Đề tài Một số dạng toán Số học trong THCS Đề tài Một số dạng toán Số học trong THCS 1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC C[.]
Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC Nguyễn Thị Oanh MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Phạm Văn Quốc Hà Nội - Năm 2012 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS LỜI NÓI ĐẦU Số học, ngành lâu đời đầy hấp dẫn Toán học đƣợc nhà Toán học tiếng gọi là:" Bà chúa Toán học" Các toán số học làm say mê nhiều ngƣời, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đông đảo bạn yêu Toán Thế giới số, quen thuộc với đời sống thƣờng hàng ngày, giới kì lạ, đầy bí ẩn Điều lý thú nhiều mệnh đề khó Số học đƣợc phát biểu đơn giản; nhiều toán khó giải sáng tạo với kiến thức phổ thông Số học đƣợc chia làm nhiều mảng đa dạng phong phú nhƣ: Tính chia hết, lý thuyết đồng dƣ, số nguyên tố - hợp số, phƣơng trình nghiệm ngun, số phƣơng… Tuy nhiên, khn khổ luận văn mình, em xin phép trình bày số dạng phù hợp với kiến thức trình độ học sinh THCS, đặc biệt trọng phần chuyên đề phƣơng trình nghiệm ngun Để Thầy giáo nhƣ em học sinh coi tài liệu tham khảo hữu ích phục vụ cho việc ôn thi vào trƣờng chuyên, lớp chọn phần, em đƣa kiến thức bản, sau phân loại tập theo dạng đồng thời đƣa ví dụ tiêu biểu cuối đề xuất tập tƣơng tự Vì thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận đƣợc bảo thầy giáo Hà Nội, ngày 22 tháng 09 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Oanh Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: SỰ CHIA HẾT VÀ CHIA CÕN DƢ 1.1 Những kiến thức cần thiết 1.2 Các dạng toán thƣờng gặp 1.3 Một số tập tự luyện 24 Chƣơng 2: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ 24 2.1 Các định nghĩa 24 2.2 Các định lý 24 2.3 Các dạng toán thƣờng gặp 25 2.4 Một số tập tự luyện 31 Chƣơng 3: ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT - BỘI CHUNG NHỎ NHẤT 33 3.1 Ƣớc chung lớn 33 3.2 Bội chung nhỏ 34 3.3 Các toán ƣớc chung lớn 35 3.4 Các toán bội chung nhỏ 39 3.5 Một số tập tự luyện 40 Chƣơng 4: SỐ CHÍNH PHƢƠNG 42 4.1 Kiến thức cần thiết 42 4.2 Bài tập số phƣơng 45 4.3 Một số tập tự luyện 56 Chƣơng 5: PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 58 5.1 Phƣơng trình vơ định bậc hai ẩn 58 5.2 Phƣơng trình bậc hai hai ẩn 66 5.3 Một số phƣơng trình nghiệm nguyên khác cách giải 85 KẾT LUẬN 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Chƣơng 1: SỰ CHIA HẾT VÀ CHIA CÕN DƢ Trong tập hợp số nguyên với phép tính cộng, trừ, nhân, chia; phép chia thực Đối với phép chia thực số bị chia số chia có quan hệ chia hết Việc nghiên cứu quan hệ có tác dụng lớn việc giải tập toán học rèn luyện tư giải tốn Vì vậy, chun đề chuyên đề quan trọng Số học 1.1 NHỮNG KIẾN THỨC CẦN THIẾT 1.1.1 Định nghĩa Định lý Với hai số nguyên tùy ý a b ( b ) tồn cặp số nguyên q; r cho: a = bq + r r b Định nghĩa chia hết: Cho hai số nguyên a b, b Nếu tìm đƣợc số nguyên q mà a = bq ta nói a chia hết cho b Kí hiệu: a b Hoặc nói: b chia hết a Kí hiệu: b a Khi đó, ta nói: a bội b; b ƣớc a 1.1.2 Các tính chất chia hết Tính chất 1: a a với a Tính chất 2: ab a c b c Tính chất 3: 0 b với b Tính chất 4: a b a b a b b a a b Tính chất 5: a b a b Tính chất 6: am a b m b m Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Tính chất 7: Nếu hai số a, b chia hết cho m mà số khơng chia hết cho m a b không chia hết cho m Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m số cịn lại chia hết cho m Tính chất 8: Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Tính chất 9: am ab mn b n Tính chất 10: Nếu am a BCNN m, n an Hệ quả: Nếu a m a n , mà m,n a mn Tính chất 11: Nếu ab m , mà b,m a m Tính chất 12: Nếu a b ka b với số nguyên k Hệ quả: a b a n b với n * Tính chất 13: am ka lb m với k, l số nguyên b m 1.1.3 Các dấu hiệu chia hết 1) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 5): Một số chia hết cho (hoặc 5) chữ số tận chia hết cho (hoặc 5) 2) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 25):Một số chia hết cho (hoặc 25) số tạo hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) 3) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 125): Một số chia hết cho (hoặc 125) số tạo ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) 4) Dấu hiệu chia hết chia hết cho (hoặc 9): Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số chia hết cho (hoặc 9) 5) Dấu hiệu chia hết chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số "đứng vị trí lẻ" tổng chữ số " đứng vị trí chẵn", kể từ trái qua phải chia hết cho 11 1.1.4 Một số kết thƣờng sử dụng Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 1) Trong k số ngun liên tiếp ln có số chia hết cho k 2) Khi chia số nguyên n cho số nguyên m khác nhận m giá trị dƣ từ đến m 3) Một số tự nhiên tổng chữ số có số dƣ chia cho (hoặc 9) 4) Một số phƣơng chia cho (hoặc 4) có số dƣ 1, chia cho (hoặc 8) có số dƣ 0; hoặc a n n 5) a b a b n * 2n 1 b2n 1 a b n * a b B(a) 1 n a b B(a) bn n n bn 1.1.5 Đồng dƣ thức Định nghĩa: Nếu hai số a b chia cho c ( c ) có số dƣ ta nói a đồng dƣ với b theo mơđun c Kí hiệu: a b mod c Vậy: a b mod c a bc Một số tính chất: Với a, b,c,d m * a) a a mod m a b mod m b c mod m a c mod m b) a b mod m ; c d mod m a c b d mod m c) a b mod m ; c d mod m ac bd mod m Nếu d ƣớc chung dƣơng a, b, m a b mod m a b m mod d d d d) a c mod m ; c ƣớc chung a b c, m a b mod m c c e) a b mod m ;n * ac bc mod mc 1.2 CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP Nhìn chung, loại toán chia hết phong phú đa dạng, đồng thời có nhiều cách giải khác Song, chia số loại tốn thường gặp sau: 1.2.1 DẠNG I Giải tập thông thƣờng cấu tạo số Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Bài tập thuộc dạng thường tốn "Tìm số" “điền chữ số” mà điều kiện ràng buộc có liên quan tới tính chất dấu hiệu chia hết đòi hỏi học sinh phải nắm tính chất dấu hiệu chia hết Để làm dạng này, ta thường sử dụng tính chất sau: Ta có: m a1.a a n với a i i 1,n đôi nguyên tố Khi đó: A m Aa1;Aa ; ;Aa m Ví dụ 1: Hãy thay chữ số vào chữ a, b để số Giải 2a44b180 2a44b phải chia hết cho 10 + Vì 2a44b 10 b + Vì 2a4409 a 10 a 9 a 19 bội số 180 Mà a chữ số nên a 10 nên a +1 = a Vậy a = 8; b = 0, ta đƣợc số: 28440 Thử lại: 28440 : 180 = 158 Ví dụ 2: Tôi nghĩ hai số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho Tổng hai số số có