Skkn phát hiện, khắc phục một số sai sót và hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỉ ở trường thcs nga thanh, huyện nga sơn, tỉnh thanh hóa

0 0 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ * PHÒNG GD&ĐT (TRƯỜNG THPT )** (*Font Times New Roman, cỡ 16, đậm, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 15,CapsLock) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Font Times New Roman,[.]

0 SỞ SỞGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠOTHANH THANHHOÁ HOÁ* PHÒNG GD&ĐT THPT )** PHÒNG GD (TRƯỜNG & ĐT NGA SƠN (*Font Times New Roman, cỡ 16, đậm, CapsLock; ** Font Times New Roman, cỡ 15,CapsLock) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (Font Times New Roman, cỡ 15, CapsLock) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN, KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI SÓT VÀ HƯỚNG DẪN HỌC LỚP GIẢI PHƯƠNG TÊNSINH ĐỀ TÀI TRÌNH VƠ(Font TỈ Times Ở TRƯỜNG TRUNG CƠ SỞ NGA New Roman, cỡ 16-18, HỌC CapsLock) THANH, HUYỆN NGA SƠN, TỈNH THANH HÓA Người thực hiện: Nguyễn Văn A Người hiện: Chức vụ:thực Giáo viênTrần Thị Lan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS B Đơn vị cơnglĩnh tác:mực Trường THCS Nga Thanh SKKN thuộc (mơn): Tốn (Font Times New Roman, 15, đậm, mục ĐơnTốn vị cơng tác ghi đối SKKNcỡthuộc lĩnhđứng; vực (môn): với SKKN thuộc bậc MN, cấp TH THCS, cấp/bậc khác khơng ghi) THANH HỐ NĂM 2022 skkn Mục lục: Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phát số sai sót mà học sinh thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ 2.3.2 Giúp học sinh khắc phục sai sót mà em thường mắc phải giải phương trình vô tỉ 2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải số dạng phương trình vơ tỉ 2.3.4 Một số tập tự luyện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận 3.2.Kiến nghị Trang 1 1 2 2 3 11 17 17 18 18 18 skkn 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn THCS, học sinh làm quen giải nhiều dạng phương trình, như: Phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,…Với dạng phương trình này, thường có phương pháp giải cụ thể trình bày tiết dạy Ngồi dạng phương trình trên, học sinh cịn bắt gặp dạng phương trình nữa, phương trình vơ tỉ Mặc dù chương trình sách giáo khoa khơng có tiết dạy lý thuyết cho phần kiến thức phần tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo,…học sinh lại bắt gặp nhiều, đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh Giải phương trình vơ tỉ dạng tốn khó học sinh nói chung lại khó khăn em học sinh có lực học cịn hạn chế Được trực tiếp giảng dạy mơn tốn 9, qua nhiều năm dẫn dắt em, thân nhận thấy: Khi giải phương trình vơ tỉ học sinh lúng túng khơng tìm cách giải Các em thường quen với phương pháp nâng lên luỹ thừa hai vế để làm dấu Nhưng trình giải em mắc phải nhiều sai lầm Những sai lầm dẫn đến việc kết luận nghiệm phương trình khơng xác (thừa thiếu nghiệm) Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, phức tạp, em khơng tìm cách giải Số học sinh giỏi giải số phương trình vơ tỉ mức độ khơng khó, cách giải chưa tối ưu, em chưa có sáng tạo việc sử dụng phương pháp giải cho phù hợp Để giúp em học sinh lớp phát hiện, khắc phục số sai sót có phương pháp để giải phương trình vơ tỉ, vận dụng phương pháp để giải dạng phương trình vơ tỉ bản, góp phần nâng cao trình độ kiến thức cho học sinh, đặc biệt bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi, thân mạnh dạn chọn đề tài: “Phát hiện, khắc phục số sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh lớp phát khắc phục số sai sót giải phương trình vơ tỉ - Nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường, đặc biệt lực dạy học sinh giải phương trình vô tỉ, đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Nâng cao hiệu dạy, tạo hứng thú học tập chủ động, sáng tạo cho học sinh - Gắn kết giảng với chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu skkn - Học sinh lớp trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tham