1 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí do chọn đề tài Phù hợp với xu thế hội nhập và đổi mới phương pháp dạy học, phù hợp với việc đổi mới theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018, đặc biệt là các phương pháp dạy[.]
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Phù hợp với xu hội nhập đổi phương pháp dạy học, phù hợp với việc đổi theo Chương trình Giáo dục phổ thơng 2018, đặc biệt phương pháp dạy học tích cực “lấy học sinh làm trung tâm”, việc rèn luyện cho học sinh phương pháp tự học phát triển lực tư cho em điều cần thiết Để làm điều đó, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ khai thác vận dụng linh hoạt kiến thức có, từ tạo tiền đề cho phát triển tồn diện lực người học Hình thành học sinh phẩm chất trung thực, chăm chỉ, trách nhiệm, nhân u nước Trong chương trình tốn học phổ thơng, đặc biệt kì thi Học sinh giỏi, kì thi Đại học- Cao đẳng, kì thi THPT quốc gia, …các dạng tốn như: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; tính thể tích khối đa diện; tính tỉ số thể tích khối đa diện; … hình học khơng gian thường dạng tốn khó địi hỏi kết hợp linh hoạt kiến thức, tư Việc giải dạng toán làm cho học sinh nhiều thời gian gặp nhiều khó khăn q trình định hướng cách giải, làm hứng thú niềm đam mê em môn Tốn, đặc biệt tốn Hình Từ thực tiễn giảng dạy qua trình bồi dưỡng cho học sinh kì thi, đồng thời qua trao đổi đồng nghiệp, nhận thấy việc phát khai thác “Mối liên hệ tỉ số độ dài đoạn thẳng với khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, với tỉ số thể tích hai khối đa diện” giúp ích nhiều cho việc định hướng cách giải tốn hình học khơng gian nói chung dạng tốn tính khoảng cách, tính thể tích khối đa diện tính tỉ số thể tích hai khối đa diện hình học khơng gian nói riêng Qua việc vận dụng khai thác mối liên hệ tỉ số độ dài đoạn thẳng với khoảng cách thể tích khối đa diện, phần giúp học sinh giảm bớt khó khăn việc phát giải vấn đề, phát huy lực tính sáng tạo vốn có thân học sinh Vì lí trên, tơi chọn đề tài: “Vận dụng tính chất tỉ số đoạn thẳng vào giải tốn hình học khơng gian” làm đối tượng nghiên cứu, nhằm nâng cao chất lượng dạy học thân, đồng thời góp phần khơi dậy niềm đam mê tình u Tốn học cho học sinh, đặc biệt tốn Hình Giúp học sinh có phương pháp tự học, tự nghiên cứu kiến thức, phát huy tối đa lực vốn có học sinh Trong đề tài này, tập trung khai thác tính chất mối liên hệ tỉ số hai đoạn thẳng với khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng chéo tỉ số thể tích hai khối đa diện không gian Trên sở tìm cách giải tạo nên hệ thống tốn điển hình dạng tốn skkn tính khoảng cách, tính tỉ số thể tích hai khối đa diện, hay tính thể tích khối đa diện, … khơng gian liên quan đến tỉ số độ dài hai đoạn thẳng, dạng tốn khó phức tạp Với cách giải trước đây, học sinh thường xác định tính tốn trực tiếp, … Tuy nhiên, cách giải học sinh thường phải kẻ thêm nhiều đường phụ hình vẽ bước biến đổi phức tạp, nhiều thời gian Trong đó, với việc kết hợp kiến thức tỉ số đoạn thẳng với khoảng cách, tỉ số đoạn thẳng với tỉ số thể tích khối đa diện khơng gian giúp học sinh chuyển đổi tốn