đặc điểm sau: a) Có chữ số b) Là bội số c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị bội số d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục chia hết cho Bạn đốn xem tơi nghĩ hai số nào? Giải Gọi hai số cho là: N N + Theo ta có: N + N +1 = abc (a, b, c chữ số) (1) (2) (3) (4) abc5 a + c chia hết cho a + b chia hết cho Từ (2) c = c = Từ (1) abc lẻ Do c = 5, thay vào (3) ta đƣợc: a 59 a Thay a = vào (4) ta đƣợc: b b 0;4;8 + Nếu b = N + ( N +1) = 405 N 202 , N + = 203 (loại khơng có số chia hết cho 9) + Nếu b = N N 1 445 N 222 N + = 223 (loại) + Nếu b = 485 = N + (N +1) N 242 N + = 243 (Thỏa mãn 243 9 ) Vậy hai số cần tìm là: 242; 243 Ví dụ 3: Tìm chữ số đẳng thức: Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Giải Đặt 23673xy674592117233400 A 10 10 Vì 109 108 Mà 108 = 9.3 2 109 9 A9 Tổng chữ số A = 72 +x + y chia hết cho x y 9 (1) 10 10 10 Mặt khác: 109 109 109 110.108 109 110 A110 A11 Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11, ta có: y x 811 Từ (1) (2) x y = (2) LỜI BÌNH: Trên tốn sử dụng dấu hiệu chia hết Tuy nhiên, số có dấu hiệu chia hết, để giải tốn ta dùng cấu tạo số kết hợp tính chất lập luận cách linh hoạt Dưới hai ví dụ minh họa cho tốn khơng thể sử dụng dấu hiệu chia hết Ví dụ 4: Biết vừa chia hết cho 7; cho 11 cho 13 Tìm số đó? Giải Vì số a7b8c9 vừa chia hết cho 7, cho 11 cho 13 Mà 7, 11, 13 số đôi nguyên tố nên a7b8c9 phải chia hết cho 7.11.13 = 1001 thƣơng tìm đƣợc số có chữ số Gọi số có chữ số là: def d a Khi ta có: def 1001 a7b8c9 defdef a7b8c9 e c f b Vậy số phải tìm là: 879879 Kiểm tra lại ta thấy kết Ví dụ 5: Hãy thay chữ số vào chữ x, y số N = chia hết cho 13 Giải Ta có: N = 3.10 x.10 y.10 (1) với x, y N = B(13) + x 3y 2 3 x 3y 2 chia hết cho 13 Mà x, y x 3y 38 Nên x 3y 13;26 Ta xét hai trƣờng hợp: cho N x 1 Do y nguyên nên x +1 chia hết cho 3 x 2,5,3 Tƣơng ứng y 3;2;1 + Nếu x + 3y + = 13 y Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS + Nếu x + 3y +2 = 26 3y 24 x x chia hết cho x 0,3,6,9 Tƣơng ứng: y 9;7;6;5 Vậy ta đƣợc kết sau: 3020303; 3050203; 3080103; 3000803; 3030703; 3060603; 3090503 1.2.2 DẠNG II Bài tập chứng minh chia hết trực định nghĩa tính chất Bài tập loại chủ yếu toán dạng A chia hết cho m, A số cụ thể biểu thức chứa chữ m số cụ thể Thơng thường ta phân tích m thành thừa số đôi nguyên tố Rồi chứng minh A chia hết cho thừa số Ví dụ 1: Cho A = Chứng minh rằng: n số tự nhiên khơng chia hết cho A chia hết cho 285 Giải Do 285 = 5.57 Trƣớc hết ta chứng minh A chia hết cho 5: 2 2 Ta có: n n n n n n = n 2 n 1 n 1 n 2 + n Do n không chia hết ta thấy n có dạng 5k 5k + Nếu n = 5k +1 (n - 1) + Nếu n = 5k - (n + 1) + Nếu n = 5k + (n - 2) + Nếu n = 5k - (n + 2) Vậy n 2 n 1 n 1 n chia hết cho với n không chia hết cho Vậy, ta đƣợc A chia hết cho (1) Ta cần chứng minh thêm: A 57 2n 6n n n Thật vậy: 11 121 64 121 64 A57 Từ (1) (2) A 285 dpcm (2) NHẬN XÉT: Nhận thấy n chia hết cho với n lẻ 112n 26n chia hết cho 185 = 112 26 với n lẻ,mà (8, 185) =1, ta tạo toán sau: Cho A = Chứng minh rằng: A chia hết cho 1480 với n số tự nhiên lẻ Với cách làm vậy, ta tự đặt toán tương tự sau: Chứng minh rằng: n n 1) A = 46 