Skkn hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh

MỤC LỤC Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày áp dụng sáng kiến Mô tả sáng kiến .1 A Về nội dung sáng kiến: I Cơ sở lí luận II Thực trạng vấn đề III Các phương pháp tiến hành để giải vấn đề 1.1 Bài toán 1.2 Các toán tương tự 2.1 Bài toán 2.2 Các toán tương tự 17 3.1 Phương pháp lượng giác hóa số toán hệ hoán vị 18 3.2 Các toán tương tự 22 B Về khả áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22 Những thông tin cần bảo mật 22 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 22 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả .22 11 Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu .23 skkn BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Hệ phương trình nói chung hệ hốn vị nói riêng thường xuyên có mặt nhiều đề thi HSG cấp Nhìn chung tư tưởng tương đối đơn giản, phần nhiều sử dụng tính đơn điệu hàm số số tốn sử dụng đánh giá tính vịng quanh hàm lượng giác Tuy nhiên biết sử dụng tính đơn điệu việc giải triệt để toán gây cho ta nhiều khó khăn (từ việc chọn hàm, chặn điều kiện biến khoảng đơn điệu,…) Nhằm giúp em có nhìn hướng tiếp cận đến loại hệ có tính hốn vị vịng quanh nên đề tài cố gắng hệ thống cách chi tiết kĩ thuật để tiếp cận hệ có dạng hốn vị Đề tài giảng dạy cho em đội tuyển thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017-2018 Tên sáng kiến : HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ VỊNG QUANH Tác giả sáng kiến : Họ tên :Phạm Thị Việt Anh Địa :trường THPT Nguyễn Viết Xuân, Đại Đồng- Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Số điện thoại : 01674122559 Email: phamthivietanh.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.vn 4.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: mơn tốn Ngày áp dụng sáng kiến : từ tháng 9/2018 đến tháng 25/1/2019 Mô tả sáng kiến: A Về nội dung sáng kiến: I Cơ sở lí luận Các toán tổng quát Bài toán 1: Xét hệ phương trình  f  x1   g x2    f  x2   g x3     f  x   g x  n1 n   f  xn   g x1  (I) skkn Nếu hai hàm số f g tăng tập A  x1, x2 , xn  nghiệm hệ phương trình , xi  A, i  1,2, , n x1  x2   xn Chứng minh : Khơng tính tổng quát giả sử : x1  min x1, x2 , xn Khi : x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3  xn  x1 Từ suy ra: x1  x2   xn  x1 Vậy x1  x2   xn Bài tốn 2: Xét hệ phương trình  f  x1   g x2    f  x2   g x3     f  x   g x  n1 n   f  xn   g x1  (I) Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A  x1, x2 , xn  nghiệm hệ phương trình , xi  A, i  1,2, , n Khi Với n lẻ, ta có x1  x2   xn Với n chẵn, ta có (Khi hệ trở thành hệ đối xứng loại 2) Chứng minh Khơng tính tổng qt giả sử : x1  min x1, x2 , xn Khi ta có : x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3  xn  x1  f  xn   f  x1   x1  x2  x1  x2 Từ suy : x1  x2   xn Khơng tính tổng qt giả sử :  f  xn1   f  x1   g xn   g x2   xn  x2 skkn x1  min x1, x2 , xn Lúc ta có Vậy : II.Thực trạng vấn đề: Với toán giải hệ phương trình đề thi học sinh giỏi cấp có nhiều hướng tiếp cận.Tuy nhiên số loại hệ có tính hốn vị vịng quanh đa số học sinh thầy cô lúng túng chưa có hướng rõ ràng cụ thể nhiều gặp nhiều khó khăn với loại hệ mà khó tìm lời giải Việc học sinh học tính đơn điệu hàm số kiến thức liên quan đến hàm số nhiều chương trình tốn THPT.Vì việc áp dụng kiến thức liên quan đến hàm số, để giải tốn giải hệ phương trình gần gũi với học sinh Ở đề tài “ Hệ phương trình hốn vị vịng