CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 6 1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT ĐẸP TIỆN CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa Cho ,a b là các số nguyên và n l[.]
CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Ta định nghĩa a đồng dư với b theo môđun n kí hiệu là: a b mod n , a b có số dư chia cho n Chú ý : a) a b(mod m) đồng dư thức với a vế trái, b vế phải b) a b(mod m) a – b m t Z cho a = b + mt c) Nếu a b không đồng dư với theo môđun m ta ký hiệu : a b (mod m) d) Nếu a chia cho b dư r a r mod b Tính chất Tính chất phản xạ : Tính chất đối xứng : a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) Tính chất bắc cầu : a b (mod m); b c (mod m) a c (mod m) Cộng hay trừ vế đồng dư thức có mơđun : a b (mod m) ; c d (mod m) a c b d (mod m) Tổng quát : bi (mod m), i = 1; 2; ; k a1 a2 ak b1 b2 bk (mod m) a) Nhân hai vế đồng dư thức với số nguyên : a b (mod m) ka kb (mod m) với k Z b) Nhân hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương: a b (mod m) ka kb (mod km) với k N* Nhân vế nhiều đồng dư thức có mơđun : a b (mod m) ; c d (mod m) ac bd (mod m) Tổng quát bi (mod m), i = 1; 2; ; k a1 a2 a k b1b2 bk (mod m) Nâng hai vế đồng dư thức lên lũy thừa : a b (mod m) ak bk (mod m) (k N*) Nếu hai số đồng dư với theo nhiều môđun chúng đồng dư với theo mơđun BCNN mơđun ấy: | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN a b (mod mi ), i = 1; 2; ; k a b (mod m1 ; m2 ; ; mk ) Đặc biệt mi , m j (i, j = 1; 2; ; k) a b (mod mi ) a b (mod m1 m2 mk ) Nếu a b (mod m) tập hợp ước chung a m tập hợp ước chung b m Đặc biệt : a b (mod m) (a, m) = (b, m) 10 Chia hai vế môđun đồng dư cho ước dương chung chúng : a b (mod m) , k UC(a,b,m), k > a b m mod k k k m Đặc biệt : ac bc (mod m) a b mod (c, m) B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Sử dụng đồng dư thức toán chứng minh chia hết * Cơ sở phương pháp: Khi số dư phép chia a cho m a m Như để chứng tỏ a m ta chứng minh a (mod m) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh rằng: 22225555 55552222 Hướng dẫn giải Ta có: 2222 mod hay 2222 4 mod 22225555 4 5555 Mặt khác 5555 mod 55552222 42222 mod (**) Từ (*) (**) 22225555 5555222 4 5555 2222 mod 22225555 5555222 4 2222 43333 1 mod Ta lại có: 43333 43 1111 641111 mà 64 1 mod 43333 1 mod 43333 mod 42222 43333 1 mod Do 22225555 55552222 mod hay 22225555 55552222 mod (*) CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Bài tốn Chứng minh rằng: A 7.52 n 12.6 n 19 Hướng dẫn giải Ta có: 52 n 52 25n A 7.25n 12.6n n 25 mod19 25n 6n mod19 A 7.6 n 12.6 mod19 A 19.6n mod19 n A mod19 A19 Bài toán Chứng minh 122n+1 + 11n+2 133 ( n N) Hướng dẫn giải Cách 1:Ta có 122 = 144 11(mod 133) ; 112 = 121 –12(mod 133) Do 122n+1 = 12 12 12 11n (mod 133) n 11n+2 = 112 11n –12 11 n (mod 133) Do 122n+1 + 11 n+2 12 11n – 12 11 n (mod 133) Vậy với n N 122n+1 + 11n+2 133 Cách 2: Ta có 122 = 144 11(mod 133) 122n 11n (mod 133) (1) Mà 12 – 112 (mod 133) (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta có : 122n 12 11n (– 112) (mod 133) 122n+1 –11n+2 (mod 133) 122n+1 + 11n+2 (mod 133) hay 122n+1 + 11n+2 133 Bài toán Chứng minh rằng: A 2 n N 2n Hướng dẫn giải Ta có 23 1 mod 2n Ta tìm số dư chia cho (đây điểm mấu chốt tốn) Vì 1 mod 3 4n 1 mod 3 22 n 1 mod 3 hay n chia cho dư Giả sử: 2 n 3k 1 k N Khi ta có: A 23k 1 2.8k | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Vì 8k 1 mod 2.8k mod 2.8k