Skkn ứng dụng phương pháp tọa độ véc tơ vào việc giải các bài toán đại số

MỤC LỤC Trang PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ ” I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Các dạng toán phương pháp giải Tính chất Các dạng tốn phương pháp giải Vấn đề 1: Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình a) Dạng tốn giải phương trình b) Bất phương trình c) Hệ phương trình Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức Vấn đề : Bài toán cực trị PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG 10 PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN 11 PHẦN 5: KẾT LUẬN 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO skkn PHẦN 1: MỞ ĐẦU I lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Toán học trang bị cho học sinh khơng bao gồm khái niệm, định lí, qui tắc mà kĩ phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức khơng có giảng lí thuyết mà cịn có tập tương ứng Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Tốn Các tốn đại số nói chung đặc biêt tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức tồn cực trị nói riêng Là dạng tốn khó thường xun có đề thi học sinh giỏi tỉnh, đề thi đại học cao đẳng năm trước đề thi THPT Quốc Gia Sẽ có nhiều phương pháp giải dạng toán phương pháp tọa độ véc tơ phương pháp hay giúp ta giải toán cách nhanh gọn hiệu mà đơi phương pháp đại số giải khó khăn phức tạp Để giúp em học sinh có cách nhìn mẻ có thêm phương pháp giải tốn tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “ ứng dụng phương pháp tọa độ véctơ vào việc giải toán đại số ” Với nội dung SKKN tơi tập trung trình bày phương pháp tọa độ vectơ vào việc giải số tốn : - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Giải tốn bất đẳng thức - Giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ II Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu sâu phương pháp tọa độ - Giúp học sinh thấy tầm quan trọng lý thuyết Véctơ phương pháp tọa độ - Giúp học sinh hứng thú việc tiệm cận với mơn học hình học giải tích III Nhiệm vụ nghiên cứu - Giúp học sinh rèn luyện kĩ ứng dụng phương pháp vecto phương pháp tọa vào giải tốn IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 10,12, học sinh dự thi học sinh giỏi, thi vào trường Đại học - Kiến thức phương pháp véctơ phương pháp tọa đô cấp học lớp10 cấp học lớp 12 phổ thông trung học Phạm vị nghiên cứu : skkn - Hình học lớp 10 lớp 12 phổ thông trung học - Sách giáo khoa tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thông qua thực tiễn giảng dạy PHẦN - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ” I Cơ sở lý luận Khái niệm véctơ Các phép toán véctơ Tọa độ điểm tọa độ véctơ Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa độ không gian II Tình hình thực tế trước thực đề tài Trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh, toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bất đắng thức, toán cực trị … Đa số học sinh cịn lúng túng giải tốn Học sinh chưa biết phối hợp cách khéo léo phương pháp : phương pháp đại số, phương pháp hình học, phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm v.v…để giải Và phương pháp ứng dụng tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số với em lạ, đa số học sinh ứng dụng khơng có ý tưởng giải tốn Phương pháp tọa độ vec tơ giúp ta giải toán đại số cách nhanh gọn , hiệu mà phương pháp đại số ta phải giải khó khăn phức tạp Từ thực tế trên, Sau Tơi xin trình bày phương pháp tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số đặc biệt dạng tốn về: giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức, tốn