Skkn phát triển một số năng lực toán học cốt lơi cho học sinh thông qua các bài tập về tam giác đồng dạng

CHUYÊN ĐỀ CỤM THÁNG 10 PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TỐN HỌC CỐT LÕI CHO HỌC SINH THƠNG QUA CÁC BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Người báo cáo: Dương Thị Thanh Huyền Ngày soạn: 26/9/2019 Ngày báo cáo: 3/10/2019 Ngày hoàn thiện báo cáo sau thảo luận chun đề: 7/10/2019 PHẦN MỞ ĐẦU Chương trình mơn Toán trung học sở trọng vào việc hình thành phát triển lực tốn học Chương trình xác định số lực cốt lõi cần hình thành cho học sinh , là: Năng lực tư lập luận toán học; Năng lực giải vấn đề tốn học; Năng lực mơ hình hoá toán học; Năng lực giao tiếp toán học Năng lực sử dụng công cụ phương tiện học tốn Về mặt nội dung, chương trình trọng vào kiến thức cốt lõi đồng thời quan tâm đến phát triển khả giải vấn đề có tính tích hợp liên mơn mơn Tốn mơn học khác tạo hội để HS trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế Với định hướng chương trình mơn tốn hệ thống tập nhằm phát triển lực trở nên cần thiết Trong phần đưa hệ thống tập chủ đề “tam giác đồng dạng” nhằm góp phần tạo hội để HS thực thao tác cụ thể, thông qua việc thực thao tác góp phần hình thành phát triển lực tương ứng Cần lưu ý rằng, với tập có nhiều cách giải, HS thực nhiều thao tác khác nhau, góp phần phát triển lực khác Vì vậy, việc đặt tập hệ thống có tính tương đối chọn cách đặt bởi, thường gặp tập đó, đa số HS thực theo lời giải Tuy nhiên, HS khơng theo lời giải đó, GV skkn gợi ý, hướng dẫn để HS có lời giải Từ đó, góp phần phát triển lực theo mong muốn PHẦN NỘI DUNG Các thuật ngữ mô tả biểu lực mơn tốn Năng lực mơn tốn Năng lực tư Thuật ngữ sử dụng - Thực thao tác tư duy, đặc biệt biết quan lập luận tốn học sát, giải thích tương đồng khác biệt nhiều tình thể kết việc quan sát - Thực việc lập luận hợp lí giải vấn đề - Nêu trả lời câu hỏi lập luận, giải vấn đề Chứng minh mệnh đề tốn học khơng q phức tạp Năng lực mơ hình - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức tốn hóa tốn học học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phương trình, hình biểu diễn, ) để mơ tả tình xuất số tốn thực tiễn khơng q phức tạp - Giải vấn đề toán học mơ hình thiết lập - Thể lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn làm quen với việc kiểm chứng tính đắn lời giải Năng lực giải - Phát vấn đề cần giải vấn đề toán học - Xác định cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương skkn thích để giải vấn đề -Giải thích giải pháp thực Năng lực giao tiếp - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép (tóm tắt) thơng tốn học tin tốn học bản, trọng tâm văn (ở dạng văn nói viết) Từ phân tích, lựa chọn trích xuất thơng tin tốn học cần thiết từ văn (ở dạng văn nói viết) - Thực việc trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác (ở mức tương đối đầy đủ, xác) - Sử dụng ngơn ngữ tốn học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt nội dung toán học thể chứng cứ, cách thức kết lập luận - Thể tự tin trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích nội dung tốn học số tình khơng q phức tạp Năng lực sử dụng -Nhận biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách công cụ, phương tiện thức bảo quản cơng cụ, phương tiện học tốn (mơ hình học tốn hình học phẳng khơng gian, thước đo góc, thước cuộn, tranh ảnh, biểu đồ, ) - Trình bày cách sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán để thực nhiệm vụ học tập để diễn tả lập luận, chứng minh toán học -Sử dụng máy tính cầm tay, số phần mềm tin học phương tiện công nghệ hỗ trợ học tập - Chỉ ưu điểm, hạn chế công cụ, skkn phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí Hệ thống tập: *Bài tập nhằm phát triển lực tư lập luận toán học Tên tập Hướng dẫn HS thực thao tác + Quan sát : Hai tam giác ABC MPQ số Bài 1: Tam giác ABC có đồng đo cạnh dạng với tam giác MPQ khơng? Vì sao? + Nhận : + kết : +Lập luận hợp lí giải vấn đề Vì: - Trả lời được: Hai tam giác ABC MPQ đồng dạng Bài 2: Tam giác ABC có đồng + Quan sát: Số đo góc hai tam giác dạng với tam giác DEF khơng? Vì sao? ABC DEF + Nhận được: +Kết :Hai tam giác ABC DEF có: +Lập luận hợp lý giải vấn đề Vì: skkn - Trả lời được: Hai tam giác ABC DEF đồng dạng + Quan sát: Hai tam giác ABC DEF Bài 3: Tam giác ABC có đồng + Nhận ra: dạng với tam giác DEF khơng? Vì sao? + Tính được: + khơng + Kết : Hai tam giác ABC DEF có: -Lập luận hợp lý giải vấn đề Vì: - HS trả lời được: Hai tam giác ABC DEF đồng dạng Bài 4: Cho hai tam giác ABC, A’B’C’, + Quan sát: Hai tam giác ABC A’B’C’ có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm, góc B = 600, A’B’ = 6cm, B’C’ = 12cm, góc B’ = 600 Tính x ? + Nhận ra: + Kết : Hai tam giác ABC A’B’C’ có - Lập luận hợp lý giải vấn đề skkn Vì: - Từ kết luận: Hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng tỉ số nên - Trả lời : Vây x = cm Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Chứng minh b) Chứng minh đồng dạng a) Chứng minh - Quan sát: đồng dạng - Nhận ra: chung -Lập luận hợp lý giải vấn đề + Xét Ta có: - Trả lời được: đồng dạng b) Chứng minh - Quan sát: -Nhận ra: + viết thành : + Phải chứng minh hai tam giác ABC HBA đồng dạng -Lập luận hợp lý giải vấn đề Vì: Suy ra: skkn (theo câu a) - Trả lời được: *Bài tập nhằm phát triển lực giải vấn đề toán học Tên tập A, HS thực thao tác Bài 1: Cho tam giác ABC vuông – Phát hiện.+ AH đường cao tam giác đường cao AH Chứng minh ABC, phát AHB CHA hai tam giác vng, có : = (cùng phụ góc ) + viết lại +chứng minh – Cách thức, thực hiện: chứng minh suy tỉ số đồng dạng , trả lời AH  BH.CH – Sử dụng kiến thức, kỹ tốn học tương thích để giải vấn đề Xét: = (cùng phụ góc ) Suy ra: - Giải thích giải pháp thực Suy ra: Bài 2: Bóng cột cờ mặt đất dài 36,9 - Phát m Cùng thời điểm cọc tre vng góc với mặt đất cao 2m có bóng dài 1,62m Tính + Bóng cột cờ dài 36,9 m tương ứng hình vẽ đoạn thẳng AC, cột tre cao 2m tương skkn chiều cao cột cờ ứng hình vẽ đoạn thẳng HI, bóng cọc tre dài 1,62m tương ứng hình vẽ IK +Cọc tre vng góc với mặt đất phát tam giác IHK vuông I Phát cột cờ phải vng góc với mặt đất dẫn đến tam giác ABC vuông A +Hai tia nắng BC HK song song với nhau, đoạn thẳng AC song song với KI Từ phát hai góc C, K +Từ phát hai tam giác vuông ABC IHK đồng dạng Vậy để tính chiều cao cột cờ (AB) dùng tỉ lệ đồng dạng - Cách thức thực + Chứng minh hai tam giác ABC IHK đồng dạng, lập tỉ số cạnh tương ứng Tính chiều cao cột cờ - Dùng kiến thức kỹ toán học tương thích để giải vấn đề tốn học Xét Ta có: Suy : Suy ra: - Giải thích giải pháp thực Vậy cột cờ cao 