Lượng giác vận dụng cao

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO MỘT SẢN PHẨM CỦA FANGAGE TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC TÀI LIỆU ĐƯỢC PHÁT HÀNH MIỄN PHÍ TẠI BLOG CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Nguyễn Minh Tuấn K14 Đại học FPT LỜI GIỚI THIỆU Lượng giác vấn đề đơn giản chương trình tốn phổ thơng, chun đề giới thiệu cho bạn đọc số dạng tốn hay khó chủ đề này, tập chủ yếu lấy từ đề thi thử THPT Quốc Gia nước để bạn có thêm nhìn tồn diện vấn đề Để viết nên chun đề khơng thể khơng có tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 Thầy Huỳnh Đức Khánh Trong viết có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN, hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại khơng cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO Chinh phục Olympic toán – Nguyễn Minh Tuấn GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC Bài viết lấy từ VMF thành viên hoangtrong2305! Benny độc giả IntMath Newsletter Gần đây, ïng viết: “Tôi đến trường cao đẳng cộng đồng học lượng giác học kỳ Vì vậy, tơi muốn có nhìn sơ nét tơi học.” Vâng, Benny, bạn thực bước khởi đầu tốt cách tëm hiểu gë bạn học trước học kỳ bắt đầu Nhiều học sinh khơng tìm hiểu họ học họ phải làm tập đầu tiên, đỵ, họ bắt đầu “rối tung” việc tëm hiểu để bắt kịp với phần cín lại học kỳ Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác" Vì vậy, học lượng giác, bạn vẽ nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt tam giác vuông I SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Chúng ta xem xét số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng thiết kế độ dài độ vững hënh tam giác đỵ Chúng ta xem xét số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng thiết kế độ dài độ vững hënh tam giác đỵ Xe bạn (hoặc điện thoại) cỵ thể cỵ cài đặt GPS (Global Positioning System - hệ thống định vị mặt đất), sử dụng lượng giác cho bạn biết xác bạn đâu bề mặt Trái Đất GPS sử dụng liệu từ nhiều vệ tinh kiến thức hình học trái đất, sau đỵ sử dụng lượng giác để xác định vĩ độ kinh độ bạn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hïm nay, cỵ thể bạn nghe nhạc Bài hát bạn nghe ghi âm kỹ thuật số (một trình sử dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng giác) nén thành định dạng MP3 sử dụng nén giảm liệu (áp dụng kiến thức khả phân biệt âm tai người), phép nén đíi hỏi kiến thức lượng giác Trên đường đến trường, bạn vượt qua tía nhà cao tầng Trước xây dựng, kỹ sư sử dụng máy trắc địa để đo đạc khu vực Sau đỵ, họ sử dụng phần mềm mô 3D để thiết kế xây dựng, xác định góc ánh sáng mặt trời hướng gió nhằm tính tốn nơi đặt lượng mặt trời hiệu suất lượng cao Tất trình đíi hỏi am hiểu lượng giác Máy trắc địa Nếu bạn sống gần biển, thủy triều ảnh hưởng đến gë bạn cỵ thể làm vào thời điểm khác ngày Các biểu đồ thủy triều xuất cho ngư dân dự đoán thủy triều năm trước Những dự báo thực cách sử dụng lượng giác Thủy triều ví dụ kiện xảy có chu kỳ, tức xuất lặp lặp lại Chu kỳ thường mag tính tương đối Trong thực tế, lượng giác cỵ vai trí quan trọng hầu hết lĩnh vực khoa học kỹ thuật | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN II NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC? Bạn thường bắt đầu nghiên cứu lượng giác cách tëm hiểu hënh tam giác sử dụng để đo lường điều khỵ đo lường tay Ví dụ, chiều cao núi xác định cách sử dụng hình tam giác tương ứng Tơi dễ dàng đo độ dài ABAB ACAC tam giác ABCABC (viết Δ ABC Δ ABC) Sau đỵ, ta dùng số liệu để tëm chiều