Đang tải... (xem toàn văn)
1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A= A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Căn bậc hai số học • Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho 2x a= • Số dương[.]
CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Căn bậc hai số học • Căn bậc hai số không âm a số x cho x = a • Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu − a • Số có bậc hai số 0, ta viết =0 a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học • Với số dương a, số • Với hai số khơng âm a, b, ta có a < b ⇔ a < b II Căn thức bậc hai A thức bậc hai A • Với A biểu thức đại số, ta gọi • A xác định (hay có nghĩa) A ≥ .A ≥ A = A= A A < −A B BÀI MINH HỌA I BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) −3x b) − 2x c) −3x + d) 3x + e) 9x − f ) 6x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: x x x + x−2 + x−2 + x−2 a) b) c) x−2 x+2 x −4 −2 d) e) f) − 2x 2x + x +1 Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) x + b) 4x + d) − x + 2x − c) 9x − 6x + e) − x + f ) −2x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) − x b) x − 16 c) x − d) x − 2x − e) x ( x + ) f ) x − 5x + Lời giải Bài 1: a)x ≤ d)x ≥ −1 b)x ≤ e)x ≥ f )x ≥ c)x ≤ Bài 2: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) x + x−2 x−2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện biểu thức x − ≠ x ≠ Vậy điều kiện biểu thức x > x b) + x−2 x+2 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x≥2 Điều kiện biểu thức x + ≠ x ≠ −2 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x c) + x−2 x −4 x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔x>2 Điều kiện ≠ ± x − ≠ x Vậy điều kiện biểu thức x > A dạng với A > − 2x B ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ − 2x > ⇔ x < − 2x Vậy điều kiện biểu thức x < d) A Dạng với A > B 2x + ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ 2x + > ⇔ x > − 2x + 3 Vậy điều kiện biểu thức x > − e) −2 A dạng với A < x +1 B −2 ⇒ Điều kiện ≥ ⇔ x + < ⇔ x < −1 x +1 Vậy điều kiện biểu thức x < −1 Bài a) Vì x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈ b) Vì 4x + > 0∀x Vậy hàm số xác định ∀x ∈ f) c) 9x − 6x += ( 3x − 1) Vì ( 3x − 1) ≥ 0∀x ∈ 2 Vậy hàm số xác định với x d) − x + 2x − = − ( x − 2x + 1) = − ( x − 1) Hàm số xác định ⇔ − ( x − 1) ≥ ⇔ x − 1= ⇔ x = Vậy hàm số xác định x = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com e) − x +5 Điều kiện − x + ≥ ⇔ x + =0 ⇔ x =−5 f) −2x − Điều kiện −2x − =− ( 2x + 1) < 0∀x Vậy không tồn giá trị x để hàm số có nghĩa Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) Điều kiện biểu thức − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy điều kiện biểu thức −2 ≤ x ≤ b) Điều kiện biểu thức x − 16 ≥ ⇔ x ≥ 16 ⇔ x ≥ x ≤ −4 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ −4 c) Điều kiện biểu thức x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ x ≤ − Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x ≤ − x + ≥ x ≥ −1 ⇔ ⇔ x≥3 x − ≥ x ≥ d) x − 2x − ≥ ⇔ ( x + 1)( x − 3) ≥ ⇔ x + ≤ x ≤ −1 ⇔ ⇔ x ≤ −1 x ≤ x − ≤ Vậy biểu thức xác định x ≥ x ≤ −1 e) Điều kiện biểu thức x ( x + ) ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ −2 x ≥ f) Điều kiện biểu thức x − 5x + ≥ ⇔ ( x − )( x − 3) ≥ ⇔ x ≤ x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ x ≥ Dạng Tính giá trị biểu thức Trong tốn tính giá trị biểu thức toán rút gọn thường xuất dạng biểu thức “ẩn” đẳng thức Để tính tốn giải nhanh tốn, em cần biến đổi, sử dụng thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá việc nhận dạng xử lý toán, em tham khảo sơ đồ bên Sử dụng đẳng thức toán chứa Chú ý: x = ( x) Các đẳng thức đáng nhớ (a + b) =a + 2ab + b ( x) x ≥ 0; x x = Ví dụ minh họa 1.6 + = + + = ( 5) + +1= 3.x + x += ( x) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com +2 ( + +1 = 2 ) ( +1 ( ) + +1= x += ( x + 1) + = 2 ) +1 = +1 (a − b) =a − 2ab + b 1.6 − = − + = ( 5) − +1 = ( ) − 10 = − + =5 x + − x − 5= ( = a − b = ( a − b )( a + b ) x2 − ( −1 = x +1 22 − 4−a = 2− a a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) )( ) x +1 = x +1 1− 1− a a += a 1− a = = a + 3a b + 3ab + b3 x ( =a − 3a b + 3ab − b3 ( ( −2 ) b) ( a) += a 1− a ) (3 − 2 ) + (3 + 2 ) ( − ) + (1 − ) ( − 2) + ( + 2) 2 c) ( ( 2+ a (1 − a )(1 + a +a 1− a ( ) x x + 1 = x − x +1 ) x x x +1 = x − x +1 ) x ( )+ a ) 3 + + 3 + 1= ( +1 = ) ( −1 = 3 +1 3 −1 x + = x x + 3x + x + − 10 = ) 3 − + 3 − 1= ) x − = x x − 3x + x − c) ( 3−2 ) (2 d) (5 − ) − (5 + ) (3 + ) − (1 − ) ( + 1) − ( − 5) b) d) f) Bài Thực phép tính sau: TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 2 2 2 −3 ) )( ) x +1 x − x +1 x − x +1 x +1 10 + = 2 e) 2 Bài Thực phép tính sau: a) ( =5 − x −1 2− a Bài Thực phép tính sau: ( −0,125) 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) x + x = x − x +1 a) − 0,8 ( 2) 2− a ) ( ( a ) = ( − a )( + a )= ( (a − b) − + x2 − − + ≥ x −1 =1 + a + a + a = + a 1.x − 27 = ( x − 3) ( x + 3x + ) a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) (a + b) ) −1 x2 − − x2 − + + − x − + 4= +4 ( x) x −1 = x +1 ) 2 ( ) a) + − − b) − 10 − + 10 c) − + + d) 24 + + − e) 17 − 12 + + f ) − + 22 − 12 Bài Thực phép tính sau: a) c) ( 3− ) 8−4 4+ b) − − 1+ 5+ − − 29 − 12 d) 13 + 30 + + Lời giải Bài 1: a) Biến đổi biểu thức −0,8 ( −0,125) = −0,8 −0,125 = −0,8.0,125 = −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0,1 b) Biến đổi biểu thức ( −2 ) =( −2 ) =−8 =8 Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: ( 3−2 ) = − = − 3−2 = 2 − = − 2 − 2 =− Vậy biểu thức có giá trị − 2 Bài 2: a) Biến đổi biểu thức: (3 − 2 ) + (3 + 2 ) − (5 + ) = 3− 2 + 3+ 2 = 3− 2 +3+ 2 = =5 − − + =5 − − + =−4 (vì − 2 > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: b) Biến đổi biểu thức (5 − ) ( ) ( ) (vì − > 0) Vậy biểu thức có giá trị là: −4 c) Biến đổi biểu thức (2 − 3) + (1 − ) − (1 − ) = − + 1− = − + −1 = = + − 1− = + − (Vì − > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: d) Biến đổi biểu thức (3 + ) ( ) −1 = (vì + > 0;1 − < 0) Vậy biểu thức có giá trị là: e) Biến đổi biểu thức ( 5− ) + ( 5+ − > 0; + > TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) = 5− + 5+ = 5− 2+ 5+ =2 Vậy biểu thức có giá trị là: ( f) Biến đổi biểu thức ) ( 2 +1 − ) 2 −5 = +1 − ( − 5= ) +1− − = 2 − + > 0; − < ) (Vì Vậy biểu thức có giá trị 2 − Bài 3: + − 5−2 a) Ta có: + = + + = ( 5+ − 5−2 = Nên = 2 ( ) + ; − = − + = 3+ ) ( − 3− ) = ( 3− 3+ − 3− = ( ) ) ( 3+ − 3− ) + > 0; − > Vậy biểu thức có giá trị 2 − 10 − + 10 b) Ta có: − 10 = − + = ( ) − ;7 + 10 = + + = ( 5+ ) Nên ( − 10 − + 10 = − ) − ( 5+ ) ( − > 0; + > Vậy biểu thức có giá trị −2 c) Biến đổi biểu thức 4−2 + 3+ = ( ) Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức ( 24 + + − 5= ) = ( + +1 + = ( +1 + ) ( −1 + 5−2 ( )= +1 ) + + − 5= − 5.2 + 22 ) = +1 + − = +2+ −= Vậy biểu thức có giá trị e) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( =5 − − + =5 − − − + + 1= ( − + + 1= ) + +1 + − + ) 5+ = −2 17 − 12 + + = − 12 + + + + ( ) + (2 ) ( 2 + 1) =32 − 2.3.2 + 2 ( =3− 2 ) + + 2.2 + 12 − 2 + 2 +1 = = − 2 + 2 +1 = Vậy biểu thức có giá trị f) Biến đổi biểu thức − + 22 − 12 = − + + 18 − 12 + (3 ) (3 − 2) = 22 − 2.2 + + ( = 2− ) 2 − 2.3 2.2 + 22 + =2 − + − = 2− +3 −2 = 2 Vậy biểu thức có giá trị 2 Bài a) Biến đổi biểu thức ( 3− ) 5+ ( ) ( + 2) = ( − 2) + = ( − )( + ) = ( ) − ( ) = − =1 − ( − 1) b) Ta có: = = 3− = 2 −1 4+2 = 1+ ( −1 ) ( ) −1 +1 = 1+ ( ) +1 2 4−2 4+2 Suy − = − − −1 1+ ( ) ( Vậy biểu thức có giá trị −4 c) Biến đổi biểu thức TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ( ) ( ) + =4 − − + = −4 − − 29 − 12 = − − 20 − 12 + = = − 9− +3 = = 5− ( ( ) ) −1 = (2 − 9− +3 ) − 6−2 5− ( ) ) = 13 + 30 + 2 + − 1= 1= Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức 13 + 30 + + = 13 + 30 + (2 +1 ( = 13 + 30 + 2 = 13 + 30 = 13 + 30 ( ) +1 = ( ) +1 ) 43 + 30 ( = 25 + 2.5.3 + 18 = + ) =5 + Vậy biểu thức có giá trị + Dạng Rút gọn biểu thức Bài Rút gọn biểu thức sau: a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) x − 2x + x − 4x + d) x − + ( x > 1) ( x < 2) x −1 x−2 Bài Rút gọn biểu thức sau: c) a) − 4a + 4a − 2a b)x − 2y − x − 4xy + 4y c)x + x − 8x + 16 d)2x − − e) x − 4x + x2 − f) ( x − 4) x − 10x + 25 x −5 + x−4 x − 8x + 16 Bài Cho biểu thức A= x + x − − x − x − a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x ≥ Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện xy + yz + xz = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 Lời giải Bài TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com + z2 a)x + + x − 6x + ( x ≤ 3) ( x − 3) = x +3+ = x +3+ x −3 (vì x ≤ nên x − = − ( x − 3) ) = x + − ( x − 3) = b) x + 4x + − x ( −2 ≤ x ≤ ) ( x + 2) = + x2 = x + + x x ≥ −2 nên x + = x + x ≤ nên x = − x = x+2−x = c) x − 2x + ( x > 1) x −1 ( x − 1) x −1 x −1 = = = x −1 x −1 x −1 Vì x > nên x − = x − = x − 4x + d) x − + = x−2 + x−2 x < nên x − = − ( x − 2) Biểu