Skkn sáng tạo nhiều cách hay trong giải bài toán khó

Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học coi chủ lực, trước hết Tốn học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học toán nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Tốn học cịn mơn học địi hỏi sáng tạo khơng ngừng Khám phá kho tàng “Bí ẩn” tốn học từ lâu kích thích tính tị mị, chinh phục kiến thức người học Tuy môn học khó, song khơng người say mê Càng học toán, yêu toán, làm cho người học say mê sáng tạo, tìm tịi tư khơng chút mệt mỏi Ngày người học tốn có nhiều hội để học tốt thời gian đầu tư kiến thức, tài liệu sách phục vụ cho học tập nhiều hơn, phong phú đa dạng Nhưng bên cạnh việc học lệ thuộc vào tài liệu cịn phổ biến, đối tượng người học học sinh ngày hạn chế tính tự học tự bồi dưỡng, chủ yếu cách giải tốn nhiều học sinh mà có, lệ thuộc sách giải, chưa phát huy hết tính tư sáng tạo giải tốn Bên cạnh sách tài liệu nặng nề lời giải chưa nhiều sâu vào phân tích phương pháp tìm lời giải nhiều khía cạnh, có tốn chịu khó đầu tư nghiên cứa, đưa dự đốn phân tích khả có nhiều cách giải hay gọn cách giải đưa Để làm việc địi hỏi dày công nghiên cứa người dạy, xâu chuỗi kiến thức để tìm lời giải hay, lạ độc đáo Đây lí viết đề tài: “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” 2.Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thơng theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Người thực hiện: Nguyễn Hơng Qn - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Trong cơng tác giảng dạy, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên bồi dưỡng cho học sinh cách định hướng cách phân tích tìm tịi lời giải với kích thích sáng tạo học sinh có nhiều tốn tưởng hạn chế cách giải lại có nhiều cách giải hay độc đáo Để làm điều học sinh cần trang bị hành trang kiến thức đầy đủ, vững với say mê sáng tạo giải tốn đem lại hiệu cao Sự say mê tìm tịi, sáng tạo tư nhẫn nại giải toán đức tính cần thiết để người học khơng ngừng khám phá hay, đẹp toán học 3.Cơ sở thực tiễn Trong giải toán GV hướng dẫn học sinh cách giải tốn với mẫu có sẵn việc học tốn khơ khan, người học dễ nhàm chán, sáng tạo người học bị hạn chế Vì trước tốn giáo viên không nên giới hạn suy nghĩ học sinh mà cần kích thích tính tìm tịi, dự đốn trọng nhiều đến hướng suy nghĩ khác học sinh, sở phân tích định hướng để tìm nhiều cách giải độc đáo Như học sinh khơng bị gị bó mà tích cực chủ động suy nghĩ, tự sáng tạo, từ “phát minh” nhiều lạ Đây sở để tạo nên đề tài mà qua nhiều năm giảng dạy công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đúc rút 4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trước chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy số học sinh có tính tích cực sáng tạo giải tốn cịn hạn chế Phân tích ngun nhân chúng tơi thấy rằng: - Do học sinh phụ thuộc nhiều vào lời giải có sẵn sách, tài liệu - Do chưa có thói quen tìm cách giải khác có cách giải để tìm hay cách giải - Chưa trang bị đầy đủ cách phân tích đa chiều tốn, mà từ học sinh có định hướng đúng, nhằm tìm nhiều cách giải hay khác Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9, thấy học sinh có say mê học tốn, hăng say sáng tạo nhiều Chính năm học gần