296.13 n n 354 với n 10 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Giải Nhƣng ta diễn đạt theo cách sau cho phù hợp với học sinh cấp 2: Đặt (a, b) = d1 ( d1 nguyên dƣơng) (5a + 3b, 12a + 7b) = d2 (d2 nguyên dƣơng) Ta có a d1, b d1 5a + 3b d1 12a + 3b d1 (*) d1 ƢC(5a + 3b, 12a+7b) d d1 Ta lại có 5a + 3b d2; 12a + 7b d2 12(5a + 3b) -5(12a + 7b) = b d2 3(12a + 7a) - 7(5a + 7b) = a d2 (**) d2 ƢC a, b d1 d Từ (*) (**) suy d1 = d2 (đpcm) Ví dụ 7: Chứng minh rằng: với mn m, n * m,n Giải 1 1 Gọi (m, n) = d Khi đó: m dk Từ m, n d với k,q k q n dq d + Ta có: 2m 2dk 2d 1 2d k 2n 2dq 2d 1 2d q m,n 2d 1 ƢC 1,2 hay 2m 1, 2n 2 m n (1) + Mặt khác: Vì m, n d nên tồn a, b cho: am bn d m n Gọi d'ƢC 1,2 2m 1 d ' 2am 1 d ' bn am bn d' 2bn 2d d' 2am 2bn d ' 2 n bn 2 1 d ' 2 1 d ' 1 2 m,n d m n Mà d’ lẻ 2d 1d ' 1,2 m n Từ (1) (2) 1,2 m,n 1 2m 1,2n 1 (2) (đpcm) Từ ví dụ ta nhận thấy: - Để chứng minh số nguyên tố ta dùng phương pháp phản chứng - Để chứng minh ƯCLN tập hợp số ƯCLN tập hợp số ta chứng minh tập ƯC hai số trùng - Trong chứng minh vận dụng linh hoạt tính chất chia hết 3.3.3 DẠNG 3: Chứng minh phân số tối giản 39 Đề tài: Một số dạng tốn Số học THCS Ta có: phân số a tối giản b (a, b) = 1.Do đó, để chứng minh phân số tối giản ta đưa toán chứng minh ước chung lớn tử số mẫu số Ví dụ 7: CMR: Với giá trị nguyên dƣơng n phân số tối giản Giải Đặt A = 2n + 1; B = 2n(n + 1) Ta chứng minh (A, B) = Thật vậy: Giả sử (A, B) = d (d nguyên dƣơng) Ta có: A d; B d A2 2B d Mà A2 2B , d hay d = Vậy phân số A 2n B 2n(n 1) Ví dụ 8: Cho phân số tối giản n nguyên dƣơng lớn 1, với giá trị n phân số tối giản Giải Phƣơng pháp: Đặt d = (A, B), ta xem d , d = rút kết luận 2 Đặt d (n 1, n(n 1)) , ta chứng minh đƣợc d = n lẻ d = n chẵn n2 1 Vậy phân số tối giản n chẵn không tối giản n lẻ ( n ) n(n 1) 3.3.4 Một số toán khác Ví dụ 9: Tổng 30 số tự nhiên 1984, giả sử d ƢCLN 30 số đó, tìm giá trị lớn d Giải Giả sử 30 số a1, a2, …, a30 d = (a1, a2, …, a30) a1 = k1d, a2 = k2d, …, a30 = k30.d 1984 = a1 + a2 + …+ a30 = d(k1 + k2 + … + k30) = d.k Vì d ƣớc số 1984 k 30 , nên: d 1984 1984 hay d 64 k 30 Vậy d lớn (nếu có) 64 Ví dụ: a1 a a 29 64 a30 = 128 Dễ thấy: a1 a a 30 1984 Ví dụ 10: Chứng minh tồn vô số tự nhiên n để số 19 + n 93 + n nguyên tố Giải Xét n (93 19)k 19 74k 18 (k 1,2, ) Khi 19 n 74k 1, 93 n 74(k 1) Giả sử (19 n, 93 n) d 40 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 93 n 19 n 74d 74kd 1d Vậy d = Chú ý: Có thể giải toán tổng quát thay số 19, 93 số tương ứng a, b ( a b ), việc chọn: n (b a)k a với k đủ lớn n 3.4 CÁC BÀI TOÁN VỀ BCNN Ví dụ 1: Hãy tìm BCNN số ngun liên tiếp Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2, ta có (a, a + 1) = Vậy: a, a+1 a(a 1) , đó: a, a 1, a 2 a(a 1), a 2 Ta có: (a(a 1), a 2) a lẻ, a chẵn Vậy: a, a 1, a 2 a(a 1)(a 2) a lẻ a, a 1, a 2 a(a 1)(a 2) a chẵn Ví dụ 2: CMR: Giải Ta thấy số số 1, 2, …, n ƣớc số số số n 1, n 2, , 2n Do đó: 1,2, ,2n 1,2n n 1,n 2, ,2n Ta diễn đạt theo cách sau: Đặt M1 1, 2, , 2n 1, 2n ; M2 n 1, n 2, , 2n (M1 M2 nguyên dƣơng) Theo định nghĩa ta có: M1 chia hết cho k (với k 1, , 2n ) M1 BC( n 1,n 2, ,2n ) M1 M2 (1) Mặt khác: M2 chia