khảo, thu thập tài liệu - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp kiểm tra kết chất lượng học sinh Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu Đây dạng tốn khó học sinh THCS nói chung học sinh lớp nói riêng Việc phát hiện, khắc phục sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng phương trình vơ tỉ, nhằm : - Giúp học sinh phát sai sót mà em thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ - Giúp em khắc phục sai sót mà em thường mắc phải, qua tạo động lực để em biết vươn lên, khơng ngại khó phải giải phương trình vơ tỉ - Củng cố cho học sinh số kiến thức có liên quan đến phương trình vơ tỉ đặc biệt bước giải phương trình vơ tỉ - Cung cấp cho em phương pháp giải phương trình vơ tỉ, rèn luyện kỹ giải phương trình vơ tỉ thơng qua ví dụ cụ thể - Hướng dẫn em giải số dạng phương trình vơ tỉ đơn giản, thường gặp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm * Thực trạng việc dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ trường THCS Nga Thanh – Nga Sơn - Thanh Hóa - Về phía giáo viên: Trong sách giáo khoa tốn 9, phương trình vơ tỉ thường ẩn dạng tốn tìm x, số u cầu rõ giải phương trình, nên đơi giáo viên cịn chủ quan, coi khơng phải kiến thức bản, trọng tâm chương trình tốn Việc dạy cho học sinh giải phương trình vơ tỉ chưa giáo viên tổ chức dạy thành chuyên đề riêng, dừng lại việc lồng ghép phần tập tiết luyện tập, buổi học thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi Những sai lầm mà học sinh mắc phải chưa giáo viên quan tâm, khắc phục kịp thời - Về phía học sinh: Với em học sinh, giải phương trình vơ tỉ khơng dạng tốn khó mà cịn lạ em Các em chưa trang bị phương pháp, chưa có kỹ giải phương trình vơ tỉ nên giải phương trình vơ tỉ cịn mắc phải nhiều sai sót Các em ngại phải đối phó với dạng tốn khó Ý thức tự giác em chưa cao, ỷ lại, trông chờ vào thầy cô giáo Đứng trước tốn khó đơi ngại làm, tìm lời giải tài liệu, lần sau dạng phương trình đổi số yếu tố em lại bế tắc * Kết chưa thực đề tài : skkn Để thấy rõ thực trạng yếu học sinh giải phương trình vơ tỉ, đầu năm học 2021 – 2022 tiến hành khảo sát lớp 9, với đề toán sau: Giải phương trình: (Bài – SGK Tốn tập – Trang 11) Kết thu được: Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp dự SL % SL % SL % SL % SL % KT 9A 42 2,4 19,0 13 31,0 14 33,3 14,3 9B 37 5,4 18,9 10 27,1 13 35,1 13,5 Khối 79 3,8 15 19,0 23 29,1 27 34,2 11 13,9 Nhìn vào bảng kết trên, ta thấy phương trình vơ tỉ đề khơng phải q khó (là tập sách giáo khoa với cách hỏi khác là, tìm x) số lượng học sinh đạt điểm giỏi ít, điểm yếu nhiều Nguyên nhân em mắc phải sai lầm: Lấy thiếu nghiệm phương trình 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phát số sai sót mà học sinh thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ Khi dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ, thân thấy học sinh thường hay mắc phải sai sót sau: 2.3.1.1 Sai sót không đặt điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình Sai sót khơng đặt điều kiện xác định phương trình, thường rơi vào trường hợp sau: - Khơng đặt điều kiện để thức có nghĩa - Không đặt điều kiện để mẫu thức khác không - Đôi học sinh mắc hai sai lầm nói Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x + 1) x − = - Lời giải sai mà học sinh mắc phải: x + =  x = −1 ( x + 1) x − =    x =  x−2 =0 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = -1 ; x2 = - Phân tích, phát sai sót mà học sinh mắc phải: Trong lời giải trên, em sử dụng cách giải phương trình tích (được học từ lớp 8) để giải phương trình cho mà quên việc đặt điều kiện để thức có nghĩa (khơng đặt ĐKXĐ phương trình) ĐKXĐ phương trình biểu thức dấu phải không âm Tức x −   x  Do x = -1 khơng phải nghiệm phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = - Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng: skkn ĐKXĐ: x –   x  (*) x + =  x = −1 ( x + 1) x − =    x =  x−2 =0 Kết hợp với điều kiện (*) suy phương