Thông tin tài liệu
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Năm học: 2022-2023 DẠNG I: RÚT GỌN BIỂU THỨC Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P= x x 1 x 1 x x3 x x 1 a Tìm điều kiện xác định rút gọn P b Tìm giá trị x P = x x 1 ): x 4x 1 x 4x x 1 Câu 2: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Bài 3: (4,0 điểm) x x x 1 x2 x Cho biểu thức: P x x 1 x x 1 a b Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q Bài 4: (4,0 điểm) x , chứng tỏ < Q < P x 9 x 1 x 3 Cho A (x 0, x 4, x 9) x 5 x 6 x 3 2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = x x 1 ): x 4x 1 x 4x x 1 Câu 5: (4,0 điểm) Cho biểu thức: A ( a) Rút gọn A; b) Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị nguyên; c) Tính giá trị A với x 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) Bài 6: (4,0 điểm) 2x x 1 2x x x x x x ) 1 x 1 x x x 1 6 a) Tìm giá trị x để A b) Chứng minh A với x thoả mãn x 0, x 1, x Cho biểu thức A ( Bài 7: (4,0 điểm).Cho biểu thức : x x 8 x 2 x x : P x2 x x x x x x a) Tìm x để P có nghĩa chứng minh P b) Tìm x thoả mãn : x P Bài 8: (4,0 điểm).Cho biểu thức: x 3 x 2 9x x 9 P : 1 x9 x x 6 2 x 3 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Bài 9: (4,0 điểm) 6x 3x 3x3 3x Cho biểu thức: A 3x 3x 3x 3x Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 10: (4,0 điểm) a a : Cho biểu thức: A = 1 a 1 1 a a a a a 1 a.Rút gọn biểu thức A b.Tính giá trị biểu thức A a 2011 2010 6x 3x 3x3 3x Bài 11: (4 điểm) Cho biểu thức: A 3x 3x 3x 3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 12: (4 điểm)Cho biểu thức: xy x x 1 1 : 1 xy 1 xy A = a Rút gọn biểu thức b Cho xy x xy x xy 1 Tìm Max A x y Bài 13 Cho biểu thức : x x A 1 : x 1 x x x x x a.Rút gọn A b.Tính A biết x c.Tìm x để A > Bài 14 Cho biểu thức : P m 2 3m 9m m m 2 m 1 m 1 a.Rút gọn P b.Tìm m để P c.Tìm m N để P N Bài15 Cho biểu thức : x 1 x x 1 x x 1 P= a.Rút gọn P b.Chứng minh P Bài 16 Cho biểu thức: M= x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 2 a.Tìm điều kiện x để M có nghĩa b.Rút gọn M c.Chứng minh M D = Bài 17 Cho biểu thức : x x2 2 x 2 x x 4 2 x : x 3x x x3 a) Rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = a 1 a 1 a a a a a 1 Bài 18 Cho biểu thức : A = a.Rút gọn A b.Tính A với : a = 15 10 15 Bài 19 Cho : A= a a 1 a 9 a 5 a 6 a 3 a a.Rút gọn A b.Tìm a để A < b.Tìm a để A Z a a 7 a 2 a 2 a : a 2 a 2 a a a4 A = Bài 20 Cho : a.Rút gọn A b.So sánh : A với A Bài 21 Cho : Tính A biết : A= x x 1 x xy y x x xy y x 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = 1 1 x3 y x x y y : y x y x y xy x3 y x Bài 22 Cho : A = a.Rút gọn A b.Cho xy = 16 Tìm minA a 23: Cho biểu thức : N = ab b b ab a ab ab a, Rút gọn biểu thức N b, Tính N a = , b = c, CMR a a 1 Thì N có giá trị khơng đổi b b5 a 24: Cho biểu thức : M = ab a2 a2 a3 : 2 2 b a a b a b 2ab a, Rút gọn biểu thức M b, Tính M a = 1 b = 1 c, Tìm a, b trường hợp 25: Cho biểu thức : H = x 1 x a, Rút gọn biểu thức H b, Tính H x = a M = b 53 92 c, Tìm x H = 16 x 1 x x3 x x 1 HƯỚNG DẪN Điều kiện để P xác định rút gọn x0 x0 x 1 x 1 x 1 x 1 a P= x x 1 = x x 1 = 2 x 1 x 1 x > 0.5 x x x x x x x x x 1 0.5 0.5 x 1 x 1 x 1 x = (x-1)-2 Đặt x 1 x Với x > 1, P = b 0,5 x 1 =t 0.5 x 1 =0 0.5 ( t ), ta có : t - 2t = t( t - ) = 0, tính t1 = , t2 = 0.5 * Với t = x = x = (bị loại x > 1) * Với t = x = x - = x = 0.5 4,0 đ 0,5 đ Câu a ĐK: x 0; x ; x (2,0đ) x 1 x A=1: x x (2 x 1) x x b (1,0đ) 0,5 đ A=1- x x x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 0,5 đ A=1- x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 đ A Z Z 1 x Do Z nên x số hữu tỉ 1 x 0,25 đ Suy x số phương, x Z => x Ư(2) Do x 0; x 1; x Z x Ư(2) => x = Vậy x = A có giá trị ngun c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) x 75.(39 20 5) Vậy A a.(2,0đ) Đk : x 0; x P x x 2 x x x 1 x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 (39 20 5) x 1 x 1 x 1 x 1 2 4 dấu xảy x ( thỏa mãn) x Vậy GTNN P 4 (1,0đ).Với x 0; x Q = Xét x > (1) x x 1 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 9 x 1 x 3 ( x 3)( x 2) x 3 x 2 x (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 2) x 2x x x x x x 2 ( x 3)( x 2) ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) x 1 ( x 3)( x 2) x 3 Vậy A 0,25 0,25 Dấu khơng xảy điều kiện x Nên Q < 2.(2) Từ (1) (2) suy < Q < 0,5 đ 0,25 x 1 x 0 x x 1 x x 1 a(2,0đ) A 0,5 đ 0,5 0,25 0,5 3 b (1,0đ) P x x x c 0,5 đ 0,5 x x 1 Vậy P x x , với x 0; x 0,25 đ x 1 với (x 0, x 4, x 9) x 3 0,5 0,5 0,5 0,5 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: x 1 x 2 x 3 x 3 x x (t / m) 1 Vậy A = x = A 0,5 1,0 0,5 4,0 đ 0,5 đ Câu a ĐK: x 0; x ; x (2,0đ) x x 1 A=1: x x (2 x 1) x x 0,5 đ A=1- x x x (2 x 1) (2 x 1)(2 x 1) x 1 0,5 đ A=1- x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 đ A Z Z 1 x b (1,0đ) Z nên x số hữu tỉ 1 x Suy x số phương, x Z => x Ư(2) Do Do x 0; x 1; x Z x Ư(2) => x = Vậy x = A có giá trị nguyên 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ c Với x = 7 49(5 2)(3 2 )(3 2 ) (1,0đ) x = - 49(5 2)(5 2) 75 (39 20 2) x 75.(39 20 5) Vậy A 0,5 đ (39 20 5) 0,5 đ Câu 6.a) x (2 x 1)( x 1) x ( x 1) 2x x 2x x x x x x (2 x 1)( x 1) A 1 ( ) 1 (1 x ) x 1 x 1 x x x 1 (1 x )( x x 1) x x ( x 1) x x 1 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Ta có A 6 6 x 1 x x Từ giải x 3; x 5 x x 1 x 1 x x ( x 1) x x 1 Do x nên x ( x 1)2 Vậy A ( x ) (8 x 8) ( x 2) ( x x 3) ( x 2) Câu a) Điều kiện x>0 Ta có : P : x ( x 2) x ( x 2) b)Ta có: A P= x 4 P-1= x2 x 5 x 4 x2 x 5 1 ( x 1) ( x 1) Vậy P 0 b) ( x 1).P x 1 x x 3x + x -1 = 32 3 3 x (loại) x x (thỏa Câu 8.a) Điều kiện để P có nghĩa: (x 9) (4 x) P (2 74 3 (thoã mãn điều kiện x>0) x x Ta x x x x có: 9x x )( x 3) ( x 2)( x 3) x( x 3) ( x 3)( x 3) P (x 9) (4 x) (9 x) (2 x)( x 3) x 3 x P 4x (2 x) x 2 x x Z b).Theo câu a ta có: P x Do để P Z ta cần x x x x 1 x (lo¹i) x = 1.Vậy với x = P có giá trị nguyên Bài 9: a)Ta có: 3x 3x 3x 1 0;1 3x 0, x , nên điều kiện để A có nghĩa A A A 3x 8 3x x x 0, x x x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 2 3x 3x 3x x 3x 3x A 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x x x 3x 6x 4 A 3x 3x 3x 3x 2 (0 x ) 3x 3x 3x b).Với x số ngun khơng âm, để A số ngun x 3 x 3x 1 x (vì x x ) Khi đó: A 3x 3x a a : Bài 10: Điều kiện: a A = 1 a 1 1 a a a a a 1 a a a a 1 a ( a 1) : : a 1 a 1 (1 a )( a 1) a (a 1)(1 a) ( a 1) (1 a )( a 1) 1 a (a 1)( a 1) Bài11.a) Ta có: 3x 3x 3x 1 0;1 3x 0, x , nên điều kiện để A có nghĩa 3x 8 3x x x 0, x x x 3x 6x 3x A x x 23 x x x x 3x 3x 3x 3x 3x A 3x 3x 3x A b) A 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 3x 2 3x 2 3x 3x A 3x 3x 3x Bài 12: a) Đk : x 0; y 0; x.y Quy đồng rút gọn ta được: A = x y 6 A x y x 3 x x (vì x 3x 3x Max A = 1 3 x y x y *****@***** Bài 13.a - Cần rõ ĐKXĐ A : x 0; x 1 - Rút gọn A phần ta kết : A x 42 x ).Khi đó: A x y Hướng dẫn b.Biến đổi : (0 x ) 3x Với x , để A số nguyên 3x 1 b) x x 1 x 1 1 - Thay vào rút gọn A ta có : A EAB = EBD (gúc nội tiếp gúc tạo tia tiếp tuyến…) O P EB ED EB = EA.ED (1) D C EA EB * EPD = PCA (s.l.t) ; EAP = PCA (gúc nội tiếp gúc tạo tia tiếp tuyến…) A EPD = EAP ; PEA chung ∆EPD ~ ∆EAP (g.g) EP ED EP2 = EA.ED (2)Từ & EB2 = EP2 EB = EP AE trung tuyến EA EP ∆ PAB Bài 47: Cho ∆ABC vuông A Lấy cạnh AC điểm D Dựng CE vng góc BD a Chứng minh ∆ABD ~ ∆ECD b Chứng minh tứ giỏc ABCE