hết cho i (với i n 1, n 2, , 2n ) Ta lại có n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n Vậy n số n 1, n 2, , n n có số chia hết cho 1, số chia hết cho 2, …, số chia hết cho n Vậy M2 chia hết cho số 1, 2, , 2n (2) M2 BC( 1, 2, , 2n ) hay M2 M1 Từ (1) (2) M1 M2 * Lời giải hướng giải cho tập loại * Khi giải toán BCNN phải vận dụng linh hoạt tính chất chia hết 41 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 3.5 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: * Cho A = 5a + 3b; B = 13a + 8b ( a,b ) Chứng minh: (A, B) = (a, b) Tổng quát: Cho A = ma + nb; B = pa + qb thỏa mãn: mq np Chứng minh rằng: (A, B) = (a, b) Bài 2: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; thành lập tất số có sáu chữ số (mỗi chữ số viết lần) Tìm ƢCLN tất số Bài 3: Cho A = 2n + B n n 1 n * Tìm (A, B) Bài 4: a) Chứng minh năm số nguyên liên tiếp chọn đƣợc số nguyên tố với số lại b) Chứng minh từ 16 số nguyên liên tiếp chọn đƣợc số nguyên tố với số lại 2 Bài 5: Cho m, n với m,n Tìm m n ;m n * Bài 6: Cho A 2n 3n ; B 2n 1 3n 1 C 2n 2 3n 2 n Tìm (A, B) (A, C) Bài 7: Cho sáu số nguyên dƣơng a, b, a’, b’, d, d’ cho (a, b) = d (a’, b’) = d’ Chứng minh rằng: (aa’, bb’, ab’, a’b) = dd’ Bài 8: * a) Chứng minh dãy số: A n n n 1 n chứa dãy số vô hạn số nguyên tố * b) Chứng minh dãy số: Bn n n 1 n n chứa dãy số vô hạn số nguyên tố n Bài 9: Chứng minh dãy số: n ;n 2 chứa dãy số vô hạn số nguyên tố * Bài 10: Chứng minh dãy số: Mn 2n n chứa dãy số vô hạn số nguyên tố (dãy số Mecxen) 42 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Bài 11: Chứng minh dãy số Féc – ma (Fermat): Fn 22 1 n dãy số nguyên tố n Bài 12: Cho ba số tự nhiên a, b, c nguyên tố đôi Chứng minh rằng: (ab + bc + ca, abc) = 43 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Chƣơng 4: SỐ CHÍNH PHƢƠNG 4.1 KIẾN THỨC CẦN THIẾT 4.1.1 Định nghĩa Một số bình phƣơng số tự nhiên đƣợc gọi số phƣơng Ví dụ: 32 225 152 A m2 ( m N ) Các số 9, 225, A đƣợc gọi số phƣơng 4.1.2 Tính chất Tính chất 1: Chữ số tận số phƣơng 0, 1, 4, 5, 6, Hệ quả: Một số có tận thuộc tập hợp 2;3;7;8 khơng thể số phƣơng Chú ý: Một số có tận thuộc tập hợp 0;1;4;5;6;9 chƣa thể khẳng định chắn số phƣơng Tính chất 2: Một số phƣơng có tận số chữ số tận phải chẵn Tính chất 3: Nếu A số phƣơng A p121 p222 p323 pn 2n với i pi số nguyên tố Tính chất 4: Nếu A = B.C A, B số phƣơng khác 0, C số nguyên C số phƣơng Kết tƣơng tự: Bình phƣơng số hữu tỉ số nguyên số hữu tỉ số ngun Tính chất 5: A số phƣơng; A = B.C B C số nguyên khác 0, nguyên tố B C số phƣơng Tính chất 6: A số phƣơng, p số nguyên tố mà A p A p Tính chất 7: Dãy số phƣơng vơ hạn hai số phƣơng liên tiếp khơng cịn số phƣơng 4.1.3 Một số kết thƣờng dùng Số phƣơng có tận chữ số hàng chục 44 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Số phƣơng có tận 25 chữ số hàng trăm 0, k 0,1 mod 3 với k Số phƣơng chẵn chia hết cho 4; số phƣơng lẻ chia cho dƣ K 0,1, mod 5 K2 0, 1, 4(mod 8) K 0, 1, 4, (mod 9)… 4.2 BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƢƠNG Bài tập số phương tương đối phong phú đa dạng, ta xếp chúng thành dạng thường gặp sau: chứng minh số số phương khơng số phương; tìm giá