cao DEDE Tơi làm trình tương tự để tìm chiều cao núi Điều gë xảy gỵc tam giác khác nhau? “Lượng giác” cho phép sử dụng tỷ lệ có liên quan đến góc ΔABC ΔABC, vë chúng tïi cỵ thể tình tốn loạt đỉnh cao mà khïng cần phải tiến hành đo Bạn tëm hiểu ba tỷ lệ quan trọng gỵc độ: sine (có thể rút gọn sin), cosine (có thể rút gọn cos) tangent (có thể rút gọn tan) Tơi khuyến khích bạn nên tìm hiểu tỉ lệ cách rõ ràng phần lớn kiến thức lượng giác sử dụng chúng nhiều Thïng thường đo gỵc độ (°), đơn vị khơng hữu ích cho khoa học kỹ thuật Bạn tìm hiểu radian, đỵ đơn vị đo thay cho đơn vị đo góc hữu ích Sau bạn nắm vững điều bản, bạn tiếp để tëm hiểu đồ thị hàm số lượng giác (suy nghĩ đường gợn sóng bạn nhìn thấy đồ thị động đất hình trái tim) sau đỵ phân tích lượng giác, cho bạn tập phương pháp để giải vấn đề phức tạp cách dễ dàng ECG bệnh nhân 26 tuổi III LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC Vẽ thật nhiều Vẽ chắn giúp bạn có hiểu biết lượng giác Khi bạn cần phải giải vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực có giá trị bạn phác thảo vấn đề cách nhanh chỵng chình xác Đặc biệt:  Vẽ hënh tam giác mà bạn theo học Phác họa tënh vấn đề xung quanh Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học  Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Thực hành vẽ đồ thị hàm sin cosin bạn làm điều đỵ mà không cần phải chấm hàng triệu điểm trang giấy Học kiến thức thật Kiến thức “cơ bản” là:  Các định nghĩa sin, cos tan làm để sử dụng chúng tam giác;  Dấu tỷ lệ lượng giác gỵc lớn 90 o (tức biết giá trị đỵ dương hay âm)  Các đồ thị hàm y  sin x y  cos x (và khái niệm hàm tuần hoàn) Cẩn thận dùng máy tính Các vấn đề thường gặp sử dụng máy tính cầm tay lượng giác bao gồm:  Thiết lập sai chế độ (ví dụ máy tính chế độ “độ” bạn tình tốn chế độ radian)  Tin tưởng vào máy tình não bạn Các máy tính khơng ln ln cung cấp cho bạn dấu xác (+ -) Thường bạn phải tự tìm hiểu  Lụn ước lượng câu trả lời bạn, đầu tiên, đỵ bạn cỵ thể kiểm tra kết mà máy tình cho bạn  Hãy chắn bạn biết lû máy tình bạn khïng sử dụng “ sin 1 ” “ cos 1 ” Điều nhiều học sinh hay lẫn lộn sử dụng kû khïng thật cần thiết Chúng ta nên sử dụng arcsin  để không bị nhầm lẫn với sin  Đây câu trả lời tïi dành cho Benny Tôi hy vọng cung cấp cho bạn ý tưởng cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh khơng thích lượng giác Bạn không cảm thấy sợ hãi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc thực lời khuyên Nguồn: http://www.intmath.c -all-about-6163 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu Đường cong hënh bên mï tả đồ thị hàm số y  A sin  x     B (với A, B,  12   số   0;  ) Tính S  A  B    2 A S  B S  C S  D S  Lời giải   2  A sin       B  3    Dựa vào đồ thị hàm số ta có hệ phương trënh A sin   B    A sin      B   3    1B Ta thấy A  không thỏa mãn hệ Do đỵ    sin      A 3   1 2  3  4 2      4 Từ  1  A sin        B  3  A sin      B  3   B  1 3     A sin       sin      sin  Thay B  1 vào     , ta có hệ    3  A sin              0;   sin cos   cos sin   sin   cos   3sin   tan      3 A  2; B  1 12   Với    A  Vậy   S AB      Chọn C Nhận xét Cách trắc nghiệm: nhën đồ thị đoán A  2; B  1 (dựa vào – max)  dùng kiện đồ thị qua gốc tọa độ suy   Câu Gọi n số nguyên thỏa mãn   tan 10    tan    tan 45   Khẳng định n sau đúng? A n   1;7  B n   8; 19  C n   20; 26  D n   27; 33 Lời giải Ta có biến đổi:   tan 1    tan 2  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học   tan 45  Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    