Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether(Luận án tiến sĩ) Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nghệ An - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Kiều Nga Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới giáo kính u - PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô tận tình dìu dắt tơi từ bước chập chững đường nghiên cứu khoa học Với tất niềm say mê khoa học tâm huyết người thầy, cô không dạy tri thức tốn học mà cịn dạy tơi phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề Hơn nữa, cịn ln quan tâm, động viên giúp đỡ tơi lúc tơi gặp khó khăn sống Tơi thấy thật may mắn làm khoa học hướng dẫn cô Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới giáo hướng dẫn thứ hai - TS Nguyễn Thị Hồng Loan Cô quan tâm, nhắc nhở tạo điều kiện thuận lợi trình tơi học tập, nghiên cứu Có lúc khó khăn sống làm tơi nản chí, lúc người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tơi vượt qua khó khăn Tơi xin trân trọng cám ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy người đưa đến với Đại số giao hốn tận tình dạy dỗ tơi từ tơi học viên cao học Như người cha, thầy quan tâm giúp đỡ học tập sống Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh tạo điều kiện cho học tập Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội cho hội học tập nghiên cứu Đặc biệt, xin bày tỏ lịng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy cô giáo đồng nghiệp Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi vơ biết ơn Tạ Thị Phương Hịa ln giành cho tơi tình cảm trìu mến Tơi xin cám ơn anh chị em nhóm xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên trao đổi khoa học chia sẻ sống Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu em Trần Ngun An dành cho tơi tình cảm q báu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình Những người ln động viên chia sẻ khó khăn ln mong mỏi thành công Tôi xin cám ơn Chồng hai Con trai yêu quí, người chấp nhận khó khăn, gánh vác tồn cơng việc cho tơi để tơi n tâm học tập Đó nguồn động viên lớn, giúp tơi vượt qua khó khăn để tơi hồn thành luận án Nguyễn Thị Kiều Nga Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính catenary vành 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 1.3 Biểu diễn thứ cấp môđun Artin 1.4 Môđun Cohen-Macaulay Cohen-Macaulay suy rộng 21 21 24 27 29 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 2.1 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng tính khơng trộn lẫn 2.3 Chiều quỹ tích khơng Cohen-Macaulay 33 34 41 47 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng 3.1 Giá suy rộng 3.2 Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng 54 55 60 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả CohenMacaulay suy rộng 4.2 Liên hệ với mơđun tắc 73 Kết luận kiến nghị 92 Các cơng trình liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 93 74 86 Mở đầu Lý chọn đề tài Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m Cho M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Ta ln có depth M dim M Nếu depth M = dim M ta nói M mơđun Cohen-Macaulay Lớp vành mơđun CohenMacaulay đóng vai trị trung tâm Đại số giao hốn có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Tổ hợp Hình học đại số Nhiều mở rộng lớp vành môđun Cohen-Macaulay giới thiệu quan tâm nghiên cứu Hai mở rộng lớp vành (môđun) Buchsbaum lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng Với hệ tham số x M , đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ), e(x; M ) số bội M ứng với hệ tham số x Ta có I(x; M ) > với hệ tham số x M M Cohen-Macaulay I(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x M Vì thế, năm 1965, D A Buchsbaum [7] đưa giả thuyết I(x; M ) số không phụ thuộc vào hệ tham số x M Nm 1973, W Vogel v J Stă uckrad [54] xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết D A Buchsbaum không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành môđun thỏa mãn điều kiện giả thuyết D A Buchsbaum Các môđun gọi mơđun Buchsbaum Sau N T Cường, P Schenzel N V Trung [50] giới thiệu nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M , họ gọi chúng môđun Cohen-Macaulay suy rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Hai mở rộng dựa vào tính chất khơng trộn lẫn mơđun Cohen-Macaulay Ta biết M mơđun Cohen-Macaulay dim R/p = d với p ∈ AssR M Khi nghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R P Stanley [47] giới thiệu khái niệm môđun CohenMacaulay dãy cho mơđun phân bậc, sau P Schenzel [45], N T Cường L T Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh vành địa phương Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun trộn lẫn, N T Cường L T Nhàn [19] giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy Hai mở rộng khác lớp vành môđun Cohen-Macaulay lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay lớp vành (môđun) giả CohenMacaulay suy rộng Cho x = (x1 , , xd ) hệ tham số M Đặt QM (x) = [ t+1 t t ((xt+1 , , xd )M :M x1 xd ) t>0 Khi QM (x) môđun M xM ⊆ QM (x) R Hartshorne [27] rằng, M mơđun Cohen-Macaulay xM = QM (x) với (hoặc với mọi) hệ tham số x M , tức J(x; M ) = e(x; M ) − ` M/QM (x) = Hơn nữa, M Cohen-Macaulay suy rộng sup J(x; M ) < ∞, cận lấy theo hệ tham số x M (xem [16]) Vì thế, năm 2003, N T Cường L T Nhàn [19] nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện J(x; M ) = với (hoặc với mọi) hệ tham số x M Họ gọi lớp môđun môđun giả Cohen-Macaulay Đồng thời N T Cường L T Nhàn [19] nghiên cứu lớp môđun M với tính chất sup J(x; M ) < ∞ cận lấy theo tập tất hệ tham số x M họ gọi chúng mơđun giả Cohen-Macaulay suy rộng Tóm lại, với lớp môđun Cohen-Macaulay, lớp môđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng trở thành lớp môđun quan tâm Đại số giao hoán cấu trúc chúng biết đến thơng qua cơng trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47], [48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay hướng nghiên cứu thời cần quan tâm Đại số giao hoán Các nghiên cứu trước quỹ tích khơng Cohen-Macaulay tập trung chủ yếu tính chất đóng theo tơpơ Zariski (xem R Hartshorne [28], P Schenzel [53]) chiều quỹ tích (xem [10], [11]) vành sở R "tốt”, chẳng hạn R thương vành Gorenstein địa phương Trong luận án này, quan tâm đến vấn đề mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay với vành sở tùy ý, đồng thời nghiên cứu tính chất quỹ tích mối quan hệ với tính catenary, catenary phổ dụng, tính khơng trộn lẫn vành, điều kiện Serre mơđun tính Cohen-Macaulay thớ hình thức Chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Một số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chứng minh số kết quỹ tích mối quan hệ với tính catenary, tính catenary phổ dụng, điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay thớ hình thức, chiều môđun đối đồng điều địa phương kiểu đa thức Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành giao hốn địa phương Noether liên quan đến tính Cohen-Macaulay Phạm vi nghiên cứu Lĩnh vực nghiên cứu luận án Đại số giao hoán Luận án tập trung nghiên cứu mơđun hữu hạn sinh vành giao hốn địa phương Noether Phương pháp nghiên cứu Về mặt kỹ thuật, sử dụng tập giả giá giới thiệu M Brodmann R Y Sharp [5], đồng thời đưa khái niệm giá suy rộng để mơ tả quỹ tích Ngồi ra, chúng tơi sử dụng số lý thuyết quan trọng Đại số giao hoán để nghiên cứu lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, kiểu đa thức Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án làm phong phú hướng nghiên cứu quỹ tích mơđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu 10 ... lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Một số quỹ tích mơđun hữu hạn sinh vành địa phương Noether " Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án mơ tả quỹ tích khơng Cohen-Macaulay số quỹ tích. .. TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người... luận án mô tả số quỹ tích khác quỹ tích khơng Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay