Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp(Luận văn thạc sĩ) Đẳng thức, bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong tổ hợp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TON HC thái nguyên - năm 2014 I HC THI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO [ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên, 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Tổ hợp hệ thức liên quan 1.1 Nguyên lý Dirichlet số toán áp dụng 1.2 Ý tưởng lời giải tường minh số toán tổ hợp 1.3 Cách xây dựng song ánh giải số toán tổ hợp 14 1.4 Phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi tổ hợp 20 1.5 Khai triển nhị thức Newton 27 1.6 Phương pháp quỹ đạo 28 1.7 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào số học 30 Chương Bất đẳng thức tổ hợp 33 2.1 Các bất đẳng thức tổ hợp 33 2.2 Hệ phương trình tính toán tổng 36 2.3 Công thức biến đổi ngược tổng với tổ hợp 57 Chương Một số dạng toán cực trị tập rời rạc tổ hợp 63 3.1 Cực trị tập rời rạc 63 3.2 Một số dạng toán cực trị tổ hợp 65 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 i Mở đầu Ngay từ năm 1736, nhà toán học Euler giải thành cơng tốn tổ hợp bảy cõy cu thnh ph Kăonigsberg, c (nay l Kaliningrad, Nga) nằm sơng Pregel Bài tốn đặt “Có thể theo tuyến đường mà qua cầu lần quay lại điểm xuất phát hay khơng?” Và kể từ trải qua nhiều thăng trầm lịch sử, lí thuyết tổ hợp phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học sống Chúng ta thường gặp toán tổ hợp thực tế như: Lập lịch cho quan, Đặt trạm xe bus tối ưu thành phố, thuật tốn tìm kiếm Google, Yahoo, hay phần mềm ứng dụng mà sử dụng hàng ngày Chính vậy, tổ hợp ln dành quan tâm lớn từ nhà toán học, thầy, giáo bạn học sinh u thích mơn tốn Tốn tổ hợp dạng tốn khó thường xuất kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, cấp quốc gia, quốc tế Mặc dù toán tổ hợp quan trọng tài liệu cịn Xuất phát từ thực tế đó, định hướng hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tiến hành nghiên cứu đề tài “Đẳng thức, bất đẳng thức tốn cực trị tổ hợp” nhằm góp phần nhỏ bé vào việc bổ sung tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Tổ hợp hệ thức liên quan Chương Bất đẳng thức tổ hợp Chương Một số dạng toán cực trị tập rời rạc tổ hợp Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, thầy giúp hiểu sâu khái niệm, thuật toán liên quan đến đề tài Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trường ĐH Khoa học- Đại học Thái Nguyên, thầy Viện Tốn học, ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi có kiến thức sở đủ vững để thực đề tài Trong q trình biên khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Chương Tổ hợp hệ thức liên quan 1.1 Nguyên lý Dirichlet số toán áp dụng Nguyên lý Dirichlet (thuật ngữ tiếng Anh: the pigeonhole principle, có nơi gọi the drawer principle) - dạng đơn giản - phát biểu G.Lejeune Dirichlet (1805-1859), nhà toán học Đức gốc Pháp, sau: "Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng (n ∈ N∗ ) ln có (ít là) hai thỏ bị nhốt chuồng" Một cách tổng quát, ta có nguyên lý Dirichlet mở rộng: "Nếu nhốt m thỏ vào n chuồng (m, n ∈ N∗ ) ln tồn h m − 1i chuồng chứa + thỏ" n Ở đây, ký hiệu [a] dùng để phần nguyên số thực a tức số nguyên lớn không vượt a Dùng phưng pháp phản chứng, ta đưa cách chứng minh ngắn gọn cho nguyên lý Dirichlet (ngay dạng mở rộng); học sinh THPT làm việc này; điều khơng làm giảm giá trị thân nguyên lý Nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng (hiệu đến bất ngờ): sử dụng nó, ta chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Chính vậy, thi học sinh giỏi toán (quốc gia quốc tế), nguyên lý Dirichlet thường xuyên khai thác Để minh hoạ, đây, ta xét số toán cụ thể Bài toán 1.1 Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn số chia hết cho 2011 Lời giải Xét dãy số gồm 2012 số hạng sau: 1, 11, 111, , 11 |{z} Rõ ràng 2012 2012 số tồn hai số có số dư chia cho 2011 Suy hiệu chúng chia hết cho 2011 Giả sử hai số 11 |{z} 11 |{z} n− so k− so k Hiệu hai số |{z} 11 10 với (n > k) Mà ta có (2011, 10k ) = n−k( so) Do |{z} 11 2011 n−k( so) Bài tốn chứng minh Bài tốn 1.2 [Vơ địch Cộng hoà Czech 1998] Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có hai tập k -phần tử: {a1 ; a2 ; ; ak }, {b1 ; b2 ; ; bk } rời X cho 1 1 1 1 ... HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO DUY HẢO [ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng... 28 1.7 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào số học 30 Chương Bất đẳng thức tổ hợp 33 2.1 Các bất đẳng thức tổ hợp