cos 1  sin 1    cos 2  sin 2   cos 1 sin  1  45  cos 2 sin  2  45    cos 45  sin 45  cos 45 sin  45  45    cos 2 cos 45 45 cos 44.cos 43 cos 2.cos 1 sin 90  cos 1.cos 2 cos 43.cos 44 cos 45 cos 1       2 45        2      2 45  23  n  23 Chọn C Câu Tëm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn 1     0 0 0 sin 45 sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135 sin n A n  B n  45 C n  46 D n  91 Lời giải 1    sin 45.sin 46 sin 46 sin 47 sin 134 sin 135 sin 1 sin 1 sin 1  sin 1.P     sin 45.sin 46 sin 46.sin 47 sin 134.sin 135 Đặt P   sin 1.P  cot 45  cot 46  cot 46  cot 47   cot 134  cot 135  sin 1.P  cot 45  cot 135   P   n  sin 1 Chọn A Câu Cho góc  thỏa    A P  B P   sin   cos   Tính P  sin   cos   C P    D P   Lời giải Ta có  sin   cos     sin   cos     sin   cos    2 Suy  sin   cos      sin   cos     Do     4  suy sin   cos  nên sin   cos   Vậy P   Chọn D Câu Cho góc  thỏa mãn tan    A P  B P      3     ;   Tính P  sin  cos 2   C P   D P  Lời giải | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  3    3  Ta có P   sin  Với    ;     ;        0  sin    2 Khi đỵ  , suy P  sin  cos  2  1  cos     2 Từ hệ thức sin   cos   , suy sin    cos    16   tan  25  3  Vì    ;   nên ta chọn sin      Thay sin    vào P , ta P  Suy P   5 Chọn C       Câu Cho phương trënh cos  x    cos   x   Nếu đặt t  cos   x  3  6  6  phương trënh cho trở thành phương trënh đây? A 4t  8t   B 4t  8t   C 4t  8t   2   x   k D   x     k2   Lời giải       Ta có cos  x     sin  x     cos   x  3 3   6      Do đỵ phương trënh tương đương với 2 cos   x   cos   x    6  6       4 cos   x   cos   x    6  6    Nếu đặt t  cos   x  thë phương trënh trở thành 4t  8t    4t  8t   6  Chọn A Câu Biểu diễn tập nghiệm phương trënh cos x  cos 2x  cos 3x  đường trín lượng giác ta số điểm cuối A B C D Lời giải Ta có cos x  cos 2x  cos 3x   cos 2x cos x  cos 2x   k2    cos 2x  x     k   cos x    x     k2     điểm không trùng nên tập nghiệm phương trënh cho cỵ điểm biểu diễn đường trín lượng giác Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chọn D Câu Cỵ giá trị  thuộc  0; 2 để ba phần tử S  sin  , sin  , sin 3 trùng với ba phần tử T  cos  , cos  , cos 3 A B C D Lời giải Vì S  T  sin   sin   sin 3  cos   cos   cos 3  sin 2 cos   sin   cos  cos   cos   sin   cos     cos   cos       sin   cos 2    k   k   cos         k2      Thử lại ta thấy có    k  k   thỏa S  T   15 Vì    0;     k      k   k  0; 1; 2; 3 4  Chọn D Câu Phương trënh n  cos x.cos 2x.cos 4x.cos 8x cos n x  với n  * cỵ tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trënh sau đây? A sin x  B sin x  sin n x C sin x  sin n  x D sin x  sin n  x Lời giải Vì x  k khơng nghiệm phương trënh nhân hai vế phương trënh cho sin x, ta n 1  sin x cos x  cos 2x.cos 4x.cos 8x cos nx  sin x  n  sin 2x  cos 2x.cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  n  sin 2x.cos 2x  cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  n 1  sin 2 x  cos 4x.cos 8x cos n x  sin x  sin n  x  sin x Chọn D Câu 10 Tình diện tìch đa giác tạo điểm đường trín lượng giác biểu diễn   nghiệm phương trënh tan x  tan  x    4  A 10 10 B 10 C D Lời giải  cos x  x   Điều kiện:     cos x      x  4    | Chinh phục olympic toán   k k    k  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC max g  u    1;1 Xét hàm g  u   u  3u , u   1; 1 Ta tìm  g  u   2 min  1;1 Do đỵ, để phương trënh cho cỵ nghiệm  g  u   m  maxg  u   2  m  1;1  1;1   m  2; 1; 0; 1; 2 m Chọn C Câu 88 Tập tất giá trị