Hcmute một số tính chất của toán tử đối đồng điều và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TOÁN TỬ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG MÃ SỐ: T2019-11GVT SKC 0 73 Tp Hồ Chí Minh, tháng 02/2020 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỐN TỬ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG Mã số: T2019-11GVT Chủ nhiệm đề tài: ThS PHAN PHƯƠNG DUNG TP HỒ CHÍ MINH, 02/2020 Luan van TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG DÀNH CHO GIẢNG VIÊN TRẺ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỐN TỬ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU VÀ ỨNG DỤNG Mã số: T2019-11GVT Chủ nhiệm đề tài: PHAN PHƯƠNG DUNG Thành viên đề tài: NGUYỄN KHẮC TÍN TP HỒ CHÍ MINH, 02/2020 Luan van Mục lục PHẦN MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số đối đại số phân bậc-Đại số Hopf 1.2 Đại số tenxơ 1.3 Đại số đối xứng 1.4 Đại số Toán tử đối đồng điều 11 2.1 Đại số Steenrod modulo 11 2.2 Cấu trúc đại số Hopf đại số Steenrod 13 2.3 Cấu trúc A-môđun H ∗ (RP ∞ )k 16 2.4 Đại số Steenrod A(p), với p > 17 2.5 Bất biến Dickson-Mùi 20 2.6 Bài toán hit đại số Steenrod 22 2.6.1 Hàm µ véctơ trọng lượng đơn thức 23 2.6.2 Đơn thức chấp nhận đơn thức hit 25 2.6.3 Đồng cấu Kameko 27 Ứng dụng toán hit cho đồng cấu chuyển đại số Singer 30 3.1 Giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số 30 3.2 Kết 32 Kết luận 34 i Luan van ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Tp HCM, ngày 20 tháng 02 năm 2020 THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung: - Tên đề tài: "Một số tính chất tốn tử đối đồng điều ứng dụng" - Mã số: T2019-11GVT - Chủ nhiệm: ThS Phan Phương Dung - Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 12 tháng Mục tiêu: Xác định tường minh sở chấp nhận đại số đa thức năm biến Ứng dụng kết để nghiên cứu kiểm định giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số Tính sáng tạo: Trong đề tài, nhóm nghiên cứu đưa kết mới: Định lí Cho n = 11.2r+2 − 5, với r số nguyên dương Khi đó, tồn 134190 đơn thức chấp nhận bậc n P6 , với r > Do đó, dim(F2 ⊗A P6 )n = 134190 Kết nghiên cứu: Chúng nghiên cứu toán hit đại số đa thức xét mô đun đại số Steenrod số bậc Sử dụng kết này, giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số trường hợp Sản phẩm: 01 báo [1] P P Dung, H N Ly, N K Tin, "Dimension result for the polynomial algebra of six variables as a module over Steenrod algebra in some degrees", ii Luan van Journal of Technical Education Science, 6-pages, 2020 (accepted) Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Công bố kết nghiên cứu với mục đích học thuật, phục vụ tham khảo cho giáo dục đào tạo nghiên cứu Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài Phan Phương Dung Thành viên: Nguyễn Khắc Tín iii Luan van INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: Project title: "Some properties of the cohomology operations and its applications" Code number: T2019-11GVT Coordinator: Phan Phuong Dung Implementing institution: University of Technology and Education, Ho Chi Minh City, Vietnam Duration: from January, 2019 to December, 2019 Objective(s): We explicitly determine the hit problem for the case of five variables in terms of the admissible monomials Applying the results