Tuyển tập đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán có đáp án

ĐÀO XUÂN LUYỆN – HUỲNH DUY THỦY – NGUYỄN CÔNG NHÃ NGUYỄN DUY CHIẾN - TRẦN VĂN CHỚ – CAO HOÀNG HẠ – TRẦN ĐỨC AN Tuyển tập đề thi TUYỂN SINH VÀO 10 Có đáp án lời giải chi tiết MƠN TỐN Từ năm 2000 đến năm 2020 TỈNH BÌNH ĐỊNH Tài liệu nội gặp mặt 2020 Tổ chức thực TEAM BÌNH ĐỊNH Tốn học Bắc Trung Nam 2020 Kết nối đam mê, chia sẻ thành cơng! TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH NĂM HỌC 1994-1995 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thức Bài 1: (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức M  a  6a    a  3 a3 2) Với giá trị k phương trình x   k   x  k  3k   có nghiệm kép ( x ẩn số) Bài 2: (1,0 điểm) Chứng minh hình thang tổng cạnh bên lớn hiệu đáy nhỏ tổng đường chéo Bài 3: (1,5 điểm) a) Không vẽ đồ thị, nhận xét ba đường thẳng y  x  1; y   x y  x 1 đồng qui điểm Tìm tọa độ điểm b) Với giá trị m đường thẳng y  x  m đồng qui với hai đường thẳng y  x  y  x  Bài 4: (2,5 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 32m , ta giảm bớt chiều rộng 3m tăng chiều dài thêm 2m diện tích giảm 24m Tìm kích thước mảnh đất Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC  2a, Cˆ  45 Aˆ  60 Vẽ hai đường cao BE CF a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn mà ta xác định tâm I bán kính Định vị trí điểm E cung BC b) Chứng minh tam giác IEF tam giác c) Tính theo a đoạn BE , AB, CE , AE diện tích tam giác ABC TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 1- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TỐT NGHIỆP THCS NĂM HỌC 1994-1995 Môn thi: Toán Ngày thi: 29/05/1995 Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Đề thức I.) LÍ THUYẾT: (2,0 điểm) Học sinh chọn hai đề sau để làm Đề I Chứng minh định lí: Với số thực a Áp dụng: Tính 2    2   a2  a Đề II Phát biểu định lí góc nội tiếp đường trịn chứng minh liên hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung (chỉ xét ba trường hợp) II) CÁC BÀI TOÁN BẮT BUỘC: (8,0 điểm) Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình x    1 x   2 x  y  b) Giải hệ phương trình  x  y  Bài (2,5 điểm) Trên hệ trục tọa độ, gọi (P) đồ thị hàm số y  x (T) đồ thị hàm số y   x  a) Vẽ (P) (T) b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (T) đồ thị kiểm tra lại phương pháp đại số Bài (3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC Kẻ dây BA Gọi I điểm cung BA K giao điểm OI BA a) Chứng minh: OI song song với CA b) Từ A kẻ đường thẳng song song với CI Đường thẳng cắt đường thẳng BI H Chứng minh IHAK tứ giác nội tiếp c) Gọi P giao điểm đường thẳng HK với BC Chứng minh tam giác BKP đồng dạng với tam giác BCA TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 2- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH NĂM HỌC 1995-1996 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 29/06/1995 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thức Bài 1: (1,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức P  48  27  75 2) Cho biểu thức Q  x 1 x3   x 1 x  x 1 Chứng minh với điều kiện x  x  biểu thức Q không phụ thuộc vào x Bài 2: (3,5 điểm) Cho phương trình có ẩn số x ( a tham số) x  ax  a   1) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với a 2) Đặt T  x12  x2  x1 x2 a) Chứng minh T  a2 a  1 b) Tìm a cho T  c) Tính giá trị nhỏ T giá trị a tương ứng Bài 3: (1,5 điểm) Cho hàm số y  f  x  với f  x  biểu thức đại số lấy giá trị số thực với 1 số thực x  Biết y  f  x   f    x với số thực x  Tính giá trị f   x Bài 4: (3,5 điểm) Lấy điểm M đường trịn tâm O đường kính AB  3a cho   30 Vẽ tam giác MAB đoạn thẳng CD  a song song với AB (điểm C nằm MAB MA, điểm D nằm MB ) Vẽ CE song song với MB (điểm E nằm AB ) Vẽ CF song song với DE (điểm F nằm AB ) a) Tứ giác CDBE hình gì? b) Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn qua điểm A, C , E c) Gọi I trung điểm CD Chứng minh N di động nửa đường tròng đường kính AB độ dài đoạn OI khơng đổi TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 3- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TỐT NGHIỆP THCS NĂM HỌC 1995-1996 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 29/05/1996 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) I) LÍ THUYẾT: (2,0 điểm) Học sinh chọn hai đề sau để làm bài: Đề I Chứng minh định lí: Nếu đường thẳng a không thuộc mặt phẳng (P) mà song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) a song song với mặt phẳng (P) Đề II 1) Chứng minh định lí: Nếu A ≥ ; B > thì:  A  B A B  2) Tính 18   : II) CÁC BÀI TOÁN BẮT BUỘC: (8,0 diểm) Bài (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A  1;3 ; B  5; 3 Bài (3,0 điểm) Cho phương trình x  3x   m  1 a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình (1) m  c) Xác định m để hai nghiệm x1 ; x2 phương trình (1) thoả mãn x12  x2  d) Với giá trị m phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Bài (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB.Gọi I trung điểm đoạn thẳng AO Đường thẳng qua I vng góc với AO cắt nửa đường tròn (O) K Lấy điểm C nằm hai điểm I K AC cắt nửa đường tròn (O) M Đường thẳng BM cắt KI D Chứng minh: a) Tứ giác CMBI tứ giác nội tiếp b) Tam giác AKO tam giác c) MC.MA= MB MD d) Khi nửa đường tròn (O) cố định, điểm C di động đoạn thẳng IK (C không trùng với I K) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ADC ln ln nằm đường thẳng cố định TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 4- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH NĂM HỌC 1996-1997 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 01/07/1996 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (1,0 điểm) Cho hàm số y  ax  Hãy xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số qua Đề thức 1  điểm A  ;  2  Bài 2: (1,5 điểm) Cho biểu thức P  x 3 với x  1; x  x 1  a) Rút gọn P  b) Tính giá trị P x    Bài 3: (2,5 điểm) Một người xe đạp đến thành phố Quy Nhơn để dự họp Khi cịn cách Quy Nhơn 30km, người thấy rằng: Nếu giữ nguyên vận tốc đến Quy Nhơn muộn 30 phút so với họp, tăng vận tốc thêm 5km/h đến Quy Nhơn trước họp 30 phút Tính vận tốc lúc đầu người xem đạp Bài 4: (4,0 điểm) Cho đường tròn  O; r  Từ điểm S ngồi đường trịn  O  kẻ hai tiếp tuyến SM , SN cát tuyến SAB với đường tròn ( M , N tiếp điểm; A, B nằm đường tròn  O  ) a) Chứng minh MN  SO b) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh điểm S , M , N , O , I nằm đường tròn c) Gọi H giao điểm SO MN Chứng minh r2 OH  MS SH d) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Bài 5: (1,0 điểm) Giải phương trình y  y y  y  y   TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 5- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TỐT NGHIỆP THCS NĂM HỌC 1996-1997 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 29/05/1997 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) I) LÍ THUYẾT: (2,0 điểm) Học sinh chọn hai đề sau để làm Đề thức Đề I: Phát biểu (khơng chứng minh) tính chất biến thiên hàm số y  ax ,  a   tập số thực R Áp dụng: Cho hàm số y  f  x     f  f  2 3 x Sử dụng tính chất trên, so sánh giá trị sau  Đề II: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến đường tròn Áp dụng: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm II) CÁC BÀI TOÁN BẮT BUỘC: (8,0 diểm) Bài (4,0 điểm) Cho phương trình bậc hai với ẩn số x : x  x  m   