mod A mod Vậy A Dạng 2: Sử dụng đồng dư thức tìm số dư * Cơ sở phương pháp: Với hai số nguyên a m, m > có cặp số nguyên q, r cho a = mq + r, r m Để tìm số dư r phép chia a cho m ta cần tìm r cho a r(mod m) 0 r m * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số dư chia 32000 cho Hướng dẫn giải Ta có 32 mod 36 32 1 mod 36 333 1 mod 31998 1 mod Mặt khác 32 mod 32000 31998.32 1.2 mod 32000 : dư Nhận xét: Để tìm số dư chia a n cho b , ta lấy lũy thừa với số mũ tăng dần a chia cho b để tìm số dư Ta dừng lại để xem xét tìm số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ giá trị đặc biệt có liên quan đến tốn Bài tốn Tìm số dư phép chia 570 50 cho 12 Hướng dẫn giải Ta có 52 1 mod12 52 1 mod12 570 1 mod12 * 35 1 mod12 1 mod12 750 1 mod12 ** 25 Từ * ; ** 570 50 cho 12 dư Bài tốn Tìm số dư số A 32005 2005 chia cho 11 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Hướng dẫn giải Ta có 35 243 1 mod11 35 401 1 mod11 32005 1 mod111 Mặt khác 45 1024 1 mod11 45 401 1 mod11 42005 1 mod11 Từ 1 ; số dư số A 32005 42005 chia cho 11 Bài tốn a) Tìm số dư phép chia 15325 – cho b) Tìm số dư phép chia 20162018 + cho Hướng dẫn giải a) Ta có 1532 = 9.170 + (mod 9) 15325 25 (mod 9) 5 1532 – – (mod 9) Vì – = 31 (mod 9) Do 15325 – (mod 9) Vậy số dư cần tìm b) Ta có 2016 (mod 5) 20162018 12018 (mod 5) suy 20162018 + 2018 + (mod 5) Vì + = (mod 5) Do 20162018 + (mod 5) Vậy số dư cần tìm Dạng 3: Tìm điều kiện biến để chia hết * Cơ sở phương pháp: Dựa vào tính chất đồng dư thức số dư để tìm điều kiện ẩn để biểu thức chia hết * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n cho: a 23n 32 n 1 19 Hướng dẫn giải a Ta có 23n 32 n1 16.8n 3.9n n n Vì 16 3 mod19 16.8 3.8 mod19 16.8n 3.9n 19 3 8n 3.9n mod19 n 8n mod19 9n 8n mod19 n0 trái lại 9n 8n mod19 mod19 vô lý Vậy n | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN b n.2 n b.Ta xét trường hợp sau Trường hợp Nếu n 3k k N n.2 n n.2n 1 loại Trường hợp Nếu n 3k 1 k N n.2 n 3k 1 23k 1 3k 23k 1 23k 1 3k 23k 1 2.8k n.2n 13 2.8k 13 1 mod 3 8k 1 mod3 k 2.8k 1 2. 1 mod k tương đương với k chẵn k m m N n 6m 1 m N Trường hợp Nếu n 3k k N n.2 n 3k 23k 3k 33k 2.23k 3k 23k 8k 1 n.2 n 13 1 k 1 mod 3 k+1 lẻ k 2m m N n 6m m N Vậy điều kiện cần tìm m 1 mod m mod Bài tốn Tìm số tự nhiên n có chữ số cho chia n cho 131 dư 112 chia n cho 132 dư 98 Hướng dẫn giải n 98 mod132 n 132k 98 k N 1 132 98 112 mod131 k 98 33 112 33 mod131 k 14 mod131 k 131m 14 m N Từ (1) (2) n 131.132m 1946 n 1946 Dạng 4: Tìm chữ số tận * Cơ sở phương pháp: Nếu a r mod10 ;0 r b r chữ số tận a CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Ta cần lưu ý số tính chất sau: Tính chất Nếu a có chữ số tận 0;1;5;6 a n có chữ số tận a nghĩa a n a mod10 Tính chất Nếu a có chữ số tận 4;9 a có chữ số tận 6;1 Nghĩa là: Nếu a mod10 a mod10 a k mod10 Nếu a mod10 a 1 mod10 a k 1 mod10 Do để tìm chữ số tận a n ta chia n cho Tính chất Nếu a có chữ số tận 2;3;7;8 ta áp dụng kết sau: k mod10 ;34 k 1 mod10 ;7 k 1 mod10 ;84 k mod10 Do để tìm chữ số tận a n ta chia n cho * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho số A 20122013 tìm chữ số tận A Hướng dẫn giải Ta có 2013 4.503 Vì 2012 mod10 20124 mod10 20124 503 mod10 20122012 mod10 2012 2013 6.2 mod10 2012 2013 mod10 Vậy A có chữ số tận Bài tốn Cho B 19781986 tìm chữ số tận B Hướng dẫn giải 1978 mod10 19784 mod10 19868 mod 1986 4k k N C 19784 k mod10 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Vậy