Đang tải... (xem toàn văn)
Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh.
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số MÃ SỐ: 46 01 04 Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH Ngơ Việt Trung TS Nguyễn Trọng Hịa Hà Nội - 2022 MỤC LỤC Tóm tắt iv Abstract v Lời cam đoan vi Lời cảm ơn vii Danh mục ký hiệu viii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong đơn thức 1.2 Đối đồng điều địa phương 1.3 Vành Cohen-Macaulay 1.4 Macaulay hóa hữu hạn 1.5 Vành Buchsbaum 1.6 Số mũ rút gọn 1.7 Chỉ số quy Các 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 cơng thức tính số Trường hợp A Trường hợp B Trường hợp C Trường hợp D Trường hợp E mũ rút ii gọn số quy 8 10 12 15 16 20 24 24 26 33 35 40 Tính Buchsbaum đường cong đơn thức khơng 3.1 Tiêu chuẩn cho đoạn thẳng nằm 2GM 3.2 Tính Buchsbaum cho Trường hợp F 3.3 Tính Buchsbaum cho Trường hợp G Ước lượng số quy cho đường cong đơn trơn 4.1 So sánh nửa nhóm số học phân bậc 4.2 Chỉ số quy cho Trường hợp F 4.3 Chỉ số quy cho Trường hợp G trơn 45 45 50 53 thức không 57 58 60 67 Kết luận 75 Các cơng trình liên quan đến Luận án 76 Các kết Luận án báo cáo thảo luận 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii Tóm tắt Luận án nghiên cứu số tính chất đại số đường cong đơn thức (xạ ảnh) Các kết Luận án đưa ước lượng cho số mũ rút gọn, số quy đặc trưng tính Buchsbaum vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức iv Abstract The thesis studies algebraic properties of (projective) monomial curves The main results give estimates for the reduction number, the CastelnuovoMumford regularity and characterize the Buchsbaum property of the coordinate rings of several classes of monomial curves v Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tập thể hướng dẫn Kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào Luận án Các kết nêu Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Thị Gia Lâm vi Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới người thầy kính u tơi - GS TSKH Ngơ Việt Trung Thầy ln tận tình, chu đáo, dìu dắt từ bước chập chững đường khoa học Với tâm huyết người thầy, Thầy khơng dạy tơi tri thức Tốn học, phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề mà cịn giúp tơi có quan điểm đắn sống Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn thứ hai tơi - TS Nguyễn Trọng Hịa Thầy người hướng dẫn, giúp đỡ định hướng để tơi chọn làm Nghiên cứu sinh Viện Tốn học, sở đào tạo cho điều kiện tốt để học tập, rèn luyện trưởng thành Thầy quan tâm, động viên, khích lệ giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, Phòng Đại số phịng chức cho tơi môi trường học tập, nghiên cứu lý tưởng để hồn thành Luận án Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Phú Yên, Lãnh đạo Khoa Khoa học Tự nhiên đồng nghiệp Bộ mơn Tốn tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành việc học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến nghiên cứu viên Phịng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ động viên thời gian qua Tôi xin cảm ơn đồng nghiệp, anh, chị em học tập nghiên cứu Viện Toán học trao đổi, hỗ trợ, chia sẻ khoa học động viên, giúp đỡ q báu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến đại gia đình mình, đặc biệt Chồng Con trai