tham số m để phương trënh m  m    sin x  sin x có nghiệm  a; b  Giá trị a  b A B  2 D   C Lời giải   Phương trënh  m    sin x  m    sin x    sin x    sin x Xét hàm số f  t   t  t với t   0;   Hàm đồng biến  0;   nên suy f   m    sin x  f   sin x   m    sin x   sin x  m    sin x   sin x  m  sin x   sin x Đặt u   sin x , sin x   1; 1  u  0;  Phương trënh trở thành: m  u  u  1 Xét hàm g  u   u  u  với u  0;  Ta có g '  u   2u  1; g '  u    u  Bảng biến thiên u g' u 0 g u Dựa vào bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm  a    a  b       m  1   4 b    Chọn D 52 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 89 Cỵ giá trị ngun tham số m để phương trënh sin x   cos 2x    cos x  m   cos x  m   cos x  m   2  cỵ nghiệm thuộc 0;  ?   A B C D Lời giải Phương trënh tương đương với sin x  sin x   cos x  m   cos x  m   cos x  m   f  t  đồng biến Xét hàm f  t   2t  t với t  Ta có f '  t   6t    Mà f  sin x   f   cos x  m  , suy sin x  sin x  cos x  m    sin x  cos x  m   2   sin x  cos x  m  (vì sin x  0, x  0;  )     cos x  cos x  m   m  2 cos x  cos x   2    Đặt u  cos x , x  0;   u    ; 1 Khi đỵ phương trình trở thành     m  2u  u      u     ; 1   Xét g  u   2u  u  , có g '  u   6u  2u; g '  u         u      ; 1    m  1 Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm   4  m   28  27 m   m  4; 3; 2; 1 Chọn D Câu 90 Cho phương trënh sin 2x  cos 2x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ? A B C D Lời giải Điều kiện: cos x  m  Phương trënh cho tương đương với  sin 2x  sin x  cos x   cos 2x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x  cos x  m  cos x  m Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 53 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   sin x  cos x   sin x  cos x   cos x  m  2 cos x  m Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến Mà f  sin x  cos x   f   cos  m , suy sin x  cos x  cos x  m   sin x  cos x   cos x  m   sin 2x  cos x  m  sin 2x  cos 2x  m   Vì sin 2x  cos 2x  sin  2x      ;   4   m  m  1; 0; 1  Phương trënh cho cỵ nghiệm    m   Chọn B Câu 91 Cho phương trënh sin x  m  sin x  sin x  sin x  m   Cỵ tất giá trị ngun tham số m để phương trënh cỵ nghiệm ? A 18 B 19 C 20 D 21 Lời giải  a  sin x  m Đặt  Phương trënh trở thành: a  b  a  b    b  sin x   a  b    a3  b3    a  b    a  b   12  a  b    a  b   a  ab  b     a  b  3ab  6a  6b  12     a  b  a   b     Với b   sin x  vô nghiệm  Với a   sin x  m   sin x  Phương trënh cỵ nghiệm 1  8m 8m m    m  12   m  4; 5; 6; ; 12  sin x  m  sin x   m   sin x  sin x  Với a  b   Đặt t  sin x  1  t  1 , ta m   t  4t Xét hàm f  t   t  4t đoạn  1; 1 , ta 5  f  t   với t   1; 1 m  m  5;  4; ; 4; 5 Suy phương trënh cỵ nghiệm  5  m   Hợp hai trường hợp ta 18 giá trị nguyên m (vì m  4, m  lặp lại) Chọn A 54 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 92 Cho phương trënh tan x   sin x  cos x   m  sin x  cos x  Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2018; 2018 để phương trënh cỵ   nghiệm thuộc  0;  ?  