chất lượng học sinh giỏi huyện mơn tốn cải thiện rỏ rệt, với kết kết trường chúng tơi xem thành công bước đầu, trường thuộc xã có kinh tế cịn nhiều khó khăn nên việc đầu tư cho học tập hạn chế Phạm vi đối tượng áp dụng đề tài: Toán nâng cao lớp gồm hình đại số, đề tốn thường gặp nhiều kì thi, dùng cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp ôn thi vào trường chuyên THPT B NỘI DUNG ĐỀ TÀI Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ toán khó” Đề tài xếp đại số trước, hình học sau Các cách giải theo tiến triển logic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn sáng tạo cách giải trước Mỗi tốn có lời bình, định hướng cách phân tích để tìm cách giải khác cho tốn Sau tơi xin trình bày phần nội dung đề tài: “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Phần 1: Đại số Bài toán 1: Cho x , y thỏa mãn x > y x.y= Chứng minh rằng: (1) Cách : Phương pháp sử dụng đẳng thức Vì x.y = 2- 2xy= Từ x > y (1) Ta có (2) ln Vậy (1) chứng minh Cách : Biến đổi tương đương dùng đẳng thức Từ (1) Vì vế dương với x > y Bình phương vế ta được: Ta có ( ) ln Vậy (1) c/m Cách : Sử dụng bất đẳng thức Cơ-Si Ta có: (vì x.y = x > y) Áp dụng bất đẳng thức Cơ- si cho số dương, ta có: Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Vậy, với x > y x.y = Cách : Đổi biến sử dụng bất đẳng thức Cô-Si Đặt x – y = t >0, (vì x > y ) , ( x.y = ) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- si cho số dương, ta có: Vậy với x > y x.y = Phân tích cách giải toán 1: Cách : Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cuối với x,y từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Cách đơn giản phù hợp với đại trà học sinh Cách : Sử dụng kiến thức bất đẳng thức Cô-Si cách giải ngắn gọn ,đối với học sinh giỏi , với Bài tốn 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x,y >0 thỏa mãn x.y = Chú ý : điểm rơi x = y =  Sai lầm thường gặp : Vậy Min A =  Phân tích sai lầm : Vận dụng BĐT Cơ- Si liên tiếp lần song chưa ý đến tính đồng thời dấu Ở điểm rơi dấu xảy x,y khơng thỏa mãn điều kiện Từ ta có cách giải sau: Cách : Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x y ta có : Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Ta có : x.y =1 Đặt x + y = t A= , (vì t+1> 0) Cách 2: Ta biến đổi A Dấu “ = “ xảy Vậy Min A = x = y = Cách 3: Áp dụng BĐT Cơ-si cho số dương Ta có : ta có : x.y =1 Vậy Min A = x = y = Nhận xét : tốn cho với vai trị x y nên ta cần ý điểm rơi x = y = Từ ta có nhiều cách biến đổi để áp dụng BĐT Côsi kết hợp x.y=1 Phân tích cách giải tốn: Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Cách :Sử dụng phương pháp biến đổi thơng thường Chú ý điểm rơi để từ tách thành nhóm phù hợp nhằm dụng BĐT Cơsi Tuy nhiên hai cách giải chư a thật tối ưu Cách 3: Cũng tạo nhóm thích hợp sử dụng BĐT Cơsi ngắn gọn hợp lý hơn.Chính dạy GV cần định hướng cho học sinh theo cách Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ; * Chú ý: với dự đoán điểm rơi Với a, b,c >0 Để chứng minh : Ta có cách giải sau : Cách 1: Phép biến đổi tương đương sử dụng BĐT Cơ-si Ta có : Ta chứng minh (*) sau : Áp dụng BĐT Cơ-si.Ta có: Vậy (*) chứng minh Cách 2: sử dụng phép biến đổi tương đương Ta có : a + b với a,b dương