trình cho có nghiệm x = 2.3.1.2 Sai sót kết luận nghiệm khơng đối chiếu với ĐKXĐ phương trình dẫn đến lấy thừa thiếu nghiệm Khi giải phương trình, học sinh có tìm ĐKXĐ cho phương trình kết luận nghiệm, thiếu tính cẩn thận học sinh khơng đối chiếu nghiệm vừa tìm có thỏa mãn ĐKXĐ hay không Việc làm dẫn đến kết khơng xác, phần lớn lấy thừa nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình: x + = x − (1) - Lời giải sai mà học sinh mắc phải: −1  2 x +  x  ĐKXĐ:    x  (*) x −   x  Bình phương hai vế phương trình (1) ta : 2x + = x -  x = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm: x = -2 - Phân tích, phát sai sót mà học sinh mắc phải: Sai lầm học sinh sau giải phương trình tìm nghiệm x = -2, em không đối chiếu với điều kiện (*) mà kết luận x = -2 nghiệm phương trình cho Do x = -2 khơng thỏa mãn điều kiện (*) nên phương trình cho vơ nghiệm - Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng: −1  2 x +  x  ĐKXĐ :    x  (*) x −   x  Bình phương hai vế phương trình (1) ta : 2x + = x -  x = −2 Kết hợp với điều kiện (*) suy phương trình cho vơ nghiệm 2.3.1.3 Sai sót nâng lên lũy thừa bậc chẵn để khử hai vế phương trình mà khơng xét xem hai vế có không âm hay không Khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn để khử thức hai vế phương trình nhiều học sinh khơng ý đến việc đặt điều kiện để hai vế khơng âm Ví dụ 3: Giải phương trình: x − 10 = −2 (Bài 34 - SBT Toán tập 1- Trang 10) - Lời giải sai mà học sinh mắc phải: x − 10 = −2  x − 10 = (−2)  x − 10 =  x = 14 Vậy PT có nghiệm x = 14 - Phân tích, phát sai sót mà học sinh mắc phải: Ở em học sinh thực bình phương vế phương trình cho vế phải -2 < Đây sai sót mà nhiều học sinh mắc phải - Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng: skkn Vì x − 10  với x ; -2 < nên phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: x + = x + (1) - Lời giải sai mà học sinh mắc phải: ĐKXĐ: x +   x  −3 (*) Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: x = x + = x2 + 2x +1  x2 + x − =    x = −2 Kết hợp với điều kiện (*), phương trình cho có nghiệm x1 = ; x2 = -2 - Phân tích, phát sai sót mà học sinh mắc phải: Để khử thức vế trái phương trình, học sinh bình phương hai vế mà khơng đặt điều kiện để vế phải khơng âm Trong ví dụ này, ngồi điều kiện x  −3 để thức có nghĩa, muốn bình phương vế phương trình phải cần thêm điều kiện x +   x  −1 Đây điều kiện phép biến đổi tương đương Như vậy, với x  −1 x = -2 khơng thể nghiệm phương trình cho Tức là, phương trình có nghiệm x = - Hướng dẫn học sinh giải lại cho : ĐKXĐ: x +   x  −3 (*)  x  −1 x +   x  −1     x =  x = (1)   x + = x + 2x + x + x − =  x = −2  Kết hợp với điều kiện (*) suy phương trình cho có nghiệm x = 2.3.1.4 Sai sót sử dụng phép biến đổi không tương đương: Như biết có quy tắc để biến đổi tương đương phương trình quy tắc chuyển vế quy tắc nhân (chia) với số khác không đơi học sinh mắc phải sai sót sau: - Chuyển vế không đổi dấu số hạng - Nhân (chia) hai phương trình với số (hoặc biếu thức) mà không xét xem chúng có khác khơng hay khơng Ví dụ 5: Giải phương trình: 15 x − 15 x − = 15 x 3 (Bài 74 - SGK toán tập – Trang 40) - Lời giải sai mà học sinh mắc phải: ĐKXĐ: x  5 15 x − 15 x − = 15 x  15 x − 15 x + 15 x =  15 x =  x = 3 3 15 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 15 - Phân tích, phát sai sót mà học sinh mắc phải: Sai sót là, học sinh chuyển phương trình khơng đổi dấu skkn 15 x từ vế phải sang vế trái - Hướng dẫn học sinh giải lại cho đúng: ĐKXĐ: x  15 x − 15 x − = 15 x 3 1 12 (TMĐK)  15 x − 15x − 15 x =  15 x =  15x = 36  x = 3 12 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2.3.2 Giúp học sinh khắc phục sai sót mà em thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ Để khắc phục sai sót nói trên, dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ, giáo viên nên tiến hành qua bước sau: 2.3.2.1 Cung cấp, củng cố, khắc sâu cho học sinh kiến thức có liên quan đến phương trình vơ tỉ: Trước dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ đó, giáo viên nên cung cấp, thông qua hệ thống câu hỏi củng cố cho em kiến thức sau: - Khái niệm phương trình vơ tỉ: Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu - Cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, hệ phương trình, bất phương trình - Các tính chất luỹ thừa bậc chẵn, luỹ thừa bậc lẻ - Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đẳng thức - Các bất đẳng thức bản, bất đẳng Cauchy, Bunhiacopski, - Các phép biến đổi thức số công thức biến đổi quan trọng, chẳng hạn như: A2 = A ; A + B =  A = B = 0; A  ; A= B A = B B  A =B   A = B 2.3.2.2 Hình thành cho học sinh bước giải phương trình vơ tỉ Để giải phương trình vơ tỉ (phương trình chứa ẩn dấu căn), thông thường ta thực qua bước sau : *Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình : Trong tìm ĐKXĐ cho phương trình, giáo viên cần khắc sâu để học sinh thấy rằng: - Nếu phương trình chứa ẩn mẫu điều kiện là: Mẫu thức khác khơng - Nếu phương trình chứa ẩn dấu thì: + Điều kiện để bậc chẵn xác định là: Biểu thức dấu phải không âm + Điều kiện để bậc lẻ xác định là: Mọi giá trị ẩn thuộc tập số thực R *Bước 2: Biến đổi, đưa phương trình dạng học - Khi biến đổi để đưa phương trình cho dạng học phải sử dụng phép biến đổi tương tương, ý hai quy tắc : + Quy tắc chuyển vế : Chuyển vế phải đổi dấu + Quy tắc nhân với số: Số nhân phải khác không skkn - Khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn hai vế phương trình điều kiện là: Cả hai vế phương trình phải khơng âm *Bước 3: Giải phương trình vừa tìm Phương trình vừa tìm thường phương trình quen thuộc mà học sinh biết cách giải, ví dụ như: Phương trình bậc ẩn, phương trình bậc hai ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối, *Bước 4: So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm phương trình Nghiệm phương trình phải giá trị ẩn thỏa mãn ĐKXĐ phương trình 2.3.2.3 Cung cấp cho học sinh số phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ Khi gặp phương trình vơ tỉ, đặc biệt với phương trình vơ tỉ phức tạp, em giải em chưa cung cấp phương pháp để giải chúng Có nhiều phương pháp để giải phương trình vô tỉ, giáo viên cung cấp cho học sinh tất phương pháp hay lựa chọn số phương pháp thường sử dụng ? Điều cịn tùy thuộc vào khả tiếp thu học sinh Với đối tượng học sinh không thực xuất sắc mình, dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ, thân dừng lại phương pháp sau: * Phương pháp 1: Phương pháp nâng lên luỹ thừa - Đường lối chung: Để làm bậc n ta nâng vế phương trình lên luỹ thừa n Phương pháp thường dùng vế phương trình có luỹ thừa bậc Cần ý: + Nếu n lẻ nâng lên lũy thừa bậc n ta phương trình tương đương với phương trình cho + Nếu n chẵn việc nâng lên lũy thừa bậc n thực vế phương trình khơng âm - Ví dụ 6: Giải phương trình: x + = + (1) (Bài 77- SBT toán tập – Trang 17) Giải: ĐKXĐ: x  −3 (*) Vì hai vế (1) khơng âm nên bình phương hai vế ta : x + = (1 + )  x + = + 2 +  x = 2  x = Kết hợp với điều kiện (*), phương trình cho có nghiệm x = * Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Đường lối chung: Nếu gặp phương trình mà biểu thức dấu viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức A = A để làm dấu căn, đưa phương trình dạng phương trình đơn giản - Ví dụ 7: Giải phương trình: x − x + + x − x + 16 = (1) skkn Giải: ĐKXĐ: x  R (1)  ( x − 2) + ( x − 4) =  x − + x − = (2) Lập bảng xét dấu : x x-2 + x-4 Ta xét khoảng : + + (thoả mãn x < 2) + Nếu  x <  (2)  x – + – x =  = (vơ lí)  PT vơ nghiệm 11 + Nếu x   (2)  x - + x - =  2x – =5  x = (thoả mãn x  ) 11 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 = x2 = 2 + Nếu x <  (2)  – x + – x =  - 2x =5  x = * Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ - Đường lối chung: Đặt ẩn phụ cách thích hợp để chuyển phương trình vơ tỉ cho phương trình hay hệ phương trình đại số có cách giải quen thuộc Phương pháp nói chung khơng làm phức tạp thêm tốn Cách đặt ẩn