2 A 2015 B 2016 C 2018 D 4036 Lời giải Điều kiện: cos x  Vì cos x  nên phương trënh tương đương với   tan x   tan x   m  tan x     Đặt t  tan x  , x   0;   t   1;    2 Khi đỵ phương trënh trở thành 3t  t    m  t    m  3t  3t t2   t  5t   3t  3t  0, t   1;   Xét hàm f  t   với t   1;   Ta có f '  t   t 2  t2   Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m     m  3, 4, , 2018  Có 2016 giá trị m m 2018;2018 Chọn B Câu 93 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh cos x  cos x  m  m có nghiệm A B C D Lời giải cos2 x  u  m  Đặt u  cos x  m , ta có hệ    u cos x m   Trừ vế theo vế ta được:  u   cos x cos2 x  u  u  cos x    u  cos x  cos x  u      u cos x     u  cos x  1, ta m  cos x  cos x   1  m  cos x   cos x  1  u   cos x, ta 3   m  cos x  cos x   m   ;  4   cos x  m  cos x   cos x   m  cos x  cos x  cos x    m  cos x  cos x  m  0;  Vậy m  0; 1; 2; 3  Có số nguyên dương thỏa mãn Chọn C Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 55 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 94 Số giá trị nguyên tham số m để phương trënh  cos x   sin x  m cỵ nghiệm A B C D Lời giải 1  cos x  2  Điều kiện:     k2   x   k2  (Hình vẽ) sin x    m   Phương trënh   m2        2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x        1   Đặt t  sin x  cos x  t   ; 2   m2 Phương trënh   trở thành  2t  2t  2t   sin cos  1   Xét hàm f  t    2t  2t  2t  với t   ;    Ta có f '  t     1   ;   0, t   2t  2t    4t    max f  t   f    Suy   1     min f  t   f       m2   4  Do đỵ để phương trënh cỵ nghiệm   m    1 3 1 m 6 1 m   m  5; 6;7; 8; 9 Chọn D 56 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   Câu 95 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   sin  sin x  3  A 1 B C  3 2 D Lời giải Vì  sin x      sin x  3      Trên đoạn 0;  hàm số sin luïn tăng nên suy sin  sin  sin x   sin 3   3   hay  sin  sin x   3  Chọn D Câu 96 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x   cos x  cos 2x đoạn      ;  A 3 B C 19 27 D 3 Lời giải Ta có f  x   cos x  cos 2x  cos x  cos x     1  Đặt t  cos x, x    ;   t   ; 1  3 2  1  Khi đỵ hàm số trở thành f  t   2t  2t  với t   ; 1 2  1  Khảo sát hàm số f  t  đoạn  ; 1 , ta tëm 2  19  min f  x   27  max f  x    Chọn C Câu 97 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y    sin x  2018 Giá trị M  m A 2018   4036  B 2018 C 4036 D 6054 Lời giải Ta có 1  sin x    5 sin x  5 hay 5  5 sin x   2   sin x      sin x  2018  2018 Vậy giá trị lớn hàm số M  6054 , giá trị nhỏ hàm số m  Chọn D Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 57 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 98 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  sin x  sin x  Tính P  M  2m A P  B P  C P  D P  Lời giải Ta có y  sin x  sin x    sin x    Do 1  sin x   3  sin x   1    sin x    M  10    sin x     10    P  M  2m  m   Chọn D  2x   4x  Câu 99 Giá trị nhỏ f  x   sin    cos    gần với số sau  x 1  x 1 đây? B  A 1 C  D  Lời giải 2x  4x   2x  Ta có cos    cos     sin x 1  x 1  x 1 2x 2x Do đỵ f  x   2 sin 2  sin  x 1 x 1 2x Đặt t  sin   1; 1 , ta f  t   2t  t  x 1 Xét hàm f  t   2t  t  đoạn  1; 1 , ta f  t   1  1;1 Lời giải hợp lû xét kỹ khơng ổn 1  Khi đỵ t  sin 2x  (xét hàm) x 1 2x    sin 1; sin 1 x 1 Tương tự trên, xét hàm f  t   2t  t  đoạn   sin 1; sin 1 , ta f t   f   sin   2 sin   sin  2  0, 25  sin1;sin1  Chọn C Nhận xét Bài toán hay tự luận, trắc nghiệm dùng MODE nhanh Câu 100 Gọi m, M y giá trị nhỏ lớn hàm số cos x  sin x  Tính S  11m  M cos x  sin x  A S  10 B S  C S  D S  24 Lời giải Gọi y giá trị hàm số 58 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN cos x  sin x  có nghiệm cos x  sin x  cos x  sin x  Ta có y0    2y   cos x   y   sin x   4y cos x  sin x  Khi đỵ phương trënh y0  Phương trënh cỵ nghiệm   2y     y      4y  2 M  2   11y  24y     y0     P  11  m  11 Chọn B Câu 101 Gọi M, m giá trị lớn nhỏ hàm số y  sin x  cos x   sin 2x Khi đỵ, M  3m A 1 B D  2 C Lời giải sin x  cos x  sin x  cos x  Ta có y   2  sin 2x