(SKKN CHẤT 2020) các bài toán về tam giác đồng dạng

SỰ PHONG PHÚ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I/MỞ ĐẦU: * Người ta thường nói:’’Bí hình ‘’thật khơng sai ;bởi phần lớn học sinh ngán ngẫm mơn học phong phú phức tạp ‘’tam giác đồng dạng’’ Nhưng em nắm lí thuyết vận dụng tốt trí tuệ phát triển nhanh *Trong chương trình hình học phẳng THCS, đặc biệt chương hình học 8, phương pháp“Tam giác đồng dạng” công cụ quan trọng nhằm giải tốn hình học Làm sở để học sinh vận dụng giaỉ tốn hình học phẳng lớp *Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” phương pháp ứng dụng tính chất đồng dạng tam giác, tỷ lệ đoạn thẳng, sở tìm hướng giải dạng tốn hình học *Trên thực tế, việc áp dụng phương pháp “Tam giác đồng dạng” giải tốn có thuận lợi khó khăn chứng sau: * Thuận lợi: + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” cơng cụ giúp ta tính tốn nhanh chóng dạng tốn đặc trưng tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, tập ứng dụng định lý sau Thales + Với số dạng toán quen thuộc chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phương pháp “ Tam giác đồng dạng” cho ta cách giải gọn gàng, ngắn phương pháp truyền thống khác sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt Học sinh vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn giải toán + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả tư logic học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh cách hiệu Từ học sinh đam mê học tốn * Khó khăn: + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” lạ lẫm với học sinh Các em chưa quen với việc sử dụng phương pháp để giải toán thay cho cách chứng minh truyền thống, đặc biệt với học sinh lớp + Việc sử dụng tỷ số cạnh phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn tính tốn, biến đổi vịng quanh luẩn quẩn, không rút tỷ số cần thiết, khơng có kỹ chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hướng giải toán *Từ nhận định trên, sáng kiến kinh nghiệm giải giúp cho giáo viên dạy lớp em học sinh số vấn đề cụ thể : Trang download by : skknchat@gmail.com - Hệ thống lại kiến thức thường áp dụng phương pháp - Hệ thống dạng tốn hình học thường áp dụng phương pháp “ Tam giác đồng dạng” - Định hướng giải dạng toán Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” - Hệ thống số tập luyện tập *Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi có nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm số phương pháp hình học đặc trưng, nhiên hạn chế kiến thức thực tế giảng dạy chắn sáng kiến kinh nghiệm nhiều thiếu sót Kính mong thầy giáo, giáo có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho sáng kiến kinh nghiệm trở nên hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý vị II/ KẾT QUẢ : Để có kết tốt học tam giác đồng dạng em cần nắm vững khái niệm tam giác đồng dạng Từ phân tích, biến đổi thành thạo trường hợp * LÝ THUYẾT : Học sinh cần nắm hiểu kỹ kiến thức tam giác đồng dạng sau để vận dụng cho tốt trường hợp cụ thể Đinh lý Talet tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ MN // BC M B N C Khái niệm tam giác đồng dạng Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: + ; Các trường hợp đồng dạng tam giác: a) Trường hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng Trang download by : skknchat@gmail.com b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông + Tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng * ÁP DỤNG:Để dễ sử dụng kiến thức tính tốn, so sánh, chứng minh Tơi tạm chia thành dạng tốn sau: &.DẠNG1:Tính độ dài đoạn thẳng, góc, tỷ số, diện tích, chu vi: _ Loại1: Tính độ dài đoạn thẳng : _Ví dụ:1) Cho ABC vng A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực BC cắt BC , BA, CA M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD 2) Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với AB = a, BC = c b) Chứng minh BD < c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d 3)a) Tam giác ABC có = ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài cạnh ABC có =2 biết số đo cạnh số tự nhiên liên tiếp GiảI :3) A 4cm Trang B D download by : skknchat@gmail.com a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC ACD ABC có chung; = = ACD P ABC (g.g) AC = 6(cm) b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB a, b, c Theo câu (a) ta có AC2 = AB AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + b= c + * Nếu b = c + từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + = ac c(a-2) = (loại) c= ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + = ac c(a – 4) = Xét c = 1, 2, có c = 4; a = 5; = thỏa mãn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm _Loại2:Tính góc : _Ví dụ:1) Cho ABH vng H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC = AH Tính 2) Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tương ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? 