tứ giỏc nội tiếp c Chứng minh FD vng góc BC, F giao điểm BA CE d Cho ABC = 600; BC = 2a; AD = a Tính AC; đường cao AH ∆ABC bán kính C đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ADEF HD: a) ∆ABD ~ ∆ECD (g.g) b) tứ giỏc ABCE tứ giỏc nội tiếp (Quĩ tớch cung chứa gúcE900) K c) Chứng minh D trực tõm ∆ CBF D 2a =a d) AC = BC.sin ABC = 2a.sin60 = 2a H a AB = BC.cos ABC = 2a.cos600 = 2a 600 =a B A F ; ∆ FKB vuụng K , cú ABC = 600 BFK = 300 AH = AB.sin ABC = a.sin600 = a AD = FD.sin BFK AD = FD.sin30 a = FD.0,5 FD = a : 0,5 = 2a Bài 48: Cho ∆ABC vuụng ( ABC = 900; BC > BA) nội tiếp đường trũn đưũng kớnh AC Kẻ dõy cung BD vuụng gúc AC H giao điểm AC BD Trên HC lấy điểm E cho E đối xứng với A qua H Đường trũn đường kính EC cắt BC I (I C) B CI CE a Chứng minh CB CA b Chứng minh D; E; I thẳng hàng c Chứng minh HI tiếp tuyến đường trũn đường kính EC H HD; a) AB // EI (cựng BC) A CI CE (đ/lí Ta-lét) CB CA b) chứng minh ABED hỡnh thoi DE // AB mà EI //AB D, E, I nằm đường thẳng qua E // AB D, E, I thẳng hàng D I O E O’ C c) EIO' = IEO' ( vỡ ∆ EO’I cõn ; O’I = O’E = R(O’)) IEO' = HED (đ/đ) ; ∆BID vuông ; IH trung tuyến ∆HID cõn HIE = HDI Mà HDI + HED = 900 đpcm Bài 49: Cho đường trũn (O; R) đường thẳng (d) cố định không cắt (O; R) Hạ OH (d) (H d) M điểm thay đổi (d) (M H) Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ (P, Q tiếp điểm) với (O; R) Dây cung PQ cắt OH I; cắt OM K a Chứng minh điểm O, Q, H, M, P nằm đường trũn P b Chứng minh IH.IO = IQ.IP c Giả sử PMQ = 60 Tớnh tỉ số diện tớch tam giỏc: ∆MPQvà ∆OPQ HD: a) điểm O, Q, H, M, P nằm đường trũn K O M (Dựa vào quĩ tớch cung chứa gúc 900) I IO IQ b) ∆ OIP ~ ∆ QIH (g.g) IH.IO = IQ.IP IP IH Q PQ PQ 3 c) ∆v MKQ cú : MK = KQ.tg MQK = KQ.tg600 = H 2 ∆v OKQ cú: OK = KQ.tg OQK = KQ.tg300 = KQ SMPQ SOPQ = PQ PQ 3 PQ PQ : =3 Bài 50: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB=2R Trên tia đối tia AB lấy điểm E (E A) Từ E, A, B kẻ tiếp tuyến với nửa đường trũn Tiếp tuyến kẻ từ E cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B theo thứ tự C D a Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đường trũn Chứng minh tứ giỏc ACMO nội tiếp đường trũn b Chứng minh ∆EAC ~ ∆EBD, từ suy DM CM DE CE c Gọi N giao điểm AD BC Chứng minh MN // BD d Chứng minh: EA2 = EC.EM – EA.AO e Đặt AOC = ỏ Tớnh theo R ỏ đoạn AC BD C Chứng tỏ tớch AC.BD phụ thuộc giỏ trị R, khụng phụ thuộc vào ỏ HD:a) ACMO nội tiếp (Dựa vào quĩ tớch cung chứa gúc 900) A E b) AC // BD (cựng EB) ∆EAC ~ ∆EBD D M N O B CE AC CE CM (1)mà AC = CM ; BD = MD (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) (2) DE BD DE DM DM CM DE CE NC AC NC CM MN // BD (3) Từ 1; 2; c) AC // BD (cmt) ∆NAC ~ ∆NBD NB BD NB DM d) O1 = O2 ; O = O4 mà O1 + O2 + O + O4 = 1800 O2 + O = 900 ; O4 + D1 = 900 (…) OB R D1 = O = O1 = ỏ Vậy: DB = = ; Lại cú: AC = OA.tgỏ = R.tgỏ AC.DB = R.tgỏ tg tg R tg AC.DB = R2 (Đpcm) Bài 51: Cho ∆ABC có góc nhọn Gọi H giao điểm đường cao AA1; BB1; CC1 a Chứng minh tứ giỏc HA1BC1 nội tiếp đường trũn Xỏc định tâm I đường trũn b Chứng minh A1A phõn giỏc B1A1C1 c Gọi J trung điểm AC Chứng minh IJ trung trực A1A C1 d Trên đoạn HC lấy điểm M cho MH MC So sỏnh diện tớch tam giỏc: ∆HAC ∆HJM HD: a) HA1BC1 nội tiếp (quĩ tớch cung chứa gúc 900) Tâm I trung điểm BH b) C/m: HA1C1 = HBC1 ; HA1B1 = HCB1 ; HBC1 = HCB1 HA1C1 = HA1B1 đpcm c) IA1 = IC1= R(I) ; JA = JA1= AC/2 … B ỊJ trung trực A1C1 B1 C1 J H M I 12 K A1 C 1 HM.JK ; SHAC = HC.AC1 2 HC.AC1 AC1 MH HC HM+MC MC 1 1 ; (JK// AC1 : S HJM = mà HM.JK MC HM HM HM JK d) S HJM = SHAC SHAC : S HJM = Bài 52: Cho điểm C cố định đường thẳng xy Dựng nửa đường thẳng Cz vuông góc với xy lấy điểm cố định A, B (A C B) M điểm di động xy Đường vng góc với AM A với BM B cắt P a Chứng minh tứ giỏc MABP nội tiếp tâm O đường trũn nằm trờn đường thẳng cố định qua điểm L AB b Kẻ PI Cz Chứng minh I điểm cố định c BM AP cắt H; BP AM cắt K Chứng minh KH PM d Cho N trung điểm KH Chứng minh điểm N; L; O thẳng hàng HD: a) MABP nội tiếp đ/trũn đ/k MP.