trị chữ số để biểu thức nhận giá trị số phương; chứng minh tồn số phương thỏa mãn điều kiện số toán liên quan Cách giải tốn dạng có nhiều cách, chủ yếu phải vận dụng linh hoạt tính chất chuyên đề bạn thấy lý thuyết phép chia hết phép chia dư áp dụng có tác dụng, ngồi phương pháp phản chứng đóng góp nhiều q trình giải tập 4.2.1 Một số tập minh họa (lời giải vận dụng định nghĩa) Ví dụ 1: Chứng minh số sau số phƣơng: a) b) + với + Giải 2n n a) Ta có A 10 (10 1) A 102n 2.10n 45 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 102n 2.10n A (10n 1)2 10n A 33 n c/s 2n n 1 n b) Ta có: B (10 1) (10 1) (10 1) 9 B 4.102n 2.10n 1 8.10n 63 B 4.102n 2.10n 1 8.10n 49 (2.10n ) 2.10.10n 8.10n 2.10 B n 2.10n 2.10n B Mặt khác 2.10n B số phƣơng Lời bình: Đối với tốn hai ví dụ trên, phương pháp thường dùng viết số cho dạng đa thức, dùng biến đổi đại số viết dạng bình phương số ngun Ví dụ 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phƣơng Giải (với a * ) A (a 1).a.(a 1)(a 2) A (a a)(a a 2) A (a a)2 2(a a) (a a 1)2 Do a nguyên dƣơng suy ra: a a 1 N Vậy A số phƣơng Ví dụ 3: Cho Chứng minh số phƣơng Giải Trƣớc tiên ta tính S: 46 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS S = 1.2.3 + 2.3.4 + …+ n.(n + 1)(n + 2) 4S 1.2.3.4 2.3.4.4 n n 1 n 2 4S 1.2.3.4 2.3.4. 1 n. n 1 n n 3 n 1 4S 1.2.3.4 1.2.3.4 2.3.4.5 n 1 n n 1 n n n 1 n n 3 4S n n 1 n n 3 Hay S n(n 1)(n 2)(n 3) Vậy 4S n(n 1)(n 2)(n 3) Trở ví dụ ta đƣợc điều phải chứng minh Ví dụ 4: CMR x + y = z + t số phƣơng số tổng Giải Vì x y z t x y z t Khi đó: x y2 z2 t x y2 z2 t 2x(x y z t) (x y)2 (x z)2 (x t) (đpcm) Ví dụ 5: CMR: số tự nhiên n biểu diễn đƣợc dƣới dạng tổng số phƣơng 2n có tính chất Giải 2 * Giả sử n a b 2n 2a 2b2 (a b)2 (a b)2 * Ngƣợc lại, giả sử 2n c2 d c, d tính chẵn lẻ, mặt khác: c2 d c d c d n 2 (đpcm) 4.2.2 Bài tập minh họa sử dụng tính chất để giải Trước tiên, ta thấy tính chất tính chất chữ số tận số phương thường dùng để chứng minh số tổng khơng phải số phương, tức tìm chữ số tận số cần chứng minh thuộc tập hợp 2;3;7;8 số chữ số tận lẻ Những tập dạng thường cho dạng lũy thừa Ví dụ 6: Số sau có phải số phƣơng: a) 47 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS b) Giải a) 9192 tận 9293 924 92 A6 23 23 92 B6.92 C2 tận 9394 934 932 tận 23 95 tận A tận tận + + + = 17 A tận Vậy A khơng phải số phƣơng b) Tƣơng tự B có tận B khơng phải số phƣơng Ví dụ 7: Có thể chọn đƣợc số tự nhiên cho khơng có tổng số số số bình phƣơng đƣợc khơng? Giải Sử dụng tính chất 2: Xét dãy: 19921993 số tự nhiên sau: a1 10 a 103 a 105 a19921993 102.1992 1993 1 Rõ ràng tổng thu đƣợc có tận số lẻ chữ số nên khơng thể số phƣơng NHẬN XÉT: Tuy nhiên, hạn chế việc sử dụng tính chất chữ số tận số phương áp dụng với số cụ thể biểu thức tổng quát ta cần lựa chọn tính chất khác hợp lý hơn, thường dùng tính chất 7: “Giữa hai số phương liên tiếp khơng cịn số phương khác” Ví dụ 8: Giả sử n số tự nhiên khác 0, d ƣớc dƣơng 2n CMR n2 + d khơng phƣơng Giải Vì d ƣớc nguyên dƣơng 2n 2n2 = k.d (k nguyên dƣơng) Giả sử n d x n 2n x k kn 2n kx 2 k n 2kn k x 2 2 48 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS n (k 2k) k x Suy k 2k số