quanh” tơi lựa chọn số tốn hệ phương trình có liên quan đến tính hốn vị vịng quanh ẩn Từ rèn cho học sinh hướng tư cách vận dụng cách linh hoạt loại toán Giáo viên dạy đến chuyên đề có hướng cụ thể rõ ràng , học sinh thấy đỡ khó khăn gặp loại tốn từ phân tích dựa kiến thức học để sáng tạo tốn có nội dung tương tự Lời giải tự nhiên giúp em học sinh dễ hiểu dễ áp dụng Phương pháp sở để sáng tạo nhiều toán hay III.Các phương pháp tiến hành để giải vấn đề Các tốn áp dụng 1.1 BÀI TỐN 1: Xét hệ phương trình  f  x1   g x2    f  x2   g x3     f  x   g x  n1 n   f  xn   g x1  (I) Nếu hai hàm số f g tăng tập A  x1, x2 , xn  nghiệm hệ phương trình , xi  A, i  1,2, , n x1  x2   xn Chứng minh : Khơng tính tổng qt giả sử : x1  min x1, x2 , xn Khi : x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3  xn  x1 skkn Từ suy ra: x1  x2   xn  x1 Vậy x1  x2   xn Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau Lời giải: + Xét hàm phương trình Dễ thấy hàm hàm đồng biến + Khơng tính tổng qt giả sử : Ta hệ Khi ta có + Từ ta có phương trình: Vậy hệ có nghiệm nhất: Lời bình : Bài hệ xây dựng theo toán đơn giản để tạo toán dạng này, cần xuất phát từ phương trình bậc có nghiệm theo mong muốn tách làm hàm đồng biến Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau Lời giải + Biến đổi hệ cho trở thành skkn + Xét hàm: - hàm đồng biến + Khơng tính tổng qt, giả sử: Ta có hệ ta có Với Khi hệ cho trở thành Vậy hệ cho có nghiệm: Lời bình: + Về mặt hình thức khơng khác 1, nhiên hàm khơng đơn điệu miền cần xét ( ) nên toán khơng cịn hữu dụng + Ở ta tạo hàm đơn điệu toàn miền cần xét mà đảm bảo tính hốn vị vịng quanh hệ + Bài ta giải theo hướng sau: Cách 2: Cộng phương trình vế theo vế ta được: Nếu Khi Suy hệ vơ nghiệm Nếu Vậy tương tự: hệ vơ nghiệm nghiệm hệ cho Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Lời giải: + Hệ cho tương đương với skkn + Xét hàm: hàm đồng biến hàm , dễ thấy Ta có hệ: Dựa vào tốn ta có Từ ta có phương trình Vậy hệ cho có nghiệm Lời bình: + Ở dễ dàng để nhìn thấy hàm đặc trưng, nhiên cần ý dựa vào hệ cho để hạn chế miền nghiệm, điều có ích cho việc khảo sát tính đơn điệu Các tốn sau thường xuyên sử dụng đến kĩ thuật + Bài ta giải theo hướng sau: Cách 2: Tương tự cách ta khẳng định Hệ cho tương đương với Ta thấy nghiệm hệ Nếu tồn biến 2, giả sử Nếu nhân phương trình vế với vế ta Mặt khác: , , ta suy Vậy hệ có nghiệm Lời bình: skkn nên (1) xảy Với hầu hết hệ hoán vị xây dựng hàm đồng biến ngồi phương pháp dùng tốn ta sử dụng phương pháp cộng nhân kết hợp với việc đánh giá thích hợp cho lời giải tốn Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau (Olympic 30/4-LHP) Lời giải: + Xét hàm: Dễ thấy hàm hàm đồng biến + Giả sử , ta có hệ ta có Từ ta có: , thay vào hệ ta Vậy hệ có nghiệm Lời bình: + Với tốn rõ ràng tốn khơng cịn hữu dụng tính đơn điệu hàm đặc trưng VT hệ không miền với hàm đặc trưng VP Tuy nhiên, hàm đặc trưng VP đồng biến nên dựa vào tính hốn vị vịng biến mà ta đánh giá biến từ đưa nghiệm + Chú ý với hệ hốn vị vịng quanh khơng giả sử em hs dễ nhầm lẫn 1.