(quĩ tớch cung chứa gúc 900…)z P OA = OB = R(O) O thuộc đường trung trực AB qua L I trung điểm AB… B b) IP // CM ( Cz) MPIC hỡnh thang IL = LC không đổi H vỡ A,B,C cố định I cố định O N c) PA KM ; PK MB H trực tõm ∆ PKM L KH PM K d) AHBK nội tiếp đ/trũn đ/k KH (quĩ tớch cung chứa gúc…) A N tâm đ/trũn ngoại tiếp … NE = NA = R(N) N thuộc đường trung trực AB x O,L,N thẳng hàng M y C Bài 53: Cho nửa đường trũn (O) đường kính AB K điểm cung AB Trên cung AB lấy điểm M (khác K; B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ dây BP song song với KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM a So sỏnh hai tam giỏc: ∆AKN ∆BKM b Chứng minh: ∆KMN vuụng cõn c Tứ giỏc ANKP hỡnh gỡ? Vỡ sao? HD: a) ∆ AKN = ∆ BKM(c.g.c) b) HS tự c/m ∆ KMN vuụng cõn c) ∆ KMN vuụng KN KM mà KM // BP KN BP P APB = 900 (gúc nội tiếp…) AP BP KN // AP ( BP) KM // BP KMN PAT 450 U K // N PKM Mà PAM PKU 450 O A PKN 450 ; KNM 450 PK // AN Vậy ANPK hỡnh bỡnh hành M T = B Bài 54: Cho đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, cú hai đường kính AB, CD vng góc với M điểm tuỳ ý thuộc cung nhỏ AC Nối MB, cắt CD N a Chứng minh: tia MD phõn giỏc gúc AMB b Chứng minh:∆BOM ~ ∆BNA Chứng minh: BM.BN không đổi c Chứng minh: tứ giác ONMA nội tiếp Gọi I tâm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ONMA, I di động nào? C HD: a) AMD DMB 450 (chắn cung ¼ đ/trũn) MD tia phõn giỏc AMB M F b) ∆ OMB cõn vỡ OM = OB = R(O) N I ∆ NAB cân có NO vừa đ/cao vừa đường trung tuyến B A ∆ OMB ~ ∆ NAB BM BO BM.BN = BO.BA = 2R2 không đổi BA BN c) ONMA nội tiếp đ/trũn đ/k AN Gọi I tâm đ/trũn ngoại tiếp I cách A O cố định I thuộc đường trung trực OA Gọi E F trung điểm AO; AC Vỡ M chạy trờn cung nhỏ AC nờn tập hợp I đoạn EF E O D Bài 55: Cho ∆ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường trũn (O) Gọi D trung điểm AC; tia BD cắt tiếp tuyến A với đường tròn (O) điểm E; EC cắt (O) F a Chứng minh: BC song song với tiếp tuyến đường trũn (O) A b Tứ giác ABCE hì nh gì? Tại sao? c Gọi I trung điểm CF G giao điểm tia BC; OI So sỏnh BGO với BAC A E d Cho biết DF // BC Tớnh cos ABC HD:a) Gọi H trung điểm BC AH BC (∆ ABC cõn A) lập luận AH AE BC // AE (1) D M b) ∆ ADE = ∆ CDB (g.c.g) AE = BC (2) N F Từ ABCE hỡnh bỡnh hành O _ I c) Theo c.m.t AB // CF GO AB _ BGO = 900 – ABC = BAH = BAC C d) Tia FD cắt AB taijM, cắt (O) N.; DF // BC AH làB trục H G đối xứng cuarBC đ/trũn (O) nờn F, D thứ tự đối xứng với N, M qua AH 1 BC = ND = BH ; ∆ NDA ~ ∆ CDF (g.g) DF.DN = DA.DC 2 2 BH 2BH2 = AC2 BH = AC cos ABC = = 4 AB FD = MN = MD = Bài 56: Cho đường trũn (O) (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO; AO’ cắt đường trũn (O) điểm C; D cắt (O’) E;EF a Chứng minh: C; B; F thẳng hàng D b Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp A c Chứng minh: A tâm đường trũn nội tiếp ∆BDE d Tỡm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) O’ HD: a) CBA = 900 = FBA (góc nội tiếp chắn nửa đ/trũn) O CBA + FBA = 1800 C, B, F thẳng hàng F b) CDF = 900 = CEF CDEF nội tiếp (quĩ tớch …) C B c) CDEF nội tiếp ADE = ECB (cựng chắn cung EF) Xột (O) cú: ADB = ECB (cựng chắn cung AB) ADE = ADB DA tia phõn giỏc BDE Tương tự EA tia phân giác DEB Vậy A tâm đường trũn nội tiếp ∆BDE d) ODEO’ nội tiếp Thực : DOA = DCA ; EO'A = EFA mà DCA = EFA (gúc nội tiếp chắn cung