chữ số tận B Dạng 5: Tìm hai chữ số tận * Cơ sở phương pháp: Nếu a r mod100 ;10 r 100 r chữ số tận a Ta cần lưu ý số tính chất sau: 20 76 mod100 ;320 01 mod100 ;65 mod100 01 mod100 ;52 25 mod100 76n 76 mod100 ; 25n 25 mod100 n a mod10 a 20 k 01 mod100 20 k a 1;3;7;9 mod10 a 01 mod100 Từ ta có: 20 k a mod10 a 25 mod100 20 k a 2; 4;6;8 a 76 mod100 Do để tìm hai chữ số tận a n ta chia n cho 20 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho số A 20122013 tìm hai chữ số tận A Hướng dẫn giải Ta có 2013 20.100 13 2012 mod10 201220 76 mod100 201220 100 Mặt khác 76 mod100 20122000 76 mod100 1 2012 12 mod100 20126 126 mod100 20126 84 mod100 20126 56 mod100 201212 56 mod100 2012 2013 72 mod100 Từ (1) (2) 20122013 20122000.20122013 76.72 mod100 20122013 72 mod100 Vậy A có hai chữ số tận là: 72 Bài tốn Tìm hai chữ số tận số sau a A 79 79 b B 299 2012 c C 19781986 Hướng dẫn giải a Vì 01 mod100 nên ta tìm số dư chia 97 cho Ta có CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUYÊN 1 mod 97 1 mod 97 4k k N 9 A 79 k 1 74 7.01 mod100 79 07 mod100 79 79 k Vậy A có hai chữ số tận 07 b Vì 2910 01 mod100 nên ta tìm số dư chia 92012 cho 10 Ta có : 1 mod10 92012 1 mod10 92012 10k 1 k N B 2910 k 1 29. 2910 29.01 mod100 B 29 mod100 k Vậy B có hai chữ số tận 29 c Vì C mod10 C 20 76 mod100 C 20 m 76 mod100 Mặt khác 1986 mod 20 19868 16 mod 20 C 197820 k 6 197820 197816 197816.76 mod100 k Ta lại có : 1978 22 mod100 19784 56 mod100 19784 564 mod100 197816 76 mod100 C 96.76 mod100 C 76 mod100 Vậy C có hai chữ số tận 76 Dạng 6: Sử dụng đồng dư thức tốn số phương * Cơ sở phương pháp: Số phương số có dạng n n N Ta chứng minh số tính chất số phương đồng dư : Số phương chia cho có hai số dư Thật ta xét trường hợp sau Với n 3k n mod 3 n2 02 mod 3 n2 mod số dư Với n 3k n 1 mod n 1 mod n 1 mod số dư 2 Số phương chia cho có hai số dư Chứng minh tương tự : 2 Với n 4k n mod n mod n mod số dư | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Với n 4k n 1 mod n 1 mod n 1 mod số dư Với n 4k n mod n2 22 mod n2 mod số dư Số phương chia cho có ba số dư 0,1 Tương tự ta xét trường hợp sau : n 8k n mod8 n mod8 n 8k n 1 mod8 n 1 mod8 n 8k n 2 mod8 n 2 mod8 n 8k n 3 mod8 n 3 mod8 n 1 mod8 n 8k n mod8 n mod8 n mod8 Hồn tồn tương tự ta xét trường hợp số dư số phương chia cho 5,7,9 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh số : A 19 k 5k 1995k 1996k với k chẵn số phương Hướng dẫn giải Với k chẵn ta có 19 k 1 mod 19 k 1 mod k 1995k 1 mod 19955 1 mod k 1996 k mod A 19k 5k 1995k 1996k mod Hay A chia dư Vậy A số phương Bài tốn Tìm tất số tự nhiên x,y để x + 5y số phương Hướng dẫn giải Giả sử x y k k N Nếu x y k k chẵn k chia hết cho y chia dư Vậy x , từ y k k lẻ k không chia hết cho Xét hai trường hợp +) Với x k 2n 1 (vì k lẻ nên k 2n 1, n N ) x 4n(n 1) n Khi x = 3; y = (thỏa mãn) Thử lại: x y 23 50 số phương +) Với y k không chia hết cho k 1(mod 5) 10 ... 19784 56 mod100 19784 564 mod100 1978 16 76 mod100 C 96. 76 mod100 C 76 mod100 Vậy C có hai chữ số tận 76 Dạng 6: Sử dụng đồng dư thức toán số phương... Giải trường hợp ta k = x y 30 Vậy x = Dạng 7: Sử dụng đồng dư thức toán số nguyên tố, hợp số * Cơ sở phương pháp: Đối với nhiều toán số nguyên tố hợp số ngồi sử dụng tính chất số. .. 1: Sử dụng đồng dư thức toán chứng minh chia hết * Cơ sở phương pháp: Khi số dư phép chia a cho m a m Như để chứng tỏ a m ta chứng minh a (mod m) * Ví dụ minh họa: Bài toán Chứng minh