45,6m skkn Bài 3: Một đò đưa hàng qua - Phát sơng (ở vị trí A) với vận tốc 4,5 km/ giờ, +Biết vận tốc 4,5 km/giờ thời gian đò nước chảy nên đò chạy lệch hướng so 12 phút suy tính qng đường AC với phương vng góc với bờ sơng 12 Ơng Tồn đứng vị trí E cách (A) 50m biết phút đến bờ bên (điểm C) Ơng Tồn AE=50m, cách bờ sơng 40m biết đứng vị trí E cách bờ sơng 40m, cách A DA=40m Tính chiều rộng khúc sơng tính 50m, E nằm đường thẳng AC Ông ước AB lượng chiều rộng khúc sông Theo em khúc sông rộng bao nhiêu? +Hai tam giác vuông ABC ADE có hai góc đối đỉnh BAC DAE +Muốn tính khoảng cách hai bờ sơng phải chứng minh hai tam giác ABC ADE đồng dạng - Cách thức, giải pháp +Chứng minh hai tam giác ABC ADE đồng dạng, lập tỉ số tỉ lệ đồng dạng tính chiều rộng khúc sơng AB - Sử dụng kiến thức, kỹ tốn học tương thích để giải vấn đề 12 phút= 0,2 Quãng đường đị Xét ABC có đồng dạng skkn Suy - Giải thích giải pháp thực Vậy khúc sông rộng 720m - Phát + Biết bóng kim tự tháp 208,2 (m), chiều cao cọc 1(m), bóng cọc Bài 4: Kim tử tháp niềm tự hào 1,5(m) Tính chiều cao kim tự tháp người dân AI CẬP Để tính chiều cao + Quan sát hình vẽ nhận thấy hai tam giác gần Kim tử tháp , người ta làm ABC DEF hai tam giác vuông đồng dạng sau : cắm cọc cao 1m vng góc với mặt đất đo bóng cọc + Từ phát để giải tốn phải chứng minh hai tam giác ABC DEF đồng dạng mặt đất 1,5m chiều dài -Cách thức thực bóng Kim tự tháp mặt đất 208,2 m Chứng minh hai tam giác ABC DEF Hỏi Kim tử tháp cao mét? (xem đồng dạng, lập tỉ số đồng dạng, tìm chiều cao kim tự tháp hình vẽ) -Dùng kiến thức, kỹ tốn học tương thích để giải vấn đề toán học Xét hai tam giác ABC DEF ; nắng mặt đất) (hai góc tạo tia Suy ra: Hai tam giác ABC DEF đồng dạng - Giải thích giải pháp thực Vậy chiều cao kim tự tháp tính theo cơng thức: 138,8 m skkn * Bài tập nhằm phát triển lực mơ hình hóa tốn học Tên tập Hướng dẫn HS thực thao tác Bài 1: Thủy muốn đo chiều cao – Sử dụng đoạn thẳng để mơ tả tình xuất dừa cách sử dụng bóng tốn Cơ đo bóng dừa biết + Gọi OB chiều cao bóng dài 6m Cơ đo bóng dừa, CD chiều cao Thủy, OA chiều dài bóng dừa, AC chiều dài thấy dài 2,4m bóng Thủy Nếu Thủy cao 160cm, hỏi chiều cao dừa bao nhiêu? + Bóng dài 6m biểu diễn OA = 6m Bóng Thủy dài 2,4m biểu diễn AC = 2,4m Chiều cao Thủy 160cm biểu diễn DC=160cm Chiều cao OB - Thiết lập mơ hình tốn học: Cho hai tam giác vng ABO, ACD hình vẽ có OA = 6m, AC = 2,4m, DC=160cm Tính OB? - Giải vấn đề toán học mơ hình thiết lập Xét hai tam giác ACD AOB B Ta có: D Suy ra: 1,6m O C 6m A 2,4m Suy ra: - Thể lời giải toán học vào skkn ngữ cảnh thực tiễn làm quen với việc kiểm chứng tính đắn lời giải Vậy dừa cao 4m Bài 2: Bạn Huy đo độ sâu mực nước giếng vào mùa khô Mắt Huy cách mặt đất 160cm, Hưng tiến - Sử dụng đoạn thẳng để mơ tả nhìn thấy nước giếng Bạn đo tình xuất toán khoảng cách từ miệng giếng đến +Gọi CB khoảng cách từ mặt đất đến chỗ anh đứng 0,5m Bạn đo đường mực nước, CM chiều cao từ đất đến kính giếng tìm được kính 2m Bạn tính khoảng cách từ mặt đất đến mực nước nào? mắt Huy, AC khoảng cách từ miệng giếng đến chỗ Huy đứng, KH đường kính giếng +Chiều cao từ đất đến mắt Huy 1,6m biểu diễn CM =1,6m Khoảng cách từ miệng giếng đến chỗ đứng 0,5m biểu diễn AC=0,5m M Đường kính giếng 2m biểu diễn KH = 2m A C 0,5m -Thiết lập mơ hình tốn học: Cho tam giác MAC vng C, tam giác MKB vuông B, biết K 2m H B CM=1,6m, AC = 0,5m, BK = 2,5m Tính CB? -Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập skkn Xét hai tam giác MKB MCA M A C Ta có: 0,5m Suy ra: Hai tam giác MKB MAC đồng dạng Suy ra: K 2m H B -Thể lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn làm quen với việc kiểm chứng tính đắn lời giải Vậy khoảng cách từ mặt đất đến mực nước là: – 1,6 = 6,4m -HS sử dụng điểm, đoạn thẳng để mơ tả tình xuất số Bài 3: Em đề xuất cách tính tốn thực tiễn khoảng cách hai bờ sông mà - Chọn điểm A cố định mép qua bờ sông bên bờ sông bên (chẳng hạn cây) Đặt điểm B B’ thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ sơng cịn lại AB khoảng cách cần đo - Trên đường thẳng vng góc với AB’ B B’ lấy C C’ thẳng hàng với A - Đo độ dài đoạn thẳng BB’ = skkn h (m), BC = a (m), B’C’ = a’ (m) - Thiết lập mơ hình tốn học: Cho hai tam giác ABC AB’C’ hình vẽ Biết BB’ = h (m), BC = a (m), B’C’ = a’ (m) Tính AB theo a, a’, h? Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập Ta có: Suy ra: -Thể lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn làm quen với việc kiểm chứng tính đắn lời giải * Bài tập nhằm phát triển lực giao tiếp toán học Tên tập Hướng dẫn HS thực thao tác Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 18cm, AC = - Nghe hiểu, đọc hiểu vấn đề cần giải 20cm, BC = 24cm Tính độ dài - Hiểu cho tam giác ABC có độ dài cạnh tam giác MNP đồng dạng cạnh AB = 18cm, AC = 20cm, BC = 24 cm - Hiểu hai tam giác đồng dạng ABC MNP có “cạnh bé tam giác MNP cạnh tam giác MNP cạnh lớn tam giác ABC” nghĩa MN = BC với tam giác ABC, biết cạnh bé skkn lớn tam giác ABC - Hiểu yêu cầu tốn tính độ dài cạnh tam giác MNP - Trình bày, diễn đạt Cạnh lớn tam giác ABC cạnh nào? Giả thiết “cạnh bé tam giác MNP cạnh lớn tam giác ABC” có nghĩa gì? Diễn đạt “cạnh bé tam giác cạnh lớn tam giác ABC” thành độ dài MN độ dài BC 24cm Biết ABC có độ dài cạnh AB = 18cm, AC = 20cm, BC = 24cm Tính độ dài cạnh cịn lại tam giác MNP dựa vào tỉ số đồng dạng - Biết sử dụng ngơn ngữ tốn học Tam giác ABC đồng dạng tam giác MNP Ta có: Kết lập luận Vậy MN = 24cm, MP = 26,7cm, NP = 32cm Bài 2: Cho ∆ABC vẽ HK//AB (H thuộc BC, K thuộc AC), MN//BC (M thuộc AB, N thuộc AC) O giao điểm HK - Nghe hiểu, đọc hiểu Hiểu : Vẽ tam giác ABC, HK//AB (H thuộc BC, K thuộc AC), MN//BC (M thuộc AB, N thuộc AC) O giao điểm HK MN MN Kể cặp tam giác đồng dạng, giải thích? skkn Vấn đề cần giải quyết: Kể cặp tam giác đồng dạng, giải thích hai tam giác đồng dạng - Trình bày, diễn đạt + Hai tam giác AMN đồng dạng ABC MM song song BC +Hai tam giác KON đồng dạng KHC OM song song BC +tam giác CKH đồng dạng tam giác CAB KH song song AB + tam giác NOK đồng dạng tam giác NMA OK song song AB +tam giác AMN đồng dạng tam giác KHC đồng dạng với tam giác ABC - Biết sử dụng ngơn ngữ tốn học AMN ABC MM//BC - KON KHC OM//BC - CKH CAB KH//AB - NOK NMA OK//AB - AMN Bài 3: Cho tam giác ABC, có MN song song BC, AM = 2cm, MB = 4cm, NC = 7cm Tìm x? KHC - Nghe hiểu, đọc hiểu vấn đề cần giải Cho tam giác ABC, đường thẳng MN song song với BC cắt hai cạnh AB, AC M, N cho AM = 2cm, MB = 4cm, NC = 7cm skkn Vấn đề cần giải quyết: Tính AN - Trình bày, diễn đạt Do MN song song với BC nên hai tam giác ABC AMN đồng dạng Lập tỉ số để tính AN - Biết sử dụng ngơn ngữ tốn học Ta có: Suy ra: ∆ABC ∆AMN Suy ra: Vậy x=3,5 * Bài tập nhằm phát triển lực sử dụng công cụ phương tiện học toán Tên tập Hướng dẫn HS thực thao tác Bài 1: Cho ∆ABC vuông - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử A, AB = 3cm, AC = 4cm Biết dụng cơng cụ, phương tiện học tốn ∆DEF ~ ∆ABC Hãy vẽ ∆DEF, biết Xác định phương tiện : eke thước có độ dài cạnh nhỏ ∆DEF chia độ dài sẵn 4,5cm – Trình bày cách sử dụng công cụ, phương tiện để diễn tả lập luận, chứng minh toán học Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng máy tính cầm tay để tính độ dài: - Sử dụng eke, lấy đỉnh góc vng eke D, vẽ đoạn thẳng DE = 4,5cm theo cạnh góc vng eke, vẽ đoạn DF = 6cm theo cạnh góc vng cịn lại eke Ta tam giác vng DEF thỏa mãn skkn - Bước đầu nhận biết số ưu điểm, hạn chế công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí – Nhận việc sử dụng eke thuận tiện cho việc vẽ góc vng mà khơng phải đo góc vng Bài 2: Cho ∆ABC có AB = - Nhận biết tên gọi, tác dụng, quy 3cm, BC = 5cm; AC = 4cm Cho cách sử dụng phương tiện học tốn ∆NMP đồng dạng ∆ABC có tỉ số +phương tiện : eke thước có chia độ dài sẵn đồng dạng k = Hãy vẽ ∆NMP? - Sử dụng cơng cụ phương tiện tốn học Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng máy tính cầm tay để tính độ dài: - Sử dụng eke, lấy đỉnh góc vng eke N, vẽ đoạn thẳng MN = 6cm theo cạnh góc vng eke, vẽ đoạn NP = 8cm theo cạnh góc vng cịn lại eke Ta tam giác vuông MNP thỏa mãn Bài 3: Em đề xuất cách - Nhận biết tên gọi, tác dụng, quy tính chiều cao tường mà cách sử dụng phương tiện học tốn khơng cần đo trực tiếp hình vẽ +Xác định phương tiện : eke thước có chia độ dài sẵn - Sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn + Sử dụng thước thẳng vẽ đường thẳng nằm ngang, đường thẳng lấy điểm B vẽ đoạn thẳng AB vuông góc với đường thẳng đó, chiều cao tường AB skkn +Dùng eke vẽ hai đoạn thẳng FE, KD vng góc với đường thẳng E, D, cho điểm A, F, K thẳng hàng + Dùng thước thẳng nối A, F K để xác định điểm C (F, K, C thẳng hàng) +Dùng thước thẳng đo độ dài CB = a, CD = b, DK =h - Diễn tả lập luận, chứng minh toán học Ta có: đồng dạng Suy ra: KẾT LUẬN Trên hệ thống toán theo lực cụ thể phân tích bước thực để giải toán, nhằm đạt đặc điểm lực Các toán xây dựng phân tích đặc điểm sở cho thấy phát triển lực thông qua học tập nội dung tam giác đồng dạng Các tốn trọng gắn với tình thực tế nhằm làm phong phú, đa dạng nội dung toán liên quan đến tam giác đồng dạng Đây vấn đề chắn cịn có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến xây dựng đồng chí , đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! skkn skkn ... giải thích hai tam giác đồng dạng - Trình bày, diễn đạt + Hai tam giác AMN đồng dạng ABC MM song song BC +Hai tam giác KON đồng dạng KHC OM song song BC +tam giác CKH đồng dạng tam giác CAB KH song... giác CAB KH song song AB + tam giác NOK đồng dạng tam giác NMA OK song song AB +tam giác AMN đồng dạng tam giác KHC đồng dạng với tam giác ABC - Biết sử dụng ngơn ngữ tốn học AMN ABC MM//BC - KON... cụ, skkn phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí Hệ thống tập: *Bài tập nhằm phát triển lực tư lập luận toán học Tên tập Hướng dẫn HS thực thao tác + Quan sát : Hai tam giác ABC MPQ số Bài