Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH F ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê tốn học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS NGUYỄN VĂN QUẢNG TS LÊ HỒNG SƠN NGHỆ AN - 2020 luan an i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố trước Tác giả Đỗ Thế Sơn luan an ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Văn Quảng TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hai Thầy hướng dẫn tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập nghiên cứu Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý TS Nguyễn Thị Thế, PGS.TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS Dương Xuân Giáp, TS Trần Anh Nghĩa, PGS TS Nguyễn Chiến Thắng, TS Nguyễn Huy Chiêu nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, nơi tác giả làm việc, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu Viện Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp ln động viên khích lệ tác giả suốt trình học tập Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình chỗ dựa vững cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Đỗ Thế Sơn luan an MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 10 1.1 Toán tử không gian Hilbert 10 1.2 Đại số von Neumann 15 1.3 Toán tử đo 18 1.4 Các dạng hội tụ độc lập 23 Chương Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớn dãy toán tử đo 26 2.1 Luật mạnh số lớn dãy toán tử đo dương 26 2.2 Luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập đôi 41 2.3 Một số dạng khả tích luật mạnh số lớn dãy toán tử đo 49 Chương Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn dãy mảng toán tử đo 3.1 Luật yếu số lớn dãy toán tử đo luan an 64 64 3.2 Luật yếu số lớn mảng toán tử đo 69 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 87 Tài liệu tham khảo 88 luan an MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm C Tập số phức ∅ Tập rỗng B(R) σ -đại số Borel tập số thực R B ∈ B(R) B tập Borel tập số thực R H x, y Không gian Hilbert phức L(H) T Đại số tất toán tử tuyến tính bị chặn H A Đại số von Neumann Toán tử đồng 1A Hàm tiêu tập A σ(T ) Phổ toán tử T W ∗ (X) Đại số von Neumann sinh toán tử đo X eB (X) Phép chiếu phổ toán tử tự liên hợp X tương ứng ∞ Tích vơ hướng x, y ∈ H Chuẩn toán tử T ∈ L(H) với tập Borel B tập số thực R τ Trạng thái vết Kết thúc chứng minh luan an MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Các định lý giới hạn nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Định lý giới hạn dạng luật số lớn nghiên cứu cho nhiều đối tượng khác Chẳng hạn, luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đơn trị, biến ngẫu nhiên đa trị, biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập mờ; luật số lớn lý thuyết trị chơi, xác suất khơng giao hốn Trong đó, định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn thu hút quan tâm nhiều tác giả đạt kết định (xem [3], [23], [35], [43], [60]) 1.2 Lý thuyết tích phân khơng giao hốn bắt đầu nghiên cứu vào năm 1952-1953 I E Segal [52] Sau đó, tiếp tục nghiên cứu R A Kunze [31], W F Stinespring [53], E Nelson [36], F J Yeadon [59] Trên sở lý thuyết tích phân khơng giao hốn, lý thuyết xác suất khơng giao hoán nghiên cứu C J Batty [3], A R Padmanabhan [37], A Luczak [35], R Jajte [23] tiếp tục quan tâm Trong xác suất khơng giao hốn, khơng có khơng gian xác suất bản, thay nghiên cứu biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu toán tử đại số von Neumann toán tử đo Do phép nhân toán tử khơng có tính giao hốn khơng thể nói max, tốn tử nên để nghiên cứu vấn đề lý thuyết xác luan an suất khơng giao hốn, cần có công cụ kỹ thuật 1.3 Luật số lớn xác suất khơng giao hốn nghiên cứu theo hai hướng chính: tốn tử bị chặn đại số von Neumann với trạng thái toán tử đo với trạng thái vết Khó khăn hướng thứ tính chất hạn chế trạng thái, cịn hướng thứ hai tính khơng bị chặn toán tử đo làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp Các đặc điểm góp phần tạo nên đa dạng vấn đề cần quan tâm, nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn 1.4 Do u cầu nhiều toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng tử, vấn đề toán tử bị chặn đại số von Neumann toán tử đo được nghiên cứu sôi từ năm bảy mươi kỷ trước tiếp tục nghiên cứu Chính vậy, việc nghiên cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Một số định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án thiết lập số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy mảng toán tử đo điều kiện khác Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án toán tử đo luật số lớn cho toán tử đo trạng thái vết xác suất khơng giao hốn Phạm vi nghiên cứu luan an Luận án tập trung nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn toán tử đo dạng hội tụ khác như: hội tụ hầu hai phía, hội tụ LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng khái niệm khả tích sang khơng gian xác suất khơng giao hốn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phối hợp phương pháp lý thuyết xác suất chứng minh luật số lớn kỹ thuật lý thuyết toán tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn phổ toán tử Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất khơng giao hốn Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Luật số lớn xác suất khơng giao hốn chứng minh năm 1979 C J K Batty [3] Trong báo mình, ơng thiết lập dạng khơng giao hốn bất đẳng thức Kolmogorov chứng minh luật mạnh số lớn dãy toán tử đo độc lập liên tiếp Sau đó, A Luczak [35] xây dựng số luật mạnh luật yếu số lớn cho dãy toán tử đo độc lập liên tiếp phân phối Tiếp đến, R Jajte [23], [24] chứng minh số kết đáng quan tâm như: luật mạnh số lớn dãy toán tử trực giao, định lý chuỗi Kolmogorov luan an ... cứu định lý giới hạn xác suất khơng giao hốn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: ? ?Một số định lý giới hạn xác suất không. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG XÁC SUẤT KHƠNG GIAO HỐN Chun ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... gọi toán tử xác định phận H Nếu miền xác định D(T ) toán tử T trù mật H T gọi toán tử xác định trù mật H Một toán tử xác định phận (hoặc xác định trù mật) H bị chặn khơng bị chặn Toán tử xác định