bảng sau: + + + + – – – + – – – + Tính chất 2: Nếu cho bảng sau: L + + + skkn + – – – + – – – + Tính chất 3: Nếu , trở kể từ số hạng cho bảng sau: L + + + + – – – + – – – + II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Giới hạn dãy số (un) với với P, Q đa thức: 1.1 Nếu bậc P = bậc Q , hệ số n có số mũ cao P a0, hệ số n có số mũ cao Q b0 chia tử mẫu cho n với số mũ lớn đến kết quả: 1.2 Nếu bậc P nhỏ bậc Q , chia tử mẫu cho n với số mũ lớn đến kết : lim(un) = 1.3 Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử mẫu cho n với số mũ lớn đến kết : lim(un)= Giới hạn dãy số dạng: , f g biển thức chứa 2.1 Rút nk đơn giản đến kết với k chọn thích hợp 2.2 Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp Ghi chú: Những cách biến đổi không skkn giải nhiên đa số chương trình có đặc điểm giải III CÁC VÍ DỤ: Bài Dự đốn giới hạn dãy số (un)và kết dự đốn qua vài kiểm chứng cụ thể a) un= b) un= giải a) Dự đoán Kiểm chứng: với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 11 số hạng dãy số có |un|< với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 101 số hạng dãy số có |un|< b) Dự đoán Kiểm chứng: với số dương ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 số hạng dãy số có |un|< ta thấy kể từ số hạng thứ 9993+1 số hạng dãy số với số dương có |un|< Bài Dãy số (un) có giới hạn hay khơng? Vì sao? a) un= +1 b) un= giải a) skkn Vì với số dương ta thấy số hạng dãy số có |un|> b) Vì với số dương ta thấy số hạng dãy số có |un|> Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học định nghĩa dãy số có giới hạn 0, giúp học sinh nắm hiểu rõ định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy số dãy số đặc biệt có giới hạn Bài Xác định giới hạn dãy số sau? a) b) d) c) e) f) Giải a) b) dãy số có dạng un= nên có giới hạn c) d) dãy số có dạng un= e) f) dãy số có dạng un= nên có giới hạn với |q|1000 với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 số hạng dãy số có un>1000000 b) Dự đốn Kiểm chứng: Với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 số hạng dãy số có un1 nên có giới hạn Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học vài dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt, giúp học sinh nắm ghi nhớ dãy số có giới hạn vơ cực đặc biệt Bài Tìm giới hạn dãy số sau a) d) b) c) e) skkn Giải a) b) c) d) e) Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học tính chất giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ nắm cách vận dụng tính chất Bài 10 Tìm giới hạn dãy số sau a) b) c) d) e) f) Giải a) b) 10 skkn (L, M  R) Định lí 1: Giả sử a) b) c) d) Đặc biệt, (M  ) Định lí 2: Giả sử a) b) c) Nếu , J khoảng chứa 3.2 Một số định lí giới hạn vơ cực Định lí: Nếu Qui tắc 1: Nếu thì: L + + + + – – – + – – – + 13 skkn , Qui tắc 2: Nếu , J khoảng chứa với thì: L g(x) + + + + – – – + – – – + II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN: Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp dạng sau: Giới hạn hàm số dạng: Nếu f(x) , g(x) hàm đa thức phân tích thừa số Nếu f(x) , g(x) biểu thức chứa nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Sau rút gọn tử, mẩu Giới hạn hàm số dạng: Chia tử mẫu cho xk với k số mũ lớn x Chú ý: Nếu coi x>0, vào khỏi bậc chẵn coi x0 với n suy ta có f(xn)= limf(xn)= + Vậy d) Xét hàm số f(x)= Với dãy số (xn) , xn với n limxn=- , ta có limf(xn)=0 Vậy Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học định nghĩa giới hạn hàm số, giúp học sinh nắm hiểu rõ định nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy mối liên hệ tính chất hàm số tính chất dãy số Bài Xác định giới hạn dãy số sau? a) e) b) c) c) d) d) e) Giải a) e) b) c) d) f) g) 15 skkn h) Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học vài hàm số có giới hạn