3) ABC có AB: AC : CB = 2: 3: chu vi 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC Trang download by : skknchat@gmail.com b) Biết A = 1050; D = 450 Tính góc cịn lại Giải:1) AB =20 =5= AC Ta có BH 12 AH A 20cm AB = AC Xét ABH CAH có : AB AC ABH P CAH (CH cạnh gv) Lại có + = = 900 nên + = 900 Do : = 900 Giải:2) Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : Từ (1) (2) AB MB ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) AB=BD=DA MB AB Từ Mặt khác : Trang download by : skknchat@gmail.com BH AH Xét MBD BDN có : ; = MBD P BDN (c.g.c) MBD KBD có= chung = = 1200 Vậy _ Loại3 :Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích: _Ví dụ: 1) Cho ABC, D điểm cạnh AC cho Biết AD = 7cm; BD DC = 9cm Tính tỷ số BA 2) Cho hình vng ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CE cắt DF S M Tính tỷ số S CMB ABCD ? 3) Cho ABC, D trung điểm BC, M trung điểm AD a) BM cắt AC P, P’ điểm đối xứng P qua M Chứng minh PA = P’D Tính tỷ số PA PC b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh PQ // BC Tính c) Chứng minh diện tích tam giác BAM, BMD, CAM, CMD Tính tỷ số diện tích MAP ABC Giải:1) CAB CDB có C chung ; = (gt) CAB P CDB (g.g)CD CB = CA.CD Theo gt CD = 9cm; Do CB2 = 9.16 = 144 Mặt khác lại có : Trang download by : skknchat@gmail.com Giải:2) Xét DCF CBE có DC = BC (gt); DCF = CBE (c.g.c) Mà + = 1v 1 = + = = 900; BE = CF = 1v CMD vuông M A CMD P FCD (vì S M FCD D Mà SFCD = B F CMD S E Vậy SCMD = Áp dụng định lý pitago vào tam giác vng DFC, ta có: Thay DF2 = _Loại 4: Tính chu vi hình : CD2 _Ví dụ:1) Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi ADE = chu vi ABC Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm 2) A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = vi tam giác 51dm Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu 3) Tính chu vi ABC vng A biết đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm Giải:1) Do DE // BC nên ADE P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Chuvi B download by : skknchat@gmail.com EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đường cao Kẻ EM, FN hai đường cao AEF Chứng minh MN // BC A Sơ đồ phân tích AMF P M AFC (g.g); AFN P N E ABE F C B = = MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỷ số : 3, điểm I, K theo thứ tự chia đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số : Chứng minh IK // BC Gọi M trung điểm AF A Giải: Gọi N giao điểm DM D EF Xét ADM ABC có : M N F I = = Góc A chung ADM K B C E P ABC (c.gc) = mà góc vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN Trang 15 download by : skknchat@gmail.com Ta có : mà = = (gt) Từ (1) (2) = = (1) (2) = Suy IK // DN (định lý Ta – lét đảo) Vậy IK // BC *Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh EG // DC &.DẠNG4: Chứng minh tam giác đồng dạng: + Ví dụ 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC ,lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F a) CMR : ABC P AED b) FBD P FEC c) Tính ED ; FB? Bài tốn cho gì? Dạng tốn gì? Để chứng minh đồng dạng có phương pháp nào? Bài sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? F Sơ đồ chứng minh: a) GT chung = =2 ABC P AED (c.g.c) ABC P AED (câu a) Trang 16 download by : skknchat@gmail.com b) = FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB + Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC AB; AC cho ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều ? Từ gt nghĩ đến P theo trường hợp (g.g) ? Gt cho yếu tố góc ? Cần chứng minh thêm yếu tố ( a) Hướng dẫn sơ đồ ABC cân = ; BDM P = CME (gg) Trang 17 download by : skknchat@gmail.com Câu a b) gt = ; CM=BM = = (gt) ; A DME P c) Từ câu a : BDM P DBM (c.g.c) CME (gg) F P BD CE = Cm BM B Mà CM = BM = E Q M D N C =a BD CE = đổi) (khơng Lưu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài cho BC = 2a không đổi Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD CE theo a + V í d ụ 3: Cho ABC có trung điểm BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Gọi P giao điểm AM BE; Q giao điểm CF AN CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng b) ABC P DQP Trang 18 download by : skknchat@gmail.com * Hướng dẫn a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp Bài chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh cho trung điểm nghĩ tới đường trung bình Từ nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho đường thẳng PD FP // AC PD đường trung bình BECPD // AC FP đường trng bình ABEFP // AC Tương tự cho điểm D, Q, E b) PD = EC = = =4 (Đơn vị EF // AB) (so le PD // AC) =4 ; ABC P DQP (c.g.c) * Bài tập đề nghị: 1) Cho điểm I cho ABC, AD phân giác ; AB < AC Trên tia đối DA lấy Chứng minh a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC 2) Cho ABC; H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trực Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG 3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đường vng góc với BC cắt AC, AB D, E a) CMR : ABC P MDC Trang 19 download by : skknchat@gmail.com b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC 4) Cho ABC; O trung điểm cạnh BC Góc = 600; cạnh ox cắt AB M; oy cắt AC N a) Chứng minh: OBM P NCO b) Chứng minh : OBM P NOM c) Chứng minh : MO NO phân giác d) Chứng minh : BM CN = OB2 &.DẠNG5:Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau: _Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh : OE = OF A B E F O C D Định hướng Sơ đồ giải H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) OE = OF TL: Các tam giác đồng dạng đoạn thẳng tỷ lệ H: EO đoạn hình vẽ thường = lập tỷ số? TL: H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) TL: = ; = ; = AEC BOF AOB P P P ADC BDC COD EF // DC AB // CD Trang 20 download by : skknchat@gmail.com gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta đưa chứng minh điều gì? TL: = (1) H: OE; DC cạnh tam giác nào? ( AEO; ADC, tam giác đồng dạng chưa? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tương tự cho OF , DC H: lập tỷ số TL: = = ; = H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: = H: Đây tỷ số có từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD H: Hãy chứng minh điều Ví dụ 2: Trên cạnh góc xoy ( 1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB v OAD ng dng b) Gọi giao điểm cạnh AD BC I, CMR: Hai tam giác IAB ICD có góc đôi x B Giải:a)Ta có: = Góc O chung b) Xét IAB ICD ta dễ nhìn thấy khơng Do để chứng minh chúng có góc đôi ta chứng minh đồng dạng Trang 21 download by : skknchat@gmail.com Vì OBC P ODA nên = Mặt khác ta có (1) (đối đỉnh) BAI P DCI (g.g) Ví dụ 3: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm BD = 8cm Chứng minh : A Giải :Xét BAD DBC có AB // CD : (so le ) ( D ) BAD P DBC (c.g.c) Ví dụ 4: Tam giác ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE Định hướng giải: Từ giả thiết cho song song ta suy tỷ lệ thức tam giác đồng dạng Ta có : = (1) = (cùng A F ) L M P = (2) ( ta có trung tuyến O ) N B download by : skknchat@gmail.com Từ (1) (2) suy : = Tương tự ta có EN = FM = FE EF suy MN = EF Vậy FM = MN = NE * Bài tập đề nghị :Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đường chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q CMR: MN =PQ &.DẠNG 6: Toán ứng dụng thực tế: + Ví dụ 1: Để đo khoảng cách điểm A M, M khơng tới được, người ta tiến hành đo tính khoảng cách (như hình vẽ) AB BM; BH AM Biết AH = 15m; AB = 35m Giải : Xét AMB ABH có ; 35cm AMB P ABH (gg) M B = AM = = 81,7(m) Vậy khoảng cách điểm A M gần 81,7 m + Ví dụ 2: Một đèn đặt cao vị trí A, hình chiếu vng góc mặt đất H Người ta đặt cọc dài 1,6m, thẳng đứng vị trí B C thẳng hàng với H (hình vẽ) Khi bóng cọc dài 0,4m 0,6m Biết BC = 1,4m Hãy tính độ cao AH Giải Gọi BD, CE bóng cọc B’ ; C’ tương ứng đỉnh cao Đặt BB’ = CC’ = a ; CE = c ; BC = d ; AH = x Gọi I giao điểm AH B’C’ A BD = b ; C' C (x – a) (b + d + c) = x.d x= = a(1+ ) D Thay số ta AH = 1,6 (1 + ) = 3,84(m) E Trang 23 download by : skknchat@gmail.com Vậy độ cao AH 3,84 mét *Bài tập đề nghị: Một giếng nước có đường kính DE = 0,8m (hình vẽ) Để xác định độ sâu BD giếng, người ta đặtmột gậy vị trí AC, A chạm miệng giếng, AC nhìn thẳng tới vị trí E góc đáy giếng Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m Tính độ sâu BD giếng III/KẾT LUẬN: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải tốn Đây khái niệm khó học sinh , giáo viên cần hướng dẫn, phân tích tỉ mỉ để học sinh tìm bước chứng minh Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc phương pháp thường dùng : * Đưa đoạn thẳng cần quy tử tỷ số có mẫu * Chứng minh đoạn thẳng độ dài * Đưa góc cần chứng minh góc tương ứng tam giác đồng dạng * Chứng minh tỷ số sau chứng minh tử suy đoạn thẳng mẫu *Nói chung tuỳ tốn cụ thể cần sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải, ta phải biết cách chọn cặp tam giác đồng dạng phù hợp để chứng minh Có thể vẽ thêm để xuất cặp tam giác đồng dạng Chúc em thành công học tập Quy Nhơn , NGUYỄN - KIM - CHÁNH Trang 24 download by : skknchat@gmail.com ... cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trường hợp đồng dạng tam giác. .. tam giác vuông + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh... A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: + ; Các trường hợp đồng dạng tam giác: a) Trường hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng Trang download by : skknchat@gmail.com