phụ cịn tuỳ thuộc vào tốn cụ thể cần có tư linh hoạt, phải qua số bước biến đổi đặt ẩn phụ Ta đặt hay nhiều ẩn phụ - Ví dụ 8: Giải phương trình: 2( x + 3x + 2) + x + 3x + = (1) Giải:  x  −2 (*)  x  −1 ĐKXĐ : x2 + 3x +   ( x+1) (x+2)    Đặt: x + 3x + = y (**) ( ĐK: y  )  y = −1 (1)  y + y =  y + y − =   y =  Kết hợp ĐK: y   y = , thay vào (**) ta được: 2  −3+ x=  1 x + x + =  x2 + 3x +2 =  4x2 + 12x +7=    −3− x =  Kết hợp ĐK (*), phương trình cho có nghiệm x1 = −3+ −3− ; x2 = 2 * Phương pháp 4: Phương pháp đưa phương trình tích: - Đường lối chung: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phối hợp với phép biến đổi skkn tương đương phương trình để đưa phương trình cho dạng tích A(x).B(x) = Nghiệm phương trình tập hợp nghiệm phương trình: A(x) = 0; B( x) = 0;… thuộc tập xác định - Ví dụ 9: Giải phương trình: x + 10 x + 21 = x + + x + - (1) Giải: ĐKXĐ: x  -3 Phương trình (1)  ( x + 3)( x + 7) - x + - x + + =  x + ( x + − 3) - 2( x + − 3) ) =  ( x + − 3) ( x + − ) =  x+7 −3=    x + − = x + = x + =   x =  x = (thỏa mãn x  −3 )  Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 1; x2 = * Phương pháp 5: Phương pháp bất đẳng thức - Đường lối chung: Để giải phương trình vơ tỉ phương pháp bất đẳng thức, ta thường sử dụng cách sau: + Cách 1: Chứng tỏ tập giá trị vế phương trình rời nhau, phương trình vơ nghiệm Chẳng hạn, ta chứng tỏ vế trái phương trình ln ln lớn (hoặc bé hơn) vế phải, suy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 10: Giải phương trình: x + + x + = Giải: ĐKXĐ: x  R Vì x2 > 0, xR nên x +  x +  => x + + x +  Vế trái lớn mà vế phải 3.Vậy PT cho vô nghiệm + Cách 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số Với phương pháp ta thực qua bước sau: + Bước 1: Thử nhẩm tìm nghiệm phương trình + Bước 2: Chứng minh nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình: x − + x − = Giải: ĐKXĐ: x  R Ta thấy: + Với x = VT = 2.1 − + − = + = = VP  x = nghiệm phương trình + Với x > VT = x − + x −  2.1 − + − = + = VT >1, VP =  phương trình vơ nghiệm + Với x < VT = x − + x −  2.1 − + − = + = VT  (3)    x−2   y−4  Để phương trình (2) có nghiệm (3) phải lấy dấu “=” tức có:   x−2 = x−2 x − =  x = 11    (Thỏa mãn điều kiện *)  y − = y =    = y −1  y −  x = 11 Vậy phương trình cho có nghiệm:  y = * Phương pháp 6: Phương pháp đưa dạng tổng đa thức không âm không - Đường lối chung: Phương pháp thường áp dụng cho phương trình nhiều ẩn Bằng cách tách, thêm bớt, sử dụng đẳng thức ta đưa phương trình vơ tỉ dạng: A + B + C = - Ví dụ 13: Giải phương trình: x + y + z + = x − + y − + z − (1) (Bài 592 - Sách 1001 toán sơ cấp) Giải: ĐKXĐ: x > ; y > ; z > (*) (1)  (x - - x − + 1) + ( y − − y − + 4) + ( z − − z − + 9) =  ( x − − 1) + ( y − − 2) + ( z − − 3) = x − −1 = x-2=1 x=3 x −3 −2 =    y-3=4 y=7 z −5 −3 = z -5 = z = 14 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14 2.3.3 Hướng dẫn học sinh giải số dạng phương trình vơ tỉ skkn 11 Sau học sinh nắm vững phương pháp để giải phương trình vơ tỉ, có kỹ biến đổi, giáo viên nên hướng dẫn em vận dụng linh hoạt phương pháp để giải dạng phương trình vơ tỉ thường gặp Tuy nhiên trình bày lời giải, khơng thiết phải trình bày theo bước nêu Giáo viên dẫn dắt em trình bày ngắn gọn theo sơ đồ lược giải định Trong chương trình tốn THCS có nhiều dạng phương trình vơ tỉ, số dạng thường gặp cách giải cho dạng để học sinh dễ nhớ, dễ áp dụng 2.3.3.1 Phương trình vơ tỉ dạng 1: f ( x ) = g(x) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau: + Bước1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ: f ( x)  (*) + Bước 2: Với điều kiện g ( x)  bình phương vế, đưa phương trình cho dạng: f(x) = g2(x) (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) + Bước 4: Đối chiếu nghiệm phương trình (2) với điều kiện (*) để kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:  g ( x )  f ( x ) = g(x)    f ( x ) = g ( x ) - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Trong phép biến đổi trên, ta