Hamsonhieubienso2020.Pdf

Hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành Viện Toán ứng dụng Tin học Đại học Bách Khoa Hà nội 16/03/2020 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Nội dung Các định nghĩa Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số Đạo hàm vi phân Cực trị hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Nội dung Các định nghĩa Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số Đạo hàm vi phân Cực trị hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Các khái niệm Không gian Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R}, x = (x1 , x2 , , xn ) ứng với điểm M hay vectơ, viết M(x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Cho hai điểm M(x1 , x2 , , xn ) N(y1 , y2 , , yn ) Khoảng cách v u n uX d(M, N) = t (xi − yi )2 khoảng cách Euclide i=1 Định nghĩa Cho điểm M0 ∈ Rn , ε > ε-lân cận M0 Sε (M0 ) = {M ∈ Rn : d(M, M0 ) < ε} Lân cận điểm M0 tập chứa ε-lân cận M0 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Các khái niệm Cho tập A, điểm M điểm A tồn Sε (M) ⊂ A Điểm M điểm biên A với ε > Sε (M) chứa điểm thuộc A chứa điểm khơng thuộc A Khái niệm tập đóng, tập mở, tập bị chặn Định nghĩa Miền tập mở liên thông Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn , khác rỗng Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn , khác rỗng Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f :D→R xác định x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f , biến số x1 , x2 , , xn gọi biến số độc lập Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn , khác rỗng Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f :D→R xác định x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f , biến số x1 , x2 , , xn gọi biến số độc lập x = (x1 , x2 , , xn ) tương ứng với điểm M ∈ Rn có tọa độ (x1 , x2 , , xn ) Hàm số f (x) viết dạng u = f (M) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Cho tập hợp D ⊂ Rn , khác rỗng Định nghĩa Ta gọi ánh xạ f :D→R xác định x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ D 7→ u = f (x) = f (x1 , x2 , , xn ) ∈ R hàm số n biến số xác định D D gọi miền xác định hàm số f , biến số x1 , x2 , , xn gọi biến số độc lập x = (x1 , x2 , , xn ) tương ứng với điểm M ∈ Rn có tọa độ (x1 , x2 , , xn ) Hàm số f (x) viết dạng u = f (M) Với hàm số hai biến số n = 2, hàm số ba biến số n = 3, ta dùng ký hiệu z = f (x, y ), hay u = f (x, y , z), tương ứng Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Định nghĩa hàm số nhiều biến số Ví dụ Hàm số p − x − y hàm số hai biến số, x +y u=p + sin(x − y ) + hàm số ba biến số x + y4 + z6 z= Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 / 40 Công thức khai triển Taylor Chú ý Nếu dùng cách biểu diễn tượng trưng vi phân cấp cao, ta viết cơng thức Taylor sau: k n  X ∂ ∂ ∆x + ∆y f (M0 )+ f (M) = f (M0 ) + ∂x ∂y k=1 + (n + 1)!  ∂ ∂ ∆x + ∆y ∂x ∂y n+1 f (M1 ), M1 nằm đoạn thẳng nối M0 với M Công thức số gia giới nội Trong công thức Taylor ta cho n = 1, thu công thức số gia giới nội sau f (x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) = df (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 35 / 40 Nội dung Các định nghĩa Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số Đạo hàm vi phân Cực trị hàm số nhiều biến số Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 36 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Cực trị tự Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 37 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Cực trị tự Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y ) xác định miền D M0 (x0 , y0 ) ∈ D Ta nói hàm số f (x, y ) đạt cực trị M0 với điểm M lân cận M0 khác M0 , hiệu số f (M) − f (M0 ) có dấu khơng đổi Nếu f (M) − f (M0 ) > lân cận M0 M0 gọi điểm cực tiểu hàm số f Nếu f (M) − f (M0 ) < lân cận M0 M0 gọi điểm cực đại hàm số f Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 37 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng ký hiệu sau p = fx0 (M), q = fy0 (M), A = fxx00 (M), B = fxy00 (M), C = fyy00 (M) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng ký hiệu sau p = fx0 (M), q = fy0 (M), A = fxx00 (M), B = fxy00 (M), C = fyy00 (M) Điều kiện cần cực trị Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng ký hiệu sau p = fx0 (M), q = fy0 (M), A = fxx00 (M), B = fxy00 (M), C = fyy00 (M) Điều kiện cần cực trị Định lý Nếu hàm số f (x, y ) đạt cực trị M0 đạo hàm riêng p = fx0 (M0 ), q = fy0 (M0 ) tồn đạo hàm riêng không: p = 0, Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) q = M0 Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Chúng ta dùng ký hiệu sau p = fx0 (M), q = fy0 (M), A = fxx00 (M), B = fxy00 (M), C = fyy00 (M) Điều kiện cần cực trị Định lý Nếu hàm số f (x, y ) đạt cực trị M0 đạo hàm riêng p = fx0 (M0 ), q = fy0 (M0 ) tồn đạo hàm riêng không: p = 0, q = M0 Điểm tới hạn Điểm mà hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng cấp p q triệt tiêu p q khơng tồn gọi điểm tới hạn Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 38 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Định lý Giả sử hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M0 (x0 , y0 ) Giả sử M0 ta có p = q = Khi Nếu B − AC < M0 f (x, y ) đạt cực trị M0 Đó cực tiểu A > 0, cực đại A < Nếu B − AC > M0 f (x, y ) khơng đạt cực trị M0 Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 39 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Định lý Giả sử hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M0 (x0 , y0 ) Giả sử M0 ta có p = q = Khi Nếu B − AC < M0 f (x, y ) đạt cực trị M0 Đó cực tiểu A > 0, cực đại A < Nếu B − AC > M0 f (x, y ) khơng đạt cực trị M0 Chú ý Nếu B − AC = chưa kết luận điều điểm M0 , cực trị, khơng Trong trường hợp ta dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải cực trị hay không cách xét hiệu f (M) − f (M0 ), xác định dấu lân cận M0 cực trị ngược lại Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 39 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Ví dụ (Đề thi K55) Tìm cực trị hàm số z = xy (3 − x − y ) Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Ví dụ (Đề thi K55) Tìm cực trị hàm số z = xy (3 − x − y ) Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), (0; 0), (0; 3), (3; 0) khơng điểm cực trị Điểm (1; 1) điểm cực đại Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Ví dụ (Đề thi K55) Tìm cực trị hàm số z = xy (3 − x − y ) Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), (0; 0), (0; 3), (3; 0) không điểm cực trị Điểm (1; 1) điểm cực đại Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x + y − x − y − 2xy Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Ví dụ (Đề thi K55) Tìm cực trị hàm số z = xy (3 − x − y ) Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), (0; 0), (0; 3), (3; 0) khơng điểm cực trị Điểm (1; 1) điểm cực đại Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x + y − x − y − 2xy Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = 4xy − 2x − y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40 Cực trị hàm số nhiều biến số Ví dụ (Đề thi K55) Tìm cực trị hàm số z = xy (3 − x − y ) Các điểm tới hạn: (0; 0), (0; 3), (3; 0), (1; 1), (0; 0), (0; 3), (3; 0) không điểm cực trị Điểm (1; 1) điểm cực đại Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = x + y − x − y − 2xy Ví dụ Tìm cực trị hàm số z = 4xy − 2x − y Ví dụ (Đề thi TC hè 2010) Tìm cực trị hàm số z(x, y ) = x + xy + y − ln x − 10 ln y Phan Xuân Thành (ĐH Bách Khoa Hà Nội) Hàm số nhiều biến số 16/03/2020 40 / 40