Bài tập giải tích đạo hàm, tích phân có ứng dụng gì trong cuộc sống

BÀI TẬP GIẢI TÍCH NHĨM (bản cứng) LỜI NĨI ĐẦU Trước kia, tơi nghĩ tích phân, đạo hàm ghê gớm mà óc thiên tài nghĩ được, sau biết lịch sử hình thành chúng, tơi nghĩ sai Sự thật ý tưởng hình thành khái niệm tích phân, đạo hàm đơn giản tơi tin học sinh lớp 6, lớp hiểu ý tưởng Đặc biệt hơn, điều mà tơi nói đề cập tiết tốn lớp Cịn việc tính tích phân ư? Trong lúc tơi cịn khơng biết nên tính tích phân phần hay đặt ẩn người ta nghiên cứu phương pháp lập trình máy tính giải đáp số cho tích phân với độ xác đến kinh ngạc "Người ta" người sống cách gần kỷ Qua đó, tơi thấy trình độ tốn tụt hậu xa so với Thế giới Tơi nghe nhiều bạn hỏi “Đạo hàm, tích phân có ứng dụng sống?" Đảng tiếc phần thu vị hấp dẫn lại để cặp sách giáo khoa Hi vọng qua số ví dụ này, bạn có câu trả lời I ứng dụng thực tế tích phân hàm biến Ứng dụng tích phân việc đo chiều dài Để đo chiều dài cung đường, ta dùng tích phân đơn hặc tích phân đường loại cơng thức sau: Trong lĩnh vực may mặc, việc đo đạc xác chiều dài đường cong đường cổ áo, nách áo, đường đũng quần quan trọng để lắp ghép chi tiết viền cổ, tra tay áo vào thân áo, ghép đũng trước đũng sau cách ăn khớp, đảm bảo tính thẩm mỹ, tiết kiệm nguyên phụ liệu may dây chuyền với số lượng lớn Để giải vấn đề này, tính tốn xác chiều dài đường cong mẫu ban đầu ứng dụng tích phân, tiến hành cắt, ráp mẫu với số lượng lớn Ví dụ 1: Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, cần phải tính xác chiều dài đường cổ áo Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng parabol Ví dụ hạ cổ áo hình tim với chiều cao 16cm, chiều rộng 4cm đường cổ áo parabol với đơn vị hệ Oxy trục cm Để viền cổ áo này, ta tính chiều dài cung đường cổ áo từ điểm A tới điểm B Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ 27,8 cm Tương tự, ta tính chiều dài cổ áo dạng khác bước sau: Bước 1: Xác định đường cổ áo Với áo cổ tim đường cổ Parabol, cổ tròn nửa đường tròn, cổ elip nửa đường elip,… Bước 2: Dùng hai cơng thức để tính chiều dài đường cổ áo Ứng dụng tích phân việc tính diện tích Trong thực tiễn sống khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích hình phẳng diện tích xung quanh vật thể phức tạp Chẳng hạn xây dựng nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng dịng sơng ta phải tính diện tích thiết diện ngang dịng sơng Thiết diện thường hình phức tạp Trong may mặc vậy, việc tính xác diện tích sản phẩm hay chi tiết giúp ước lượng số mét vải cần sử dụng, từ tiết kiệm chi phí sảnxuất Trước phép tính tích phân đời, với hình vật thể người ta lại phải nghĩ cách để tính Sự đời tích phân cho phương pháp tổng quát để giải hàng loạt tốn tính diện tích thể tích nói Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân đơn tích phân bội Ví dụ 2: Chiếc dù lớn cho hội nghị trời có dạng mái trịn vịm cong với bán kính 4m chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh dù 2m Ta coi dù vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy mét a) Tính diện tích hình phẳng b) Tính diện tích vải cần thiết để may dù b) Diện tích xung quanh dù quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy là: Vậy diện tích vải cần thiết để may dù 61,3m2 Như vậy, để tính diện tích hình phẳng hay diện tích xung quanh vật thể trịn xoay ta cần tiến hành theo bước sau: Bước 1: Đối với hình phẳng, ta cần phân tích hình dạng nó, cận trái phải, đường trên, đường giới hạn hình phẳng Đối với vật thể, ta cần xác định tạo hình phẳng nào, cận trên, cận dưới, đường cong giới hạn quay quanh trục Oy Bước 2: Sử dụng công thức để tính II.