cần giải toán bản, dễ tính tốn giải vấn đề đặt cách nhẹ nhàng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí luận kỹ giải tốn số biện pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh THPT Rèn luyện kỹ giải tốn tính khoảng cách điểm đến đường thẳng đến mặt phẳng; Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; Tính thể tích khối đa diện; Tính tỉ số thể tích khối đa diện; … tốn Hình Tìm hiểu thực trạng việc học hình học khơng gian học sinh, đặc biệt dạng tốn tính khoảng cách thể tích khối đa diện Tìm hiểu tốn hay hình học khơng gian Xây dựng hệ thống tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ tổng hợp khai thác kiến thức học sinh Gợi ý cách vận dụng hệ thống tập điển hình việc rèn luyện kỹ giải tốn nói chung, giải tốn Hình nói riêng, từ góp phần phát triển trí tuệ lực cho học sinh Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu số giáo trình phương pháp dạy học mơn tốn, sách giáo khoa (SGK) phổ thơng, sách tập hình học 11,12 hai ban (cơ nâng cao), sách Bồi dưỡng giáo viên trung học phổ thông (THPT), mô đun bồi dưỡng thường xuyên, tài liệu tham khảo, đề thi Học sinh giỏi tỉnh Tỉnh Thành phố nước, đề thi Đại học- Cao đẳng, đề thi THPT quốc gia tạp chí Toán học liên quan khác b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, … Từ xây dựng hệ thống tập điển hình c) Phương pháp quan sát, điều tra: skkn Quan sát thực trạng việc học tốn Hình học sinh qua năm học, khảo sát kết qua đợt kiểm tra khảo sát chất lượng, trao đổi với đồng nghiệp ý thức học tập kết học tập tốn Hình học sinh, … Đối tượng phạm vi nghiên cứu Học sinh khối lớp 11 khối lớp 12; Học sinh thi Học sinh giỏi; Học sinh thi THPT quốc gia; Giáo viên giảng dạy mơn Tốn trường THPT Nguyễn Đức MậuQuỳnh Lưu- Nghệ An Thời gian nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thử nghiệm năm học: 2018 2019; 2019 2020 2020 2021 skkn PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Hình học lớp 11 lớp 12, đề thi học sinh giỏi; đề thi THPT quốc gia; … thường bắt gặp dạng tốn về: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; Tính thể tích khối đa diện; Tính tỉ số thể tích khối đa diện; … hình học khơng gian Tuy nhiên, việc khai thác vận dụng kiến thức học vào giải dạng toán chưa đề cập nhiều sách giáo khoa tài liệu, làm cho học sinh gặp nhiều khó khăn q trình định hướng cách giải dạng tốn Để giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học phát huy lực sáng tạo thân, đề tài hướng dẫn cách khai thác kiến thức về: Mối tương quan tỉ số đoạn thẳng với khoảng cách điểm tới đường thẳng tới mặt phẳng 1.1 Bài tốn I.1: Trong khơng gian, cho hai đường thẳng ' cắt điểm H Trên đường thẳng ' lấy hai điểm phân biệt A, B khác với H Gọi d A, , d B, khoảng cách từ A B tới đường thẳng Chứng minh d A, AH d B, BH * Chứng minh toán I.1: - Trường hợp 1: ' ' ' A A B H H B Khi đó, ta có d A, AH d B, BH , suy d A, AH d B, BH - Trường hợp 2: ' khơng vng góc với Gọi A ', B ' hình chiếu vng góc A, B đường thẳng skkn ' ' A A B B' H A' B' H A' B Ta có d A, AA ' ; d B, BB ' HAA 'HBB ' d A, AA ' AH d B, BB ' BH Suy 1.2 Bài tốn I.2: Trong khơng gian, cho đường thẳng cắt