cực trị chương trình cấp trung học phổ thơng hành III Các dạng tốn phương pháp giải Tính chất Tính chất 1: Bất đẳng thức tam giác Cho tam giác có độ dài cạnh tương ứng Ta ln có : + hay + Như ta chọn A,B,C có tọa độ thích hợp để giải tốn Tính chất 2: Bất đẳng thức vectơ Cho Ta có + skkn dấu xảy , + phương dấu xảy , , ax = by phương + , dấu xảy , hướng Chú ý : Tính chất mở rộng khơng gian Các dạng tốn phương pháp giải Vấn đề : Dạng toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình a) Dạng tốn giải phương trình Bài : Giải phương trình: (1) Cách giải :Nếu ta giải phương pháp đại số ta phải giải phức tạp nên ta tìm cách giải khác đơn giản cách phương pháp véctơ Ta đặt với điều kiện: Khi : (1) có dạng: Nên theo định nghĩa tính chất vơ hương => phương Giải phương trình ta hai nghiệm là: Bài : Giải phương trình: Cách giải Ta giải phương pháp véc tơ sau : Ta đặt với điều kiện: Khi ta có : (vì: x + ) Mà nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài : Giải phương trình (1) Cách giải : Ta có : Xét Và Khi (1) skkn Vậy phương trình có nghiệm Bài : Giải phương trình : Cách giải : điều kiện Đặt ; (1) Suy Như ( ) hướng Vậy phương trình có nghiệm Bài 5: Cho phương trình : Tìm m để phương trình có nghiệm Cách giải : Ta có: Xét mặt phẳng Oxy ta lấy : ( ); Khi đó: ( ) ( ) x2  x  Áp dụng tích chất vectơ ta có: AM  BM  AB  với Thì ln tồn để nên để phương trình cho có nghiệm với phương trình ln có nghiệm b) Bất phương trình Bài 1: Giải bất phương trình : (1) Cách giải : Điều kiện : Đặt Suy , hướng nghiệm bất phương trình Bài : Giải bất phương trình giải phương trình ta nghiệm (1) skkn Cách giải : ĐK: Đặt Ta có: Áp dụng đẳng thức vectơ ta có bất phương trình (1) ln thỏa mãn Vậy nghiệm (1) c) Hệ phương trình Bài : Giải hệ phương trình Đối với ngồi cách giải thông thường đặt ẩn phụ, ta sử dụng phương pháp véc tơ sau: Điều kiện : Xét Theo bất đẳng thức véc tơ : ( ) Dấu xảy phương trình (1) hệ ta Vậy hệ có nghiệm (3;3) Bài : Giải hệ phương trình hướng Thế vào (I) Điều kiện : (I) xét Theo bất đẳng thức véc tơ : (do ) Dấu xảy hệ có nghiệm (4;4) hướng ( Thõa mãn điều kiện) Vậy Bài : Giải hệ phương trình Cách giải : Điều kiện : skkn Xét phương trình (1) có dạng hướng nên (1) thay vào phương trình (2) Ta có : Với x= suy y = 3.Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3) Bài : Giải hệ phương trình : Cách giải : Gọi không gian : nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau , ta có Mặt khác : (vơ lý ) Vậy hệ cho vô nghiệm Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức Bài : cho a;b;c số thực Chứng minh: Cách giải : Trên mặt phẳng Oxy ta đặt Ta có : nên ( đpcm) Qua ta nhận thấy biến c không tham gia nhiều vào trình chứng minh nên ta thay c biểu thức khác phức tạp tạo tốn cực trị tập giải bình thường Bài : Cho a,b  R Chứng minh: Cách giải :Ta thấy biểu thức mẫu có dạng độ dài véctơ nên ta nghĩ tới phương pháp véctơ Và tử có ab nên ta dùng véctơ không gian Xét mặt phẳng Oxyz, ta đặt Ta có skkn Mà Nên Suy ra: Đó đpcm Bài : Chứng minh : Cách giải : (1) Đặt (1) Ta có : (đpcm) Dấu xảy : hướng 1-a = a+1 a = Bài : Cho a,b,c > ab + bc + ca = abc Chứng minh Cách giải : Chọn Ta có ; ( đpcm ) Dấu xảy : a = b = c = Bài : Chứng minh Cách giải : Xét hai vectơ : Ta có Áp dụng bất đẳng thức ta có Dấu xảy : hướng skkn Bài : Chứng minh Cách giải : Xét hai vectơ : Áp dụng bất đẳng thức ta có Dấu xảy : hướng Vấn đề : Bài tốn cực trị Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số Cách giải : ĐK: Đặt Ta có: áp dụng bất đẳng thức ta Suy Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cách giải : Xét hai vectơ : Do ta có : Dấu xảy : hướng Tức : Vậy A đạt giá trị nhỏ Bài :Tìm giá trị nhỏ hàm số : a c tham số Cách giải : Ta thấy có có tổng bình phương nên ta nghĩ đên phương pháp véctơ Xét mặt phẳng Oxy đặt Khi skkn Áp dụng tính chất: Dấu xảy Vậy GTNN hàm số f(x) Bài :Cho hai điểm (1;1;0), hướng nên (3;-1;4) đường thẳng Tìm điểm đường thẳng cho Cách giải : Do điểm đường thẳng Khi : : đạt giá trị nhỏ , ta có : Khi Xét hai vectơ Ta có Dấu xảy khi hướng Vậy điểm cần tìm : PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình Bài 2: Giải phương trình Bài 3: Giải phương trình Bài 4: Giải bất phương trình Bài 5: Giải hệ phương trình Bài 6: Giải hệ phương trình Bài 7: Chứng minh Bài 8: Chứng minh ta có ta có 10 skkn Bài 9: Chứng minh ta có : Bài 10: Chứng minh ta có Bài 11: Tìm GTLN hàm số Bài 12: Tìm GTNN hàm số Bài 13: Tìm GTLN hàm số Bài 14: Tìm GTNN hàm số PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN Quá trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm thân đạt số kết khả quan, tích cực Qua lần kiểm tra – đánh giá, thấy tỉ lệ số học sinh giải toán khó ngày tăng Từ học sinh chưa biết đến phương pháp vectơ biết ứng dụng kết hợp nhiều phương pháp để giải tập Kinh nghiệm tơi giúp em học sinh có thêm phương pháp giải toán , giúp em có cách nhìn tổng quan trước lựa chọn phương pháp giải toán Giúp em học sinh linh hoạt việc giải toán khó Các em khơng cịn lúng túng, e dè, lo ngại giải tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tập cực trị Đó ngun nhân đến kết tương đối khả quan đợt khảo sát vừa qua Cụ thể: - Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5.0 – 6.4 3.5 – 4.9 0.0 – 3.4 Lớp Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 Số SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 42 2,4 4,8 10 23,8 11 26,2 18 42,8 Tổng 42 Trên TB: 13 chiếm 31% Dưới TB 29 chiếm 69% - Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 11 skkn Lớp Tổng Số 12A1 42 Tổng 42 8.0 – 10.0 SL % 7,1 6,5 – 7,9 SL % 5.0 – 6.4 SL % 3.5 – 4.9 SL % 12 15 10 28,6 35,7 Trên TB: 31 chiếm 71,4% 23,8 0.0 – 3.4 SL % 4,8 Dưới TB: 13 chiếm 28,6% PHẦN 5: KẾT LUẬN Việc sử dụng phương pháp tọa độ vectơ vào toán đại số phương pháp hay đem lại cho học sinh cách giải Phương pháp tọa độ vectơ thường áp dụng để giải toán đề thi đại học thi học sinh giỏi Qua chuyên đề này, học sinh sẻ có nhiều kĩ kinh nghiệm việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn bất đẳng thức nói riêng giải tốn đại số nói chung Đề tài hẳn trách khỏi thiếu xót Rất mong q thầy cơ, đơng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tơi, để đề tài tơi hồn thiện Xin chân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa lớp 10, lớp 12 THPT Nguồn internet Đề thi học sinh giỏi trường sở giáo dục nước 4.Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số - Phạm Trọng Thư XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đức Huy 12 skkn ... NGHIÊM ? ?ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ” I Cơ sở lý luận Khái niệm véctơ Các phép toán véctơ Tọa độ điểm tọa độ véctơ Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa. .. thêm phương pháp giải tốn tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “ ứng dụng phương pháp tọa độ véctơ vào việc giải toán đại số ” Với nội dung SKKN tơi tập trung trình bày phương pháp tọa độ vectơ vào việc giải. .. phương pháp ứng dụng tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số với em lạ, đa số học sinh ứng dụng ý tưởng giải tốn Phương pháp tọa độ vec tơ giúp ta giải toán đại số cách nhanh gọn , hiệu mà phương pháp