Microsoft Word Toan 12 doc Nguyễn Vũ Minh điện thoại (0613)916072 Y ! M minhnguyen249 hay 0914449230 1 Tóm tắt công thức tính đạo hàm 1/Định nghĩa 0 0 0 0 ( ) ( )'''' ''''( ) lim lim x x f x x f xyy f x x x[.]
Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 Tóm tắt cơng thức tính đạo hàm f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x 1/Định nghĩa: y ' f '( x) lim 2/Các quy tắc tính đạo hàm: ( u v ) ' u ' v ' ( u v w ) ' u ' v ' w ' ( k U ) k U ' ( u v ) ' u ' v v ' u u u ' v ' v ' u )' v v2 v' ( )' v v ( ( với k số ) 3/Bảng tóm tắt cơng thức: Công thức hàm (C ) ' (x) ' Công thức hàm mở rộng ( u) ( u ) ' u u ' (x2) ' 2x ( u n ) ' n u n u ' u' ( )' u u ( u )' u ' u ( x n ) ' n x n 1 1 ( )' x x ( x)' x (sin x) ' cos x (sin u ) ' u '.cos u (cos x) ' sin x (cos u ) ' u '.sin u (tan x) ' tan x cos x (cot x) ' (1 cot x) sin x u ' cos u (cot u ) ' u '.(1 cot u ) u ' sin u (tan u ) ' u '.(1 tan u ) Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 (e x ) ' e x ( e u ) ' u ' e u ( a x ) ' a x ln a ( a u ) ' u ' a u ln a (ln x ) ' (lo g a x x) ' u ' u (ln u ) ' x ln a (lo g a u)' u ' u ln a 4/Đạo hàm hàm đặc biệt: ( ax b ? )' cx d (cx d ) ax bx c ? ( )' dx e (dx e)2 “? “ tính theo a b c d “ ? “được cho a b c d e X2 Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 Ứng Dụng Đạo Hàm – Bài Toán Khảo Sát Hàm Số Vấn đề 1: Điểm Cố Định Định nghĩa : hàm số y=f(x,m), ứng với m ta vẽ đồ thị khác , tất đồ thị qua điểm (hay điểm trở lên) m thay đổi => điểm cố định Điểm cố định m thay đổi (2,0) Phương pháp tìm: Cho hàm số y=f(x,m) ,ta chuyển dạng sau: f(x,m) – y = sau đưa : A.m2+B.m+C = với A,B,C biểu thức theo x y Tọa độ điểm cố định nghiệm hệ phương trình sau: A B ( ) m ( ko ghi ý ko cho điểm) C VD: tìm tọa độ điểm cố định mà họ đường cong (Cm) y x (m 3) x 2mx qua: Giải : hàm số x (m 3) x 2mx y x mx x 2mx y m( x x) ( x x y ) x x x x 2 x x 2 m 2 y y 18 y x 3x x 3x y Vậy : ta tìm điểm cố định (0;2) (-2;-18) Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 Nhận xét : (*) vô ngihệm ta kết luận (Cm) ko có điểm cố định Vấn đề : Tính Đơn Điệu Hàm Số 1/ Định nghĩa: cho hàm số y=f(x) xđ (a,b) a Hàm số f(x) gọi đồng biến (tăng) (a,b) với x1,x2 thuộc khỏang (a,b) : x1 < x2 => f(x1) < f(x2) b Hàm số f(x) gọi nghịch biến (giảm) (a,b) với x1,x2 thuộc khỏang (a,b) : x1 < x2 => f(x1) > f(x2) c Hàm số với x1,x2 thuộc khỏang (a,b) x1 x => f(x1 = f(x2) 2/ Định lý ( quan trọng ) : Cho hàm số f(x) có đạo hàm (a,b): a Nếu f’(x) > x (a, b) f(x) đồng biến (a,b) b Nếu f’(x) < x (a, b) f(x) nghịch biến (a,b) c Nếu f’(x) = x (a, b) f(x) khơng đổi (a,b) 3/ Cách tìm khỏang đồng biến , nghịch biến ( đơn điệu ) hàm số : B1: tìm tập xác định D , tìm y’ (đạo hàm cấp 1) B2: cho y’ = suy điểm tới hạn (đ/n : điểm x0 làm cho