Vậy, BĐT chứng minh Cách 3:Áp dụng BĐT Cô- si giả thiết a, b, c >0; a + b + c = Ta có : Vậy : a+b 16.abc Phân tích cách giải tốn: Cách 1: Đưa tốn cịn hai biến a,b Sử dụng phép biến đổi tương đương đư BĐT áp dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT với giá trị dương biến a,b Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Cách 3: Cả hai cách ngắn gọn phù hợp với mức độ khả tư HS Xong hay ta định hướng cho HS giải cách Tuy nhiên khơng phải biến đổi dễ dàng Có tốn xác định điểm rơi việc biến đổi địi hỏi dày cơng nghiên cứu Sau tốn tương đối khó lại có nhiều cách giải hay độc đáo ! Bài cho x , y , z > thoả mãn Tìm GTNN biểu thức Các em giải nào? Ta ý điểm rơi x = y = z = Cách 1: Vì x , y , z >0 Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương Ta có : (Dấu “=” xảy ) (vì x>0) (1) Tương tự: (3) (2) Từ (1),(2),(3) Vậy Pmin= Dấu “=” xảy Cách : Từ giả thiết Áp dụng BĐT Cơsi cho số dương Ta có: (1) Tương tự ( nhân vế với số dương (2) ) (3) Từ (1),(2),(3) Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Nhận xét: với giả thiết nghĩ đến phải ý điểm rơi cần biến đổi biểu thức ta P dạng , từ mà ta cócác cách sáng tạo ba số duỏngịi áp dụng BĐT Cơsi để nhằm sử dụng giả thiết tính đồng thời xảy dấu “=” x,y Khi dạy giáo viên cần định hướng cho học sinh thấy dượcđiều Chú ý: Bài tốn nhiều cịn cho dạng khác như: Cho x , y , z > thoả mãn Chứng minh rằng: Không ngừng sáng tạo ,các bạn thử sức với toán cao sau ! Chứng minh rằng: Bài 5: Cho x , y , z > thoả mãn (Hoặc tìm GTNN biểu thức A ) Để giải toán ta cần ý đến BĐT thức phụ sau: (*) Dấu “=” xảy Đồng thời ý điểm rơi toán Cách1: Sử dụng BĐT Từ x + y + z Đặt Ta có : Ta biến đổi : (vì ab = 81 ),Vậy Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Khi áp dụng BĐT (*) ta có : Vậy Dấu “=” xảy Cách giải gặp nhiều tài liệu.Song cách biến đổi cịn phức tạp.Các bạn tìm thấy sáng tạo cách giải sau: Cách 2: Sử dụng BĐT Côsi cho 17 số dương ,ta có : Ta xét : (Chú ý điểm rơi Tương tự : Do : Do Thay vào A ta được: Dấu “=” xảy Tuy nhiên với cách giải ta thấy chưa thật lòng không ngừng sáng tạo ,sáng tạo ta có cách ngắn gọn hay sau Cách 3: Đặt , với Vì Khi áp dụng BĐT (*) ta có: Người thực hiện: Nguyễn Hơng Qn - skkn Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” , (t>0) Ta cần chứng minh: Ta xét hiệu : Vì Do : Phân tích cách giải: Cách 1: Tách tổng a + b thành nhóm nhằm sử dụng tích ab= 81 và tính đồng thời xảy dấu x, y, z Cách 2: Chỉ sử dụng BĐT Côsi nên phù hợp với đại trà học sinh song sử dụng với nhiều số hạng nên bậc lớn ,việc đòi hỏi trình biến đổi học sinh phải cận thận Cách 3: Đây cách sáng tạo ,lời giải phù hợp với chuẩn kiến thức nên học sinh dễ hiểu.Khi dạy GV cần định hướng cho học sinh cách giải Nhận xét: Mặc dù ta dự đoán điểm rơi song cách giải sáng tạo, hướng giải khác thật độc đáo Chính tốn học khám phá khơng ngừng, người học tốn phát triển tư qua giải tốn Phần 2: Hình học Bài tốn 1: cho ABC nội tiếp đường trịn (O), đường kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vng góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đường tròn (O) E Chứng minh rằng: ABC cân Đây toán khó, song ta biết vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp việc chứng minh đơn giản Sau xin giới thiệu năm cách giải hay phù hợp với chuẩn KT-KN Cách 1: Sử dụng kiến thức hình bình hành Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 10 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ toán khó” D x Gọi F = DC (O); H = BC E AF y Lấy I trung điểm BD, K=EH I BI K Xét ADC có hai đường cao BC AF cắt H H trực tâm ADC B DH AC F DH//AE (vì AC) H Mà ED//AH ( DC) A C EDHA hình bình hành O K trung điểm AD EH Nên EK= KH (1) AK = KD Từ AK = KD ; AB = ID AK – AB= KD – ID Hay BK = KI (2) Từ (1) (2) K trung điểm đoạn EH BI EIHB hình bình hành (dấu hiệu nhận biết ) BH//EI,vì BH AD nên EI AD hay EI BD Xét EBD có EI đường trung tuyến vừa đường cao nên EBD cân E Cách 2: Sử dụng tính chất hình thang đường kính vng góc với dây cung Vẽ EI AD (I AD) ; B (O) nên Ta có: A,D thuộc đường trịn đường kính EC hay A, D, C, E thuộc đường tròn tâm K trung điểm EC Vẽ KM AD, (M AD) Trong đường tròn (K) có dây AD, MK AD MA = MD (1) Mặt khác EI //BC ( AD) Nên EICB hình thang Ta có KE = KC; KM BI MI = MB (2) Từ (1) (2) AB = DI mà AD = 3AB BI = ID I trung điểm BD Xét D x E y I M K B A O C EBD có EI đường cao vừa đường trung tuyến nên EBD cân E Cách 3: sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 11 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Gọi P = BC DE; M = AE PC Gọi N trung điểm BD; K trung điểm BN K trung điểm (1) AD D x E P y N Áp dụng hệ thức lượng vào MAC vuông A PAC vng D Ta có: M nên K B A C O (2) Từ (1) (2) suy : MK // DP Xét ADE có MK//DE ; AK = KD MA = ME MB đường trung bình AEN MB // EN mà MB AD EN AD Xét EBD có EN vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên EBD cân E Cách 4: sử dụng tam giác đồng dạng tứ giác nội tiếp Lấy I trung điểm BD D x DI=IB=BA E Ta có : y A, D thuộc đường trịn đường kính I EC hay AEDC tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EC (vì hai góc nội tiếp B chắn cung AC ) (g.g) A (*) Do : O C Xét có CB đường cao vừa đường trung tuyến CI=CA = Mà BD = DI + IB = AB + IB= IA Thay vào (*) ta được: (1) Vì AE tiếp tuyến đường tròn (O) = = (2) Từ (1) (2) suy : (c.g.c) EI BD Xét EBD có EI đường trung tuyến vừa đường cao nên EBD cân E Cách 5: sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 12 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Vẽ EI AD, B thuộc đường trịn (O) đường kính AC Xét IDE , với D x E BCD có : y (cùng phụ I ) (g.g) B (1) (g.g) Tương tự : A (2) O C Nhân vế với vế (1) (2) ta có : Mà (gt) AB = BI = ID I trung điểm BD Xét EBD có EI đường cao vừa đường trung tuyến nên EBD cân E Bình luận: Từ giả thiết cho AD = 3AB AD = 2BD c/m EBD cân gợi ý cho ta chia đoạn thẳng BD thành hai phần nên ta cần vẽ thêm đường phụ đường cao EI tam giác, cần chứng minh EI đường trung tuyến ngược lại Từ dó mà ta có cách chứng minh Các bạn cịn có cách khác hay khơng ? Phân tích cách giải : Cách 1: Chỉ sử dụng kiến thức tính chất dấu hiệu nhận biết hình bình hành Cách phù hợp với học sinh lớp Cách ; 4: kiến thức phù hợp với học sinh sau học chương trình lớp Cách 5: Cách ngắn gọn lời giải hình vẽ( vẽ thêm đường phụ đoạn IE),kiến thức đơn giản phương pháp thường gặp ứng dụng đồng dạng hai tam giác để c/m trung điểm đoạn thẳng Cách phù hợp hay cách giải trên.Vì dạy GV nên định hướng cho HS giải theo cách Bài tốn 2: Cho hình chữ nhật ABCD , AB= 2AD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh: Đây toán quen thuộc thường gặp nhiều đề thi kỳ thi song cách giải thường gặp chưa thật phong phú Sau xin xin giới thiệu cách giải hay: Cách 1: sử dụng hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vng Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 13 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” A Kẻ AK AE ( K DC) Áp dụng hệ thức đường cao cạnh góc vng KAF vng A Ta có : B E C D K F (*) mà Ta lại có : KAD = (cùng phụ với ) EAB Thay vào (*) ta có : Nhận xét : từ điều phải chứng minh: AB = 2AD gợi ý cho ta sử dụng đến hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vng.Do ta cần tạo tam giác vng có AD đường cao cách vẽ hình phụ Nếu khơng vẽ hình phụ , ta cịn có cách sau Cách 2: Sử dụng định lý Talet định lý Pytago tam giác vng Vì EC // AB A B E D (1) C F Vì CF//AB (2) Từ (1) (2) ta có : Chia hai vế cho ta : Cách : Sử dụng phương pháp tam giác đồng dạng Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 14 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” Ta có : ; A (g.g) B (1) Mà E (2) C D F Từ (1) (2) cộng vế theo vế ta có : ( áp dụng định lý pytago vào tam giác vuông ADF) Chia hai vế cho ta : Cách 4: Sử dụng hàm số lượng giác ta có cách thật độc đáo: A B 1 E D Mà Chia hai vế cho (đồng vị ); C F (đối đỉnh) ta : Nhận xét:Nếu từ điều phải chứng minh , gợi ý cho ta sử dụng đến hàm lượng Từ ta có cách giải độc đáo Phân tích cách giải : Cách 1: Sử dụng kiến thức hệ thức đường cao cạnh góc vng tam giác vuông nên phù hợp với học sinh lớp Cách : Sử dung kiến thức tam giác đồng dạng định lý pytago tam giác vuông , sáng tạo cách biết vận dụng linh hoạt hai kiến thức vào giải toán Cách phù hợp với nhiều đối tượng học sinh lớp Cách 4: Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông hệ thức Cách phù hợp với học sinh giỏi giác Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 15 Đề tài SKKN : “Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó” III KẾT LUẬN - Đề tài tâm huyết thân trình tự học, tự bồi dưỡng trải nghiệm trình nhiều năm bồi dưỡng HSG lớp 8,9 - Đề tài dày cơng nghiên cứu , tìm tịi đa dạng cách giải hay từ tốn khó, song q trình viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành cấp thẩm định bạn bè đồng nghiệp để đề tài ngày hoàn thiện phát huy tác dụng nhằm đưa lại hiệu cao công tác dạy học Người thực dề tài : Nguyễn Hồng Quân Người thực hiện: Nguyễn Hông Quân - skkn 16 ... Quân - skkn Đề tài SKKN : ? ?Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó? ?? Đề tài xếp đại số trước, hình học sau Các cách giải theo tiến triển logic kiến thức, cách giải sau ngắn gọn sáng tạo cách giải. .. - skkn Đề tài SKKN : ? ?Sáng tạo nhiều cách giải hay từ toán khó? ?? Khi áp dụng BĐT (*) ta có : Vậy Dấu “=” xảy Cách giải gặp nhiều tài liệu.Song cách biến đổi cịn phức tạp.Các bạn tìm thấy sáng tạo. .. ngừng sáng tạo ,sáng tạo ta có cách ngắn gọn hay sau Cách 3: Đặt , với Vì Khi áp dụng BĐT (*) ta có: Người thực hiện: Nguyễn Hơng Qn - skkn Đề tài SKKN : ? ?Sáng tạo nhiều cách giải hay từ tốn khó? ??