đặc biệt, giúp học sinh nắm ghi nhớ hàm số có giới hạn đặc biệt Bài Tìm giới hạn hàm số sau a) b) c) Giải a) b) c) Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau học tính chất giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ nắm cách vận dụng tính chất Bài Tìm giới hạn hàm số sau a) b) c) d) e) f) g) h) Giải a) dạng Chia tử mẫu cho (x-2) b) dạng c) dạng 16 skkn d) dạng e) dạng f) dạng g) dạng h) dạng Lưu ý: Nhóm tập ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn dãy số gặp trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn cho học sinh ghi nhớ cách biến đổi thường dung cho dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Tính gới hạn Bài 1: (Tính trực tiếp) a d b ; Bài 2: (Tính giới hạn dạng c e hàm phân thức đại số) 17 skkn Bài 3: (Tìm giới hạn dạng hàm phân thức đại số chứa thức bậc hai) Bài 4: (Tìm giới hạn dạng bậc cao) hàm phân thức đại số chứa thức bậc ba Bài 5: (Tính giới hạn dạng hàm số ) Bài 6: (Tính giới hạn dạng hàm số) Bài 7: (Giới hạn bên) Bài 8: (Tính giới hạn dạng hàm số) 18 skkn Bài 9: Cho hàm số Tìm (nếu có) Bài 10: Cho hàm số Tìm (nếu có) PHẦN III: HÀM SỐ LIÊN TỤC I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Hàm số liên tục 1.1 Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định gọi liên tục điểm Hàm số không liên tục Hàm số f nếu: đgl gián đoạn 1.2 Định nghĩa: a) Gỉa sử hàm số f xác định tập J, J khoảng hợp nhiều khoảng Ta nói hàm số f liên tục J liên tục điểm thuộc J b) Hàm số f xác định đoạn liên tục khoảng gọi liên tục đoạn và: , Chú ý: Tính liên tục hàm số nửa khoảng định nghĩa tương tự , , , Tính chất hàm số liên tục Định lí: Giả sử hàm số f liên tục đoạn Nếu , tồn điểm cho Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đường thẳng cắt đồ thị hàm số 19 skkn với số M nằm M nằm điểm có hoành độ Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục điểm cho tồn Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ đồ thị hàm II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Hàm số liên tục điểm: Để xét tính liên tục hàm số y=f(x) điểm xo ta thực bước sau: - Tính f(x0) - Tính ( nhiều trường hợp ta cần tính , ) - So sánh - Rút kết luận Hàm số liên tục khoảng: y=f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Để xét tính liên tục hàm số y=f(x) khoảng ta thực sau: * Xét * Xét - Tính f(x0) - Tính ( nhiều trường hợp ta cần tính , ) - So sánh - Rút kết luận * Kết luận chung hàm số có liên tục khoảng hay hay khơng Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm: Để chứng minh phương trình có nghiệm khoảng (a,b) ta làm sau : - Đặt y = f(x)  hàm số liên tục (a;b) - Tính f(a), f(b)  f(a) f(b)1,|x−1|=¿ {x−1, nêu x≥1¿¿¿¿ Vậy f(x) liên tục x0=1 Bài Cho hàm số Giá trị a để hàm số liên tục x0=0 Bài giải Ta có f(0)=2a+1 x −2 x =Lim ( x−2 ) =−2 x x→ x→ Limf ( x )= Lim x →0 Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 Limf ( x )=f ( )⇔2 a+1=−2⇒ a=− x →0 Bài Cho hàm số Giá trị a để hàm số liên tục x0=4 Bài giải 21 skkn Ta có f(4)=2a+1 ( x+ )( x−4 ) x −16 =Lim = Lim ( x +4 ) =4 +4=8 x−4 x →4 x−4 x →4 x →4 Lim f ( x )= Lim x→ Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 Lim f ( x )=f ( )⇔ a+1=8 ⇒ a= x→ Bài Cho hàm số Giá trị a để hàm số liên tục x0=-1 Bài giải Ta có f(1)=a+1 ( x +1 ) ( x−2 ) x −x−2 = Lim = Lim ( x−2 ) =−1−2=−3 x +1 x →−1 x +1 x→−1 x→−1 Lim f ( x )= Lim x→−1 Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 Lim f ( x )=f (−1)⇔ a+1=−3⇒ a=−4 x →-1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: xét tính liên tục hàm số điểm ra: 22 skkn Bài 2: xét tính liên tục hàm số x0=1 Bài 3: xét tính liên tục hàm số x=0và x=3 Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục x=0 Bài 5: Cho hàm số a) Tìm a để hàm số liển tục trái