sin x  cos x    Đặt u  sin x  cos x, điều kiện u  Khi đỵ y  u1 Xét hàm y   u 1  Tính y   u1 u2  đoạn   ;  Ta có y  1 ,y     , y  1  u 1u  1 u  ; y   u  M  max y      M  3m  m  y   Chọn B Câu 102 Biết giá trị nhỏ hàm số y  cỵ dạng a  b với a, b   cos x cos x số nguyên Tình S  a  b A S  B S  C S  D S  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta y  1  2     2  cos x cos x  cos x  cos x a  Suy   S  b  Chọn C Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 59 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 103 Cho hàm số y   sin x   cos x  Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi đỵ giá trị M  m gần với số sau đây? 11 A B C D 2 2 Lời giải  Xét t   sin x   cos x  t    sin x     cos x     sin x   cos x    2  sin 2x  t    sin 2x      y   sin x   cos x   Dấu ''  '' xảy sin 2x   Lại có 1  sin x   cos x   12   sin x   cos x   2  y   sin x   cos x   2  Dấu ''  '' xảy sin x  cos x m   Mm  2 1 Vậy  M  2  3, 56 Chọn B Câu 104 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f  x   sin 2018 x  cos 2018 x A 1008 B 1009 C D 1008 Lời giải Đặt a  sin x, b  cos x Ta có   sin 2018 x  cos 2018 x  sin x  cos x  Dấu "  " xảy  x  k  a1009  b1009  ab  sin x  cos x    1008   2  2       Dấu "  " xảy  x   k Vậy giá trị nhỏ 1008 ; giá trị lớn 1009 2018 2018 Chọn D Câu 105 Cỵ giá trị tham số thực a để hàm số y  cos x  a sin x  cỵ giá trị cos x  lớn ? A B C D Lời giải 60 | Chinh phục olympic toán Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Ta có y  cos x  a sin x   y  cos x    cos x  a sin x  cos x   a sin x    y  cos x  2y  Phương trënh cỵ nghiệm  a    y    2y    3y  2y  a     3a   3a y 3 a  1   3a Yêu cầu toán     3a    3a    a  1 Chọn C Câu 106 Cỵ giá trị nguyên tham số m thuộc y  0; 10  để hàm số  m sin x cỵ giá trị nhỏ nhỏ 2 ? cos x  A B C 11 D 12 Lời giải Ta có y   m sin x  y  cos x     m sin x  m sin x  y cos x   2y cos x  Phương trënh cỵ nghiệm y  m   2y    3y  4y   m  2  3m   3m   y 3 Yêu cầu toán   m  21  3m   2  3m    m  21    m   21 m   m  5; 6;7; 8; 9; 10 m0 ;10  Chọn B   x Câu 107 Cho hàm số y  sin  x    cos    sin x  a (với tham số) Gọi 6  2   2  m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đoạn  ;  Có bao 6  321 nhiêu giá trị nguyên a để m  M  ? A B C D Lời giải  x  Ta có cos2    sin x  cos x  sin x    sin  x   6 2      Do đỵ y  sin  x    sin  x    a  6 6      2   Đặt t  sin  x   , x   ;   t  0; 1 6 6   Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 61 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  1 Hàm số trở thành y  2t  2t  a    t    a   2 2 Vì  t    1 1  1  t    0  t    2  2 Suy a  1  1   t    a   a  2  2  2 321 321 m  a   1    a     a2  1   3  a   m M  2  M  a   Suy có giá trị nguyên thỏa Chọn D Câu 108 Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số y  sin x  cos 2x  m Hỏi tập S cỵ phần tử? A B C D Lời giải Ta có sin x  cos 2x  sin x  sin x     sin x   cos x  y  cos x  m Vì  cos x   m  cos x  m   m Suy y   m , m     m  m    m    m  3   Vậy S  3; 2 Yêu cầu toán   m2    m   m    m  Chọn B Câu 109 Cho x, y số thực thỏa mãn cos 2x  cos 2y  Giá trị nhỏ biểu thức P  tan x  tan y A B D C Lời giải    1    Ta có P   1            2  cos x   cos y    cos 2x  cos 2y     1  2     Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta P     cos 2x  cos 2y  21   Chọn B 62 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN Câu 110 Cho hàm số y  f  x  xác định , thỏa mãn f  tan x   sin 2x  cos 2x với    x    ;  Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a  