không cần điều kiện f ( x)  f ( x) = g ( x) mà g ( x)  nên f(x)  - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 14: Giải phương trình: x − = x − Giải: x  x  x −   x−5 = x –      x =  x =  x − 15 x + 54 = ( x − 5) = ( x − 7)  x =  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2.3.3.2 Phương trình vơ tỉ dạng 2: f ( x ) = g( x ) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau:  f ( x)   g ( x)  + Bước1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ:  (*) + Bước 2: Bình phương vế đưa phương trình cho dạng: f(x) = g(x) (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) + Bước 4: Đối chiếu nghiệm phương trình (2) với điều kiện (*) để kết luận nghiệm phương trình cho skkn 12 - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:   f ( x )  0( g( x )  0) f( x ) = g( x )     f ( x ) = g( x ) - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình này, phép biến đổi tương đương ta cần đặt điều kiện f(x)  g(x)  , không cần đặt đồng thời g(x)  f(x)  f(x) = g(x - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 15: Giải phương trình: x + = x + Giải: 2x + = −5 −5   x  x  x+3   2  x = −2 2 x + = x +  x = −2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -2 f ( x ) + g ( x ) = h( x ) 2.3.3.3 Phương trình vơ tỉ dạng 3: - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau:  f ( x)   g ( x)  + Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ:  (*) + Bước 2: Bình phương vế đưa phương trình cho dạng: f ( x).g ( x) = [h( x)] − f ( x) − g ( x) (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) cách tiếp tục bình phương vế + Bước 4: Đối chiếu nghiệm phương trình (2) với điều kiện (*) để kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:  f ( x)   f ( x)   g ( x)   g ( x)     h ( x )  f ( x ) + g ( x ) = h( x )   h( x )     f ( x) + g ( x) + f ( x) g ( x) = h( x)2  f ( x) g ( x) = h( x) − f ( x) − g ( x)   - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình này, phép biến đổi tương đương phải sử dụng đẳng thức (A +B)2 = A2 +2AB + B2 - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 16: Giải phương trình: − x + + x = (Đề thi HSG toán huyện Nga Sơn năm học 2010 - 2011) Giải: skkn 13 1 − x  −  x   − x + + x =  x +    (1 − x)(4 + x) =  − x + + x + ( − x )( + x ) =  −  x  −  x  −  x  x =      x =  (1 − x)(4 + x) =  x = −3 − x − x =  x = −3  Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = ; x2 = -3 2.3.3.4 Phương trình vô tỉ dạng 4: f ( x) + g ( x) = h( x) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau: + Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình:  f ( x)  ĐKXĐ:  g ( x)  h ( x )   (*) + Bước 2: Bình phương vế đưa phương trình cho dạng : f ( x) g ( x) = h( x ) − f ( x ) − g ( x ) (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) (giải giống phương trình dạng 1) + Bước 4: Đối chiếu nghiệm phương trình (2) với điều kiện (*) để kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:  f ( x)   f ( x)   g ( x)   g ( x)    f ( x ) + g ( x ) = h( x )    h ( x )  h( x )     f ( x ) + g ( x ) + f ( x ) g ( x ) = h( x )  f ( x ) g ( x ) = h( x ) − f ( x ) − g ( x )   - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình này, phép biến đổi tương đương phải sử dụng đẳng thức: (A +B)2 = A2 +2AB + B2 - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 17: Giải phương trình: x − + x − = x + (1) (Bài 173 sách nâng cao phát triển Toán – Trang 71) Giải: 2 x −  x −   x   (1)    x +1   (2 x − 1)( x − 2) = − x  2 x − + x − + (2 x − 1)( x − 2) = x +  skkn 14   x  x  x      2 − x   x   x   x = (2 x − 1)( x − 2) = (2 − x) x − x − =  x = −1     x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2.3.3.5 Phương trình vơ tỉ dạng 5: f ( x) + g ( x) = h( x) + p( x) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau:  f ( x)   g ( x)  + Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ :  h ( x )   p ( x)  (*) + Bước 2: Bình phương vế đưa phương trình cho dạng biết cách giải + Bước 