phƣơng 2 (Vơ lý với k nguyên dƣơng k k 2k (k 1) ) Vậy n d khơng phải số phƣơng Ví dụ 9: Tồn hay không số nguyên dƣơng x y cho đồng thời số phƣơng Giải Giả sử x y Do x x y x x x 12 x y khơng số phƣơng Nhƣ y x Lập luận tƣơng tự ta đƣợc: y x khơng phƣơng 2 Vậy tồn số nguyên dƣơng x y cho x y y x đồng thời số phƣơng đƣợc Ví dụ 10: Chứng minh tích số nguyên dƣơng liên tiếp không số phƣơng Giải Đặt A n n 1 n n = n. n n 1 n 6 n n 5 n 3 n 2 2 = n 7n n 7n n 7n 10 n 7n 12 Đặt B = n 7n Ta có B A số chẵn Khi đó: A B 6 B B B B4 4B3 36B2 144B Ta có: B2 2B 22 A B2 2B 20 2 (*) Thật vậy, ta chứng minh (*): 4B2 56B 484 (1) * (2) 64B 400 Bất đẳng thức (2) B > Bất đẳng thức (1) B2 14B 121 thỏa mãn với B 21 (tƣơng ứng n ) Nhƣ trƣờng hợp này, A số chẵn nằm số phƣơng chẵn liên tiếp nên A khơng thể số phƣơng Trƣờng hợp n = dễ thấy A = 40320 số phƣơng Vậy tích số nguyên dƣơng liên tiếp khơng số phƣơng Như để chứng minh số hay biểu thức khơng phải số phương ta lựa chọn tính chất 1, tính chất tính chất để chứng 49 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS minh biểu thức số phương hay tìm số phương ta sử dụng tính chất tính chất số ví dụ sau đây: Ví dụ 11: CMR a, b số nguyên dƣơng thỏa mãn hệ thức a - b; 2a + 2b + 3a + 3b + số phƣơng Giải Từ 2a a 3b2 b (a b)(2a 2b 1) b (*) Đặt a b,2a 2b 1 d Ta có a bd , 2a 2b 1d Giả sử d > d có ƣớc nguyên tố p Khi đó: a b p 2a 2b 1 p Từ (*) b p b p Mà a b p a p ap Nhƣ vậy: b p 1 p p (vô lý) 2a 2b 1 p điều giả sử sai Vậy a b,2a 2b 1 Mà (a b)(2a 2b 1) b a b;2a 2b số phƣơng Mặt khác biến đổi cách khác ta đƣợc: a b 3a 3b 1 a Suy luận tƣơng tự ta đƣợc: a b 3a 3b số phƣơng Ví dụ 12: Tìm số ngun dƣơng nhỏ có tất tính chất sau: nửa bình phƣơng số ngun, phần ba lập phƣơng số nguyên, phần năm lũy thừa bậc năm số nguyên Giải Gọi số phải tìm a ta có: a 2x a = 3y a = 5z5 Trong phân tích tiêu chuẩn a có chứa thừa số nguyên tố 2, Vậy a có dạng a 2 3 5 b ( 1 , 2 , 3 nguyên dƣơng) b không chứa thừa số 2, a số phƣơng 1 lẻ, chẵn, chẵn (1) a + Vì lập phƣơng số nguyên 1 , 3 có dạng 3k; có dạng 3k ' (2) a + Vì lũy thừa bậc năm số nguyên + Vì 50 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS 1 , có dạng 5q; 3 có dạng 5q + (3) Từ (1), (2) (3) ta thấy: 1 le 1 3k 1 15 5q chan 3k ' 10 5q 3 chan 3 3m 3 5n 15 10 Vậy a Lại nhận thấy số 215.310.56 thỏa mãn đề Vậy số phải tìm 215.310.56 Tải FULL (94 trang): https://bit.ly/3BChx9x Dự phịng: fb.com/TaiHo123doc.net 4.2.3 Một số ví dụ minh họa sử dụng dấu hiệu chia hết Một vấn đề đặt khơng phải tốn giải nhờ tính chất, ta cịn phương án hữu dụng sử dụng dấu hiệu chia hết chia có dư số phương đề cập phần đầu mục 4.1.3 số kết thường dùng Ví dụ 13: Viết liên tiếp 92 số từ đến 92 đƣợc A, hoán vị tùy ý chữ số A ta đƣợc số B Hỏi số B có phải số phƣơng khơng? Tại sao? Giải Kí hiệu S A tổng chữ số A Vì hốn vị chữ số A ta đƣợc B nên S A S B Mà S A 795 chia cho dƣ B chia dƣ Nhƣ B3 nhƣng B9 nên B khơng thể số phƣơng Ví dụ 14: Xét 1990 số tự nhiên liên tiếp, nâng số lên lũy thừa bậc chẵn (số mũ dƣơng) Hỏi tổng số thu đƣợc có số phƣơng khơng? Giải Nhận xét: Trong 1990 số tự nhiên liên tiếp có 995 số chẵn 995 số lẻ Mà: + Lũy thừa bậc chẵn số chẵn