CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Đường tròn lượng giác và dấu của các giá trị lượng giác cos sin O + A(1;0)A′(−1;0) B(0;1) B′[.]
CHƯƠNG BÀI A 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) y H (II) A ′ (−1; 0) O (III) (I) (IV) + • sin α = OH • cos α = OK cos α O A (1; 0) B′ (0; −1) M x K Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α Góc phần tư I II III IV + + + + + − − − − − + + − + − − Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = Cung góc liên kết Cung đối Cung bù Cung π cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cung phụ cos ³π ´ − α = sin α ³π ´ sin − α = cos α ³π ´ tan − α = cot α ³π ´ cot − α = tan α Cung cos ³π π ´ + α = − sin α ³π ´ sin + α = cos α ³π ´ tan + α = − cot α ³π ´ cot + α = − tan α Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a + tan b − tan a tan b ´ + tan x ³π tan + x = − tan x tan(a + b) = tan a − tan b + tan a tan b ´ − tan x ³π tan − x = + tan x tan(a − b) = Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan 2α = − cos 2α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan2 α = + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α sin2 α = sin 2α = sin α cos α tan α − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Công thức nhân " sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cos sin a + sin b = sin 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos a+b a−b sin 2 a+b a−b sin sin a − sin b = cos 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin( b − a) cot a − cot b = sin a sin b cos a − cos b = −2 sin CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM Đặc biệt sin x + cos x = ³ ³ p π´ p π´ sin x + = cos x − 4 sin x − cos x = ³ ³ p p π´ π´ sin x − = − cos x + 4 Công thức biến đổi tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ rad π π π π cos α p 2 p 2 tan α cot α kxđ p 2 p p 3 sin α p p 3 p 1 kxđ 120◦ 135◦ 150◦ 2π 3π 5π p p 2 2 p p − − − 2 p p − −1 − p p − −1 − 3 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác có tọa độ M (cos α, sin α) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y p ´ − 12 , 23 ³ p p ´ − 22 , 22 2π ³ p ´ 3 π − ,2 120◦ 5π ◦ ³ (0, 1) ³ π 90 π ◦ π 60◦ ³ p ´ − 23 , − 12 A 330◦ 4π ³ p p ´ − 22 , − 22 ³ p ´ − 12 , − 23 BÀI (1, 0) 360 0◦ ◦ 2π 240◦ ´ 30◦ 210◦ 5π ,2 π 180◦ 7π ³p π 150 (−1, 0) p ´ , 2 ³p p ´ 2 , 270◦ 3π 300◦ 5π (0, −1) ³ 11π 7π ³p ,−2 ³p p ´ 2 − , 2 x ´ p ´ − , 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f ( x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f ( x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x) xác định tập (a; b) ⊂ R Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) c) Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f ( x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hoàn có số T 6= cho với x ∈ D ta có ( x + T ) ∈ D ( x − T ) ∈ D f ( x + T ) = f ( x) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Hàm số y = sin x Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định ¯ ¯ ◦ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ¯¯ ◦ ≤ | sin x| ≤ ≤ sin2 x ≤ Hàm số y = f ( x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f ( x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin ( x + k2π) = sin x Hàm số y = sin(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = 2π | a| ³ π Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; π ´ + k2π nghịch biến ¶ 3π + k2π; + k2π với k ∈ Z khoảng 2 ¯ ¯ ◦ sin x = ⇔ x = π + k2π ¯ ¯ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ¯¯ ◦ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z π ¯ ¯ ◦ sin x = −1 ⇔ x = − + k2π µ π Đồ thị hàm số y −π − π2 π π x Hàm số y = cos x Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ( ≤ | cos x| ≤ ≤ cos2 x ≤ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f ( x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung O y làm trục đối xứng Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos( x + 2π) = cos x Hàm số y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = 2π | a| Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z ¯ ¯ ◦ ¯ ¯ Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ¯ ◦ ¯ ¯ ◦ Đồ thị hàm số cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π cos x = ⇔ x = + kπ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y −π − π2 π x π Hàm số y = tan x o π + kπ, k ∈ Z , nghĩa x 6= + kπ ⇒ hàm 2 π số y = tan [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) 6= + kπ; (k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ nπ Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hồn với chu π kì T0 = | a| ³ π ´ π Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; + kπ , k ∈ Z 2 ¯ ¯ ◦ tan x = ⇔ x = π + kπ ¯ ¯ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt ¯¯ ◦ tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ , k ∈ Z ¯ ¯ ◦ tan x = ⇔ x = kπ Đồ thị hàm số y −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x 6= kπ ⇒ hàm số y = cot [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) 6= kπ; ( k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hồn