3: Giải phương trình vừa tìm + Bước 4: Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện (*) để kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau:  f ( x)    g ( x)   f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + p ( x )  h ( x )   p( x)    f ( x) + g ( x) + f ( x) g ( x) = h( x) + p ( x) + h( x) p( x) - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình này, phép biến đổi tương đương, bình phương vế phương trình phải sử dụng đẳng thức : (A +B)2 = A2 +2AB + B2 - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 18: Giải phương trình: x + + x + 10 = x + + x + Giải: x + + x + 10 = x+2 + x+5 x +    x + 10    x +  x +    x + + x + 10 + ( x + 1)( x + 10) = x + + x + + ( x + 2)( x + 5) skkn 15  x  −1  4 + ( x + 1)( x + 10) = ( x + 2)( x + 5)  x  −1  16 + 4( x + 1)( x + 10) + 16 ( x + 1)( x + 10) = 4( x + 2)( x + 5)  x  −1  x  −1     x  −1  x = −1  ( x + 1)( x + 10) = − x − ( x + 1)( x + 10) = x + x +  Vậy phương trình cho có nghiệm x = - 2.3.3.6 Phương trình vơ tỉ dạng 6: f ( x) = a (1) f ( x) + g ( x) = a (2) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau: + Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ: x  R (Căn thức bậc lẻ xác đinh với x  R ) + Bước 2: Lập phương vế đưa phương trình cho dạng: F ( x).G ( x) = (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) + Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau: 1) f ( x) = a  f ( x) = a 2) f ( x) + g ( x) = a  f ( x) + 3(3 f ( x) ) g ( x) + 3.3 f ( x) (3 g ( x) ) + g ( x) = a  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) (3 f ( x) + g ( x) ) = a  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) a = a  f ( x).g ( x) = a − f ( x) − g ( x) a − f ( x) − g ( x)  f ( x).g ( x) = ( ) 3a 3a - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình (2), phép biến đổi tương đương, lập phương vế phương trình phải sử dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 +3A2B + 3AB2 + B3 - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 19: Giải phương trình: x − = 0,9 (1) (Bài 89 SBT toán tập – Trang 20) Giải: ĐKXĐ: x  R x − = 0,9  x − = 0,9  x − = 0,729  x = + 0,729  x = 5,729 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 5,729 Ví dụ 20: Giải phương trình: x + + − x = Giải: ĐKXĐ: x  R x +1 + − x = skkn (1) 16  x +1+ − x + ( ) x + − x + x +  x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x)  + 33 ( x + 1)(7 − x) = ( (vì Vì ( 7−x ) ) =8 x +1 + − x = x +1 + − x = 2)  x = −1  ( x + 1)(7 − x) =  ( x + 1)(7 − x) =   x = Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = -1; x2 = 2.3.3.7 Phương trình vơ tỉ dạng 7: f (x) + g(x) = h(x) - Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm lời giải theo bước sau: + Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình: ĐKXĐ: x  R (Căn thức bậc lẻ xác đinh với x  R ) + Bước 2: Lập phương vế đưa phương trình cho dạng: F ( x).G ( x) = (2) + Bước 3: Giải phương trình (2) + Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình cho - Giáo viên hướng dẫn em trình bày ngắn gọn lời giải theo sơ đồ sau: f ( x ) + g ( x ) = h( x )  f ( x) + 3(3 f ( x) ) g ( x) + 3.3 f ( x) (3 g ( x) ) + g ( x) = h( x)  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) (3 f ( x) + g ( x) ) = h( x)  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x) h( x) = h( x)  f ( x) + g ( x) + 33 f ( x).g ( x)h( x) = h( x)  f ( x).g ( x).h( x) = h( x ) − f ( x ) − g ( x ) h( x ) − f ( x ) − g ( x )  f ( x).g ( x).h( x) = ( ) 3 - Giáo viên cho học sinh số điểm cần lưu ý giải dạng phương trình trên: Với dạng phương trình (2), phép biến đổi tương đương, lập phương vế phương trình phải sử dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 +3A2B + 3AB2 + B3 - Đưa ví dụ minh họa: Ví dụ 21: Giải phương trình: x + + x − = x (1) Giải: ĐKXĐ: x  R x + + x − = 5x  x + + x − + 33 ( x + 1)( x − 1) (3 x + + x − 1) = x  x + 33 ( x + 1)( x − 1) x = x  x + 33 ( x + 1)( x − 1).5 x = x  33 ( x + 1)( x − 1).5 x = 