1) Chứng tỏ phương trình cho ln ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 2) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để x12  x2  20 3) Giải phương trình m  2 Bài (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm hai điểm A C) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT tiếp tuyến đường tròn kẻ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông với BC, đường thẳng cắt BC H cắt đường tròn điểm thứ hai T’ Đặt OB  R a) Chứng minh: OH OA  R b) Chứng minh TB đường phân giác góc ATH c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC Gọi D,E lần lựơt giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TT’ TA Chứng minh tam giác TEA cân ta có HB AB  HC AC Bài (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thoả mãn điều kiện  x  y    x  y   y  10  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 6- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Mơn thi: Tốn Ngày thi: 28/06/1997 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thức Bài 1: (1,5 điểm) Cho A  KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH NĂM HỌC 1997-1998 x 1 : x  x x x x x 1) Tìm điều kiện x để A có nghĩa 2) Rút gọn A Bài 2: (1,5 điểm) Định m để phương trình  m   x   m  1 x  m   0,  m   có nghiệm x1 , x2 thiết lập hệ thức nghiệm độc lập m Bài 3: (3,0 điểm) Cho hàm số y  x 1) Khảo sát vẽ đồ thị  P  hàm số 2) Cho A, B hai điểm nằm đồ thị  P  có hồnh độ 1 2 a) Viết phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc b) Chứng tỏ điểm B nằm đường thẳng d Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB  R Gọi C trung điểm đoạn  30 Đường thẳng vng góc với AB C OA, D điểm đường tròn cho DAB cắt AD tạo E cắt BD F 1) Tính độ dài đoạn FB FC theo R 2) Đường thẳng BE cắt FA K Chứng minh tứ giác AKDB nội tiếp đường tròn Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c Chứng minh a  b  5c c nhỏ TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 7- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TỐT NGHIỆP THCS NĂM HỌC 1997-1998 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 13/06/1998 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I LÍ THUYẾT: (2,0 điểm) Học sinh chọn hai đề sau để làm Đề thức Đề I: Phát biểu qui tắc khai phương tích b) Áp dụng: Tính a) 16.25.0, 36 9a Đề II: Viết cơng thức tính diện tích mặt cầu Áp dụng: Tính diện tích da để làm bóng đá có đường kính 20 cm (khơng kể da dùng cho chỗ ghép nối) II CÁC BÀI TOÁN BẮT BUỘC: (8 điểm) Bài 1: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  14  b) Tìm hai số biết tổng chúng tổng bình phương chúng 10 Bài 2: (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  a) Vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;5) song với đồ thị hàm số cho Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M; (M≠A ; M≠ C) Vẽ đường trịn đường kính MC Nối BM kéo dài gặp đường tròn D, đường thẳng DA gặp đường tròn điểm thứ hai S Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp b) CA phân giác góc SCB Bài 4: (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh abc  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập a  b4  c4 abc - Trang | 8- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức Bài (2,0 điểm) Giải phương trình: KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 06/06/2019 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 3( x  1)  x  Cho biểu thức: A  x  x   x  x  với x  a) Tính giá trị biểu thức A x  b) Rút gọn biểu thức A  x  Bài (2,0 điểm) Cho phương trình: x  (m  1) x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y  x  1; d : y  x; d3 : y  3 x  Tìm hàm số có đồ thị đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời qua giao điểm hai đường thẳng d1 d Bài Bài Bài cơng việc Nếu làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai đội thứ Hỏi làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội bao nhiêu? (1,5 điểm) Hai đội công nhân làm chung hồn thành (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O , bán kính R đường thẳng d khơng cắt đường trịn (O ) Dựng đường thẳng OH vng góc với đường thẳng d điểm H Trên đường thẳng d lấy điểm K (khác điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA KB với đường tròn (O ) , ( A B tiếp điểm) cho A H nằm hai phía đường thẳng OK a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH điểm I Chứng minh IA  IB  IH  IO I điểm cố định điểm K chạy đường thẳng d cố định c) Khi OK  R, OH  R Tính diện tích tam giác KAI theo R x  y (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xy  P x2  y2 x y TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 29- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH BÌNH ĐỊNH - NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Cho A  x ;B x 2 x  x 2 x4 a) Tính A x  b) Thu gọn T  A – B c) Tìm x để T nguyên Lời giải a) Khi x  : ta A   2 Điều kiện : x  , x  T  A B   b) T   x x     x   x  x   x2 x 2 x 44 x x 2  x 2  x 2  x 2   x     x  2  x  2 x   x 2 4 x   x  2 x  2  x  2 x  2  x4 x 4   x 2    x  2 x 2 x  24  1 x 2 x 2 T nguyên 4 ( x  2)  x    1;  2;  4  x   (loại) x   1 (loại) x   x   2 (loại) x 24 x   4 (loại)  x  x  (loại) Vậy x  Câu 2:(1,5 điểm) Cho phương trình x – 2mx – 6m –  a) Giải phương trình m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 trái dấu thỏa mãn x12  x2  13 Lời giải a) Khi m  phương trình trở thành: x    x   b) Với a  , b  2m , b’  m , c  6m –   b '2  ac  m  6m   (m  3)  0, m Phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với m  x1  x2  2m Theo hệ thức Viet ta có:   x 1.x2  6m  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 31- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Phương trình có nghiệm trái dấu  x1 x2   6m    m  3 Ta có : x12  x22  13   x1  x2   x1 x2  13  (2m)2  2(6m  9)  13   4m  12m    m  5 1 1 (loại) m  (nhận) Vậy m  2 Câu 3: (2 điểm) Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24 m Nếu tăng độ dài cạnh lên m giảm độ dài cạnh cịn lại m diện tích mảnh đất tăng thêm m2 Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật ban đầu Lời giải Gọi x (m) cạnh thứ mảnh đất hình chữ nhật y (m) cạnh thứ hai mảnh đất hình chữ nhật Điều kiện:  x  12 ,  y  12 Diện tích mảnh đất ban đầu: x y (m2) Theo đề ta có phương trình:  x  y   24 (m) (1) Giả sử tăng độ dài cạnh lên m giảm độ dài cạnh lại m Độ dài cạnh thứ tăng m: x  (m) Độ dài cạnh lại giảm m: y  (m) Diện tích mảnh đất thay đổi: ( x  2)( y  1) (m2) Theo đề ta có phương trình: ( x  2)( y  1)  xy  (2) Từ (1) , (2) ta có hệ phương trình: 2  x  y   24  x  y  12 x     ( x  2)( y  1)  xy   x  y   y  Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: m; m Câu 4:( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm O M điểm nằm cung BC không chứa điểm A Gọi D , E , F hình chiếu M BC , CA , AB Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M , B , D , F thuộc đường tròn bốn điểm M , D , E , C thuộc đường tròn b) Chứng minh D , E , F thẳng hàng c) BC AC AB   MD ME MF TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 32- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Lời giải A O E D B C F M a) Bốn điểm M , B , D , F thuộc đường tròn bốn điểm M , D , E , C thuộc đường tròn   90 MD  BC nên MDB   90 Ta có: MF  AB nên MFB   MDB   90  90  180 Tứ giác MDBF có MFB Do tứ giác MDBF nột tiếp Suy điểm M , B , D , F thuộc đường tròn   90 ; MF  AC nên