yêu quý, hi sinh nhiều, yêu thương, động viên, tạo điều kiện thuận lợi mong mỏi ngày tơi hồn thành Luận án Luận xin kính tặng người mà yêu thương vii Danh mục ký hiệu N Z gcdpa1 , , an q k rx1 , , xn s k rF s À R Rn tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên ước chung lớn số nguyên a1 , , an vành đa thức nhiều biến trường k vành đơn thức sinh F vành phân bậc R iđêan phân bậc cực đại vành phân bậc R n¥0 À Rn n¥1 Dn ra, bs depthpRq dimpDq ΓI pDq HIi pDq pRq regpRq rJ pI q rpI q R thành phần phân bậc thứ n môđun phân bậc D tập hợp số nguyên α cho a Ô Ô b sõu ca vnh R chiều Krull môđun D môđun xoắn D xác định I môđun đối đồng điều địa phương thứ i D với giá I bậc không triệt tiêu lớn HRi pRq số quy Castelnuovo-Mumford vành R số mũ rút gọn I theo J số mũ rút gọn I Macaulay hóa hữu hạn vành R viii Mở đầu Cho k rx, y s vành đa thức trường k, hai biến x, y Đặt R k rM s vành k rx, y s sinh tập hợp M gồm đơn thức bậc d cho trước Khi đó, R vành tọa độ đường cong đơn thức xạ ảnh có nghiệm tham số tập M Lớp vành thường dùng làm đối tượng nghiên cứu cho số tốn Đại số giao hốn Hình học đại số, chẳng hạn, ví dụ khơng tầm thường vành không Cohen-Macaulay k rx4 , x3 y, xy , y s, tìm thấy Macaulay [29] Ngoài ra, vành vành Buchsbaum không tầm thường đầu tiên, khái niệm mở rộng vành Cohen-Macaulay [6, Theorem 3], [42, p 229] Người đọc nên xem Chương Luận án để hiểu khái niệm chuyên sâu đề cập phần Mở đầu Cho M txd , xα1 y dα1 , , xαn y dαn , y d u tập hợp gồm đơn thức hai biến x, y, bậc d chứa xd , y d Grăobner [15] l ngi ó t tốn đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay R theo M Bài toán giải cho số lớp đường cong đơn thức [1, Corollary 2.3, Corollary 3.2], [6, Theorem 3], [20, p 188, 193, 195, 196], [22, Lemma 2.1], [43, p 574, 577], [44, Theorem 2.1, Lemma 3.1, Corollary 3.4] Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu tồn hay không đặc trưng cho tính Buchsbaum R qua dãy d, α1 , , αn Nói chung, tốn khó phụ thuộc nhiều tham số Tuy nhiên, xd1 y, xy d1 P M ta chứng minh R vành Buchsbaum d, α1 , , αn thỏa mãn hệ bất đẳng thức tuyến tính [44, Theorem 4.3] Trường hợp quan tâm mặt hình học đường cong đơn thức cho cách tham số hóa M trơn xd1 y, xy d1 P M Mặt khác, người ta biết lớp đường cong đơn thức khơng trơn có vành toạ độ Buchsbaum khơng Cohen-Macaulay [4, Theorem 2.1, Theorem 3.1, Theorem 3.2], [6, Theorem 3], [21, Theorem 3.2], [44, Theorem 3.5] Một toán khác ước lượng số quy Castelnuovo-Mumford regpRq qua dãy d, α1 , , αn Vấn đề nhiều người quan tâm regpRq kiểm sốt bậc dịch chuyển giải tự phân bậc cực tiểu R [11] Theo giả thuyết Eisenbud-Goto [11, p 93], chứng minh cho ... Người ta biết xy d1 , xd1 y P M đường cong đơn thức tương ứng đường cong trơn Dễ thấy vành toạ độ đường cong đơn thức xạ ảnh tham số hoá M k-đại số k rM s sinh đơn thức M k rx, y s Nhận xét 1.1.2... Castelnuovo-Mumford đường cong đơn thức 1.1 Đường cong đơn thức Cho k rx, y s vành đa thức hai biến trường k M xd , xα1 y dα1 , xα2 y dα2 , , xαc y dαc , y d ( krx, ys tập hợp đơn thức bậc d,... số tính chất đại số đường cong đơn thức (xạ ảnh) Các kết Luận án đưa ước lượng cho số mũ rút gọn, số quy đặc trưng tính Buchsbaum vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức iv Abstract The