Đề cương hình học lớp 12 học kì 2

ĐỀ CƯƠNG TẬP Năm học: 2021 - 2022 HỌ VÀ TÊN:…………………………………………………………………… LỚP:…………………………………………………………………………… “Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ LƯỜI BIẾNG” MỤC LỤC Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §1 - HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A Định nghĩa hệ trục tọa độ B Tọa độ véc-tơ C Tọa độ điểm D Tích có hướng hai véc-tơ E Phương trình mặt cầu | Dạng 1.1: Nhóm tốn liên quan đến hình chiếu, điểm đối xứng điểm lên trục, lên mặt phẳng tọa độ | Dạng 1.2: Bài toán liên quan đến véc-tơ độ dài đoạn thẳng | Dạng 1.3: Bài toán liên quan đến tọa độ trung điểm trọng tâm 16 | Dạng 1.4: Nhóm tốn liên quan đến tích vơ hướng hai véc-tơ 21 | Dạng 1.5: Nhóm tốn liên quan đến tích có hướng hai véc-tơ 27 32 42 48 | Dạng 1.6: Xác định yếu tố mặt cầu | Dạng 1.7: Viết phương trình mặt cầu loại F BÀI TẬP TỰ LUYỆN - MẶT CẦU §2 - PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 52 A Kiến thức cần nhớ | Dạng 2.8: Xác định yếu tố mặt phẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 54 61 | Dạng 2.9: Viết phương trình mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 62 79 | Dạng 2.10: Điểm thuộc mặt phẳng | Dạng 2.11: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 85 88 91 93 | Dạng 2.12: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 52 §3 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 107 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ | Dạng 3.13: Xác định yếu tố đường thẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 107 109 114 MỤC LỤC | Dạng 3.14: Góc | Dạng 3.15: Khoảng cách C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 121 123 | Dạng 3.16: Viết phương trình đường thẳng | Dạng 3.17: Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng D BÀI TẬP VẬN DỤNG 117 125 150 160 | Dạng 3.18: Xác định phương trình đường thẳng 160 §4 - ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 193 193 193 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ B CÁC DẠNG BÀI TẬP | Dạng 4.19: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm GĨC | Dạng 4.20: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH 193 195 | Dạng 4.21: Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 197 Chun đề 2: GÓC - KHOẢNG CÁCH 200 §1 - GĨC TRONG KHƠNG GIAN 200 A CÁC DẠNG BÀI TẬP | Dạng 1.22: Góc hai đường thẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 200 205 | Dạng 1.23: Góc đường thẳng với mặt phẳng C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 208 215 | Dạng 1.24: Góc hai mặt phẳng D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 200 220 226 §2 - KHOẢNG CÁCH 230 A CÁC DẠNG BÀI TẬP | Dạng 2.25: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 231 235 | Dạng 2.26: Khoảng cách hai đường thẳng chéo C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 230 242 247 | Dạng 2.27: Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng khoảng cách hai mặt phẳng Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 252 h https://fb.com/toanthayhoangblue CHUN ĐỀ ĐỀ CHUN LỚP TỐN THẦY HỒNG - 0931.568.590 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN § HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A ĐỊNH NGHĨA HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Hệ gồm trục Ox, Oy, Oz vng góc với #» đơi một, chung điểm gốc O Gọi i = #» #» (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) véc-tơ z #» k #» i đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian hay hệ trục Oxyz #» #»2 #» #» #» #» #» i = j = k = i · j = j · k = #» #» k · i = O #» j x ! B TỌA ĐỘ VÉC-TƠ #» #» #» c Định nghĩa 1.1 Cho #» a = (x; y; z) ⇔ #» a = x