mặt phẳng điểm H Trên đường thẳng lấy hai điểm phân biệt A, B khác với H Gọi d A, , d B, khoảng cách từ A B tới mặt phẳng Chứng minh d A, d B, AH BH * Chứng minh toán I.2: - Trường hợp 1: A A B H H α α B Khi đó, ta có d A, AH d B, BH , suy d A, d B, AH BH - Trường hợp 2: không vng góc với Gọi A ', B ' hình chiếu vng góc A, B mặt phẳng skkn A A B ' α H B' ' B' A' A' H α B Ta có điểm A ', B ', H thuộc đường thẳng ' hình chiếu vng góc lên , d A, AA ', d B, BB ' Trong mp , ' ta có HAA 'HBB ' , suy d A, AA ' AH d B, BB ' BH 1.3 Bài tốn I.3: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với đỉnh A (tứ diện vuông đỉnh A ) Gọi h khoảng cách từ điểm A 1 1 đến mặt phẳng BCD Chứng minh 2 h AB AC AD2 * Chứng minh toán I.3: Gọi K , H hình chiếu vng góc A lên BC DK Ta có BC AD BC AK suy BC ADK BC AH AH BCD D h AH H Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1 1 2 2 h AK AD AB AC AD2 C A K B Mối liên hệ tỉ số đoạn thẳng với tỉ số thể tích hai khối đa diện 2.1 Bài tốn I.4: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A ', B ', C ' khác với S Gọi V V ' thể V ' SA ' SB ' SC ' tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Chứng minh V SA SB SC (Dạng tập 23, trang 29- SGK Hình học 12 nâng cao tập 4, trang 25- SGK Hình học 12 bản) skkn * Chứng minh tốn I.4: - Kí hiệu V H thể tích khối đa diện H S D diện tích đa giác D A A B' A' K S C' S C' C C H K A' H B B' B HÌNH HÌNH A B' A A' A' C' C' S C C K HÌNH S H B' K H B B HÌNH - Ta có VS ABC VA SBC VS A ' B ' C ' VA ' SB ' C ' - Gọi H, K hình chiếu vng góc điểm A, A ' lên mặt phẳng SBC AH / / A ' K - Vì ba điểm S , A, A ' thẳng hàng nên điểm S, H, K thẳng hàng SHASKA ' SA ' A ' K SA AH - Mặt khác, vị trí điểm A ', B ', C ' đường thẳng SA, SB, SC khác điểm S tam giác SBC SB ' C ' ta có: 1 ; S sin B sin BSC ' SC ' SSBC SB.SC.sin BSC SB '.SC '.sin B ' SC ' SB ' C ' 2 - Do V ' VA ' SB ' C ' V VA SBC A ' K SSB ' C ' SA ' SB ' SC ' SA SB SC AH.SSBC skkn 2.2 Bài toán I.5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Trên tia AA ', BB ', CC ' lấy điểm M, N, P khác đỉnh A, B, C lăng trụ Gọi V, V ' thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khối đa diện lồi có V ' AM BN CP đỉnh A, B, C, M, N, P Chứng mhinh V AA ' BB ' CC ' * Chứng minh toán I.5: - Kí hiệu V H thể tích khối đa diện H ; S D diện tích đa giác D ; d M, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng d , ' khoảng cách đường thẳng ' A A C C B M B A' P C' N A' C' B' M P N B' HÌNH HÌNH A A C C M B P B A' A' M N C' C' B' B' N P HÌNH HÌNH Trong tất vị trí điểm M, N , P thuộc tia AA ', BB ', CC ' V ' VM ABC VM BCPN VM ABC VM BCPN khác đỉnh A, B, C ta ln có V V V V skkn Mặt khác VM ABC V d M, ABC SABC d M, ABC MA d A ', ABC A ' A d A ', ABC SABC diện tích hình thang BCPN SBCPN BN CP .d B, CC ' 1 BN.d B, CC ' CP.d B, CC ' BN.d C, BB ' CP.d B, CC ' 2 BN CP CP BN BB '.d C, BB ' CC '.d B, CC ' S BCC ' B ' S BCC ' B ' BB ' CC ' CC ' BB ' BN CP SBCC ' B ' BB ' CC ' Đồng thời VA BCC ' B ' V AM / / BCC ' B ' suy thể tích khối chóp M BCPN 1 BN CP VM BCPN d M, BCC ' B ' SBCPN d A, BCC ' B ' SBCC ' B ' 3 BB ' CC ' BN CP BN CP VA BCC ' B ' V BB ' CC ' BB ' CC ' Do VM BCPN BN CP V BB ' CC ' Từ suy V ' AM BN CP V AA ' BB ' CC ' II CƠ SỞ THỰC TIỄN Hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng mơn học địi hỏi tư cao, u cầu người học phải có lực liên kết khai thác kiến thức cách linh hoạt, có tư logic trí tưởng tượng khơng gian Các tài liệu chuyên đề viết cách khai thác vận dụng tỉ số đoạn thẳng vào giải dạng tốn như: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau; Tính thể tích khối đa diện; Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện; … có mang tính rời rạc chưa đề cập nhiều Việc định hướng cách giải dạng tốn hình học không gian thường phức tạp, gây nhiều khó khăn cho học sinh, làm hứng thú niềm đam mê em môn học Một số giáo viên dạy học chưa trọng đến việc dạy cho học sinh phương pháp tự học, tự nghiên cứu thông qua việc khai thác vận dụng kiến thức skkn có; chưa định hướng cho em cách phân tích tổng hợp kiến thức, từ tạo nên hệ thống tốn điển hình học nghiên cứu Điều này, làm hạn chế lực sáng tạo người học, làm cho em khai thác hết tiềm vốn có III THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong trình giảng dạy trao đổi với đồng nghiệp, nhận thấy tốn hình học khơng gian nói chung dạng tốn “tính khoảng cách” hay dạng tốn “tính tỉ số thể tích hai khối đa diện” hình học khơng gian nói riêng, học sinh gặp nhiều khó khăn q trình định hướng cách giải Cụ thể, giảng dạy lớp 12C1 phối hợp với đồng nghiệp dạy lớp 12C2 (hai lớp khối 12) trường THPT Nguyễn Đức Mậu- Quỳnh LưuNghệ An, tiến hành cho học sinh làm khảo sát chất lượng khoảng thời gian 45 phút nắm bắt kết sau: Đề kiểm tra Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật; AB a; AD a 2; SA a SA ABCD Gọi M trung điểm SD a) Tính theo a thể tích khối chóp S MAC b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng MAC c) Tính theo a khoảng cách đường thẳng SC AM d) Gọi mặt phẳng qua BM song song với AC cắt cạnh SA, SC E F Tính theo a thể tích khối chóp S BEMF Kết thu được: 2.1 Tại lớp 12C1: - Số học sinh giải ý a): 38/38 - Số học sinh giải ý a) b): 36/38 - Số học sinh giải ý a), ý b) ý c): 16/38, có học sinh áp dụng cách sử dụng tỉ số đoạn thẳng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Số học sinh giải ý a), b), c) d): 1/38 2.2 Tại lớp 12C2: - Số học sinh giải ý a): 38/38 - Số học sinh giải ý a) b): 30/38 - Số học sinh giải ý a), ý b) ý c): 11/38, tất em giải theo cách sử dụng thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Số học sinh giải ý a), b), c) d): 0/38 10 skkn ... tính chất tỉ số đoạn thẳng tốn tính khoảng cách Như vậy, với việc vận dụng tỉ số độ dài đoạn thẳng tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian, tương tự vận dụng tính chất vào tốn tính khoảng... thác kiến thức học, tác giả xin đưa dạng toán sau: Dạng toán Vận dụng tính chất tỉ số đoạn thẳng vào giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng không gian * Phương pháp chung: Để tính khoảng... kết hợp kiến thức tỉ số đoạn thẳng với khoảng cách, tỉ số đoạn thẳng với tỉ số thể tích khối đa diện khơng gian giúp học sinh chuyển đổi toán cần giải tốn bản, dễ tính tốn giải vấn đề đặt cách