x=1; b) Tìm a để hàm số liển tục phải x=1; c) Tìm a để hàm số liển tục Bài 6: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định 23 skkn Bài 7: Xét tính liên tục hàm số R Phần IV: Kết luận: Giới hạn nội dung quan trọng chương trình đại số lớp 11 khơng giới hạn chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm Theo nhận thấy tốn có liên quan đến phần giới hạn giảng dạy giáo viên cần: - Nhắc lại công thức học - Nêu lại định nghĩa giới hạn đặc biệt - Nêu lại phương pháp giải dạng toán Trên vài ngiên cứu việc áp dụng “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn tốn 11” Tơi nghiên cứu áp dụng vào thực tế giảng dạy lớp 11a 1, 11a2 , 11a3 trung tâm GDNN - GDTX Tam Dương Trước áp dụng ngiên cứu cho học sinh làm kiểm tra kết sau: Lớp Sĩ số 11a Điểm Điểm đến Điểm đến Điểm đến 10 SL % SL % SL % SL % 38 18 47,4 14 36,8 15,8 0 11a 40 23 57,5 12 30 12,5 0 11a 39 20 51,3 14 35,9 12,8 0 Sau áp dụng “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” vào giảng tiếp tục kiểm tra kết sau: Điểm Điểm đến Điểm đến Điểm đến 10 SL % SL % SL % SL % Lớp Sĩ số 11a 38 10 26,3 17 44,7 10 26,3 2,7 11a 40 12 30 19 47,5 22,5 0 24 skkn 11a 39 10 25,6 18 46,2 11 28,2 0 Kết cho thấy tác động việc áp dụng “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” vào nội dung học giúp em học sinh tiếp thu nhanh chóng hiểu sâu giới hạn Nâng cao trình độ tư tốn học, gây niềm say mê học tốn Từ tránh số sai lầm không nhận diện dạng tập Điều cho thấy người thầy cần phải có tư tìm tịi biện pháp phù hợp với đối tượng học sinh, giúp học sinh tiếp cận kiến thức dễ dàng Đây động lực để tơi tiếp tục tìm tịi biện pháp sáng tạo để làm dạy sinh động hơn, dễ hiểu giúp cho học sinh hiểu nắm bắt học cách dễ dàng hơn, sâu Đề tài SKKN đề cập đến khía cạnh tổng hợp dạng tập giới hạn nhằm giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức giới hạn từ làm tốt tập Hy vọng qua đề tài SKKN giúp ích cho nhiều học sinh việc học tập nội dung chương IV: Giới hạn, hiểu sâu làm cho việc nghiên cứu sang lĩnh vực khác Trong q trình trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót, mong quan tâm đóng góp ý kiến thầy giáo bạn đọc để đề tài hoàn thiện Về khả áp dụng sáng kiến: Việc áp dụng “Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11” giúp học sinh đạt kết tốt việc tiếp thu kiến thức giới hạn Cách làm áp dụng cho tất lớp học sinh trường THPT, GDTX Những thông tin cần bảo mật Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến Điều kiện sở vật chất trường học bình thường áp dụng phương pháp 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh có hứng thú học hơn, tích cực làm tập 25 skkn 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực Lớp 11a1 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục Lớp 11a2 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục Lớp 11a3 Trung tâm GDNN –GDTX Tam Dương Giáo dục áp dụng sáng kiến Tam Dương, ngày tháng năm 2019 Tam Dương, ngày 12 tháng 4năm.2020 Thủ trưởng đơn vị/ Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương Lê Thị Minh Lý 26 skkn 27 skkn ... dung cho dạng BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Tính giới hạn sau: Bài Tính giới hạn: 11 skkn PHẦN II GIỚI HẠN HÀM SỐ: I KIẾN THỨC CƠ BẢN: Định nghĩa giới hạn hàm số: 1.1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm:... skkn 11a 39 10 25,6 18 46,2 11 28,2 0 Kết cho thấy tác động việc áp dụng ? ?Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11? ?? vào nội dung học giúp em học sinh tiếp thu nhanh chóng hiểu sâu giới. .. khả áp dụng sáng kiến: Việc áp dụng ? ?Hệ thống tập giúp làm quen giải toán giới hạn toán 11? ?? giúp học sinh đạt kết tốt việc tiếp thu kiến thức giới hạn Cách làm áp dụng cho tất lớp học sinh trường