Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất.. Hai điểm B, C thay đổi trên d sao cho tam giác ABC vuông tại A.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d; E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc c
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO
Năm học : 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2)
(Dành cho lớp chuyên Toán)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và
x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì
S là một số tự nhiên
Bài 2: ( 2 điểm)
Cho hai số a, b thỏa:
2 2
2
1
4
b a
a
Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Cho a 0 Chứng minh rằng a 1 2
a
2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a a1, 2, ,a thỏa mãn n
các đẳng thức a1a2 a n và 2
n
a a a
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d) Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên
AB và AC
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O)
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O) Chứng minh:
a/ AM.AN = AE.AB
b/ Hai điểm M và N cố định
Bài 5: (1 điểm)
Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Chứng minh ABC là tam giác đều
-HẾT -
Trang 2Năm học : 2010 – 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (hệ số 2)
(Dành cho lớp chuyên Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
Bài 1: ( 2 điểm)
1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực (x, y, z) sao cho x + y + z > 2 và
x2 + y2 = 4 – 2xy; x2 + z2 = 9 – 2xz ; y2 + z2 = 16 – 2yz
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số
S là một số tự nhiên
Bài 2: (2 điểm)
Cho hai số a, b thỏa:
2 2
2
1
4
b a
a
Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất
Bài 3: ( 2 điểm)
1/ Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có:
(n1) nn n1 n n1
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường thẳng (d) cố định và điểm A cố định không thuộc (d) Hai điểm B, C thay đổi trên (d) sao cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên
AB và AC
1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn (O)
2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O) Chứng minh:
a/ AM.AN = AE.AB
b/ Hai điểm M và N cố định
Bài 5: (1 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH và trung tuyến
AI chia góc BAC thành ba phần bằng nhau
-HẾT -
Trang 3Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011
Chuyên Toán
Bài 1
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
Ta có (x + y)2 = 4 x + y = 2
Tương tự: x + z = 3 ; y + z = 4
Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = 2 3 4
2
hoặc x + y + z =
2 3 4
2
* Với x + y + z = 9
2 và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4
; ;
x y z )
* Với x + y + z = 5
2 và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4
x y z )
0,25 0,25
0,25
0,25
2/ (1,0 đ)
Ta có
n n n n n n
2
n n n n n n
Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6
Vậy
n n n
là một số tự nhiên
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 2
( 2 đ)
Dễ thấy a 0
Từ giả thiết ta có :
2
2
1
4
b
a
( ) ( ) 2
2
b
a
Từ đó a.b nhỏ nhất khi : 1
a a
và
2
b
a
Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2)
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 3
(2 đ)
1/ (0,5 đ)
Ta có (a -1)2 0 a2 1 2a
Hay
2
a
a
0,25 0,25
2/ (1,5 đ)
Cộng vế theo vế hai đẳng thức đã cho ta có:
n
Từ bất đẳng thức đã chứng minh câu 1/, suy ra: n 2
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi a 1 = a 2 =1 (Thỏa mãn các đẳng thức đã cho)
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4Bài 4
(3 đ)
1/ (1đ)Chứng minh:
ACH
BEF
Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O)
2/ a/ (1đ)Tam giác AEN và AMB đồng dạng
nên
AB
AN AM
AE
suy ra: AM.AN = AE.AB
b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2
Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2
AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2
Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định)
Ta có hệ:
2
HN
a HM HN
Suy ra
a HN
a HM
2
1 5 2
1 5
Nên M và N cố định
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
Hình
vẽ đến câu 2/ 0,25
Bài 5
(1 đ)
Đặt BC = a, AC = b, AB = c và x, y, z lần lượt là độ dài các đường cao
tương ứng với các cạnh a,b,c và bán kính đường tròn nội tiếp tâm O bằng 1
nên x, y, z > 2
Giả sử x y z
ABC
2
1
c b
a
ABC
S = ax
2
1
2
1
2 1
Nên ax = by = cz = a+b+c =
z
c
y
b
x
a
1 1
z y x
c b a
1 1 1
nên
z y x
1 1 1
z
3
z 3 z = 3
Từ
z y x
1 1 1
3
2 1 1
y
(2x-3)(2y-3) = 9
Suy ra 2x – 3 = 3 và 2y – 3 = 3 hoặc 2x – 3 = 9 và 2y – 3 = 1
Ta có: x = 3 và y = 3 và z = 3 nên tam giác ABC đều
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 5Thi tuyển sinh Trần Hưng Đạo – Đáp án ( Hệ số 2 ) Năm học 2010 – 2011
Chuyên Tin
Bài 1
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
Ta có (x + y)2 = 4 x + y = 2
Tương tự: x + z = 3 ; y + z = 4
Vì x + y + z > 2 nên chỉ có thể chọn x + y + z = 2 3 4
2
hoặc x + y + z =
2 3 4
2
* Với x + y + z = 9
2 và x + y =2; x + z = 3; y + z = 4
; ;
x y z )
* Với x + y + z = 5
2 và x + y = -2; x+ z = 3; y + z = 4
x y z )
0,25 0,25
0,25
0,25
2/ (1,0 đ)
Ta có
n n n n n n
2
n n n n n n
Vì tử số là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6
Vậy
n n n
là một số tự nhiên
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 2
(2 đ)
Dễ thấy a 0
Từ giả thiết ta có :
2
2
1
4
b
a
( ) ( ) 2
2
b
a
Từ đó a.b nhỏ nhất khi : 1
a a
và
2
b
a
Tìm được : (a= 1 ; b = -2) ; (a = -1 ; b =2)
0,5 0,5 0,5 0,5
Bài 3
(2 đ)
1/ (1,0 đ)
( 1) ( 1)
n n n n
0,5 0,5
2/ (1,0 đ)
1
100 100
0,5
0,5
Trang 6Bài 4
(3 đ)
1/(1đ)Chứng minh: AEF ACH và kề bù với BEF
Nên tứ giác BEFC nội tiếp trong (O)
2/ a/(1đ) Tam giác AEN và AMB đồng dạng
nên
AB
AN AM
AE
suy ra: AM.AN = AE.AB
b/ (0,75)Chứng minh: HN.HM = BH.HC = AH2
Trong tam giác vuông ABH có: AE.AB = AH2
AM.AN = (AH – MH)(AH + NH) = AH2 – HN.HM + AH(NH – MH) = AH2
Suy ra: AH = NH – MH = a ( không đổi do A, H cố định)
Ta có hệ:
2
HN
a HM HN
Suy ra
a HN
a HM
2
1 5 2
1 5
Nên M và N cố định
0,5 0,5 0,5 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
Hình
vẽ đến câu 2/ 0,25
Bài 5
(1 đ)
Kẻ IK AC tại K ta có AHI = AKI
Suy ra : IH = IK = BH
Suy ra: IC =2IK nên C 300
Tính được B 600
Nên  = 900
0,25 0,25 0,25 0,25