i +yj +zk #» Cho #» a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ R #» • #» a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) • k #» a = (ka1 ; ka2 ; ka3 )    a1 = b1   #» #» • Hai véc-tơ a = b ⇔ a2 = b2     a3 = b3 a2 a3 a1 #» #» = = • #» a ⇈ b ⇔ #» a =kb ⇔ b1 b2 b3 p a | = a21 + a22 + a23 • Mơ-đun (độ dài) véc-tơ: #» a = a21 + a22 + a23 ⇒ | #» y HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN #» Ä #»ä #» a, b • Tích vơ hướng: #» a · b = | #» a | · b Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 41 L Ví dụ 35 (Đề thi THPTQG năm 2017 Mã đề 110) Trong không gian Oxyz, tìm tất giá trị m để phương trình x2 + y + z − 2x − 2y − 4z + m = phương trình mặt cầu A m > B m ≥ C m ≤ D m < L Ví dụ 36 Tìm m để x2 + y + z + 2x − 4y − m = phương trình mặt cầu A m > B m ≥ −5 C m ≤ D m > −5 L Ví dụ 37 Tìm m để x2 + y + z + 2mx − 2y + 4z + 2m2 + 4m = phương trình mặt cầu A −5 ≤ m ≤ B m > C −5 < m < D m = L Ví dụ 38 Cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x + 4y − 4z − m = có bán kính R = Tìm m A m = −16 B m = 16 C m = D m = −4 Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 42 L Ví dụ 39 Cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 2x + 4y − 4z + m = có bán kính R = Tìm m A m = −16 B m = 16 C m = D m = −4 L Ví dụ 40 Cho mặt cầu (S) : x2 + y + z − 4x + 8y − 2mz + 6m = có đường kính 12 tổng giá trị tham số m A −2 B C −6 D p Dạng 1.7 Viết phương trình mặt cầu loại • Phương trình mặt cầu (S) dạng 1: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tọa độ tâm I(a; b; c) bán kính R Khi đó: (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 • Phương trình mặt cầu (S) dạng 2: x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, với (a2 + b2 + c2 − d > 0) phương trình mặt √ cầu dạng Tâm I(a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 − d L Ví dụ (THPT 2021 – Lần – Mã 102) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0; −2; 1) bán kính Phương trình (S) A x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = C x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = B x2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = D x2 + (y + 2)2 + (z − 1)2 = L Ví dụ (THPT QUỐC GIA 2021 – ĐỢT - Mã 102) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1; −4; 0) bán kính Phương trình (S) h https://fb.com/toanthayhoangblue Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 Chun đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A (x + 1)2 + (y − 4)2 + z = C (x − 1)2 + (y + 4)2 + z = 43 B (x − 1)2 + (y + 4)2 + z = D (x + 1)2 + (y − 4)2 + z = L Ví dụ (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (0; 0; −3) qua điểm M (4; 0; 0) Phương trình (S) A x2 + y + (z + 3)2 = 25 B x2 + y + (z + 3)2 = C x2 + y + (z − 3)2 = 25 D x2 + y + (z − 3)2 = L Ví dụ (Mã 110 2017) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, tìm tất giá trị m để phương trình x2 + y + z − 2x − 2y − 4z + m = phương trình mặt cầu A m < B m ≥ C m ≤ D m > L Ví dụ (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz cho hai điểm I (1; 1; 1) A (1; 2; 3) Phương trình mặt cầu có tâm I qua A A (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = B (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 29 C (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = D (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 25 L Ví dụ (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; −2; 7) , B (−3; 8; −1) Mặt cầu đường kính AB có phương trình √ A (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45 B (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 45 Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 44 C (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 3)2 = √ 45 D (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = 45 L Ví dụ (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; −4; 3) qua điểm A (5; −3; 2) A (x − 1)2 + (y − 4)2 + (z − 3)2 = 18 C (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 16 B (x − 1)2 + (y − 4)2 + (z − 3)2 = 16 D (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z − 3)2 = 18 L Ví dụ (Chun Sơn La -2019) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A (1; 1; 1) B (1; −1; 3) Phương trình mặt cầu có đường kính AB A (x − 1)2 + y + (z − 2)2 = C (x + 1)2 + y + (z + 2)2 = B (x − 1)2 + y + (z − 2)2 = D (x + 1)2 + y + (z + 2)2 = L Ví dụ (Sở Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B (−2; 2; −3) Phương trình mặt cầu đường kính AB A x2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 36 C x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = B x2 + (y + 3)2 + (z − 1)2 = D x2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 36 h https://fb.com/toanthayhoangblue Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 Chun đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 45 L Ví dụ 10 (Chun Bắc Giang 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi phương trình sau phương trình phương trình mặt cầu? A x2 + y + z − 2x + 4z − = C x2 + y + z + 2xy − 4y + 4z − = B x2 + z + 3x − 2y + 4z − = D x2 + y + z − 2x + 2y − 4z + = L Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A (2; −1; −3); B (0; 3; −1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = C (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 24 B (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 24 D (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = L Ví dụ 12 (Chuyên KHTN 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình sau khơng phải phương trình mặt cầu? A x2 + y + z + x − 2y + 4z − = C 2x2 + 2y + 2z + 4x + 8y + 6z + = B 2x2 + 2y + 2z − x − y − z = D x2 + y + z − 2x + 4y − 4z + 10 = L Ví dụ 13 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọ độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 3) , B (5; 4; −1) Phương trình mặt cầu đường kính AB A (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 36 C (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 B (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = D (x + 3)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = h https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 46 L Ví dụ 14 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I (2; 1; −2) bán kính R = là: A (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 22 C x2 + y + z + 4x − 2y + 4z + = B x2 + y + z − 4x − 2y + 4z + = D (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = L Ví dụ 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình sau phương trình mặt cầu (S) tâm A (2; 1; 0), qua điểm B (0; 1; 2)? A (S) : (x + 2)2 + (y + 1)2 + z = C (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + z = 64 B (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + z = D (S) : (x + 2)2 + (y + 1)2 + z = 64 L Ví dụ 16 (Chun Lam Sơn 2019) Trong khơng gian Oxyz cho điểm I(2; 3; 4) A (1; 2; 3) Phương trình mặt cầu tâm I qua A có phương trình là: A (x + 2)2 + (y + 3)2 + (z + 4)2 = B (x + 2)2 + (y + 3)2 + (z + 4)2 = C (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 45 D (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 47 L Ví dụ 17 (Thpt Vĩnh Lộc-Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm I (1; 1; 1) A (1; 2; 3) Phương trình mặt cầu có tâm I qua A A (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 29 C (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 25 B (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = D (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = L Ví dụ 18 (THPT Phan Bội Châu-Nghệ An-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 3), B (5; 4; −1) Phương trình mặt cầu đường kính AB A (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = C (x + 3)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = B (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = D (x − 3)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 36 L Ví dụ 19 (Lý Nhân Tông-Bắc Ninh 1819) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (7; −2; 2) B (1; 2; 4) Phương trình phương trình mặt cầu đường kính AB? A (x − 4)2 + y + (z − 3)2 = 14 C (x − 7)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 14 √ B (x − 4)2 + y + (z − 3)2 = 14 D (x − 4)2 + y + (z − 3)2 = 56 L Ví dụ 20 (Bình Phước-2019) Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm M (3; −2; 5), N (−1; 6; −3) Mặt cầu đường kính M N có phương trình là: A (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = C (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 36 Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = D (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36 h https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 48 F BÀI TẬP TỰ LUYỆN - MẶT CẦU Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 0), bán kính R = A (x + 1)2 + (y − 2)2 + z = C (x − 1)2 + (y + 2)2 + z = B (x + 1)2 + (y − 2)2 + z = √ D (x + 1)2 + (y − 2)2 + z = Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2), bán kính R = A (x + 1)2 + y + (z − 2)2 = C (x − 1)2 + y + (z + 2)2 = 16 B (x + 1)2 + y + (z − 2)2 = 16 D (x − 1)2 + y + (z + 2)2 = Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −3), bán kính R = A x2 + y + z − 2x − 4y + 6z + 10 = C x2 + y + z + 2x − 4y − 6z + 10 = B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = D (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 22 Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3), đường kính A (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = C (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = B (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 16 D (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z + 3)2 = 16 Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −1) qua điểm A(2; 2; −3) A (x + 1)2 + y + (z − 1)2 = C (x + 1)2 + y + (z − 1)2 = B (x − 1)2 + y + (z + 1)2 = D (x − 1)2 + y + (z + 1)2 = Câu Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −3; 2) qua điểm A(5; −1; 4) √ √ A (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 24 B (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 24 C (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z + 2)2 = 24 D (x − 1)2 + (y + 3)2 + (z − 2)2 = 24 Câu Cho tam giác ABC có A(2; 2; 0), B(1; 0; 2), C(0; 4; 4) Mặt cầu (S) có tâm A qua trọng tâm G tam giác ABC có phương trình A (x − 2)2 + (y − 2)2 + z = √ C (x − 2)2 + (y − 2)2 + z = B (x + 2)2 + (y + 2)2 + z = D (x − 2)2 + (y − 2)2 + z = Câu Phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2; 1; 1), B(0; 3; −1) A x2 + (y − 2)2 + z = C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = h https://fb.com/toanthayhoangblue B (x − 1)2 + (y − 2)2 + z = D (x − 1)2 + (y − 2)2 + z = Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 49 Câu Phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(1; 2; 3), B(−1; 4; 1) A (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 12 C (x + 1)2 + (y − 4)2 + (z − 1)2 = 12 B x2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 = D x2 + (y − 3)2 + (z − 2)2 = 12 Câu 10 Phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(3; 0; −1), B(5; 