MFC   90 Ta có : MD  BC nên MDC   MFC   90 Suy ra: MDC Mà đỉnh D , F nhìn MC góc Do tứ giác MDEC nột tiếp Vậy điểm M , D , E , C thuộc đường tròn b) Chứng minh D , E , F thẳng hàng D  (cùng chắn BF  ) Vì tứ giác MDBF nội tiếp Nên: M 1 D  Mặt khác tứ giác MBAC nội tiếp Vì tứ giác MDEC nội tiếp nên M 2  C  (góc ngồi tứ giác nội tiếp) Nên B  M  (cùng phụ với B ; C  ) Suy ra: D D  Do M 1   BDE   180 Nên D   BDE   180 Vậy, D , E , F thẳng hàng Mà D c) BC AC AB   MD ME MF TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 33- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Ta có : AC AB AE  EC AF  FC AE EC AF FC        ME MF ME MF ME ME MF MF   tan   Mà M M   tan  AME  tan M AMF  tan M 1 Nên AC AB   tan  AME  tan  AMF Mặt khác: tứ giác AFME nội tiếp nên: ME MF     AMF   AEF  DMC AME   AFE  BMD Do đó: AC AB   tan MDC   BD  DC  BD  DC  BC   tan  AME  tan  AMF  tan BMD ME MF MD MD MD MD Câu 5: (1 điểm) Cho a , b , c ba số thực dương CMR: a b5 c    a  b3  c bc ca ab Lời giải Ta có: a b5 c a6 b6 c6 (a ) (b3 )2 (b3 )         bc ca ab abc abc abc abc abc abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : a b5 c (a )2 (b )2 (b3 ) (a3  b3  c3 ) (a  b3  c3 )(a  b3  c3 )        bc ca ab abc abc abc abc  abc  abc 3abc Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số a , b3 , c3 ta được: a  b3  c3  3 a3b3c3  3abc Do a b5 c (a  b3  c3 )(a  b3  c3 ) (a  b3  c3 )3abc      a  b3  c3 (đpcm) bc ca ab 3abc 3abc Dấu “ ” xảy a  b  c TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 34- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT - NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1: x   Cho biểu thức A    ( x  0) : x 1 x  x 1  x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A  Lời giải x    a) Ta có A    : x 1  x  x 1  x x b) A  1 x x   x 1    1  x 1  x    x x 1 x x x x 1 x 1 x  2x  x  3x 0     0 0  2 2x 2x x x mà x    x   x  2 Vậy  x  A  3 Bài 2: 2 x  y  1) Khơng dùng máy tính, giải hệ phương trình   x  y  5 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M 1; 3 cắt trục tọa độ Ox, Oy A B a) Xác định tọa độ điểm A, B theo k b)Tính diện tích tam giác OAB k  Lời giải x  y  x  y  y   14     x  5  3.(2) x  1) Ta có       x  y  5 2 x  y  10  x  5  y  y  2  y  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1; 2) 2) a) Đường thẳng d có hệ số góc k nên phương trình d có dạng y  kx  b Vì d qua M (1; 3) nên 3  1.k  b  b  3  k Phương trình đường thẳng y  kx   k 3 k  k 3  Ta có A Ox  A( x;0) , A  d   kx   k  x   A ;0  k  k  Ta có B  Oy  B(0; y ) , B  d  y  k   k  y  3  k  B  0; 3  k  k 3  k 3   k 3 b) Ta có ABC vuông A , mà A  ; ;0   OA     k  k   k  23   3 OA.OB 25 B(0; 3  k )  OB   3  k   k  Khi k   SOAB    2 25 Vậy SOAB  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 35- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết rằng: Hiệu số ban đầu với số đảo ngược 18 (số đảo ngược số số thu cách viêt chữ số theo thứ tự ngược lại) tổng số ban đầu với bình phương số đảo ngược 618 Lời giải Gọi số có hai chữ số cần thìm ab  a  *;  a  9;  b   , số đảo ngược ba Vì hiệu số ban đầu với số đảo ngược 18 nên  ab  ba  18  10 a  b  10b  a  18  9a  9b  18  a  b   a  b  (1) Vì tổng số ban đầu với bình phương số đảo ngược 618 nên    ab  ba  618  10a  b  (10b  a )  618  10a  b  100b  20ab  a  618(2) Thay (1) vào (2) ta  10(b  2)  b  100b  20(2  b).b  (2  b)  618  20  10b  b  100b  40b  20b   4b  b  618  121b  55b  594  b   Với b   a  Vậy số cần tìm 42 b   27 (loai)  11 Bài Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý ( M không trùng với B, C , H ) Gọi P, Q hình chiếu vng góc M lên AB, AC a) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn xác định tâm O đường tròn b) Chứng minh OH  PQ c) Chứng minh MP  MQ  AH Lời giải A O P Q B H M C APM   AQM  900 ( gt ) a) Xét tứ giác APMQ có   APM   AQM  1800  Tứ giác APMQ nội tiếp đường trịn đường kính AM Gọi O trung điểm AM  Tứ giác APMQ nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AM b) Ta có  AHM  900 ( gt )   AHM nội tiếp chắn đường trịn đường kính AM TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 36- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Suy H thuộc trường tròn tâm O   HAC  (hai góc nội tiếp cúng chắn cung HQ  ), Ta có HPQ   HAB  (hai góc nội tiếp cúng chắn cung HP ) HQP   HAB  ( ABC cân có AH vừa đường cao vừa đường phân giác) Mà HAC   HQP   HPQ cân H  HP  HQ (1)  HPQ Mà OP  OQ (do P, Q  (O)) (2) Từ (1) (2) suy  OH đường trung trực PQ  OH  PQ 1 c) Ta có S MAB  MP AB  MP.BC (do AB  AC ) 2 1 S MAC  MQ AC  MQ.BC (do AC  BC ) 2 S ABC  AH BC 1 Mà SMAB  S MAC  S ABC  MP.BC  MQ.BC  AH BC  MP  MQ  AH (dpcm) 2 Bài Cho tam giác ABC có cạnh a Hai điểm M , N di động hai đoạn AM AN thẳng AB, AC cho   Đặt AM  x; AN  y Chứng minh MN  a – x – y MB NC Lời giải A N' M B N M' C AM AN AM AN  1  1 MB NC AB  AM AC  AN x y     ax  xy  ay  xy  a  ax  ay  xy ax a y  a  2ax  2ay  xy  Ta có  a  x  y  2ax  2by  xy  x  y  xy   a  x  y   x  y  xy Giả sử x  y, kẻ MM  / / BC; NN  / / BC , M   AC; N   AB AM AM   ; AB  AC  AM  AM  Áp dụng định lý Talet  AB AC   600  MAM   600  AMM   MM   AM  x BAC Chứng minh tương tự ta có NN   y , MM  / / NN ;  AMM    AM M  600  MM NN  hình thang cân TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 37- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Ta có MN   M N  x - y Kẻ NH  MM  ta có M H  x y x y ; MH  2 Áp dụng đinh lý Pitago vào NHM  có NH  NM '  M ' H  2  x  y  x  y  Áp dụng đinh lý Pitago vào NHM vuông H ta có   x  y 3( x  y )  x  y  x  y  xy    x  y  xy MN  NH  MH  4 2  a  x  y 2  ax y AM AN AM  1   AM  AB  AM  AM  AM  MB  AB  a  AM  a MB NC MB 1 Chứng minh tương tự ta AN  a  a  x  y  a  a  a   a  x  y  a  x  y 2 Vậy MN  a  x  y Ta có TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 38- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT - NĂM HỌC 2019-2020 Bài 1 Giải phương trình: 3( x  1)  x  Cho biểu thức: A  x  x   x  x  với x  a) Tính giá trị biểu thức A x  b) Rút gọn biểu thức A  x  Lời giải Ta có 3( x  1)  x   x   x   x  5  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x   2 a) Khi x  , ta có A                      Vậy x  A  b) Với  x  , ta có A  x  x 1  x  x 1  x 1 x 1 1  x 1  x 1   ( x   1)  ( x   1) | x   1|  | x   1|  x 1  1 1 x 1 (1  x    x    x    0)  Vậy  x  A  Bài Cho phương trình: x  (m  1) x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm lại Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y  x  1; d : y  x; d : y  3x  Tìm hàm số có đồ thị đường thẳng d song song với đường thẳng d đồng thời qua giao điểm hai đường thẳng d1 d Lời giải x  (m  1) x  m  (1) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 39- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Thay x  vào phương trình (1) ta 22  (m  1)   m    2m   m   3m   m  Thay m  vào phương trình (1) ta x  x   Ta có hệ số: a  b  c  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  1; x2  Vậy với m  phương trình cho có nghiệm , nghiệm lại 1 a  3 Phương trình đường thẳng d : ax  b ( a, b   ) Ta có d  d    d : y  3x  b, (b  2) b  Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 , d nghiệm hệ phương trình  y  x   x  x   x     A(1;1) Vì A(1;1)  d : y  3 x  b   3 1  b  b  (TM)  y 1 y  x  y  x Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : y  3 x  Bài Hai đội công nhân làm chung hồn thành cơng