đạo càm cấp ( y’) hay không xác định) B3: vẽ bảng biến thiên, suy khỏang đơn điệu 4/ Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến : Khi ta lấy đạo hàm hàm số : y ' ax bx c , lúc ta có a Để chứng minh hàm số ln đồng biến TXĐ ( tức y ' ) ta chứng minh: a , ' b Để chứng minh hàm số nghịch biến TXĐ ( tức y ' ) ta chứng minh: a , ' Vấn đề 3: Cực 1/ Điều kiện cần để có cực trị: Trị Hàm Số ( Cực Đại & Cực Tiểu) Định lý Fermat : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 f’(x0) = ứng dụng định lý : ( ^ ^ ) tóan tìm m để hs đạt cựa trị điểm ( hay ) 2/ Dấu hiệu ( định lý ): dùng vẽ đồ thị tìm cực trị Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm (a,b) Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 a.nếu x qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang hàm số đạt cực đại x0 b x qua x0 mà đạo hàm đổi dấu từ sang + hàm số đạt cực tiểu x0 bảng biến thiên x a x0 b x a x0 b y’ y + CĐ y’ - + y CT 3/ Dấu hiệu ( định lý 2) : dùng biện luận tham số m Giả sửa hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp ,liên tục x0 , x0 điểm tới hạn f '( x0 ) a Nếu hàm số đạt cực đại x0 f ''( x0 ) f '( x0 ) b Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 f ''( x0 ) Vấn đề : Gía Trị Lớn Nhất & Giá Trị Nhỏ Nhất 1/Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) ,TXĐ: D a Nếu f ( x ) M , x D f ( x0 ) M , x0 D M GTLN hs D Kí hiệu Max y = M x = x0 D b Nếu f ( x ) M , x D f ( x0 ) M , x0 D M GTNN hs D Kí hiệu Min y = M x = x0 D 2/ Tìm GTLN & GTNN: Dạng 1: D đọan [a,b] ( dễ làm ) - tính y’ ,cho y’ = điểm tới hạn x , x , x [ a , b ] ,không thuộc [a,b] ta khơng lấy , khơng có giá trị cần tìm thơi… - tính giá trị f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( a), f (b) - nhìn , so sánh tìm giá trị lớn nhỏ kết luận Min Max Dạng : D khỏang (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên ) - tính đạo hàm - lập BBT , suy GTLN , GTNN ( khơng q khó ) ý : đơi ta cịn xài bất đẳng thức CơSi, Bunhiacopski… VD:tìm GTLN & GTNN hàm số y x x đọan [1,3] Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 x Giải: TXĐ : D= R , y ' x x, y ' 3x x , nhìn vào đọan [1,3] ta x nhận x =2 không nhận x = f (2) y (2) 23 3.22 2 Tính giá trị f (1) y (1) ,ta kết luận ; f (3) y (3) Max y =2 x = Min y = -2 x = [1,3] [1,3] Vấn đề : Lồi , Lõm , Điểm Uốn 1/ Định nghĩa : cho hàmsố y = f(x) có đồ thị (C) , điểm I (C ) ngăn cách phần lồi phần lõm gọi điểm uốn đồ thị hàm số , sau hình minh họa: Cực đại (0,2) Điểm uốn I ( 1,0 ) Phần lồi Phần lõm Cực tiểu (2,-2) Hình vẽ minh họa cho cực đại , cực tiểu 2/ Định lý 1: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp (a,b) Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 a Nếu f "( x ) 0, x ( a, b) đồ thị lồi (a,b) b Nếu f "( x ) 0, x ( a, b) đồ thị lõm (a,b) c Nếu f "(x) đổi dấu qua xI I điểm uốn (C) 3/ Cách tìm điểm uốn: - tìm TXĐ :D , tính đạo hàm cấp , sau tính đạo hàm cấp ( y”) cho y” = suy xI sau vẽ bảng “ xét tính lồi ,lõm ,điểm uốn “ suy khỏang lồi , lõm , điểm uốn ý 1: điểm M ( xM ; yM ) điểm uốn hàm số y = f(x) - y ( xM ) f ( xM ), () (*) có nghĩa ta đem tọa độ M vào hàm số y "( xM ) xong, ý giúp giải nhiều tóan ý 2: tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến có “ hệ số góc “ nhỏ lớn ( tùy ) VD : tìm khỏang lồi , lõm điểm uốn đồ thị hàm số sau : y ' x x y " x 6, Giải: D=R, y " x x 1 y Bảng xét tính lồi , lõm , điểm uốn: x 1 y" Đồ thị Lồi Điểm uốn I (1,3) y x 3x + lõm Vấn đề : Tiệm Cận Cách xác định tiệm cận : A.Tiệm cận đứng : Nếu lim y x x0 TCĐ x x0 B Tiệm cận ngang : Nếu lim y y0 y y0 TCN x C Tiệm cận xiên : Nếu lim[ y (ax b)] y a.x b TCX x Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 y x D Cách tìm hệ số a & b TCX : từ suy TCX : y a.x b b lim( y ax ) a lim x x E Các ý tìm tiệm cận : a.Hàm đa thức y P( x) khơng có đường tiệm cận P ( x) ; Q ( x ) có nghiệm x x0 , x1 không fải b.Hàm phân thức y Q( x) nghiệm P(x) đường x x0 , x x1 TCĐ c.Nếu Q(x) = vơ nghiệm hàm số khơng có TCĐ d.Bậc tử bậc mẫu có TCN , khơng có TCX e Bậc tử bậc mẫu đơn vị có TCX 2x x 3 Giải : ta thấy x=3 cho mẫu = nên ta chứng minh sau : 2x 2.3 lim y lim (do lim lim ) nên x=3 TCĐ x 3 x 3 x x 3 x 3 Nhận xét : bậc tử = mẫu nên có TCĐ , khơng có TCX : 2 2x x nên x=2 TCĐ lim y lim lim x x x x 1 x x2 4x VD2: Tìm tiệm cận hàm số y x2 x2 4x Giải: x=2 nghiệm mẫu nên lim y lim nên x=2 TCĐ x2 x 2 x2 Nhận xét : bậc tử > mẫu đơn vị nên có TCX , khơng có TCĐ : 1 y x2 x x2 x x x 1 Tìm a : a lim lim lim lim x x x x ( x 2) x x x 2x 1 x Tìm b : x2 x x x x( x 2) x2 x x2 x b lim( y ax ) lim( 1.x ) lim( ) lim( ) x x x x x2 x2 x2 6 6x x ) TCX có dạng y=1.x+6 lim( ) lim( x x x 1 x Ta có cách làm khác thơng dụng để tìm TCN sau : VD1:Tìm tiệm cận hàm số y Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 x2 x 17 17 x6 ,sau la làm sau : y ( x 6) lấy lim vế ta x2 x2 x2 17 được: lim[ y ( x 6)] lim , ,vậy TCX có dạng : y=1.x+6 x x x y Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 10 ... làm ) - tính y’ ,cho y’ = điểm tới hạn x , x , x [ a , b ] ,không thuộc [a,b] ta không lấy , khơng có giá trị cần tìm thơi… - tính giá trị f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( a), f (b) - nhìn... 2 y y 18 y x 3x x 3x y Vậy : ta tìm điểm cố định (0;2) (-2 ;-1 8) Nguyễn Vũ Minh Y ! M : minhnguyen249 điện thoại : (0613)916072 hay : 0914449230 Nhận xét... tìm giá trị lớn nhỏ kết luận Min Max Dạng : D khỏang (a,b) ( ta fải vẽ bảng Biến Thiên ) - tính đạo hàm - lập BBT , suy GTLN , GTNN ( khơng q khó ) ý : đơi ta cịn xài bất đẳng thức CơSi, Bunhiacopski…