BÀI TẬP HÀM PHỨC Dành cho SV Khoa Điện Điện tử Chương 1 Số phức 1 Tính (a) sin(1 + i) (b) cos 2i (c) tan(1− i) (d) i13 (e) (8 + 8 √ 3i)14 (f) (1 + i)34 (g) i14 (h) (1− i √ 3)13 2 Chứng minh nếu z.BÀI TẬP HÀM PHỨC Dành cho SV Khoa ĐiệnĐiện tử Chương 1. Số phức 1. Tính (a) sin(1 + i) (b) cos 2i (c) tan(1 − i) (d) i 13 (e) (8 + 8√ 3i) 14 (f) (1 + i) 34 (g) i 14 (h) (1 − i √ 3)13 2. Chứng minh nếu z + 1 z ∈ R thì im z = 0 hoặc |z| = 1. 3. Tìm z để các hàm sau nhận giá trị thực, ảo (a) e z (b) sin z (c) cos z Chương 2. Hàm số phức 1. Viết f(z) = x 2 + iy2 theo z và z¯. 2. Xác định đường mô tả bởi phương trình (a) z = t + it2 (t ∈ R, t ≥ 0) (b) z = t + i √ 1 − t 2 (−1 ≤ t ≤ 0;t ∈ R) (c) z = ia + at − ibe−it (t ∈ R, a, b > 0, 0 ≤ t ≤ 2π) (d) z = 1 + it2 (t ∈ R) (e) z = t 3 + it (t ∈ R) 3. Đối với ánh xạ f(z) = z 2 , (a) Tìm ảnh của các đường x = C; y = C; |z| = R. (b) Tìm nghịch ảnh của các đường u = C; v = C. 4. Tìm a, b, c sao cho f(z) là hàm giải tích (a) f(z) = x − ay + i(bx − cy) (b) f(z) = cos x(ch y + a sh y) + isin x(ch y + ish y) 5. Tìm hàm giải tích f(z) = u + iv (nếu có) (a) u = x 2 − y 2 + 2x − y + 1 (b) u = x x 2 + y 2 (c) v = ln(x 2 + y 2 ) + x Chương 3. Thặng dư và tích phân 1. Tính thặng dư (a) f(z) = z z 2 + 4 tại z = 2i, z = −2i. (b) f(z) = z − 1 z 2(z + 2) tại z = 0 và z = −2. (c) f(z) = z z 2 + 2z + 10 tại các cực điểm và tại vô cùng. 2. Tính I = Z C+ dz z 3(z − 4) nếu (a) C : |z| = 1. (b) C : |z − 2| = 3. 3. Tính I = Z C+ z + 1 z 3 − 2z 2 dz nếu (a) C : |z| = 1. (b) C : |z − 2 − i| = 2. (c) C : |z − 1 − 2i| = 2. 4. Tính (a) I = Z C+ dz z 4 − 1 với C : x 2 + y 2 = 2x. (b) I = Z C+ e zdz z 2(z 2 − 9) với C : |z| = 1. (c) I = Z C+ zezdz (z − 1)2(z − 2) với C : |z| = 3. Chương 4. Khai triển Laurent 1. Khai triển Laurent f(z) = z z 2 − 3z + 2 trong các miền (a) |z| < 1 (b) 1 < |z| < 2 (c) |z| > 2 (d) 0 < |z − 1| < 1 (e) |z − 1| > 1 (f) 0 < |z − 2| < 1 (g) |z − 2| > 1 2. Khai triển f(z) = z z 2 + 4 trong lân cận của (a) z = 2i (b) z = −2i 3. Khai triển Laurent (a) f(z) = 1 z trong miền |z − 1| > 0 (b) f(z) = 1 (1 + z) 2 trong miền |z| > 0 4. Khai triển Laurent f(z) = 1 z 2 + 1 trong miền|z − i| > 0. 1 Chương 5. Các phép biến đổi Laplace, Z và Fourier 5.1. Phép biến đổi Laplace 1. (a) Chứng minh rằng nếu X(p) = L{x(t)} thì L{x 0 (t)} = pX(p) − x(0). (b) Chứng minh rằng nếu X(p) = L{x(t)} thì L{e αtx(t)} = X(p − α). 2. Tìm hàm nguyên bản của ảnh Laplace (a) F(p) = 1 (p 2 + 1)p (b) F(p) = 1 (p 2 − 1)p (c) X(s) = 1 s 4 + 4s 2 + 3 (d) F(p) = p + 1 p 2 + 4p + 13 (e) F(p) = p + 2 p(p 2 − 5p + 6). 3. Tìm biến đổi Laplace (a) x(t) = cost(cost − sin t + 1) (b) x(t) = cos3 t (c) x(t) = cos4 t + sin4 t. 4. Giải phương trình vi phân theo phương pháp toán tử (a) y 00 − 3y 0 + 2y = e −x , y(0) = y 0 (0) = 0 (b) y 00 − y = e ix , y(0) = y 0 (0) = 0 (c) x 00 + 2x 0 + x = e t , x(0) = x 0 (0) = 0 (d) y 00 − 3y 0 + 2y = e x , y(0) = 0; y 0 (0) = 1. 5.2. Phép biến đổi Z 1. Tìm phép biến đổi Z của dãy sau: (a) x(n) = ( 3 n nếu n ≥ 0 (−4)n nếu n < 0 (b) x(n) = 3 −n nếu n ≥ 0 2 nếu n = 0 1 nếu n < 0 (c) x(n) = (
Chương Thặng dư tích phân BÀI TẬP HÀM PHỨC Tính thặng dư Dành cho SV Khoa Điện-Điện tử z z = 2i, z = −2i z2 + z−1 (b) f (z) = z = z = −2 z (z + 2) z (c) f (z) = cực điểm vô z + 2z + 10 Z dz Tính I = z (z − 4) (a) f (z) = Chương Số phức Tính (a) sin(1 + i) (b) cos 2i C+ (c) tan(1 − i) (d) i1/3 (a) C : |z| = √ (b) C : |z − 2| = Z z+1 Tính I = dz z − 2z (e) (8 + 3i)1/4 (f) (1 + i)3/4 (g) i1/4 C+ √ (h) (1 − i 3)1/3 Chứng minh z + (a) C : |z| = (b) C : |z − − i| = ∈ R im z = |z| = z (c) C : |z − − 2i| = Tính Tìm z để hàm sau nhận giá trị thực, ảo Z dz với C : x2 + y = 2x −1 (a) I = (a) ez z4 C+ (b) sin z ez dz với C : |z| = − 9) Z (b) I = (c) cos z z (z C+ zez dz với C : |z| = (z − 1)2 (z − 2) Z (c) I = Chương Hàm số phức C+ Viết f (z) = x2 + iy theo z z¯ Chương Khai triển Laurent Xác định đường mơ tả phương trình Khai triển Laurent f (z) = (a) z = t + it2 (t ∈ R, t ≥ 0) √ (b) z = t + i − t2 (−1 ≤ t ≤ 0; t ∈ R) z miền z − 3z + (a) |z| < (c) z = ia + at − ibe−it (t ∈ R, a, b > 0, ≤ t ≤ 2π) (b) < |z| < (d) z = + it2 (t ∈ R) (c) |z| > (e) z = t3 + it (t ∈ R) (d) < |z − 1| < (e) |z − 1| > Đối với ánh xạ f (z) = z , (f) < |z − 2| < (g) |z − 2| > (a) Tìm ảnh đường x = C; y = C; |z| = R (b) Tìm nghịch ảnh đường u = C; v = C Khai triển f (z) = Tìm a, b, c cho f (z) hàm giải tích z2 z lân cận +4 (a) z = 2i (b) z = −2i (a) f (z) = x − ay + i(bx − cy) Khai triển Laurent (b) f (z) = cos x(ch y + a sh y) + i sin x(ch y + i sh y) z miền |z − 1| > (b) f (z) = miền |z| > (1 + z)2 (a) f (z) = Tìm hàm giải tích f (z) = u + iv (nếu có) (a) u = x2 − y + 2x − y + x (b) u = x + y2 Khai triển Laurent f (z) = (c) v = ln(x2 + y ) + x z2 miền|z − i| > +1 Chương Các phép biến đổi Laplace, Z 5.3 Phép biến đổi Fourier Tìm biến đổi Fourier hàm sau: Fourier ( t ≥ 0, (a) x(t) = et t < ( t t ∈ [0; 1], (b) x(t) = t ∈ / [0; 1] 5.1 Phép biến đổi Laplace (a) Chứng minh X(p) = L{x(t)} L{x0 (t)} = pX(p) − x(0) (c) x(t) = e−|t| ( |x| |x| ≥ 1, (d) f (x) = |x| > (b) Chứng minh X(p) = L{x(t)} L{eαt x(t)} = X(p − α) Tìm hàm nguyên ảnh Laplace (a) F (p) = (b) F (p) = (c) X(s) = (d) F (p) = (e) F (p) = Tìm biến đổi Fourier dãy: n ≥ 0, (a) x(n) = 3n 0 n < ( n > 0, (b) x(n) = 2n n ≤ n ≥ 1, (c) x(n) = 2n 3n n ≤ −n n ≥ 2, 4 n (d) x(n) = n ∈ {0; 1}, n n < (p2 + 1)p (p − 1)p s4 + 4s2 + p+1 p + 4p + 13 p+2 p(p2 − 5p + 6) Tìm biến đổi Laplace (a) x(t) = cos t(cos t − sin t + 1) (e) X = {1; 2; −1; 2; 0} (b) x(t) = cos3 t 4 (c) x(t) = cos t + sin t Giải phương trình vi phân theo phương pháp toán tử (a) y 00 − 3y + 2y = e−x , y(0) = y (0) = (b) y 00 − y = eix , y(0) = y (0) = (c) x00 + 2x0 + x = et , x(0) = x0 (0) = (d) y 00 − 3y + 2y = ex , y(0) = 0; y (0) = 5.2 Phép biến đổi Z Tìm phép biến đổi Z dãy sau: ( 3n n ≥ (a) x(n) = (−4)n n < −n n ≥ 3 (b) x(n) = n = n < ( n n ≥ (c) x(n) = n < Tìm biến đổi Z ngược: z miền |z| > z2 + z+1 (b) x(z) = miền < |z| < z − 3z + z−1 (c) x(z) = miền |z| > z + 3z + (d) x(z) = (z + 1)(1 + 2z −1 − 2z −2 ) (a) x(z) =