for the hit problem to study and verify the Singer conjecture for the algebraic transfer Creativeness and innovativeness: This is a new contribution of authors ( see [10] and [49]) Research results: We study the hit problem for the polynomial algebra as a module over Steenrod algebra in some degrees Using this results, we show that Singer’s conjecture for the algebraic transfer is true in this case Products: 01 paper [1] P P Dung, H N Ly, N K Tin, "Dimension result for the polynomial algebra of six variables as a module over Steenrod algebra in some degrees", Journal of Technical Education Science, 6-pages, 2020 (accepted) Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: The publishment of the research results is for academic purpose, utilized as a reference for education-training and fundamental research iv Luan van PHẦN MỞ ĐẦU TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Lý thuyết bất biến modula nhóm tuyến tính tổng qt đề xướng Dickson vào năm 1910 thập niên phát triển cách mạnh mẽ với tư cách ngành đại số túy Tuy nhiên, đến năm 1970 Mùi [17] phát triển thêm cho số nhóm khác nhóm tuyến tính tổng quát áp dụng để nghiên cứu đại số đối đồng điều nhóm đối xứng lý thuyết trở thành cơng cụ hữu hiệu Tôpô đại số; đặc biệt thời gian gần sử dụng để nghiên cứu toán tử đồng điều đối đồng điều kì dị; phân tích ổn định khơng gian phân loại Cho X không gian tôpô, ký hiệu H ∗ (X, F2 ) đối đồng điều kì dị X với hệ số trường F2 có phần tử Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kỳ dị bất biến đồng luân sử dụng để nghiên cứu tốn trọng tâm Tơpơ đại số tốn phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô Tuy nhiên, nhiều trường hợp, bất biến chưa đủ mạnh để giải tốn nói Một công cụ làm tinh tế đối đồng điều toán tử đối đồng điều xây dựng năm 1947 Steenrod thường gọi toán tử Steenrod, Sq k , với Sq k : H ∗ (X, F2 ) −→ H ∗+k (X, F2 ) tác động tự nhiên lên đối đồng điều kì dị modulo không gian tôpô X với k số ngun khơng âm Các tốn tử sau Thom Wu sử dụng để nghiên cứu lớp đặc trưng phân thớ vectơ nhanh chóng trở thành công cụ hàng đầu Tôpô đại số Cấu trúc tập hợp toán tử đối đồng điều làm rõ Serre vào Luan van năm 1952 Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường phép hợp thành ánh xạ, toán tử Steenrod sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số toán tử đối đồng điều ổn định với hệ số trường F2 gọi đại số Steenrod modulo thường kí hiệu A Như vậy, đại số Steenrod định nghĩa cách túy đại số thương F2 - đại số kết hợp tự sinh ký hiệu Sq i (với i số nguyên không âm) chia cho iđêan hai phía sinh hệ thức Sq = quan hệ Adem Sq a Sq b = [a/2] X b−1−j j=0 ! a − 2j Sq a+b−j Sq j , < a < b Đại số A có cấu trúc phân bậc tự nhiên xác định deg(Sq i1 Sq i2 Sq ik ) = i1 + i2 + ik với i1 , i2 , , ik > Hơn nữa, đại số phân bậc có bổ sung, nghĩa có toàn cấu F2 -đại số phân bậc tự nhiên  : A −→ F2 thỏa mãn  1, i = 0, (Sq i ) = 0, i > Là tập hợp toán tử đối đồng điều, A tác động cách tự nhiên lên đối đồng điều khơng gian tơpơ Do đó, đối đồng điều không gian tôpô không F2 -đại số mà cịn A-mơđun Một tốn mà chúng tơi quan tâm tốn tìm tập sinh cực tiểu đại số đa thức Pk xét môđun đại số Steenrod A Bài toán gọi toán hit đại số Steenrod Nếu xét F2 A-mơđun tầm thường tốn