0; −3) A (x − 2)2 + y + (z + 2)2 = C (x − 4)2 + y + (z + 2)2 = B x2 + y + z − 8x + 4z + 18 = D x2 + y + z − 8x + 4z + 12 = Câu 11 Cho mặt cầu (S) có tâm I(−1; 4; 2) thể tích (S) A (x + 1)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = 16 C (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z + 2)2 = 256π Phương trình mặt cầu B (x + 1)2 + (y − 4)2 + (z − 2)2 = D (x − 1)2 + (y + 4)2 + (z + 2)2 = Câu 12 Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; −4) thể tích 36π Phương trình mặt cầu (S) A (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = C (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z − 4)2 = B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 4)2 = D (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 4)2 = √ Câu 13 Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) thể tích 32 3π Phương trình mặt cầu (S) A (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 16 C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 12 B (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 16 D (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = Câu 14 Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 0) Một mặt phẳng (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C), biết diện tích lớn (C) 3π Phương trình mặt cầu (S) A x2 + (y − 2)2 + z = C (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = B (x − 1)2 + (y − 2)2 + z = D (x − 1)2 + (y − 2)2 + z = Câu 15 Cho mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 1) Một mặt phẳng (P ) cắt (S) theo giao tuyến √ đường tròn (C), biết chu vi lớn (C) 2π Phương trình mặt cầu (S) A (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = C (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = B (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = D (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = Câu 16 Tìm tâm I bán kính mặt cầu (S) qua điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)? (Cách hỏi khác: Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) A I(1; 2; 3), R = √ C I(1; 2; 3), R = 14 B I(−1; 2; −3), R = √ D I(1; 3; 1), R = 11 Câu 17 Tìm bán kính R mặt cầu (S) qua điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)? (Cách hỏi khác: Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 50 A I(1; 2; 3), R = √ C I(1; 2; 3), R = 14 B I(−1; 2; −3), R = √ D I(1; 3; 1), R = 11 Câu 18 Tìm bán kính R mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết tọa độ đỉnh tứ diện A(2;√ 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(2; 2; 2) √ 3 A R= B R= √ C R = D R= √ Câu 19 Phương trình mặt cầu (S) qua A(3; −1; 2), B(1; 1; −2) có tâm I thuộc trục Oz A x2 + y + z − 2z − 10 = C x2 + (y − 1)2 + z = 11 B (x − 1)2 + y + z = 11 D x2 + y + z − 2y − 11 = Câu 20 Phương trình mặt cầu (S) qua A(1; 2; 3), B(−2; 1; 5) có tâm I thuộc trục Oz A (S) : x2 + y + (z − 4)2 = C (S) : x2 + y + (z − 4)2 = 16 B (S) : x2 + y + (z − 4)2 = 14 D (S) : x2 + y + (z − 4)2 = Câu 21 Phương trình mặt cầu (S) qua A(1; 2; 3), B(4; −6; 2) có tâm I thuộc trục Ox A (S) : (x − 7)2 + y + z = C (S) : (x + 7)2 + y + z = B (S) : (x + 7)2 + y + z = 36 D (S) : (x − 7)2 + y + z = 49 Câu 22 Phương trình mặt cầu (S) qua A(2; 0; −2), B(−1; 1; 2) có tâm I thuộc trục Oy A (S) : x2 + y + z + 2y − = C (S) : x2 + y + z + 2y + = B (S) : x2 + y + z − 2y − = D (S) : x2 + y + z − 2y + = Câu 23 Phương trình mặt cầu (S) qua A(3; −1; 2), B(1; 1; −2) có tâm I thuộc trục Oz A x2 + y + z − 2z − 10 = C x2 + (y − 1)2 + z = 11 B (x − 1)2 + y + z = 11 D x2 + y + z − 2y − 11 = Câu 24 Phương trình mặt cầu (S) qua A(1; 2; −4), B(1; −3; 1), C(2; 2; 3) tâm I ∈ (Oxy) A (x + 2)2 + (y − 1)2 + z = 26 C (x − 2)2 + (y − 1)2 + z = 26 B (x + 2)2 + (y − 1)2 + z = D (x − 2)2 + (y − 1)2 + z = Câu 25 Phương trình mặt cầu (S) qua A(3; 0; −1), B(6; −4; −2), C(7; −1; 2) tâm I ∈ (Oxy) A (x + 7)2 + (y − 2)2 + z = 25 C (x + 5)2 + (y + 1)2 + z = 36 h https://fb.com/toanthayhoangblue B (x − 5)2 + (y + 2)2 + z = D (x + 7)2 + (y − 8)2 + z = 49 Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 51 Câu 26 Phương trình mặt cầu (S) qua A(2; 4; −3), B(6; 9, 6), C(−3; 5; 9) tâm I ∈ (Oyz) A x2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = C x2 + (y − 2)2 + (z + 5)2 = 16 B x2 + (y − 7)2 + (z − 3)2 = 49 D x2 + (y + 6)2 + (z − 1)2 = 36 Câu 27 Phương trình mặt cầu (S) qua A(1; −1; 2), B(−1; 3; 0), C(−3; 1; 4) tâm I ∈ (Oxz) A (x − 5)2 + y + (z + 1)2 = 11 C (x + 2)2 + y + (z − 1)2 = 11 B (x − 7)2 + y + (z − 6)2 = 11 D (x + 2)2 + y + (z + 1)2 = 11 Câu 28 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) tiếp xúc với trục hoành A (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 13 C (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 B (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = D (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 25 h https://fb.com/toanthayhoangblue PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 52 § A PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ Véc-tơ pháp tuyến - Véc-tơ phương #» • Véc-tơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng (P ) #» n ⊥ (P ), #» n = • Véc-tơ phương (VTVP) #» u mặt phẳng (P ) véc-tơ có giá song song nằm mặt phẳng (P ) • Nếu mặt phẳng (P ) có cặp véc-tơ phương #» u , #» v (P ) có véc-tơ pháp tuyến #» n = [ #» u , #» v ] #» • Nếu #» n = véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) k #» n (k 6= 0) véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ) • Chẳng hạn #» n (P ) = (; −4; 8) = 2(1; −2; 4) #» n = (1; −2; 4) véc-tơ pháp tuyến (P ) Phương trình tổng qt mặt phẳng • Phương trình tổng quát mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = có véc-tơ pháp tuyến #» n = (a; b; c) Chẳng hạn (P ) : 2x − 3y + z − = ⇒ véc-tơ pháp tuyến #» n = (2; −3; 1) (P ) • Để viết phương trình mặt phẳng (P ), cần xác định điểm qua VTPT (P ) :  Qua M (x0 ; y0 ; z0 ) VTPT: #» n (P ) = (a; b; c) ⇒ (P ) : a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Nếu mặt phẳng (P ) cắt trục tọa độ điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với x y z abc 6= (P ) : + + = gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn a b c h https://fb.com/toanthayhoangblue Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 53 Chứng  minh: # » AB ỵ # » # »ó = (−a; b; 0) ⇒ AB, AC = (bc; ac; ab) Ta có # » AC = (−a; 0; c)  Qua A(a; 0; 0) ⇒ (P ) : ỵ # » # »ó VTPT: #» n (P ) = AB, AC = (bc; ac; ab) Suy (P ) : bc(x − a) + ac(y − 0) + ab(z − 0) = ⇒ (P ) : bcx + acy + abz = abc x y z + + = Chia abc 6= (P ) : −−−−−−−−→ a b c z C(0; 0; c) O y B(0; b; 0) A(a; 0; 0) x Các mặt phẳng tọa độ (thiếu gì, 0) #» • Mặt phẳng (Oxy) : z = nên (Oxy) có VTPT #» n (Oxy) = k = (0; 0; 1) #» • Mặt phẳng (Oyz) : x = nên (Oyz) có VTPT #» n (Oyz) = k = (1; 0; 0) #» • Mặt phẳng (Oxz) : y = nên (Oxz) có VTPT #» n (Oxz) = k = (0; 1; 0) Khoảng cách • Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = xác |axM + byM + czM + d| √ định công thức d (M, (P )) = a2 + b + c • Khoảng cách hai mặt phẳng song song có véc-tơ pháp tuyến: Cho hai mặt phẳng song song (P ) : ax + by + cz + d = (Q) : ax + by + cz + d′ = |d − d′ | Khoảng cách hai mặt phẳng d ((Q), (P )) = √ a + b2 + c2 Góc Cho hai mặt phẳng (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (β) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | | #» n , #» n 2| p =p Cần nhớ: Góc Ta ln có cos ((α), (β)) = #» #» | n 1| · | n 2| A1 + B12 + C12 · A22 + B22 + C22 hai mặt phẳng góc nhọn, cịn góc hai véc-tơ nhọn tù Vị trí tương đối a) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (Q) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 54 A1 B1 C1 D1 = 6= 6= A2 B2 C2 D2 B1 C1 D1 A1 = = 6= • (P ) ∥ (Q) ⇔ A2 B2 C2 D2 • (P ) cắt (Q) ⇔ • (P ) ≡ (Q) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 • (P ) ⊥ (Q) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = b) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu S(I; R) mặt phẳng (P ) Gọi H hình chiếu vng góc I lên (P ) có d = IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P ) Khi : Nếu d = R: Mặt phẳng tiếp Nếu d < R: Mặt phẳng Nếu d > R: Mặt cầu xúc mặt cầu Lúc (P ) (P ) mặt phẳng không mặt phẳng tiếp diện thiết diện đường trịn có điểm chung mặt cầu (S) H tiếp có tâm H bán kính √ r′ = R2 − IH điểm cắt mặt cầu theo Chu vi đường tròn giao tuyến C = 2πr, diện tích đường trịn S = πr2 Nếu d (I, (P )) = tuyến đường tròn tâm I gọi đường trịn lớn Lúc (P ) gọi ! là0 thìmặtgiaophẳng kính mặt cầu (S) Các trường hợp đặc biệt mặt phẳng Các hệ số Phương trình mặt phẳng (P ) Tính chất mặt phẳng (P ) D=0 (P ) : Ax + By + Cz = (H1) (P ) qua gốc tọa độ (O) A=0 (P ) : By + Cz + D = (H2) (P ) ∥ Ox (P ) ⊃ Ox B=0 (P ) : Ax + Cz + D = (H3) C=0 (P ) : Ax + By + D = (H4) A=B=0 (P ) : Cz + D = (H5) A=C=0 (P ) : By + D = (H6) B=C=0 (P ) : Ax + D = (H7) (P ) ∥ Oy (P ) ⊃ Oy (P ) ∥ Oz (P ) ⊃ Oz (P ) ∥ (Oxy) (P ) ≡ (Oxy) (P ) ∥ (Oxz) (P ) ≡ (Oxz) (P ) ∥ (Oyz) (P ) ≡ (Oyz) p Dạng 2.8 Xác định yếu tố mặt phẳng • Mặt phẳng (P ) : ax + by + cz + d = có vectơ pháp tuyến #» n = (a, b, c) • Nếu #» n = (a, b, c) vectơ pháp tuyến (P ) k #» n vectơ pháp tuyến (P ), với k 6= #» • Nếu #» a , b cặp vectơ phương mặt phẳng (P ) vectơ pháp tuyến #» n = #» [ #» a , b ] h https://fb.com/toanthayhoangblue Ơ Giáo viên: Hồng Blue - 0931.568.590 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 55 L Ví dụ (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P ) : 2x − 3y + 4z − = có vectơ pháp tuyến là: A n#»4 = (−1; 2; −3) B n#»3 = (−3; 4; −1) C n#»2 = (2; −3; 4) D n#»1 = (2; 3; 4) L Ví dụ (THPT 2021 – Lần – Mã 101) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x − y + 2z − = Vectơ vectơ pháp tuyến (P )? A n#»1 = (−3; 1; 2) B n#»2 = (3; −1; 2) C n#»3 = (3; 1; 2) D n#»4 = (3; 1; −2) L Ví dụ (THPT 2021 – Lần – Mã 102) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : − 2x + 5y + z − = Véctơ véctơ pháp tuyến (P )? n = (−2; 5; 1) n = (2; 5; 1) n = (2; 5; −1) n = (2; −5; 1) A #» B #» C #» D #» L Ví dụ (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 3x + 2y − 4z + = Vectơ vectơ pháp tuyến (α)? A n#»2 = (3; 2; 4) B n#»3 = (2; −4; 1) C n#»1 = (3; −4; 1) D n#»4 = (3; 2; −4) L Ví dụ (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y + z + = Véctơ véctơ pháp tuyến (P )? n (2; 3; 2) n (2; 3; 0) n (2; 3; 1) n (2; 0; 3) A #» B #» C #» D #» Ô Giáo viên: Hoàng Blue - 0931.568.590 h https://fb.com/toanthayhoangblue ... Dạng 2. 25: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng B BÀI TẬP TỰ LUYỆN 23 1 23 5 | Dạng 2. 26: Khoảng cách hai đường thẳng chéo C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 23 0 24 2 24 7 | Dạng 2. 27:... ⊥ b ⇔ #» a · b = a1 · b + a2 · b + a3 · b =   #» #» Ä #»ä Suy ra: a · b + a2 · b + a3 · b a· b #»  =p 1 p • cos a , b =  #»   a21 + a 22 + a23 · b21 + b 22 + b23 | #» a| · b C TỌA ĐỘ ĐIỂM... Dạng 4 .20 : Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm KHOẢNG CÁCH 193 195 | Dạng 4 .21 : Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH 197 Chuyên đề 2: GÓC - KHOẢNG CÁCH 20 0 §1