3x  ( x + 1)( x − 1).5 x = x  ( x + 1)( x − 1).5 x = x  x − x = x  x − x =  x(4 x − 5) = skkn 17 x =  x =   Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 0; x2;3 =  2.3.4 Một số tập tự luyện: Giải phương trình sau: 1) x - = x – 3) x − x + + x + 10 x + 25 = 5) x − + 2 x − + x + 13 + x − = 7) x − − x + = x − − x + 9) x − + x + = 10 x 2) 2x − = 3x − 4) x − + 3x + = x + 6) x + + 3 − x = 8) x + x + 2006 = 2006 10) x − + x − = x − 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đơí với hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau áp dụng đề tài việc dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ thân thu kết bước đầu đáng phấn khởi - Về phía giáo viên: Phần giáo viên vững vàng mặt kiến thức, có thêm kinh nghiệm việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ nói riêng - Về phía học sinh: Được cung cấp kiến thức phương trình vơ tỉ, dạng phương trình vơ tỉ, phương pháp giải phương trình vô tỉ, cách phát khắc phục sai sót giải phương trình vơ tỉ em đã: + Trách sai sót đáng tiếc giải phương trình vơ tỉ + Có kỹ vận dụng thành thạo phương pháp để giải phương trình vơ tỉ + Nắm vững dạng phương trình vơ tỉ cách giải dạng + Có hứng thú, khơng ngại khó phải giải phương trình vơ tỉ Đặc biệt với học sinh yếu kém, trung bình em có thêm vốn kiến thức bản, biết giải dạng phương trình vơ tỉ đơn giản - Kết quả: Để kiểm tra khả tiếp thu lĩnh hội kiến thức học sinh, sau áp dụng đề tài đề tốn: Giải phương trình: x + + x - = thu kết sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém Số HS Lớp dự KT SL % SL % SL % SL % SL % 9A 42 10 23,8 12 28,6 18 42,8 4,8 0 9B 37 24,3 13 35,2 14 37,8 2,7 0 Khối 79 19 24,1 25 31,6 32 40,5 3,8 0 Nhìn vào bảng kết ta thấy, tỉ lệ học sinh đạt điểm yếu giảm đáng kể (từ 48,1% giảm xuống cịn 3,8 %), đặc biệt khơng học sinh bị điểm kém, tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi tăng lên rõ rệt (từ 22,8% tăng lên 55,7 %) skkn 18 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Trên số sai sót mà học sinh thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ Để khắc phục sai sót đó, cung cấp cho em kiến thức có liên quan đến phương trình vơ tỉ, hình thành cho em số phương pháp giải phương trình vơ tỉ nói chung, cách giải số dạng phương trình vơ tỉ nói riêng Qua đó, tạo cho em niềm say mê học tập, khơng ngại khó phải giải phương trình vơ tỉ.Tuy nhiên để kết đạt mong muốn đòi hỏi giáo viên phải biết phân luồng học sinh, tác động vào đối tượng với mức độ, dạng tập khác nhau, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Giáo viên nên lồng ghép chuyên đề buổi học thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, yếu kém, giáo viên nên cho em làm quen dần từ sách giáo khoa, sách tập Giáo viên cần ý phát huy tích tích cực, chủ động sáng tạo học sinh 3.2 Kiến nghị: Với chút kinh nghiệm sau nhiều năm giảng dạy mơn tốn nói chung, dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ nói riêng, thân đúc rút trình bày sáng kiến kinh nghiệm: “Phát hiện, khắc phục số sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa” Trong viết này, chắn trách khỏi hạn chế, khiếm khuyết, thân mong nhận góp ý đồng nghiệp Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 19 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Lan skkn ... tài: ? ?Phát hiện, khắc phục số sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ trường THCS Nga Thanh, huyện Nga Sơn, tỉnh Thanh Hóa? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh lớp phát khắc phục. .. Việc phát hiện, khắc phục sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng phương trình vơ tỉ, nhằm : - Giúp học sinh phát sai sót mà em thường mắc phải giải phương trình vơ tỉ - Giúp em khắc phục sai. .. dạy học sinh giải phương trình vơ tỉ nói riêng, thân đúc rút trình bày sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Phát hiện, khắc phục số sai sót hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỉ trường THCS Nga Thanh,