SKKN phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài………………………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………… 1.3 Đối tƣợng nghiên cứu…………………………………………………………… 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu………………………………………………………… NỘI DUNG 2.1 Cơ sơ lí luận……………………………………………………………………….4 2.2 Thực trạng đề tài………………………………………………………………6 2.3 Biện pháp thực hiện……………………………………………………………… 2.4 Kết nghiên cứu……………………………………………………………….18 KẾT LUẬN Kết luận………………………………………………………………………………20 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 20 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hình học khơng gian mơn học khó nhiều học sinh phổ thơng Nhiều học sinh thấy khó trở nên chán nản học môn học Các em hầu nhƣ phát biểu “ Trong lí thuyết em hiểu nhƣng lại khơng áp dụng lí thuyết vào để tự làm đƣợc tập” Vì vậy, dạy học sinh phần hình học khơng gian, ngƣời giáo viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hƣớng dẫn em bƣớc cách tìm hƣớng giải cho loại toán để em tự làm đƣợc không áp đặt kết cách làm cho học sinh Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao viết “ Khoảng cách” đơn giản nhƣng tập yêu cầu với học sinh lại không đơn giản học sinh Nếu ngƣời dạy đƣa định nghĩa nhƣ sách giáo khoa cho học sinh làm tập ví dụ chắn nhiều học sinh lúng túng làm tập Trong cấu trúc đề thi trung học phổ thơng quốc gia ln có câu hình học khơng gian “ khoảng cách” vấn đề hay đƣợc hỏi đến đề thi Điều làm cho khơng học sinh giáo viên lo lắng Đây toán tƣơng đối khó tất học sinh, sử dụng kiến thức tổng hợp tốn giải tam giác tính chất hình học khơng gian Để giải cho khó khăn nêu trên, dựa kinh nghiệm dạy học ôn thi đại học nhiều năm mình, tác giả đƣa số định hƣớng tƣơng đối hiệu dễ hiểu cho học sinh, đề tài ”Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách” 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải toán thƣờng sử dụng phƣơng pháp nhƣ: Phƣơng pháp tính trực tiếp, phƣơng pháp sử dụng cơng thức tính thể tích, phƣơng pháp tọa độ, nhiên ngƣời sử dụng phƣơng pháp dƣới góc độ cách nhìn khác Trong phƣơng pháp nêu phƣơng pháp tính trực tiếp phƣơng pháp bản, sử dụng đƣợc cho học sinh lớp 11 học sinh ôn thi đại học, cao đẳng Và để tính trực tiếp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thƣờng phải xác định đƣợc hình chiếu điểm lên mặt phẳng tính đoạn thẳng nối từ điểm đến hình chiếu Tuy nhiên, việc xác định tính khơng phải lúc đơn giản, nên gặp tốn khó học sinh khó để định hƣớng cho việc tìm lời giải Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút đƣợc số kinh nghiệm nhỏ việc hƣớng dẫn học sinh xác định loại khoảng cách Một thao tác quan trọng mà học sinh cần có tìm hình chiếu điểm mặt phẳng xác định, gọi “điểm đặc biệt” tốn Vì vậy, viết tác giả giúp học sinh phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” toán kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách “điểm đặc biệt” 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề nhƣ sau: Nêu hƣớng giải tốn tìm khoảng cách không gian: 1.3.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1.3.2 Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập số trƣờng tỉnh 1.4.2 Nghiên cứu tài liệu 1.4.3 Thực nghiệm 1.4.4 Nhận xét NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Để đơn giản cho việc hiểu vận dụng phƣơng pháp, trƣớc tiên viết xin đƣa khái niệm “ điểm đặc biệt” đƣa vào số tính chất nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm khoảng cách điểm hình chiếu 2.1.1 “Điểm đặc biệt” phương pháp “ Điểm đặc biệt” mặt phẳng ( P ) điểm mà dễ tính đƣợc khoảng cách từ đến mặt phẳng ( P ) Ví dụ 1: Nếu hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vng góc với điểm A thuộc ( Q ) mà không nằm ( P ) điểm đặc biệt ( P ) Q A H P Ví dụ 2: Cho hình chóp S A B C Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ( A B C ) Khi H điểm đặc biệt mặt phẳng ( S B C ) S K A H E B 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng đến mặt phẳng ( P ) (hoặc đến đƣờng thẳng d ) Khoảng cách từ điểm M khoảng cách hai điểm M H , H hình chiếu M mặt phẳng ( P ) (hoặc đƣờng thẳng d ) (Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) M H P 2.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Khoảng cách đƣờng thẳng a mặt phẳng ( P ) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng ( P ) (Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113) B A a K H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng (Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114) A B P H K Q 2.1.4 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đƣờng thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115) J a P K b Q 2.1.5 Một số tính chất cần lưu ý Tính chất 1: Nếu A , B , I thẳng hàng, I thuộc mặt phẳng d(A,(Q)) kd(B,(Q)) (Q) AI k.BI ta có A A' Q Tính chất 2: Nếu A B song song với mặt phẳng ( Q ) A' Q Tính chất 3: Nếu đƣờng thẳng b nằm mặt phẳng ( Q ) a đƣờng thẳng song song với mặt phẳng ( Q ) d ( a , b ) d ( M , ( Q ) ) , với M điểm tùy ý thuộc a a M b Q Tính chất 4: Nếu đƣờng thẳng b nằm mặt phẳng ( Q ) , đƣờng thẳng a phẳng ( Q ') mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( Q ') d ( a , b ) M điểm tùy ý thuộc ( Q ') M Q' b Q 2.2 Thực trạng đề tài Nhƣ tác giả trình bày trên, hình học khơng gian tốn khó, đặc biệt tốn tính khoảng cách Nhiều học sinh đâu, dùng phƣơng pháp nào, lại nghĩ đến kẻ đƣờng này, vẽ đƣờng kia… Một số học sinh mày mị tìm đƣợc cách giải tốn có đƣợc có khơng Một số học sinh khác gần nhƣ khơng có “lối đi” cho loại toán Đề tài tác giả mong muốn giúp em bƣớc giải vấn đề 2.3 Biện pháp thực 2.3.1 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm điểm đặc biệt mặt phẳng ( P ) Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng ( P ) (nhờ tính chất 1, 2) Ví dụ 1: Cho hình chóp S A B C có đáy ABC vng góc với mặt đáy cạnh bên khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B C ) Phân tích: Trong trƣờng hợp điểm A điểm đặc biệt mặt phẳng ( S B C ) Nên ta (SBC ) thực việc xác định hình chiếu điểm A lên mặt phẳng tính Cụ thể ta có lời giải nhƣ sau: Giải: S H A C I B Ta có B C Nên d ( A , ( S B C ) ) Nên SBA AI,BC Suy d ( A , ( S B C ) ) Ví dụ 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2014) Cho hình chóp S A B C D có đáy A B C D hình vng cạnh a , S D chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( A B C D ) trung điểm cạnh A B Tính theo khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B D ) Phân tích: Trƣờng hợp điểm A không điểm đặc biệt mặt phẳng ( S B D ) nên a gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu điểm A lên ( S B D ) Nếu gọi H hình chiếu S lên ( A B C D ) , điểm H điểm đặc biệt mặt phẳng ( S B D ) Nên ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B D ) tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H đến mặt phẳng ( S B D ) , (nhờ tính chất 1,2) Cụ thể lời giải nhƣ sau: Giải: S K B C I H A Gọi H trung điểm H trung điểm A B Gọi I Ta có B D S H , B D H I Suy d ( H , ( S B D ) ) H K Mặt khác: S H Ví dụ 3: ( Đề thi đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S A B C có đáy A B C tam giác vuông B , B A mặt phẳng ( S B C ) vng góc với mặt phẳng ( A B C ) Biết S B Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( S A C ) theo a a Giải: A' D' B' B Do B’C song song A’D nên B’C song song mặt phẳng (A’BD) Do d ( B ', ( A ' B D ) ) Gọi O giao điểm AC BD, suy Gọi E hình chiếu C lên BD suy C E Mà CE CD 2.3.2 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ' Chúng ta thực bước suy luận sau: Tìm cách quy việc tính khoảng cách hai dường thẳng chéo tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( nhờ tính chất 3,4) Bước tiếp tục cơng việc tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trình bày mục 2.3.1 Ví dụ 7: ( Đề thi THPT Quốc gia năm 2015) Cho hình chóp S A B C D có đáy A B C D hình vng cạnh a, S A với mặt phẳng A B C D , góc đường thẳng S C mặt phẳng A B C D Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng S B , A C Phân tích: Đây tốn khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo hai đƣờng thẳng khơng vng góc với nên ta cần quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng nhờ tính chất Ta chọn mặt phẳng (P) chứa SB song song với AC để quy tốn tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) mặt phẳng (P) có điểm đặc biệt A Từ ta có lời giải cụ thể nhƣ sau: Giải: 12 S H A D M d B C Gọi d đƣờng thẳng qua B song song với AC Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy d ( S B , A C ) Gọi M hình chiếu A lên d, H hình chiếu A lên SM Ta có S A d(A,(SB,d)) AH VìSCA Mà AH Ví dụ 8: ( Đề thi đại học khối A, năm 2012) Cho hình chóp S A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng A B C điểm H thuộc cạnh A B cho H A H B Góc đường thẳng S C mặt phẳng ( A B C ) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng S A B C theo a Phân tích: Trƣờng hợp ta chọn mặt phẳng (P) chứa SA song song với BC để quy tốn tính khoảng cách từ điểm đƣờng thẳng BC đến (P) Vì điểm đặc biệt mặt phẳng (P) điểm H nên ta chọn điểm B thuộc đƣờng thẳng BC để dễ dàng quy điểm H Từ ta có lời giải cụ thể nhƣ sau: Giải: 13 Gọi d đƣờng thẳng qua A song song với BC Gọi N, K lần lƣợt hình chiếu H lên d SN Theo giả thiết HA = 2HB nên Ta có d ( SHN ) Gọi M a ;MC MàAH ,HK Vậy d ( S A , B C ) Ví dụ 9: Cho hình chóp S A B C D có đáy A B C D hình M , N trung điểm A B , S D Hình chiếu S giao điểm D M A C Biết góc đường thẳng S A với đáy 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng S C A N Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo SC AN, ta cần tìm mặt phẳng chứa đƣờng song song với đƣờng để đƣa toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ở ví dụ ta chọn mặt phẳng (SMC) mặt phẳng chứa điểm S biết hình chiếu lấy điểm hình chiếu làm điểm đặc biệt Lời giải cụ thể nhƣ sau: 14 Giải: S N E K A D H M I B C Gọi E trung điểm SC, ta có AMEN hình bình hành, suy AN song song ME nên AN song song mặt phẳng (SMC) Do d ( A N , S C ) Gọi H giao điểm AC DM, ta có Gọi I hình chiếu H lên MC K hình chiếu H lên SI Ta có M C H I , M C S H Suy d ( H , ( S M C ) ) Mặt khác: S H Suy H K Ví dụ 10: Cho hình chóp a A B2 a , B C trung điểm cạnh thẳng M N S P S B , C D , S D Tính theo a khoảng cách hai đường Phân tích: Đây tốn tìm khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo MN SP, tốn ta cần tìm hai mặt phẳng song song lần lƣợt chứa MN SP Sau sử dụng tính chất để quy tốn tính khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Các cạn 15 Giải: S P K M A E B I D H N C Gọi H giao điểm AC BD, SA = SB = SC = SD nên H hình chiếu S lên (ABCD) Gọi E trung điểm AB, NE song song với AD, EM song song với SA Suy d ( M N , S P ) Gọi I trung điểm AD, K hình chiếu H lên SI Khi A D H I , Suy d ( H , ( S A D ) ) Mặt khác: S H Vậy d ( M N , S P ) 16 2.3.2 Bài tập đề xuất Bài 1: ( Đề thi đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm SA đến mặt phẳng (SCD) Bài 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N lần lƣợt trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) S H a Tính theo a khoảng cách hai đƣờng thẳng DM SC Bài 3: ( Đề thi khảo sát chất lượng 12 năm học 2015- 2016 Sở GD & ĐT Thanh Hóa) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD đáy lớn, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn thẳng AC cho HC = 2HA Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách hai đƣờng thẳng SA CD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc A B C Cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh CC’ Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, A B a , B A C , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy S A a Gọi M trung điểm AB Tính theo a khoảng cách hai đƣờng thẳng SB CM 17 2.4 Kết nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tác giả thấy có hiệu đáng kể Cụ thể qua số kết thu hoạch khảo sát tình hình giải tốn tính khoảng cách hình khơng gian nhƣ sau: 2.4.1 Về mặt định lượng: Trƣớc sử dụng phƣơng pháp điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách Lớp 11A2 – sĩ số 38 Không giải đƣợc Giải % 80 70 60 50 40 Không giải 30 Giải 20 10 LỚP 11A2 Sau sử dụng phƣơng pháp điểm đặc biệt giải toán tính khoảng cách Lớp 11A2 – sĩ số 38 Khơng giải đƣợc Giải 18 % 70 60 50 40 Không giải Giải 30 20 10 LỚP 11A2 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dị ý kiến HS GV sau sử dụng phƣơng pháp nhƣ sau: Các em học sinh đƣợc hỏi ý kiến cho biết phƣơng pháp sử dụng điểm đặc biệt vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ vừa tạo hứng thú học tập rèn luyện cho em kĩ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu viết - 19 KẾT LUẬN Bài viết đƣa khái niệm “ điểm đặc biệt” nhằm khắc sâu định hƣớng cho phƣơng pháp đồng thời đƣa vào số tính chất nhằm sử dụng để rèn luyện kĩ quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách điểm đặc biệt Đồng thời đƣa hệ thống ví dụ với xếp thứ tự từ kĩ đơn giản đến phức tạp tƣơng đối đầy đủ với phân tích, nhận xét trƣờng hợp giúp cho học sinh dễ hiểu dễ vận dụng Đề tài đƣợc tác giả áp dụng dạy lớp 11A2 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hƣớng phƣơng pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc nhƣ định hƣớng cho học sinh giải toán khoảng cách Bài viết đƣợc đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chun mơn triển khai trình bày tổ Do phƣơng pháp sử dụng kĩ kiến thức nên áp dụng cho học sinh lớp 11 ôn thi THPT Quốc gia nhƣ tất đối tƣợng học sinh từ trung bình đến học sinh giỏi Đồng thời dựa định hƣớng phƣơng pháp mà giáo viên sáng tạo tốn từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp bƣớc quy khoảng cách cần tìm tính khoảng cách điểm đặc biệt Mặc dù cố gắng, nhƣng chắn viết khơng tránh khỏi thiếu xót định Tác giả mong nhận đƣợc quan tâm, góp ý, bổ sung từ thầy cô bạn bè đồng nghiệp, để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao lực dạy toán cho học sinh Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung ngƣời khác Trần Thị Hƣờng Tài liệu tham khảo: [1] Bộ sách giáo khoa tập Hình học 11 (Ban 2007 NXBGD) [2] Bộ sách giáo khoa tập Hình học 11 (Ban nâng cao 2007 NXBGD) [3] Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2002 đến 2015 20 ... tài ? ?Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt tốn tính khoảng cách? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Để giải toán thƣờng sử dụng phƣơng pháp nhƣ: Phƣơng pháp tính trực tiếp, phƣơng pháp sử dụng cơng thức tính. .. vận dụng phƣơng pháp, trƣớc tiên viết xin đƣa khái niệm “ điểm đặc biệt? ?? đƣa vào số tính chất nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần tìm khoảng cách điểm hình chiếu 2.1.1 ? ?Điểm đặc biệt? ?? phương pháp. .. suy luận sau: Tìm điểm đặc biệt mặt phẳng ( P ) Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng ( P ) (nhờ tính chất 1, 2) Ví