Ứng dụng thực tế đạo hàm biến Vận động viên chạy bơi phối hợp: Có hồ rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) cần từ góc qua góc đối diện cách chạy bơi (đường màu đỏ) hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x) nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh ? Biết vân tốc bơi 1.5 m/s , vân tôc chay la 4.5m/s Gọi quãng đường vận động viên chạy bờ x (m) Khi quãng đường vận động viên bơi nước Thời gian cho quãng đường (cả bờ nước) Yêu cầu toán tương đương với: tìm x để đạt giá trị nhỏ Lập bảng biến thiên ta x≈182,3 mx≈182,3 m T(x) đạt giá trị nhỏ III.Ứng dụng tìm cực trị tự hàm biến Ví dụ Một công ty sản xuất loại sản phẩm Gọi Qi số lượng sản phẩm mặt hàng thứ i ( ); Pi đơn giá mặt hàng thứ i ( ) Hàm lợi nhuận công ty là: Biết P1 = 400; P2 = 600 hàm tổng chi phí là: u cầu: Tìm Q1 Q2 để đạt giá trị max? Bài giải Ta có hàm lợi nhuận  đạt cực trị (QIIĐiều kiện cần để hàm 1, Q2) là: Ta có ma trận Hesse: Vì Q2) = (199, 298) đạt cực đại toàn cục (QIIdo hàm 1, IV.Bài tốn tìm cực trị có điều kiện hàm hai biến Tìm cực trị hàm z = 3x + 4y với điều kiện Lập hàm Larrange: Giải hệ phương trình: Từ phương trình đầu, ta rút phương trình ta tìm được: – Với – Với Điều kiện đủ: – Với Ta có: Khi đó: : , sau vào Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện z = -5 – Với giá trị cực tiểu : Ta có: Khi đó: Vậy hàm số có cực đại có điều kiện V.Một số tập bổ sung * Giới hạn dạng vô định: giá trị cực đại z = *Tích phân suy rộng: TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI +∞ Ví dụ 1:I =∫ x e−x dx b ∫ x e−x dx I = lim b→+∞ { ¿ u=x Đặt x = =¿ dv=e− x dx e−x b b − x - ∫ e −1 0−10 du=dx {v=−e − x dx b e−b −e−x b −10 − b = eb − e −b  I = lim ( b b→+∞ − e b +1 b +1) e I =1 +∞ Ví dụ : I= ∫ dx x ln2 x dt Đặt t = lnx => dt= t2 x=2 →t=ln2 Đổi cận { lnB =∫ dt t − −1 lnB = = ln lnB = ln −1 = t dx x=B → t=lnB ln 2 t ln TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Ví dụ : ∫1 lim x−3 = a→ 3−¿∫1 ¿ x−3 ¿ x dx a = = lim a→ −¿ ln|x−3|¿ lim a→ 3−¿ ln|x−3|¿ ¿ a ¿ – ln2 = -∞ ... này, bạn có câu trả lời I ứng dụng thực tế tích phân hàm biến Ứng dụng tích phân việc đo chiều dài Để đo chiều dài cung đường, ta dùng tích phân đơn hặc tích phân đường loại công thức sau: Trong. .. đến kinh ngạc "Người ta" người sống cách gần kỷ Qua đó, tơi thấy trình độ tốn tụt hậu xa so với Thế giới Tôi nghe nhiều bạn hỏi ? ?Đạo hàm, tích phân có ứng dụng sống? " Đảng tiếc phần thu vị hấp... thức để tính chiều dài đường cổ áo Ứng dụng tích phân việc tính diện tích Trong thực tiễn sống khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích hình phẳng diện tích xung quanh vật thể phức tạp