hit tương đương với tốn tìm sở F2 -khơng gian véctơ phân bậc F2 ⊗A Pk ∼ = Pk /A+ Pk A+ iđêan A sinh tất toán tử Steenrod bậc dương Bài toán nghiên cứu Peterson [27, 28], Singer [36], Wood [55], Priddy [30] người mối liên hệ toán hit Luan van với số toán cổ điển lý thuyết đồng luân lý thuyết đồng biên đa tạp, lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính, dãy phổ Adams đồng luân ổn định mặt cầu toán phân tích ổn định khơng gian phân loại nhóm hữu hạn Trong [27], Peterson đưa giả thuyết rằng, môđun đại số Steenrod, đại số đa thức Pk sinh đơn thức bậc n thỏa mãn α(n + k) k, α(n) số hệ số khai triển nhị phân n chứng minh điều với k Giả thuyết Wood [55] chứng minh cách tổng quát vào năm 1989 Đây cơng cụ tốn xác định tập sinh cực tiểu A-môđun Pk Sau kết phát triển xa Singer [36] Silverman [33, 34] Đến nay, tích tenxơ F2 ⊗A Pk xác định tường minh với k = 1, Peterson, với k = Kameko [21] Trường hợp k = xác định hoàn toàn Sum [41, 43] Trong trường hợp tổng quát số dạng bậc đó, toán quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả nước (chẳng hạn như: Boardman [2], Bruner-Hà-Hưng [3], Carlisle-Wood [4], Crabb-Hubbuck [5], Giambalvo-Peterson [11], Janfada-Wood [19, 20], Mothebe [23], Nam [25], Repka-Selick [32], Silverman [33], Silverman-Singer [35], Singer [37], Sum [39, 40, 43], Walker-Wood [52, 53, 54], Wood [55, 56] số tác giả khác) Tuy nhiên, kết đạt hạn chế, trường hợp k = với hỗ trợ máy tính điện tử Một ứng dụng quan trọng toán hit sử dụng việc nghiên cứu đồng cấu thiết lập Singer vào năm 1989 Trong [36], Singer định nghĩa đồng cấu chuyển đại số hạng k : GLk ϕk : TorA k,k+n (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A Pk )n , k không gian véctơ F ⊗ (F2 ⊗A Pk )GL A Pk gồm tất n lớp bậc n bất biến tác động nhóm tuyến tính tổng quát GLk Chuyển qua đối ngẫu, ta đồng cấu đại số gọi đồng cấu chuyển đại số Singer T rk := (ϕk )∗ : F2 ⊗GLk P Hd (H ∗ ((RP ∞ )k )) −→ Extk,k+d (F2 , F2 ) A Luan van ei yip Đặt Li,s = [0, , sˆ, , i], s i, Li,s = 0, s < s > i, Li = Li,i = [0, , i − 1] Khi n = ta qui ước [∅] = L0 = Các bất biến Dickson Qi,s nhóm GLi ⊂ GLn bất biến Mùi Vi nhóm Tn định nghĩa bởi: Qi,s = Li, s/Li , Vi = Li /Li−1 Chú ý Qi,0 = Lp−1 , Qi,i = 1, với i > i Định lý 2.5.4 (Dickson [9], Mùi [17]) (d) (i1 ) Đại số P (y1 , , yn )SLn = Span{Ldn , Qn,1 , , Qn,n−1 } (i2 ) Đại số P (y1 , , yn )Tn = Span{V1 , V2 , , Vn } H.Mùi tính [E(x1 , x2 , , xn ) ⊗ P (y1 , y2 , , yn )]G với G = SLn(d) G = Tn sau: Định nghĩa 2.5.5 Cho (ek+1 , , e` ), k < ` n dãy số nguyên không âm Ta định nghĩa [k; ek+1 , , e` ] = [k, ek+1 , , e` ](x1 , , x` , y1 , , y` ) 21 Luan van x x1 [k; ek+1 , , e` ] = pek+1 k! ... lại số khái niệm đại số đối đại số phân bậc; đại số Hopf; đại số tenxơ, đại số đại số đối xứng Chương Toán tử đối đồng điều Trong chương này, chúng tơi trình bày cách xây dựng tốn tử đối đồng điều. .. nghiên cứu: Toán tử đối đồng điều; đại số Steenrod, đại số đa thức phân bậc đồng cấu chuyển đại số Phạm vi nghiên cứu: Tác động toán tử đối đồng điều; toán hit đồng cấu chuyển đại số thứ năm Singer... hợp toán tử đối đồng điều làm rõ Serre vào năm 1952 Serre chứng minh rằng, với phép cộng thông thường phép hợp thành ánh xạ, toán tử Steenrod sinh tất toán tử đối đồng điều ổn định Đại số toán tử