thức =x − + x−2 x−2 ( x − 2) x−2 =− ( x − ) + − ( x − 2) =− x + − =− x + x−2 Bài a) Biến đổi biểu thức − 4a + 4a − 2a = (1 − 2a ) − 2a =1 − 2a − 2a Với a ≤ − 2a ≥ nên − 2a =− 2a ta có: − 4a + 4a − 2a =1 − 2a − 2a =− 2a − 2a =− 4a Với a ≥ 1 − 2a − 2a = 2a − − 2a = −1 − 2a ≤ nên − 2a = 2a − ta có: − 4a + 4a − 2a = b) Biến đổi biểu thức x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − ( x − 2y ) =x − 2y − x − 2y Với x − 2y ≤ x − 2y = − ( x − 2y ) ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y + ( x − 2y ) =2x − 4y Với x − 2y ≥ x − 2y =x − 2y ta có x − 2y − x − 4xy + 4y =x − 2y − x − 2y =x − 2y − ( x − 2y ) =0 c) x + x − 8x + 16 = x + (x − 4) = x + x − với x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x − ( x − ) = TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Với x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −2 x ≥ x − = x − ta có: x + x − 8x + 16 = x + x − = x + ( x − ) = 2x − ( x − 5) x −5 x − 10x + 25 d) 2x − − = 2x − − = 2x − − x −5 x −5 x −5 Với x − ≤ ⇔ x ≤ x − = − ( x − ) ta có: x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − + = 2x x −5 x −5 x −5 Với x − ≥ ⇔ x ≥ x − = ( x − ) ta có: 2x − − 2x − − x −5 x − 10x + 25 x −5 = 2x − − = 2x − − = 2x − x −5 x −5 x −5 Bài Biểu thức A= x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 a) Biểu thức xác định x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −1 x ≥ b) Tính A với x ≥ A= = = = x2 + x2 −1 − x2 − x2 −1 (x − 1) + x − + − ( x2 −1 +1 − ) ( − 1) − x − + ) x2 −1 +1 + (x x2 −1 −1 x2 −1 −1 Với x ≥ x ≥ ⇔ x − ≥ ⇒ x − ≥ ⇔ x − − ≥ Vậy A = x2 −1 +1 + x − − 1= x − + + x − −= x2 −1 Bài Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx = (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) Tính A = x 1+ x2 2 + y2 + z2 Ta có: + y = ( xy + yz + xz ) + y = xy + y + yz + zx = y ( x + y ) + z ( y + x ) = ( x + y )( y + z ) Tương tự + z = ( y + z )( z + x ) + x = ( z + x )( x + y ) Suy *x (1 + y )(1 + z ) = x ( x + y )( y + z )( x + z )( y + z ) = ( x + y )( x + z ) x ( y + z) *y (1 + z )(1 + x ) = y ( z + x )( y + z )( x + z )( x + y ) = ( x + y )( y + z ) y ( x + z) 1+ x 2 2 1+ y (1 + x )(1 + y ) = z ( x + y )( x + z )( x + y )( y + z ) = z x + y ( ) 1+ z ( x + z )( y + z ) *z 2 = y (x + z) = z ( x + y) 2 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com = x ( y + z) ... thành thạo dạng đẳng thức đáng nhớ Để đơn giản hoá việc nhận dạng xử lý tốn, em tham khảo sơ đồ bên Sử dụng đẳng thức toán chứa Chú ý: x = ( x) Các đẳng thức đáng nhớ (a + b) =a + 2ab + b ( x)... 3) ≥ ⇔ x ≤ x ≥ Vậy điều kiện biểu thức x ≤ x ≥ Dạng Tính giá trị biểu thức Trong tốn tính giá trị biểu thức tốn rút gọn thường xuất dạng biểu thức “ẩn” đẳng thức Để tính tốn giải nhanh toán,... giá trị x thức sau có nghĩa: a) Điều kiện biểu thức − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Vậy điều kiện biểu thức −2 ≤ x ≤ b) Điều kiện biểu thức x − 16 ≥ ⇔ x ≥ 16 ⇔ x ≥ x ≤ −4 Vậy điều kiện biểu thức x ≥ x