chia hết cho + Lũy thừa bậc chẵn số lẻ chia dƣ Tổng thu đƣợc chia có số dƣ với phép chia 995 : Tổng thu đƣợc chia dƣ Kết luận: Tổng thu đƣợc khơng thể số phƣơng (vì số phƣơng chia dƣ 1) Ví dụ 15: Cho A = với n nguyên dƣơng số phƣơng 51 Đề tài: Một số dạng tốn Số học THCS Ta có: 1977 mod3 1977 2n Giải mod3 77 1 (mod 3) 772n 1 mod3 19 1 mod3 192n 1 mod3 mod3 Mà số phƣơng chia dƣ Nên A số phƣơng A 4.2.4 Các tốn tìm số phƣơng tìm chữ để biểu thức nhận giá trị số phƣơng Trước tiên, ta xét tốn tìm số phương Với tập tìm số phương ta thường sử dụng tính chất liên quan đến chữ số tận tính chất phép chia hết phép chia có dư số phương Ví dụ 16: a) Tìm số phƣơng đƣợc viết chữ số 2, 2, 5, b) Tìm số phƣơng đƣợc viết chữ số 2, 2, 5, 7, Giải Gọi số phƣơng viết đƣợc A a) Chữ số hàng đơn vị A phải tìm Chữ số hàng chục A phải chữ số hàng trăm phải Ta có số: 7225 852 Tải FULL (94 trang): https://bit.ly/3BChx9x Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net b) Ta có tổng chữ số A là: S A 243 nhƣng 249 Nên A3 nhƣng A9 Do A khơng thể phƣơng Ví dụ 17: Tìm số phƣơng có chữ số , biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Giải Đặt A m aabb 11100a b (a, b chữ số) 100a b 11 99a a b11 a b11 Mà a b 18 nên a b 11 Vậy: A 99a 11 11 9a 1 m2 9a + phải số phƣơng a Khi đó: b = Vậy số phải tìm 7744 882 Ví dụ 18: Bình phƣơng số tự nhiên N có chữ số tận giống Hãy tìm tất số N có tính chất nhƣ Giải 52 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS Giả sử A a1a a n bbbb N2 b 0;1;4;5;6;9 + Nếu b 1;5;6;9 A chia cho dƣ Nhƣng số phƣơng chia dƣ N2 N B11 số phƣơng + Nếu b = A = a1a a n 4444 N 2 Mặt khác: B11 mod (mâu thuẫn) + Nếu b = N2 a1a a n 0000 1002.K N 100.k Vậy N = 100.k với k Ví dụ 19: Tìm số A bé nửa triệu, biết số phƣơng tận số nguyên tố, đọc ngƣợc lại (từ phải sang trái) ta đƣợc số A Giải + Vì A số phƣơng nên tận 0, 1, 4, 5, 6, + Tận A số nguyên tố nên tận A phải + Do số phƣơng có tận chữ số hàng chục phải + Do đọc ngƣợc lại từ phải sang trái đƣợc A nên hai chữ số đầu phải 52 Lại có: A < 500000 nên A số 525; 5225; 52a25 (a chữ số) Bằng phép thử, ta nhận thấy tất số khơng số phƣơng Vậy khơng có số thỏa mãn điều kiện tốn Đối với tập u cầu tìm giá trị chữ để biểu thức nhận giá trị số phương ta thường đặt biểu thức m , sau lập luận dựa tính chất để đưa dạng tích hay nói cách khác đưa dạng “phương trình nghiệm nguyên” Để tường minh hơn, em xin trình bày vài ví dụ tiêu biểu sau: Ví dụ 20: a) Tìm x b) Tìm x Cách 1: Đặt x để để số phƣơng số phƣơng Giải p p,q ,q , p,q q p p 2 2 Giả sử rằng: n p pq 6q n q với n q q Từ (*) suy ra: p q mà p,q q 53 6731223 (*) ...Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – CƠ – TIN HỌC Nguyễn Thị Oanh MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN... số chẵn lớn chúng số nguyên tố (loại) b) Trong số có số chẵn hai số lẻ Khi p số chẵn lớn nên hợp số (loại).c) Vậy phải có hai số chẵn số lẻ: 32 Đề tài: Một số dạng toán Số học THCS + Nếu p1 lẻ... dẫn Toán học đƣợc nhà Toán học tiếng gọi là:" Bà chúa Toán học" Các toán số học làm say mê nhiều ngƣời, từ nhà toán học lỗi lạc thời đại đến đơng đảo bạn u Tốn Thế giới số, quen thuộc với đời sống