i Lời cam đoan Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan đây là công trình của tôi Các kết quả đưa vào luận án đều được sự đồng ý của các đồng tác giả là G[.]
i Lời cam đoan Luận án hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan cơng trình tơi Các kết đưa vào luận án đồng ý đồng tác giả GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn PGS.TS Nguyễn Bá Minh Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa ii Lời cảm ơn Luận án thực Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Thầy tận tình dìu dắt, hướng dẫn ln động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy, tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới Ban giám hiệu, Khoa Khoa học Bộ mơn Tốn trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên ln tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập hồn thành luận án Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nghiên cứu sinh động viên, giúp đỡ suốt trình học tập, nghiên cứu làm luận án Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa iii Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Không gian thường dùng 1.1.1 Không gian tôpô 1.1.2 Khơng gian tuyến tính 11 1.1.3 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 12 1.2 Nón ánh xạ đa trị 14 1.2.1 Các khái niệm nón 14 1.2.2 Ánh xạ đa trị tính chất 16 1.2.3 Một số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị liên tục 27 Chương Bài toán tựa cân tổng quát 31 2.1 Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát 33 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu tích Đề hai ánh xạ 52 Chương Các toán liên quan 3.1 Bài toán tựa cân suy rộng loại I 72 72 3.1.1 Đặt toán 72 3.1.2 Định lý tồn nghiệm 77 3.2 Bài toán tựa cân suy rộng loại II 81 3.2.1 Đặt toán 81 3.2.2 Định lý tồn nghiệm 84 iv 3.3 Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp 91 3.3.1 Đặt toán 91 3.3.2 Định lý tồn nghiệm 94 Kết luận chung kiến nghị 103 Tài liệu tham khảo 105 v vi Danh mục ký hiệu chữ viết tắt R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm 2X tập tập tập hợp X X∗ không gian đối ngẫu tôpô không gian tôpô tuyến tính X hp, xi giá trị p ∈ X ∗ x ∈ X F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập Xvào tập Y Gr(F ) đồ thị hàm F dom(F ) miền xác định hàm F F −1 hàm ngược hàm F u.s.c nửa liên tục l.s.c nửa liên tục ∀x với x ∃x tồn x ∅ tập rỗng {xα } dãy suy rộng coA bao lồi tập hợp A coneA bao nón lồi tập hợp A clA, A¯ bao đóng tơpơ tập hợp A intA phần tôpô tập hợp A vii A⊆B Alà tập B A∪B hợp hai tập hợp Avà B A∩B giao hai tập hợp Avà B B tích Đề hai tập hợp Avà B A\B hiệu hai tập hợp Avà B Mở đầu Khi nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, ngành khoa học, thường gặp câu hỏi: Tồn hay không tồn tại? Tồn nào? Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ làm ta liên hệ với tồn hay không tồn nghiệm phương trình, tốn phát biểu sau: Tìm x ∈ D cho F (x) = 0, (1) đó, D tập khác rỗng không gian X F ánh xạ từ D vào khơng gian tuyến tính Y Bài tốn cịn gọi phương trình toán tử Câu hỏi thứ hai, toán học, ta liên hệ với tốn: Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), với x ∈ D, (2) với D tập không gian X f hàm số từ tập D vào khơng gian số thực R Bài tốn cịn gọi tốn tối ưu Bài tốn (1) (2) đóng vai trị quan trọng việc ứng dụng toán học vào giải vấn đề đặt thực tiễn sống Các nhà toán học xây dựng lý thuyết để giải hai toán (1) (2) Lý thuyết để giải tốn (1) gọi lý thuyết phương trình toán tử Lý thuyết để giải toán (2) gọi lý thuyết tối ưu Hai toán đóng vai trị trọng tâm hai lý thuyết Lý thuyết phương trình tốn tử lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn Trong nhiều trường hợp, tốn (1) đưa tốn (2) ngược lại Ví dụ: Khi X không gian Hilbert, f hàm lồi có đạo hàm f , tốn (2) tương đương với tốn: Tìm x ∈ D cho x = PD (x − f (x)), với PD (x) hình chiếu trực giao điểm x lên tập D Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x − f (x)) − x Tức là, toán (1) tương đương với toán (2) Để giải toán (2), người ta phân loại thành lớp tốn dựa theo đặc tính hàm số f tập D Khi f hàm tuyến tính D đa diện lồi khơng gian Euclid n chiều Rn , toán (2) gọi qui hoạch tuyến tính Năm 1947, G B Danzig, nhà tốn học Mỹ tìm thuật tốn đơn hình để giải tốn Khi D tập lồi đóng khơng gian Rn f hàm lồi (2) gọi tốn quy hoạch lồi Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, T Rockaffelar đưa khái niệm vi phân hàm lồi để xây dựng mơn giải tích lồi nhằm giải toán quy hoạch lồi Tiếp theo, f hàm Lipschitz địa phương D tập đóng, (2) gọi tốn quy hoạch Lipschitz Sau năm 1970, nhà toán học Mỹ, F H Clarke xây dựng vi phân hàm Lipschitz địa phương để giải toán quy hoạch Lipschitz Khi hàm f hàm liên tục, D tập đóng, tốn (2) gọi tốn quy hoạch liên tục Những năm cuối Thế kỷ 20 năm đầu Thế kỷ 21, D T Luc V Jeyakumar đưa lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải toán quy hoạch liên tục Tới năm 1960 kỷ trước, Stampachia [41] đưa toán bất đẳng thức biến phân: Cho D tập khác rỗng không gian Rn , T : D → Rn Tìm x ∈ D cho hT (x), x − xi ≥ 0, với x ∈ D (3) Sau đó, toán mở rộng thành toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìm x ∈ D cho hT (x), x − xi + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với x ∈ D, (4) đó, D tập khác rỗng khơng gian Banach X, X ∗ không gian đối ngẫu X, T : D → X ∗ ánh xạ đơn trị, φ : D → R hàm số thực Năm 1994, Blum Oettli [14] đưa toán điểm cân (EP): Cho ánh xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D Tìm x ∈ D cho f (t, x) ≥ 0, với t ∈ D (5) Để chứng minh tồn nghiệm toán (5), tác giả sử dụng Định lý tương giao ánh xạ KKM, dạng tương đương Định lý điểm bất động Browder Bài toán điểm cân bao hàm toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán điển yên ngựa, toán minimax, toán điểm bất động, trường hợp đặc biệt Trong năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm tìm nghiệm cho tốn nhiều nhà toán học nước quốc tế mở rộng phát triển mạnh mẽ Tiếp theo, toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, toán điểm cân mở rộng hàm số liên quan hàm véctơ chúng gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, toán điểm cân véctơ Những năm cuối Thế kỷ 20 năm đầu Thế kỷ 21, tác giả N X Tan [46], D T Luc [11], P N Tinh [58], P H Sach [53], P Q Khanh [32], L J Lin [40], T T T Duong [22], B T Hung [35], N T Q Anh [8], phát biểu toán chứng minh tồn nghiệm chúng ánh xạ liên quan ánh xạ đa trị Những toán (1), (2) toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ, ánh xạ đa trị quy toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y Tìm x ∈ D cho ∈ F (x), (6) đó, X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D tập X Bài toán (6) gọi toán cân tổng qt hay cịn gọi phương trình đa trị Trong thực tế, nhiều miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc ánh xạ, P : D → 2D Khi đó, ta cần xét tốn: Tìm x ∈ D cho ... Chương Bài toán tựa cân tổng quát 31 2.1 Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát 33 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu tích Đề hai ánh xạ 52 Chương Các toán liên quan 3.1 Bài toán. .. toán tựa cân suy rộng loại I, Bài toán tựa cân suy rộng loại II Bài toán tựa cân suy rộng hỗn hợp Xuất phát từ mục tiêu nội dung nghiên cứu luận án, nghiên cứu sinh lựa chọn tên luận án ? ?Bài toán. .. tiêu luận án là: (1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiệm Bài toán tựa cân dạng Blum - Oettli tổng quát với hàm mục tiêu ánh xạ ràng buộc hàm ánh xạ đa trị trường hợp: - hàm mục tiêu tổng ánh