Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20142 Lời giải Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 Câu 1 Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số ∶ a) ∑ 1 √n ∞ n=1 ln (1 + 1 n ) Chuỗi số này là[.]
GIẢI ĐỀ GIỮA KÌ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KÌ 20142 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt K64 Câu 1: Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∶ ∞ a) ∑ n=1 1 ln (1 + ) n √n Chuỗi số chuỗi số dương ∀n > ∞ 1 1 Khi n → +∞ ∶ ln (1 + ) ~ mà ∑ chuỗi hội tụ n √n n2 n=1 n2 → chuỗi cho chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh ∞ (−1)n b) ∑ ln n n=2 Chuỗi cho chuỗi đan dấu { } dãy số dương, đơn điệu giảm dần ln n → chuỗi cho chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Câu 2: Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∞ a) ∑ n=1 (x − 1)n n+1 ∞ Đặt x − = t Chuỗi cho trở thành ∑ an t n với an = n=1 Bán kính hội tụ R = lim | n→+∞ ∞ Xét t = 1, ∑ n=1 n+1 an n+1 | = lim | |=1 n→+∞ n + an+1 chuỗi phân kỳ n+1 ∞ (−1)n Xét t = −1, ∑ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz n+1 n=1 → −1 ≤ t < → −1 ≤ x − < Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 →0≤x →x>2 → miền hội tụ x ∈ (2; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân ∶ a) y ′ cos x = y → dy cos x = y dx → dy dx = y cos x Tích phân vế ∶ → ln|y| = tan x + C → y = etan x+C Nghiệm tổng quát ptvp cho y = etan x+C , ngồi cịn có y = nghiệm kì dị y b) y ′ + = x y x ( Đây phương trình bernoulli ) Đặt v = y −2 , phương trình cho trở thành: v′ + −2 v = −2 x x Thừa số tích phân ptvp là: p(x) = e∫ −xdx = Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Nhân vế với p(x): x2 → ′ −2 v + v = −2 x2 x ′ → ( v ) = −2 x → v = −2x + C x → 2 = −2x + C x y → + 2x + C = x2y2 Vậy tích phân tổng quát ptvp cho u(x, y, C) = + 2x + C = x2y2 Ngoài có y = nghiệm kì dị Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa x + x − 3x + Đặt t = x + → x = t − → f(t) = = 1 = = (t − 3)2 − 3(t − 3) + t − 9t + 20 (t − 4)(t − 5) 1 1 1 1 1 − = t − t = − t−5 t−4 −1 −1 1− t 1− t 4 5 Khai triển maclaurin f(t) ∶ ∞ ∞ n=0 n=0 tn tn f(t) = ∑ n − ∑ n 4 5 Vậy khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa x + ∶ ∞ ∞ n=0 n=0 (x + 3)n (x + 3)n f(x) = ∑ − ∑ 4n 5n Câu 5: Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f(x) = x, −1 < x < { tuần hoàn chu kì Nhận xét: f(x) = x hàm số lẻ, suy hệ số a0 an 1 bn = ∫ x sin nπx dx = ∫ x sin nπx dx −1 Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 x cos nπx sin nπx 2(−1)n−1 = (− | + | )= (nπ)2 nπ nπ Vậy khai triển thành chuỗi Fourier f(x) ∞ → F(x) = ∑(−1)n−1 n=1 sin nπx nπ Tại x = −1, x = hàm khơng liên tục, theo định lí Dirichlet ∶ f(−1− ) + f(−1+ ) → F(−1) = =0 f(1− ) + f(1+ ) F(1) = =0 , x = −1 → F(x) = {x , −1 < x < 0, x=1 Câu 6: Tính tổng 1 + + +⋯ 3.5 5.7 7.9 1 1 Ta có = ( − ) (2n + 1)(2n + 3) 2n + 2n + 1 + + +⋯ 3.5 5.7 7.9 1 1 1 1 = lim ( − + − + − + ⋯ + − ) n→+∞ 5 7 2n + 2n + → 1 1 ( − )= n→+∞ 2n + = lim Câu 7: Giải phương trình vi phân (x + ∂ (x + Ta thấy ∂x ) y2 = ∂ (y + ∂y 1 dy + + ) (y ) dx = y2 x2 ) x2 = → thỏa mãn điều kiện phương trình vi phân tồn phần Giả sử du(x, y) = (x + 1 ) dy + (y + ) dx y x Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 Xuất phát từ u′y = x + → u(x, y) = ∫ (x + y2 −1 dy = xy + + g(x) ) y2 y → u′x = y + g ′ (x) = y + → g ′ (x) = x2 1 Chọn g(x) = − x2 x Ta có tích phân tổng qt ptvt cho ∶ 1 u(x, y) = xy − − = C x y Trần Bá Hiếu – KSTN Dệt K64 ... kì dị Câu 4: Khai triển hàm số f(x) = thành chuỗi lũy thừa x + x − 3x + Đặt t = x + → x = t − → f(t) = = 1 = = (t − 3) 2 − 3( t − 3) + t − 9t + 20 (t − 4)(t − 5) 1 1 1 1 1 − = t − t = − t−5 t−4... tổng 1 + + +⋯ 3. 5 5.7 7.9 1 1 Ta có = ( − ) (2n + 1)(2n + 3) 2n + 2n + 1 + + +⋯ 3. 5 5.7 7.9 1 1 1 1 = lim ( − + − + − + ⋯ + − ) n→+∞ 5 7 2n + 2n + → 1 1 ( − )= n→+∞ 2n + = lim Câu 7: Giải phương... nx−1 hội tụ ↔ x − > →x>2 → miền hội tụ x ∈ (2; +∞) Câu 3: Giải phương trình vi phân ∶ a) y ′ cos x = y → dy cos x = y dx → dy dx = y cos x Tích phân vế ∶ → ln|y| = tan x + C → y = etan x+C Nghiệm