với chu π kì T0 = | a| Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ¯ ¯ ¯ ◦ ¯ ¯ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ¯¯ ◦ ¯ ¯ ◦ ¯ cot x = ⇔ x = π + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π cot x = ⇔ x = kπ Đồ thị hàm số y −π − 32π B 3π − π2 O π π x CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP { DẠNG 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: y = tan f ( x) = sin f ( x) π ; Điều kiện xác định: cos f ( x) 6= ⇔ f ( x) 6= + kπ, (k ∈ Z) cos f ( x) 2 y = cot f ( x) = cos f ( x) ; Điều kiện xác định: sin f ( x) 6= ⇔ f ( x) 6= kπ, (k ∈ Z) sin f ( x) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: , điều kiện xác định P ( x) 6= P ( x) p y = 2n P ( x), điều kiện xác định P ( x ≥ 0) y = 2p , điều kiện xác định P ( x) > n P ( x) y= Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f ( x); cos f ( x) ≤ A · B 6= ⇔ Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: ( A 6= B 6= CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x = ⇔ x = π + k 2π π + kπ tan x = ⇔ x = kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = ⇔ x = + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ sin x = ⇔ x = kπ π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π cos x = ⇔ x = k2π π cos x = ⇔ x = + kπ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = n π o π D = R \ ± + k π ; + k π; π + k 2π tan x = ⇔ x = sin x tan2 x − + r − cos x + cos x ĐS: Lời giải tan2 x − 6= cos x 6= Điều kiện xác định hàm số: − cos x ≥0 + cos x cos x 6= −1 ( ≤ − cos x ≤ − cos x Từ suy ra: ≥ 0, ∀ x ∈ R Do −1 ≤ cos x ≤ nên ⇐ + cos x ≤ + cos x ≤ π x 6= ± + kπ n π o π Vậy hàm số xác định x 6= π + kπ , nên D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π x 6= π + k2π ä p 4π2 − x2 VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = cos x n o π D = −2π ≤ x ≤ 2π; x 6= + kπ ĐS: Lời giải Điều kiện xác định hàm số: ä ( n o 4π − x ≥ − 2π ≤ x ≤ 2π π ⇔ Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x 6= + kπ π x 6= + kπ cos x 6= 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y = cos x + cos x y= sin x ĐS: D = R \ {0} S: D = R \ {k} ẵ ắ kπ π tan x + ; + k 2π y= ĐS: D = R \ sin x − 2 p cos x tan x y= + cos2 x r cos x + y= sin x + S: D = [0; +) ẵ ắ kπ ĐS: D = R \ + π n π o ĐS: D = R \ − + k2π HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y= r cos x − − sin x ĐS: D = ∅ Lời giải Điều kiện xác định: x 6= Điều kiện xác định: x ≥ ⇔ x ≥ Điều kiện xác định: sin x 6= ⇔ x 6= kπ Điều kiện xác định: cos x 6= ⇔ x 6= π + kπ ⇔ x 6= π π kπ ( cos x 6= x 6= + ⇔ Điều kiện xác định: sin x 6= x 6= π + k2π cos x + ≥ Điều kiện xác định: sin x + sin x + 6= cos x + Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≥ 0; ∀ x ∈ R sin x + π Vậy hàm số xác định x 6= − + k2π cos x − ≥ Điều kiện xác định: − sin x − sin x 6= cos x − Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên ≤ 0; ∀ x ∈ R − sin x + kπ Vậy tập xác định hàm số là: ∅ ä BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: p π2 − x y= sin x y= ẵ ắ kπ ĐS: D = −π ≤ x ≤ π; x 6= ẵ ắ k S: D = − ≤ x ≤ ; x 6= + 2 p π2 − x2 + tan x ³ π´ tan x − r ³ π´ − sin x − ³ π´ tan x − ³ 4π´ y= − cos x + ¾ 3π k π 5π ĐS: D = R \ + ; + k 8 ẵ ẵ ắ π ĐS: D = R \ + k π; − + k 2π Lời giải Điều kiện xác định: ( −π ≤ x ≤ π ⇔ x 6= kπ sin x 6= π2 − x ≥ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 10 π π − ≤x≤ π − 4x ≥ 2 Điều kiện xác định: ⇔ k π π cos x 6= x 6= + ³ ³ ´ ´ π π 3π kπ 6= 6= + cos x − cos x − x 6= 4 ³ ³ Điều kiện xác định: ⇔ ⇔ π´ π´ π − sin x − > − sin x − 6= x 6= + k2π 8 ³ π´ 3π 6= cos x − x 6= + kπ ³ π´ Điều kiện xác định: ⇔ − cos x + x 6= − π + k2π 6= 3 ( 2 ä BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y= r + sin x cos x + ĐS: D = R \ {π + k2π} y= r − sin x + cos x ĐS: D = R \ {π + k2π} y= cos x + tan x − sin x ĐS: D = R \ tan x y= p sin½x + ¾ π kπ π D = R\ + ; − + k2π 2 nπ + kπ o cot x y= p − cos2 x p x y= sin π x y= x2 + x cos x ½ kπ ĐS: D = R \ ¾ ĐS: D = [0; +∞) \ Z ĐS: D = R \ nπ + k π; o ĐS: BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y= + tan ³π −x cos x − ´ n π o ĐS: D = R \ − + kπ p − sin x y= cos x + ĐS: D = R \ {π + k2π} y= y= p + sin x − tan2 x − ¾ kπ ĐS: D = R \ k; ắ ẵ kπ π kπ ĐS: D = R \ − + ; + n π o ĐS: D = R \ ± + kπ ½ ¾ π kπ + ĐS: D = R \ ½ y= cos x − cos x ³ π´ · tan x y = cot x + sin x − cos2 x r ³ π´ + cos x + y = cot x + − cos x ³π ´ + cot + x ³ π´ y= tan x − n π o ĐS: D = R \ + k; k2 ẵ ắ k π kπ π π ĐS: D = R \ − + kπ; + ; + 12 ... x) hàm số chẵn p y = f ( x) = sin − x2 ĐS: f ( x) hàm số chẵn y = f ( x) = sin2 x + cos x ĐS: f ( x) hàm số chẵn 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... cos x2 − 16 = f ( x) Vậy f ( x) hàm số chẵn ä CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 18 BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Xét tính chẵn lẻ hàm số sau ĐS: f ( x) hàm số lẻ y = f ( x) = tan x + cot... Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f ( x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f