DE) DOA = EO'A ; mặt khỏc: DAO = EAO' (đ/đ) ODO' = O'EO ODEO’ nội tiếp Nếu DE tiếp xỳc với (O) (O’) thỡ ODEO’ hỡnh chữ nhật AO = AO’ = AB Đảo lại : AO = AO’ = AB kết luận DE tiếp tuyến chung (O) (O’) Kết luận : Điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) (O’) : AO = AO’ = AB Bài 57: Cho đường trũn (O; R) cú đường kính cố định AB CD a) Chứng minh: ACBD hỡnh vuụng b) Lấy điểm E di chuyển cung nhỏ BC (E B; E C) Trên tia đối tia EA lấy đoạn EM = EB Chứng tỏ: ED tia phân giác AEB ED // MB c) Suy CE đường trung trực BM M di chuyển đường trũn mà ta phải xỏc định tâm bán kính theo R C HD: a) AB CD ; OA = OB = OC = OD = R(O) M ACBD hỡnh vuụng E // 1 AOD = 450 ; DEB = DOB = 450 b) AED = 2 = AED = DEB ED tia phõn giỏc AEB B A O 0 AED = 45 ; EMB = 45 (∆ EMB vuụng cõn E) AED = EMB (2 góc đồng vị) ED // MB c) ∆ EMB vuụng cõn E CE DE ; ED // BM D CE BM CE đường trung trực BM d) Vỡ CE đường trung trực BM nờn CM = CB = R Vậy M chạy đường trũn (C ; R’ = R ) Bài 58: Cho ∆ABC đều, đường cao AH Qua A vẽ đường thẳng phía ngồi tam giác, tạo với cạnh AC góc 400 Đường thẳng cắt cạnh BC kéo dài D Đường trũn tõm O đường kính CD cắt AD E Đường thẳng vng góc với CD O cắt AD M a Chứng minh: AHCE nội tiếp Xác định tâm I đường trũn b Chứng minh: CA = CM c Đường thẳng HE cắt đường trũn tõm O K, đường thẳng HI cắt đường trũn tõm I N cắt đường thẳng DK P Chứng minh: Tứ giác NPKE nội tiếp Bài 59: BC dây cung đường trũn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm ∆ABC Các đường cao AD; BE; CF đồng quy H a Chứng minh:∆AEF ~ ∆ABC b Gọi A’ trung điểm BC Chứng minh: AH = 2.A’O c Gọi A1 trung điểm EF Chứng minh: R.AA1 = AA’.OA’ d Chứng minh: R.(EF + FD + DE) = 2.SABC Suy vị trí điểm A để tổng (EF + FD + DE) đạt GTLN Bài 60: Cho đường trũn tõm (O; R) cú AB đường kính cố định cũn CD đường kính thay đổi Gọi (∆) tiếp tuyến với đường trũn B AD, AC cắt (∆) Q P a Chứng minh: Tứ giác CPQD nội tiếp b Chứng minh: Trung tuyến AI ∆AQP vuụng gúc với DC c Tỡm tập hợp cỏc tõm E đường trũn ngoại tiếp ∆CPD Bài 61: Cho ∆ABC cõn (AB = AC; A < 900), cung trũn BC nằm bờn ∆ABC tiếp xỳc với AB, AC B C Trờn cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi Q giao điểm MB, IK a Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b Chứng minh: tia đối tia MI phân giác HMK c Chứng minh: Tứ giác MPIQ nội tiếp PQ // BC Bài 62: Cho nửa đường trũn (O), đường kính AB, C trung điểm cung AB; N trung điểm BC Đường thẳng AN cắt nửa đường trũn (O) M Hạ CI AM C (I AM) a Chứng minh: Tứ giác CIOA nội tiếp đường trũn b Chứng minh: Tứ giác BMCI hình bình hành M = c Chứng minh: MOI CAI N d Chứng minh: MA = 3.MB I = 0 HD: a) COA 90 (…) ; CIA 90 (…) Tứ giỏc CIOA nội tiếp (quĩ tớch cung chứa gúc 900) O B A b) MB // CI ( BM) (1) ∆ CIN = ∆ BMN (g.c.g) N1 N2 (đ/đ) ; NC = NB ; NCI NBM (slt) CI = BM (2) Từ BMCI hỡnh bỡnh hành c) ∆ CIM vuụng cõn ( CIA 900 ; CMI COA 450 ) MI = CI ; ∆ IOM = ∆ IOC vỡ OI chung ; IC = IM (c.m.t) ; OC = OM = R(O) MOI IOC mà: IOC CAI MOI CAI d) ∆ ACN vuụng cú : AC = R ; NC = R AC (với R = AO) 2 R2 R 10 NC2 R 10 MI MN = Từ : AN = AC +CN 2R + R ; NI = NA 10 2 2 2 3R 10 R 10 R 10 R R 2R R 10 MB = NC2 MN AM = AN + MN = + = 10 10 10 AM = BM 2 Bài 63: Cho ∆ABC cú A = 600 nội tiếp đường trũn (O), đường cao AH cắt đường trũn D, đường cao BK cắt AH E a Chứng minh: BKH BCD b Tính BEC c Biết cạnh BC cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC Hỏi tâm I đườngtrũn nội tiếp ∆ABC chuyển động đường nào? Nêu cách dựng đường (chỉ nêu cách dựng) cách xác định rừ nú (giới hạn đường đó) d Chứng minh: ∆IOE cõn I A HD: a) ABHK nội tiếp BKH BAH ; BCD BAH ( cựng chắn cung BD) BCD BKH b) CE cắt AB F ; K 0 0 AFEK nội tiếp FEK 180 A 180 60 120 BEC = 120 F E I B C 1200 1800 1200 c) BIC 1800 2 Vậy I chuyển động cung chứa góc 1200 dựng đoạn BC, cung B H nằm đường trũn tõm (O) C IO DS ; đ/trũn (S) cú ISO = sđ d) Trong đ/trũn (O) cú DAS = sđ D S 2 DS IO vỡ DAS = ISO (so le trong) nờn: = mà DS = IE IO = IE đpcm 2 Bài 64: Cho hỡnh vuụng ABCD, phớa hỡnh vuụng dựng cung phần tư đường trũn tõm B, bỏn kớnh AB nửa đường trũn đường kính AB Lấy điểm P cung AC, vẽ PK AD PH AB Nối PA, cắt nửa đường trũn đường kính AB I PB cắt nửa đường trũn C D M Chứng minh rằng: a I trung điểm AP b Các đường PH, BI AM đồng quy c PM = PK = AH d Tứ giỏc APMH hỡnh thang cõn P K HD: a) ∆ ABP cõn B (AB = PB = R(B)) mà AIB 900 (gúc nội tiếp …) M BI AP BI đường cao đường trung tuyến I trung điểm AP I b) HS tự c/m c) ∆ ABP cõn B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK hỡnh chữ nhật AH = KP PM = PK = AH d) PMAH nằm trờn đ/trũn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) B A H PM = AH PA // MH Vậy APMH hỡnh thang cõn Bài 65: Cho đường trũn tõm O, đường kính AB = 2R Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M điểm thay đổi Bx; AM cắt (O) N Gọi I trung điểm AN a Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp đường trũn b Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB c Tỡm vị trớ điểm M tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN HD: a) BOIM nội tiếp vỡ OIM OBM 900 A b) INB OBM 90 ; NIB BOM (2 gúc nội tiếp cựng chắn cung BM) ∆ IBN ~ ∆OMB c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn IH lớn vỡ AO = R(O) B H O I Khi M chạy trờn tia Bx thỡ I chạy trờn nửa đường trũn đ/k AO Do SAIO lớn Khi IH bán kính, ∆ AIH vuông cân, tức HAI 450 Vây M cách B đoạn BM = AB = 2R(O) thỡ SAIO lớn N M Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp đường trũn (O; R) Gọi AI đường kính cố định D điểm di động cung nhỏ AC (D A D C) A a Tính cạnh ∆ABC theo R chứng tỏ AI tia phõn giỏc BAC D b Trên tia DB lấy đoạn DE = DC Chứng tỏ ∆CDE DI CE c Suy E di động đường trũn mà ta phải xỏc định tâm giới hạn = d Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D điểm chớnh cung nhỏ AC = E O HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp đường trũn (O; R) HS tự c/m : AB = AC = BC = R Trong đ/trũn (O; R) cú: AB = AC Tâm O cách cạnh AB AC C B AO hay AI tia phõn giỏc BAC b) Ta cú : DE = DC (gt) ∆ DEC cõn ; BDC = BAC = 600 (cựng chắn BC ) I ∆CDE I điểm BC IB = IC BDI = IDC DI tia phõn giỏc BDC ∆CDE có DI tia phân giác nên đường cao DI CE c) ∆CDE có DI đường cao đường trung trực CE IE = IC mà I C cố định IC không đổi E di động đ/trũn cố định tâm I, bán kính = IC Giới hạn : I AC (cung nhỏ ) D → C thỡ E → C ; D → A thỡ E → B E động BC nhỏ đ/t (I; R = IC) chứa ∆ ABC Bài 67: (6,0 điểm) 1) Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi (P), (Q) theo thứ tự đường tròn nội tiếp hai tam giác AHB AHC Kẻ tiếp tuyến chung (khác BC) (P) (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N Chứng minh a HPQ ABC b KP // AB, KQ // AC c Tứ giác BMNC nội tiếp 2) Cho a, b, clà độ dài cạnh ABC Gọi m, n, k độ dài đường phân giác 1 1 1 ba góc ABC Chứng minh rằng: + + > + + m n k a b c Giải 1) a AHB AHC => HP AB HQ AC CHA mặt khác P Q tâm đường tròn nội tiếp AHB (1) lại có BAC = PHQ = 900 (2) Từ (1) (2) suy HPQ ABC b Theo câu a ta có PQH = ACB (3) PKQ = PHQ = 90 => tứ giác PKQH nội tiếp => PKH = PQH (4) Từ (3) (4) => PKH = ACB lại có BAH = ACB=> PKH = BAH => PK // AB chứng minh tương tự ta có KQ //AC c Ta có ACB = PKH = MKP = AMK => BMN + NCB = BMN + AMK = 1800 => tứ giác BMNC nội tiếp M A N K M A Q P B H C B D 2) Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB M A1 = M1, A2 = C2, Mà A1 = A2, (AD tia phân giác góc A ) Nên M1 = C1, AM = AC Xét AMC : MC < AM + AC = 2AM AB AD AB = = Xét BMC ta có : AD // MC MC BM AB + AM AB MC AB 2AC 1 1 Nên AD = < > ( + ) AB + AM AB + AC AD AC AD 1 1 > ( + ) m b c 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự : > ( + ) ; > ( + ) Vậy + + > + + n a c k a b m n k a b c 1) a AHB CHA mặt khác P Q tâm đường tròn nội tiếp AHB AHC => HP AB HQ AC (1) lại có BAC = PHQ = 900 (2) Từ (1) (2) suy HPQ ABC (3) b Theo câu a ta có PQH = ACB PKQ = PHQ = 90 => tứ giác PKQH nội tiếp => PKH = PQH (4) Từ (3) (4) => PKH = ACB lại có BAH = ACB=> PKH = BAH => PK // AB chứng minh tương tự ta có KQ //AC C c Ta có ACB = PKH = MKP = AMK => BMN + NCB = BMN + AMK = 1800 => tứ giác BMNC nội tiếp A N K M Q P B C H M 2) Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB M A1 = M1, A2 = C2, Mà A1 = A2, (AD tia phân giác góc A ) Nên M1 = C1, AM = AC Xét AMC : MC < AM + AC = 2AM AB AD AB = = Xét BMC ta có : AD // MC MC BM AB + AM AB MC AB 2AC 1 1 Nên AD = < > ( + ) AB + AM AB + AC AD AC AD 1 1 > ( + ) m b c 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự : > ( + ) ; > ( + ) Vậy + + > + + k a b m n k a b c n a c Bài 68: (6,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường trịn tâm O Tia phân giác góc A cắt (O) D Một đường tròn (L) thay đổi qua A, D cắt AB, AC điểm thứ hai M, N a) CMR: BM = CN b) Tìm quỹ tích trung điểm K MN c) Tìm vị trí (L) cho MN ngắn Giải:4.a) Xét BMD CND: A B + BD=CD (vì AD phân giác góc A) + ACD sđ cung AD 1 sđ cung AB + sđ cung BD = sđ cung AD 2 ACD = MBD Trong (L), A1 = A2 DM = DN BMD = CND BM = CN MBD A1+D1= b) Gọi I trung điểm BC I cố định Vẽ hình bình hành: IBMM’, ICNN’ MM’NN’ hình bình hành K trung điểm M’N’ Vì IM’ = BM = CN = IN’ IM’=IN’ IK phân giác M’IN’ IM ' // MB IM’, IN’ cố định Vậy: Quỹ tích K đờng phân giác M’IN’ IN ' // CN Do D C c) DMN cântại D có MDN = 1800 - BAC = Const MN ngắn DM nhỏ DM AB AD đờng kính (L) a Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID Kẻ AH BD; CK BD 1 AH BI SCID CK DI S S BI BI 2 (1) (2) Ta có: 1 S DI S DI S AID AH DI S BIC CK BI 2 S1 S3 S1.S2 S3 S (3) Từ (1) (2) suy ra: S4 S2 B S AIB A Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 S1 S2 S3 S4 (4) Từ (3) (4) ta suy ra: S S1 S2 S1.S2 ( S1 S2 )2 S S1 S2 (đpcm) b Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét: * Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S = S S S1 S2 * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD Suy ra: S = S Dấu sảy khi: S1 = S = S = S = S1 H I S3 S4 C K S2 D S S1 S2 S ABCD hình bình hành Bài 69: (2,0 điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường trịn tâm O qua B C.Qua A vẽ tiếp tuyến AE,AF với đường tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF a.Chứng minh điểm E, F nằm đường tròn cố định đường tròn (O) thay đổi b.Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) K Chứng minh :EK song song với AB c.Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đường thẳng cố định đường tròn(O) thay đổi Bài 70: (2,0 điểm) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tiếp điểm (O) cạnh BC, CA, AB D, E, F Kẻ BB1 AO , AA1 BO Chứng minh điểm D, E, A, B thẳng hàng Giải:69 a) ABF AFC đồng dạng (g_g) Ta có : AB/ AF=AF/AC AF2=AB.AC AF= AB AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB AC khơng đổi Vậy E,F thuộc đường trịn (A; AB AC ) cố định b) Tứ giác AOIF nội tiếp đường trịn Ta có : AIF = AOF (1) 1 EOF EKF = EOF 2 EKF = AOF (2).Từ(1) và(2) AIF = EKF AOF = Do : EK vàAB song song vơí c) Cm A,N,O thẳng hàng AO EF ; Gọi H giao điểm BC EF Ta có : ANH AIO đồng dạng nên AH AN AO AI Suy :AH.AI =AN.AO Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC Do : AI.AH =AB.AC AH AB AC AI không đổi Vậy H cố định Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đường trịn nên đường trịn ngoại tiếp OIN ln qua I H ;Do tâm đương f trịn nằm đường trung trực IH 70 Theo ta có: AA1 B ABˆ1 B =900 Suy tứ giác AA1 B1 B nôi tiép đường tròn BA1 B1 ABˆ B1 chắn cung BB1 AE1O AAˆ1O 1V tứ giác AEA1O nội tiếp Mặt khác: EA1 A EOˆ A1 chắn cung AE) BAB1 B1 Aˆ E OAˆ E EOˆ A 90 E , A1 , B1 mà thẳng hàng (*) Tương tự: ta có tứ giác AA1B1B nội tiếp Theo ta có: AA1 B ABˆ1 B =900 Suy tứ giác AA1 B1 B nơi tiép đường trịn A1 B1 A A1 Bˆ A chắn cung AA1 OD1 B OBˆ B 1V tứ giác OB1DB nội tiếp Ta lại có: DB1 B DOˆ B (cùng chắn cung BD) DOB DBˆ O DBˆ O DOˆ B 90 mà DBˆ O OBˆ A Tính chất tiếp tuyến cắt Vậy DB1 B BBˆ1 A ABˆ1 A1 180 điểm D, B1, A1 thẳng hàng (**) Từ (*) , (**) suy A1, D, B1, E thẳng hàng Bài 71: Bài 5: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn Từ điểm M di động đường thẳng d OA A, vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Dây BC cắt OM OA H K a) Chứng minh OA.OK khơng đổi, từ suy BC qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định c) Cho biết OA = 2R, xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tìm giá trị nhỏ Xét BOM vuông B nên : OB2 = OH.OM (2) Từ (1) (2) suy A OK = R (không đổi) Giải :a) Dễ thấy OM BCHOK AOM => OH OK => OA.OK = OH.OM (1) OA OM => OK R2 (khơng đổi) K cố định OA OA b)Ta có OHK = 900 => H nằm đường trịn đường kính OK cố định c) Tứ giác MBOC có hai đường chéo vng góc nên SMBOC = OM.BC => S nhỏ OM nhỏ BC nhỏ + OM nhỏ M trùng với A + BC nhỏ BC OK H trùng với K M trùng với A R2 R Nếu OA = 2R thì: OK ; 2R Vậy SMBOC = 2R R R BC = BK = R R2 R Bài 72: (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ) Điểm M thuộc cung nhỏ BC gọi I,K,H theo thứ tự hình chiếu vng góc M AB; AC; BC Gọi P, Q trung điểm AB; HK a) Chứng minh MQ PQ b) Chứng minh : AB AC BC MI MK MH c) Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm M cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn Giải: a) Tứ giác MCKH nội tiếp BCM = HKM = BAM; HMK = BCA = BMA BMA HMK Mặt khác MP, MQ trung tuyến BMA, HMK MP MB BMH = PMQ MQ MH BMH PMQ Mặt khác BHM = 900 PQM = 900 PQ MQ b) Giả sử AC AB ta có: AB AC AI BI AK KC AI AK MI MK MI MK MI MK ( Do MBI = MCK cotg MBI = cotgMCK (1) BI KC ) MI MK AI CH ( 2) MI MH AK BH (3) A2 = B1 nªn cotgA2 = cotgB1 MK MH AB AC CH BH BC c) Từ (1),(2) (3) suy MI MK MH MH MH Do C1 = A1 nªn cotgA1 = cotgC1 Gọi D giao điểm MA với BD ta có : MBD MAC BMD AMC, Tương tự ta có : MC CD MA AB Do DBM CAM MB MC 1 MA MA MB BD MA AC Suy MA + MB + MC = 2MA 4R Vậy max (MA + MB + MC) = 4R AM đường kính M trung điểm cung BC Bài 73: (2,0 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có đường cao: AA1, BB1, CC1 đồng qui H Chứng minh rằng: HA HB HC 6 HA1 HB1 HC1 Dấu "=" xảy nào? A Giải: Do tam giác ABC nhọn, nên H nằm tam giác * Đặt S = SABC; S1 = SHBC; S2 = SHAC; S3 = SHAB B1 C1 H B A1 AA1.BC S AA HA S HC S HB 1 T : , 1 Ta có: S2 HB1 S3 HC1 S1 HA BC HA1 HA1 1 1 HA HB HC 1 Suy ra: S ( S1 S2 S3 ) HA1 HB1 HC1 S1 S2 S3 S1 S2 S3 Theo bất đẳng thức Côsy: 1 HA HB HC ( S1 S2 S3 ) 93 9 S S S HA HB HC 1 Dấu "=" xảy tam giỏc ABC C ... thức có nghĩa khi: x x b.Rút gọn : M = xx c.Ta có : M= xx = 1 x 2 Bài 17 a .Học sinh rút gọn phần lúc - Điều kiện : x 2; x 0; x - Rút gọn biểu thức bị chia ta có : (2... + nên (1) m + 0 Trường hợp cần biết kết BPT dạng (1), học thuộc từ “ngoài khác” dịch sau : ngồi khoảng hai nghiệm vế trái dấu với hệ số a, khoảng hai
Ngày đăng: 29/01/2023, 13:26
Xem thêm: Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9