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ : Bài 1: Giải hệ phương trình sau Bài 2: Giải hệ phương trình sau skkn , điều mà 2.1 BÀI TOÁN 2: Xét hệ phương trình  f  x1   g x2    f  x2   g x3     f  x   g x  n1 n   f  xn   g x1  (I) Nếu hàm số f giảm tập A , g tăng A  x1, x2 , xn  nghiệm hệ phương trình , xi  A, i  1,2, , n Khi Với n lẻ, ta có x1  x2   xn Với n chẵn, ta có (Khi hệ trở thành hệ đối xứng loại 2) Chứng minh Khơng tính tổng quát giả sử : x1  min x1, x2 , xn Khi ta có : x1  x2  f  x1   f  x2   g x2   g x3   x2  x3  xn  x1  f  xn   f  x1   x1  x2  x1  x2 Từ suy : x1  x2   xn Khơng tính tổng qt giả sử : x1  min x1, x2 , xn Lúc ta có  f  xn1   f  x1   g xn   g x2   xn  x2 Vậy : Ví dụ 5: Giải hệ phương trình (VMO 2006) Lời giải + ĐK: skkn + Hệ cho tương đương với + Dễ thấy hàm số nghịch biến + Giả sử thể giả sử đồng biến hàm số Ta có hệ nghiệm hệ cho Khơng tính tổng quát ta có Khi Từ suy , thay vào hệ ta có Như hệ cho có nghiệm dạng + Với thay vào hệ giải ta Vậy hệ cho có nghiệm Lời bình: Hệ toán trường hợp lẻ, việc phát hiện, giải hay tạo toán dạng tương đối dễ dàng Ví dụ 6: Giải hệ phương trình Phân tích + Hệ kết hợp toán toán trường hợp + Xét hàm: Nhận thấy: đồng biến trến (bài toán 1) nghịch biến trến (bài toán 2) skkn chẵn Việc cịn lại tìm cách chặn điều kiện biến khoảng đơn điệu, điều may mắn ngược lại Lời giải + Hệ cho tương đương với + Xét hàm: ta có hệ Vì nên ta có + Giả sử (do ) Tương tự: Khi hàm: đồng biến với Theo tốn ta có: Thay vào hệ ta có nghiệm: + Trường hợp , tồn để theo trường hợp (vơ lý) Suy ra: tốn với Khi nghịch biến với chẵn ta có: Hệ cho trở thành: 10 skkn Theo Vậy hệ cho có nghiệm: Lời giải Hệ cho tương đương với + Nếu + Nếu ta có: Mặt khác: Cộng phương trình vế theo vế ta Dấu “=” xảy Vậy hệ có nghiệm: Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau Phân tích: Xét hàm số: Dễ thấy: đồng biến đồng biến cịn nghịch biến Do khơng thỏa mãn toán toán Tuy nhiên ta hạn chế biến khoảng đơn điệu trường hợp toán toán Lời giải: Xét hàm số: 11 skkn Ta có hệ Giả sử Ta xét trường hợp sau + Trường hợp 1: Nếu biến Khi hàm , hệ cho trở thành toán ta thu nghiệm đồng + Trường hợp 2: Nếu Một cách tương tự ta Mà hàm thành tốn ta thu nghiệm đồng biến, hệ cho trở + Trường hợp 3: Nếu Mà hàm nghịch biến đồng biến , hệ cho trở thành toán trường hợp chẵn ta dễ dàng thu nghiệm Vậy hệ có nghiệm: 12 skkn Lời bình: Một tốn khó tiếp cận, nhiên ý tưởng lời giải rõ ràng Nhìn chung hệ dạng hốn vị, việc chặn điều kiện biến miền đơn điệu hàm đặc trưng nhân tố định để định hướng cách giải Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau (Olympic 30/4/2007) Phân tích: + Nhận thấy hàm số: đơn điệu khoảng khác biến, ta phải chặn điều kiện biến để khoảng hàm số đồng biến hay nghịch biến + Việc chặn đk biến tương đối dễ dàng, từ hệ ta có Với điều kiện biến ta suy hàm số đặc trưng: nghịch biến Và hệ cho tốn với chẵn Lời giải 1: + Theo phân tích trên: với Khi hàm số nghịch biến Ta có hệ + Khơng tính tổng qt giả sử ta có 13 skkn hàm Suy ra: Tương tự: + Ta có: Xét hàm: , dễ thấy hàm đồng biến nên ta có: Do đó: Thay vào hệ ta có phương trình: Do hàm đồng biến với nên (1) có nhiều nghiệm Mặt khác: Vậy hệ cho có nghiệm: Lời giải 2: + Hệ cho tương đương với + Xét hàm số: + Giả sử với - dễ thấy ta có: Suy ra: Thay vào hệ ta có phương trình: 14 skkn đồng biến với Do hàm đồng biến với nên (1) có nhiều nghiệm Mặt khác: Vậy hệ cho có nghiệm: Lời bình + Một tốn tương đối phức tạp, làm theo cách đòi hỏi phải xử lý nhiều chi tiết thực tế hàm đặc trưng nghịch biến phức tạp đồng biến + Cách giải với tư tưởng giống ví dụ 2, nhiên hệ ẩn nên hốn vị vòng quanh phức tạp ẩn nhiều + Nhìn chung hệ dạng hốn vị mà thiết lập hàm đặc trưng đồng biến hàm đặc trưng nghịch biến nên làm theo cách hàm đồng biến giảm thiểu nhiều chi tiết phức tạp 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải hệ phương trình sau Bài 2: Giải hệ phương trình sau (Olympic ĐBBB 2010 HP) Bài 3: Giải hệ phương trình sau 15 skkn 3.1 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ Bài 1: Giải hệ phương trình Phân tích: Xét hàm: Nhận thấy: đồng biến nên đồng biến với nghịch biến Do tốn giải ta chặn điều kiện biến khoảng đơn điệu này, nhiên mối quan hệ biến hệ không cho thực điều Xét biểu thức: , ta coi ta thu đến toán tương đối rõ ràng nhiên phép đặt cho , ta cần hạn chế điều kiện biến để phép đặt có ý nghĩa Lời giải: + Giả sử Khi Đặt Ta có: Do Vậy hệ cho có nghiệm: 16 skkn , hốn vị Lời bình: Bài tốn tương đối dễ nhận dạng, nhiên ta ẩn tư tưởng sử dụng lượng giác cách thay biến nghịch đảo nó, thu tốn khó tiếp cận sau Bài 2: Giải hệ phương trình Phân tích: + Một tốn đơn giản hình thức khó tiếp cận, với tư tưởng hệ dạng hoán vị ta đưa hệ dạng Tuy nhiên ta chặn điều kiện biến khoảng đơn điệu hàm nên việc đưa toán Dùng lượng giác tình khơng đưa lại kết + Ta viết lại hệ cho sau: Đặt ta thu hệ Bài toán đến “đẹp” nhiều, cần để ý đến 17 skkn toán trở nên dễ dàng Lời giải: + Nhận thấy hệ cho có nghiệm tất + Xét hệ cho viết lại sau: Đặt ta thu hệ Giả sử Đặt tồn biến Khi , ta có: Do Vậy hệ cho có nghiệm hốn vị Bài 3: Giải hệ phương trình sau : THTT 12-2010) Lời giải: 18 skkn Nhận thấy Đặt , ta viết lại hệ cho sau: với Khi ta có: Ta suy ra: Do nên ta có: Vậy hệ cho có nghiệm là: với 3.2 MỘT SỐ BÀI TỐN TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải hệ phương trình (HSG Thái Bình 2009) Bài 2: Giải hệ phương trình B Về khả áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Sáng kiến áp dụng cho học sinh lớp 10,11,12 ôn thi THPT quốc gia học sinh giỏi cấp Những thông tin cần bảo mật: không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến : Nội dung sáng kiến dùng để dạy nâng cao cho học sinh ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, học sinh giỏi quốc gia Là tài liệu tham khảo cho học sinh ôn thi học sinh giỏi thầy cô giáo ôn thi học sinh giỏi tốn THPT 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : 19 skkn Qua việc giảng dạy nâng cao cho học sinh ôn thi học sinh giởi cấp tỉnh, cho thấy học sinh tiếp thu nội dung đề tài.Hiểu kĩ tiếp cận hai toán đồng thời sử dụng tính đơn điệu hàm số phạm vi sách chương trình tốn THPT để áp dụng vào giải tốn Học sinh hình thành hướng tư hướng tiếp cận lớp toán hệ phương trình có dạng 11 Danh sách tổ chức /cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Phạm Thị Việt Anh THPT Nguyễn Viết Xuân Ôn thi HSG lớp 11, lớp 12 Vĩnh tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 Vĩnh tường, ngày 31 tháng 01 năm 2019 Vĩnh tường, ngày 29 tháng 01 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Phạm Thị Việt Anh 20 skkn ... Giải hệ phương trình sau Bài 2: Giải hệ phương trình sau (Olympic ĐBBB 2010 HP) Bài 3: Giải hệ phương trình sau 15 skkn 3.1 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG HỐN VỊ Bài... hốn vị vòng quanh hệ + Bài ta giải theo hướng sau: Cách 2: Cộng phương trình vế theo vế ta được: Nếu Khi Suy hệ vơ nghiệm Nếu Vậy tương tự: hệ vô nghiệm nghiệm hệ cho Ví dụ 3: Giải hệ phương trình. .. để giải toán giải hệ phương trình gần gũi với học sinh Ở đề tài “ Hệ phương trình hốn vị vịng quanh” tơi lựa chọn số tốn hệ phương trình có liên quan đến tính hốn vị vịng quanh ẩn Từ rèn cho