b  1, giá trị nhỏ  2 biểu thức S  f  a  f  b  A 25 B  C 53 D 53 Lời giải Theo giả thiết, ta có f  tan x   tan x  tan x tan x  tan x  t2  t      f t    tan x  tan x  tan x t2  a2  a    a     a     Do đỵ S  f  a  f  b   f  a  f   a   a2  1  a  Chọn C   Câu 111 Cho hai số thực x, y thuộc  0;  thỏa mãn cos 2x  cos 2y  sin  x  y    2 Giá trị nhỏ P  A 3 B cos x cos y  y x  C  D  Lời giải Ta có cos 2x  cos 2y  sin  x  y    sin x  sin y  sin  x  y  a b2  a  b   Suy x  y  Áp dụng BĐT cộng mẫu , ta   m n mn 2  cos P x  cos y  xy Dấu ''  '' xảy  x  y    2  cos x  cos   x    cos x  sin x          xy xy  Chọn C  chứng minh sau:     suy  x,  y thuộc  0;  2  2 Nhận xét Việc suy x  y    Với x, y   0;   2   Trên đoạn 0;  , hàm y  sin x đồng biến  2 Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 63 CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC     x   y  sin x  sin   y   cos y    2   Nếu x  y     y    x  sin y  sin    x   cos x    2   sin x  sin y  sin x.sin x  sin y.sin y  sin x.cos y  sin y cos x  sin  x  y  Mâu thuẫn   Tương tự cho x  y    Trường hợp x  y  : thỏa mãn Câu 112 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn M   tất hàm số y  a  b sin x  c cos x với x   0;   4 A M   B M    C M    D M   Lời giải  Ta có a  b sin x  c cos x   a 2  b2  c    sin x  cos x       1  sin  x           Suy a  b sin x  c cos x   b c   24 2 a  sin x  cos x a ;b  c      2 2 Dấu ''  '' xảy  a  b  c        sin  x    1, x   0;  x  4     Chọn C Câu 113 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin   2ab   sin  a  b   2ab  a  b  Giá trị nhỏ biểu thức S  a  2b A 10  B 10  C 10  D 10  Lời giải Ta có sin   2ab   sin  a  b   2ab  a  b   sin   2ab     2ab   sin  a  b    a  b  Xét hàm f  t   sin t  t với t  Ta có f '  t   cos t    Hàm số f  t  đồng biến Mà f   2ab   f  a  b  nên  2ab  a  b  b  2a (vì b   a  ) 2a   2a 10  Khảo sát hàm số  0;  ta S  2a  64 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Khi đỵ S  a  2b  a  TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Chọn A Câu 114 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos  x  y     cos  3xy   9xy  3x  3y Giá trị nhỏ biểu thức S  x  y   A 11  B C 28  21 D 72 21 Lời giải Ta có cos  x  y     cos  3xy   9xy  3x  3y  cos  x  y     x  y    cos  3xy    3xy  Xét hàm f  t   cos t  3t với t  Ta có f '  t    sin t    Hàm số f  t  đồng biến Mà f  x  y    f  3xy  nên x  y   3xy  x  Khi đỵ S  y1 3y   y  1 y    y2  3y  Khảo sát ta tëm S  11  3y  3y  Chọn A Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 65 LỜI KẾT Vậy đến trang cuối tuyển tập này, viết chưa thực hay hy vọng kiến thức mà đưa vào viết giúp ích bạn q trình học tập Ngồi cịn vài thiếu xót tuyển tập này, mong người bỏ qua Một lần gửi lời cảm ơn đến người có đóng góp cho viết chúc bạn mùa ôn thi thành công nhé! ... lại học kỳ Từ lượng giác xuất phát từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa "đo đạc tam giác" Vì vậy, học lượng giác, bạn vẽ nghiên cứu nhiều hình tam giác, đặc biệt tam giác vuông I SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Chúng ta... HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN II NHỮNG GÌ BẠN HỌC TRONG LƯỢNG GIÁC? Bạn thường bắt đầu nghiên cứu lượng giác cách tëm hiểu hënh tam giác sử dụng để đo lường điều khỵ đo lường tay Ví dụ, chiều cao. .. số ứng dụng lượng giác sống ngày Hïm nay, cỵ thể bạn lái xe qua cầu Cây cầu xây dựng cách sử dụng kiến thức lực tác dụng góc khác Bạn nhận thấy cầu gồm nhiều hënh tam giác - lượng giác sử dụng