Skkn phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………… NỘI DUNG 2.1 Cơ sơ lí luận……………………………………………………………………….4 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………………………………6 2.3 Biện pháp thực hiện……………………………………………………………… 2.4 Kết nghiên cứu……………………………………………………………….18 KẾT LUẬN Kết luận………………………………………………………………………………20 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 20 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian mơn học khó nhiều học sinh phổ thơng Nhiều học sinh thấy khó trở nên chán nản học môn học Các em phát biểu “ Trong lí thuyết em hiểu lại khơng áp dụng lí thuyết vào để tự làm tập” Vì vậy, dạy học sinh phần hình học khơng gian, người giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hướng dẫn em bước cách tìm hướng giải cho loại toán để em tự làm không áp đặt kết cách làm cho học sinh Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao viết “ Khoảng cách” đơn giản tập yêu cầu với học sinh lại khơng đơn giản học sinh Nếu người dạy đưa định nghĩa sách giáo khoa cho học sinh làm tập ví dụ chắn nhiều học sinh lúng túng làm tập Trong cấu trúc đề thi trung học phổ thơng quốc gia ln có câu hình học khơng gian “ khoảng cách” vấn đề hay hỏi đến đề thi Điều làm cho khơng học sinh giáo viên lo lắng Đây toán tương đối khó tất học sinh, sử dụng kiến thức tổng hợp tốn giải tam giác tính chất hình học khơng gian Để giải cho khó khăn nêu trên, dựa kinh nghiệm dạy học ôn thi đại học nhiều năm mình, tác giả đưa số định hướng tương đối hiệu dễ hiểu cho học sinh, đề tài ”Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt toán tính khoảng cách” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải toán thường sử dụng phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng cơng thức tính thể tích, phương pháp tọa độ, nhiên người sử dụng phương pháp góc độ cách nhìn khác Trong phương pháp nêu phương pháp tính trực tiếp phương pháp bản, sử dụng cho học sinh lớp 11 học sinh ôn thi đại học, cao đẳng Và để tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thường phải xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng tính đoạn thẳng nối từ điểm đến hình chiếu Tuy nhiên, việc xác định tính khơng phải lúc đơn giản, nên gặp tốn khó học sinh khó để định hướng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định, skkn gọi “điểm đặc biệt” tốn Vì vậy, viết tác giả giúp học sinh phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” toán kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách “điểm đặc biệt” 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm khoảng cách không gian: 1.3.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.3.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số trường tỉnh 1.4.2 Nghiên cứu tài liệu 1.4.3 Thực nghiệm 1.4.4 Nhận xét skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Để đơn giản cho việc hiểu vận dụng phương pháp, trước tiên viết xin đưa khái niệm “ điểm đặc biệt” đưa vào số tính chất nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm khoảng cách điểm hình chiếu 2.1.1 “Điểm đặc biệt” phương pháp “ Điểm đặc biệt” mặt phẳng điểm mà dễ tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Ví dụ 1: Nếu hai mặt phẳng vng góc với điểm mà khơng nằm điểm đặc biệt Q thuộc A H P Ví dụ 2: Cho hình chóp Gọi hình chiếu điểm đặc biệt mặt phẳng lên mặt phẳng Khi S K C A H E B 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng ) khoảng cách hai điểm , hình chiếu mặt phẳng (hoặc đường thẳng ) (Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) skkn M M H H P d 2.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) B A a K H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng (Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114) A B P H K Q 2.1.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115) J a P K b Q 2.1.5 Một số tính chất cần lưu ý Tính chất 1: Nếu , , thẳng hàng, thuộc mặt phẳng skkn ta có A A B A' A' I I B' B' Q Q B Tính chất 2: Nếu song song với mặt phẳng A B B' A' Q Tính chất 3: Nếu đường thẳng với mặt phẳng nằm mặt phẳng đường thẳng song song , với điểm tùy ý thuộc a M b Q Tính chất 4: Nếu đường thẳng nằm mặt phẳng , đường thẳng phẳng mặt phẳng song song với mặt phẳng điểm tùy ý thuộc nằm mặt , với M Q' b Q 2.2 Thực trạng đề tài Như tác giả trình bày trên, hình học khơng gian tốn khó, đặc biệt tốn tính khoảng cách Nhiều học sinh khơng biết đâu, dùng phương pháp nào, lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia… Một số học sinh mày mị tìm cách giải tốn có có khơng Một số học sinh skkn khác gần “lối đi” cho loại tốn Đề tài tác giả mong muốn giúp em bước giải vấn đề 2.3 Biện pháp thực 2.3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm điểm đặc biệt mặt phẳng Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (nhờ tính chất 1, 2) Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh , cạnh bên vng góc với mặt đáy cạnh bên tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng theo Phân tích: Trong trường hợp điểm điểm đặc biệt mặt phẳng Nên ta thực việc xác định hình chiếu điểm lên mặt phẳng tính Cụ thể ta có lời giải sau: Giải: S H A C I B Gọi trung điểm , hình chiếu lên Ta có Suy , Nên Mặt khác vng góc với đáy Nên , Suy Ví dụ 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2014) skkn Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , , hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trung điểm cạnh Tính theo khoảng cách từ đến mặt phẳng Phân tích: Trường hợp điểm không điểm đặc biệt mặt phẳng nên gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu điểm lên Nếu gọi hình chiếu lên , điểm điểm đặc biệt mặt phẳng Nên ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ đến mặt phẳng tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng , (nhờ tính chất 1,2) Cụ thể lời giải sau: Giải: S B K C I H A D Gọi trung điểm , điểm hình chiếu lên trung điểm nên Gọi hình chiếu điểm lên , hình chiếu lên Ta có , Suy Mặt khác: Suy Vậy Do Ví dụ 3: ( Đề thi đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp có đáy tam giác vng , ; mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Biết Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo Phân tích: Trường hợp điểm không điểm đặc biệt mặt phẳng , nên ta cần tìm điểm đặc biệt mặt phẳng Giả sử hình chiếu skkn lên đáy điểm đặc biệt mặt phẳng Nên bước ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính khoảng cách từ đến mặt phẳng , (nhờ tính chất 1,2) Cụ thể ta có lời giải sau: Giải: S K C H B I A Gọi hình chiếu lên , Ta có nên Gọi hình chiếu lên , hình chiếu Ta có Suy Mặt khác, sử dụng tính chất đồng dạng hai tam giác Suy Vậy lên ta có Ví dụ 4: Cho lăng trụ có đáy tam giác vng , , Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng trọng tâm tam giác , góc đường thẳng với mặt đáy 60 Tính theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phân tích: Ở ví dụ điểm đặc biệt mặt phẳng , mà điểm đặc biệt mặt phẳng trọng tâm tam giác Như vậy, để tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (AA’C’C) ta cần thực liên tiếp bước quy từ việc tính khoảng cách điểm B’ điểm B, tiếp điểm đặc biệt G (nhờ tính chất 1, 2) Cụ thể ta có lời giải sau: Giải: skkn B' C' A' H B G C M I A Gọi trọng tâm tam giác , Ta có Gọi hình chiếu lên , H hình chiếu G lên A’I Khi Mà , suy Mặt khác GI song song AB nên Gọi M trung điểm BC, ta có Do CC’ song song AA’ Suy Vậy Ví dụ 5: (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp Cạnh bên từ Gọi hình chiếu vng góc đến mặt phẳng có đáy hình thang, vng góc với mặt đáy lên Tính theo a khoảng cách Phân tích: Tương tự ví dụ 4, để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) thực liên tiếp bước quy việc tính khoảng cách từ điểm H điểm B, tiếp đến điểm đặc biệt A, mức độ khó ví dụ Cụ thể lời giải sau: 10 skkn Giải: S H K A D M C B I Ta có Do Gọi I giao điểm hai đường thẳng AB CD, ta có B trung điểm AI Suy Gọi M trung điểm AD Ta có Gọi K hình chiếu A lên SC Khi Mà , suy Mặt khác: Vậy Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B, năm 2011) Cho lăng trụ có đáy hình chữ nhật, Hình chiếu vng góc điểm lên mặt phẳng trùng với giao điểm Tính theo a khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phân tích: Do mặt phẳng nên điểm nằm mặt phẳng đáy điểm đặc biệt mặt phẳng (A’BD) Nên ta quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) điểm mặt phẳng (ABCD), ví dụ ta quy tính khoảng cách từ A C đến mặt phẳng (A’BD), tác giả trình bày lời giải quy khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A’BD) Cụ thể lời giải sau: 11 skkn Giải: D' A' C' B' D A O E C B Do B’C song song A’D nên B’C song song mặt phẳng (A’BD) Do Gọi O giao điểm AC BD, suy Gọi E hình chiếu C lên BD suy Mà Vậy 2.3.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm cách quy việc tính khoảng cách hai dường thẳng chéo tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( nhờ tính chất 3,4) Bước tiếp tục cơng việc tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trình bày mục 2.3.1 Ví dụ 7: ( Đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh a, với mặt phẳng , góc đường thẳng mặt phẳng Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng vng góc 450 Phân tích: Đây toán khoảng cách hai đường thẳng chéo hai đường thẳng khơng vng góc với nên ta cần quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhờ tính chất Ta chọn mặt phẳng (P) chứa SB song song với AC để quy toán tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) mặt phẳng (P) có điểm đặc biệt A Từ ta có lời giải cụ thể sau: 12 skkn Giải: S H A D M d B C Gọi d đường thẳng qua B song song với AC Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy Gọi M hình chiếu A lên d, H hình chiếu A lên SM Ta có Do Vì Mà nên Vậy Ví dụ 8: ( Đề thi đại học khối A, năm 2012) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng điểm thuộc cạnh cho Góc đường thẳng mặt phẳng 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng theo a Phân tích: Trường hợp ta chọn mặt phẳng (P) chứa SA song song với BC để quy tốn tính khoảng cách từ điểm đường thẳng BC đến (P) Vì điểm đặc biệt mặt phẳng (P) điểm H nên ta chọn điểm B thuộc đường thẳng BC để dễ dàng quy điểm H Từ ta có lời giải cụ thể sau: Giải: 13 skkn M Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Gọi N, K hình chiếu H lên d SN Theo giả thiết HA = 2HB nên Khi Ta có Suy Gọi trung điểm , có Mà Vậy Ví dụ 9: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật, Gọi trung điểm Hình chiếu lên mặt phẳng trùng với giao điểm Biết góc đường thẳng với đáy 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo SC AN, ta cần tìm mặt phẳng chứa đường song song với đường để đưa tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ở ví dụ ta chọn mặt phẳng (SMC) mặt phẳng chứa điểm S biết hình chiếu lấy điểm hình chiếu làm điểm đặc biệt Lời giải cụ thể sau: 14 skkn Giải: S N E K A D H M I B C Gọi E trung điểm SC, ta có AMEN hình bình hành, suy AN song song ME nên AN song song mặt phẳng (SMC) Do Gọi H giao điểm AC DM, ta có Gọi I hình chiếu H lên MC K hình chiếu H lên SI Ta có Suy Mặt khác: Suy Vậy Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác có đáy hình chữ nhật, Các cạnh bên hình chóp Gọi trung điểm cạnh Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo MN SP, tốn ta cần tìm hai mặt phẳng song song chứa MN SP Sau sử dụng tính chất để quy tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 15 skkn Giải: S P K M A I E D H B N C Gọi H giao điểm AC BD, SA = SB = SC = SD nên H hình chiếu S lên (ABCD) Gọi E trung điểm AB, NE song song với AD, EM song song với SA Suy Gọi I trung điểm AD, K hình chiếu H lên SI Khi Suy Mặt khác: Vậy 16 skkn 2.3.2 Bài tập đề xuất Bài 1: ( Đề thi đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm SA đến mặt phẳng (SCD) Bài 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DM SC Bài 3: ( Đề thi khảo sát chất lượng 12 năm học 2015- 2016 Sở GD & ĐT Thanh Hóa) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc Cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh CC’ Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm AB Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB CM 17 skkn 2.4 Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tác giả thấy có hiệu đáng kể Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tốn tính khoảng cách hình khơng gian sau: 2.4.1 Về mặt định lượng: Trước sử dụng phương pháp điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách Lớp 11A2 – sĩ số 38 Số lượng Phần trăm Không giải 28 74% Giải 10 26% % Sau sử dụng phương pháp điểm đặc biệt giải tốn tính khoảng cách Lớp 11A2 – sĩ số 38 Số lượng Phần trăm Không giải 12 32% Giải 25 68% 18 skkn % 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dị ý kiến HS GV sau sử dụng phương pháp sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết phương pháp sử dụng điểm đặc biệt vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ vừa tạo hứng thú học tập rèn luyện cho em kĩ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu viết 19 skkn KẾT LUẬN Bài viết đưa khái niệm “ điểm đặc biệt” nhằm khắc sâu định hướng cho phương pháp đồng thời đưa vào số tính chất nhằm sử dụng để rèn luyện kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách điểm đặc biệt Đồng thời đưa hệ thống ví dụ với xếp thứ tự từ kĩ đơn giản đến phức tạp tương đối đầy đủ với phân tích, nhận xét trường hợp giúp cho học sinh dễ hiểu dễ vận dụng Đề tài tác giả áp dụng dạy lớp 11A2 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hướng phương pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc định hướng cho học sinh giải toán khoảng cách Bài viết đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chuyên môn triển khai trình bày tổ Do phương pháp sử dụng kĩ kiến thức nên áp dụng cho học sinh lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia tất đối tượng học sinh từ trung bình đến học sinh giỏi Đồng thời dựa định hướng phương pháp mà giáo viên sáng tạo tốn từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp bước quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách điểm đặc biệt Mặc dù cố gắng, chắn viết không tránh khỏi thiếu xót định Tác giả mong nhận quan tâm, góp ý, bổ sung từ thầy cô bạn bè đồng nghiệp, để đề tài hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao lực dạy toán cho học sinh Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Hường Tài liệu tham khảo: [1] Bộ sách giáo khoa tập Hình học 11 (Ban 2007 NXBGD) [2] Bộ sách giáo khoa tập Hình học 11 (Ban nâng cao 2007 NXBGD) [3] Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2002 đến 2015 20 skkn ... tài ? ?Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải toán thường sử dụng phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng cơng thức tính. .. Trước sử dụng phương pháp điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách Lớp 11A2 – sĩ số 38 Số lượng Phần trăm Không giải 28 74% Giải 10 26% % Sau sử dụng phương pháp điểm đặc biệt giải tốn tính khoảng cách. .. vận dụng phương pháp, trước tiên viết xin đưa khái niệm “ điểm đặc biệt? ?? đưa vào số tính chất nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm khoảng cách điểm hình chiếu 2.1.1 ? ?Điểm đặc biệt? ?? phương pháp