việc Nếu làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai đội thứ Hỏi làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội bao nhiêu? Lời giải Gọi thời gian đội thứ làm riêng hồn thành cơng việc x (giờ, x  ) Thời gian đội thứ hai làm riêng hồn thành cơng việc y (giờ, y  ) Mỗi đội thứ làm 1 công việc, đội thứ hai làm công việc x y Trong đội thứ làm 4 công việc, đội thứ hai làm công việc x y 4 (1)    Theo đề ta có hệ phương trình  x y  x  y  (2)  (2)  x  y  vào (1) ta 4    y  6( y  5)  y ( y  5) y5 y  y  3 (ktm)  y  y  30     y  10  x  15 Vậy làm riêng thời gian hồn thành công việc đội thứ 15 giờ, đội thứ hai 10 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 40- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Bài Cho đường tròn tâm O , bán kính R đường thẳng d khơng cắt đường tròn (O ) Dựng đường thẳng OH vng góc với đường thẳng d điểm H Trên đường thẳng d lấy điểm K (khác điểm H ), qua K vẽ hai tiếp tuyến KA KB với đường tròn (O ) , ( A B tiếp điểm) cho A H nằm hai phía đường thẳng OK a) Chứng minh tứ giác KAOH nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng OH điểm I Chứng minh IA  IB  IH  IO I điểm cố định điểm K chạy đường thẳng d cố định c) Khi OK  R, OH  R Tính diện tích tam giác KAI theo R Lời giải H K d B M I O A   90 ( KA  AO) , KHO   90 (OH  KH ) a) Ta có KAO   KBO   180 nên tứ giác nội tiếp Xét tứ giác KAOH có KAO   KAO   180 nên KAOB tứ giác nội tiếp đỉnh H , B, A nhìn cạnh OK b) Ta có KBO góc vng nên năm điểm K , A, B, O, H thuộc đường tròn đường kính OK   BIO  (đối đỉnh)  Xét tam giác IAH tam giác IOB có HIA AHI   ABO (hai góc nội tiếp chắn cung AO ) Do IAH ∽ IOB ( g g )  IA IO   IA  IB  IH  IO IH IB  góc nội tiếp chắn cung OB, OBA  góc nội tiếp chắn cung OA; Mà Xét tứ giác AOBH có OHB   OBA  OA  OB  R nên OHB  góc chung OHB   OBA  (cmt) Xét OIB OBH có BOH TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 41- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Do OIB ∽ OBH ( g.g )  OI OB OB R2   OI   OB OH OH OH Ta lại có đường thẳng d cố định nên OH không đổi ( OH  d ) Vậy điểm I cố định K chạy đường thẳng d cố định c) Gọi M giao điểm OK AB Theo tính chất tiếp tuyến ta có KA=KB; Lại có OA  OB  R nên OK đường trung trực AB, suy AB  OK M MA  MB Theo câu b) ta có OI  R2 R2 R   OH R 3 Xét OAK vng A , có OA2  OM  OK  OM  Suy KM  OK  OM  R  AM  OM  KM  OA2 R R   OK R R 3R  2 R R 3R R    AM  2 2 R  R  R Xét OMI vuông M , có MI  OI  OM        3   Suy AI  AM  MI  R R 2R   Diện tích AKI S  1 3R R R AI  KM     2 x  y x2  y2 Bài Cho x, y hai số thực thỏa  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y  xy  Lời giải Với x  y, xy  , ta có P  Vì x  y  x  y  0; x  y ( x  y)  xy   x y x y x y x y  xy  x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x  y; x y , ta có x y 2( x  y ) 2  2  2 Suy P  2 x y x y Dấu đẳng thức xảy  x  y   ( x  y)2   x  y   x  y  x y TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 42- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10  6 y  Mà xy   ( y  2) y   y  y   y  y       6 y     2 2 x  x    2  Vậy P  2  y    y      2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 43- ... Dấu “ ” xảy a  b  c TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 34- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT - NĂM HỌC 2018-2019... Vậy MN  a  x  y Ta có TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 38- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT - NĂM HỌC 2019-2020... cố định TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập - Trang | 4- TEAM BÌNH ĐỊNH – Tuyển tập 20 năm đề thi tuyển sinh vào lớp 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH