Bài giảng Tôpô cung cấp cho học viên những nội dung về: tôpô đại cương; tập hợp vô hạn; không gian tôpô; sự liên tục; sự liên thông; sự hội tụ; không gian compắc; tích của các không gian; hàm thực và các Không gian hàm; không gian thương;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Bài giảng Tôpô Huỳnh Quang Vũ Phiên 30 tháng Tám, 2018 ∞ i Đây tập giảng phục vụ cho chuỗi buổi học giới thiệu môn tôpô cho sinh viên Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Nó viết để tác giả trình bày cho sinh viên Tác giả khơng viết để nhắm đến với giảng viên khác hay người đọc tự học Khi viết giảng tác giả dự định nhiều giải thích thảo luận triển khai lớp Bằng cách ưu tiên trình bày vấn đề thiết yếu, tác giả hy vọng giảng phù hợp để sử dụng lớp học Một số chi tiết để dành cho bạn sinh viên tự hoàn chỉnh để thảo luận lớp Dấu trước vấn đề nhằm lưu ý người đọc vấn đề điển hình, quan trọng (là kết dùng sau) Các vấn đề đánh dấu * tương đối khó Phiên tập giảng viết tiếng Anh, cập nhật địa http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/n.pdf, file nguồn có http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/n.zip Bản dịch tiếng Việt Phần Tôpô Đại cương Lê Chiêu Hoàng Nguyên, tháng 10 năm 2018 Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ ii Mục lục I Giới thiệu Tôpô đại cương Tập hợp vô hạn Không gian tôpô 13 Sự liên tục 19 Sự liên thông 25 Sự hội tụ 33 Không gian compắc 40 Tích không gian 47 Hàm thực Không gian hàm 54 Không gian thương 61 Một số đề tài khác 73 Gợi ý cho số tập 75 Tài liệu 78 iii iv MỤC LỤC MỤC LỤC Giới thiệu Tơpơ (Topology) ngành tốn học nghiên cứu hình dạng Một tập hợp trở thành không gian tôpô (topological space) phần tử cho lớp lân cận (neighborhoods) Trên khơng gian tơpơ phép tốn phải liên tục, nghĩa là, mang lân cận định vào lân cận Một điều thú vị lại khơng có khái niệm khoảng cách Tơpơ phần Hình học mà khơng đề cập đến khoảng cách Hình 0.1: Có thể thực chuyến kín cho cầu băng qua lần nhất? Đây toán “Bảy cầu Konigsberg”, nghiên cứu Leonard Euler vào kỷ 18 Ta thấy vấn đề chẳng phụ thuộc đến kích thước cầu Đặc trưng ngành Tơpơ Các phép tốn đối tượng tơpơ nới lỏng so với hình học: bên cạnh việc di chuyển quen thuộc, tơpơ cịn cho phép thực động tác kéo giãn hay uốn cong, vốn khơng phép hình học Ví dụ, Tơpơ, đường trịn - cho dù to nhỏ hay đặt đâu - Mọi đường ellipse đường tròn Tuy vậy, mặt khác, tôpô xé hay phá vỡ khơng phép: đường trịn khác đường thẳng Các phép tốn tơpơ, dù linh hoạt hơn, gìn giữ vài tính chất thiết yếu khơng gian Những đóng góp ngành Tơpơ Tơpơ cung cấp khái niệm cho toán học xuất nhu cầu khái niệm liên tục Nó tập trung vào số tính chất thiết yếu khơng gian, sử dụng việc nghiên cứu định tính Nó hữu dụng metric hay tọa độ khơng sẵn có, khơng tự nhiên, không cần thiết Tôpô thường không đứng mình: có nhiều ngành Tơpơ đại số (Algebraic topology), Tơpơ vi phân (Differential topology), Tơpơ hình học (Geometric topology), Tôpô tổ hợp (Combinatorial topology), Tôpô lượng tử (Quantum topology), Tơpơ khơng thường tự giải vấn đề, mà đóng góp hiểu biết thiết lập công cụ quan trọng Tơpơ đóng vai trị bật Hình học vi phân, Giải tích tồn cục, Hình học đại số, Vật lí lí thuyết MỤC LỤC Phần I Tôpô đại cương KHÔNG GIAN THƯƠNG 69 9.23 Chứng minh S1 ∨ S1 không phụ thuộc vào cách chọn hai điểm đồng với nhau, đồng phơi với hình có dạng số 8, xác hơn, tập {( x, y) ∈ R2 | ( x − 1)2 + y2 = 1} ∪ {( x, y) ∈ R2 | ( x + 1)2 + y2 = 1} mặt phẳng Euclid Hình 9.24: S1 ∨ S1 đồng phơi với hình có dạng số 9.25 Chứng minh khơng gian đồng phôi với dải Mobius 9.26 Chứng minh hai không gian sau đồng phôi (một hai chai Klein) b a a b 9.27 a b a b Bạn nhận sau cắt dải Mobius dọc theo đường tròn nó? Hãy thử làm thí nghiệm xem sao! Về mặt toán học, cắt tập S từ khơng gian X có nghĩa bỏ S X, kết thu khơng gian X \ S Ở hình vẽ 9.27 đường tròn CC bị bỏ 70 B A C C A B B C A Hình 9.28: Cắt dải Mobius dọc theo đường trịn 9.29 Để có dải Mobius cầm nắm tay ta lấy băng giấy hình chữ nhật dài dài chút, xoắn đầu (với góc 180 độ), dán với đầu lại Sẽ ta xoắn hai lần? Và nhiều lần? Hãy thử làm thí nghiệm vật lí thí nghiệm máy tính Xem minh họa 9.30 Hình 9.30: Một hình chữ nhật xoắn hai lần dán lại 9.31 Theo dõi mô tả mặt xuyến khơng gian thương hình chữ nhật, đoạn thẳng với độ dốc 2/3 hình chữ nhật, sau lấy thương, trở thành đường cong đóng mặt xuyến Nó vịng quanh mặt xuyến lần theo chiều lần theo chiều cịn lại, xem hình vẽ 9.32 Từ khơng khó để tìm tham số hóa phép nhúng nhúng không gian vào R3 , chẳng hạn ((2 + cos(t/2)) cos(t/3), (2 + cos(t/2)) sin(t/3), sin(t/2)), ≤ t ≤ 12π, xem hình vẽ 9.31, so sánh với 9.6 Từ minh họa ta thấy không gian thường gọi nút ba (trefoil knot) KHÔNG GIAN THƯƠNG 71 Hình 9.32: Nút ba mặt xuyến Hình 9.33: Nút ba R3 Chứng minh nút ba đồng phơi với đường trịn S1 9.34 Nói chung, ảnh đường cong đơn đóng khơng gian Hausdorff X gọi nút (knot) X Do nút không gian γ([0, 1]) với γ : [0, 1] → X ánh xạ liên tục thỏa γ(0) = γ(1) γ|[0,1) đơn ánh Chứng minh nút đồng phơi với đường trịn Hình 9.35: Một nút ảnh đường cong đơn đóng 9.36 Chứng minh không gian xạ ảnh RP1 đồng phơi với S1 9.37 Compắc hóa một-điểm dải Mobius mở (dải Mobius mà khơng có đường trịn biên) không gian xạ ảnh RP2 9.38 * Chứng minh đồng điểm biên xuyên tâm đối D n tương đương với đồng điểm xuyên tâm đối Sn Nói cách khác, không gian xạ ảnh RPn đồng phôi với Sn /x ∼ − x 72 9.39 Chứng minh X có số tính chất sau: liên thơng, liên thơng đường, Hausdorff, compắc, khơng gian thương X/ ∼ 9.40 Chứng minh để không gian thương X/ ∼ khơng gian Hausdorff, điều kiện cần lớp tương đương [ x ] phải tập đóng X Nó có điều kiện đủ khơng? 9.41 Trên không gian Euclid R ta định nghĩa x ∼ y x − y ∈ Z Chứng minh R/ ∼ đồng phôi với S1 Không gian R/ ∼ thường mô tả “R lấy thương tác động nhóm Z” 9.42 Trên khơng gian Euclid R2 , ta định nghĩa ( x1 , y1 ) ∼ ( x2 , y2 ) ( x1 − x2 , y1 − y2 ) ∈ Z × Z Chứng minh R2 / ∼ đồng phôi với mặt xuyến 9.43 Cho tập hợp X tập hợp Y ⊂ X × X, chứng minh tồn quan hệ tương đương X cho chứa Y chứa quan hệ tương đương chứa Y, gọi quan hệ tương đương cực tiểu chứa Y Ví dụ, ta viết [0, 1]/0 ∼ có nghĩa thương tập [0, 1] quan hệ tương đương cực tiểu [0, 1] cho ∼ Ở trường hợp ta thấy quan hệ tương đương rõ ràng {(0, 1), (1, 0), ( x, x ) | x ∈ [0, 1]} 9.44 * Một câu hỏi đặt ra: Trong không gian thương, phép đồng thực theo bước khơng phải đồng thời, kết thu có khác khơng? Chính xác hơn, gọi R1 R2 hai quan hệ tương đương không gian X, gọi R quan hệ tương đương cực tiểu chứa R1 ∪ R2 Trên không gian X/R1 ta định nghĩa quan hệ tương đương R˜ cảm sinh R2 , cho bởi: [ x ] R1 ∼ R˜ [y] R1 ( x ∼ R1 ∪ R2 y) Chứng minh ánh xạ X/( R1 ∪ R2 ) → ( X/R1 )/ R˜ [ x ] R1 ∪ R2 → [[ x ] R1 ] R˜ phép đồng phơi Do kết thu KHÔNG GIAN THƯƠNG 73 Một số đề tài khác Dưới số chủ đề để nghiên cứu thêm dẫn tài liệu tham khảo Cách chứng minh định lí Tikhonov dựa vào lưới Phép chứng minh ta nêu sơ lược dựa số phát triển xa lí thuyết lưới đặc trưng compắc dựa vào lưới Định nghĩa (lưới con) Cho I I tập định hướng, h : I → I ánh xạ cho ∀k ∈ I, ∃k ∈ I , (i ≥ k ⇒ h(i ) ≥ k) Nếu n : I → X lưới n ◦ h gọi lưới (subnet) n Khái niệm lưới mở rộng khái niệm dãy Nếu ta lấy ni ∈ Z+ cho ni < ni+1 ( xni ) dãy ( xn ) Ở trường hợp ánh xạ h : Z+ → Z+ cho h(i ) = ni hàm tăng ngặt Vậy dãy dãy lưới dãy Mặt khác, lưới dãy không thiết phải dãy con, với lưới ánh xạ h yêu cầu phải thỏa mãn limi→∞ h(i ) = ∞ Một lưới ( xi )i∈ I gọi cuối (eventually) A ⊂ X tồn j ∈ I cho i ≥ j ⇒ xi ∈ A Lưới phổ dụng: Một lưới n X phổ dụng (universal) với tập A X n cuối A n cuối X \ A Mệnh đề Nếu f : X → Y liên tục n lưới phổ dụng X f (n) lưới phổ dụng Mệnh đề Các phát biểu tương đương: (a) X compắc (b) Mọi lưới phổ dụng X hội tụ (c) Mỗi lưới X có lưới hội tụ Các chứng minh hai mệnh đề tìm thấy [Bre93] Bây ta hồn thành chứng minh định lí Tikhonov Chứng minh định lí Tikhonov Cho X = ∏i∈ I Xi với Xi compắc Giả sử ( x j ) j∈ J lưới phổ dụng X Bởi 7.3 lưới ( x j ) hội tụ hình chiếu ( pi ( x j )) hội tụ với i Mà điều ( pi ( x j )) lưới phổ dụng tập compắc Xi Sự khả metric Dưới kết tiêu biểu: 9.45 Định lí (Định lí khả metric Urysohn) Một khơng gian tắc có sở đếm khả metric Chứng minh định lí cần đến bổ đề Urysohn Tham khảo thêm [Mun00, p 243] 74 Tôpô yếu tôpô yếu-sao Trên không gian vectơ tôpô, tôpô yếu (weak topology) tôpô sinh phiếm hàm tuyến tính liên tục Tơpơ đóng vai trị quan trọng Giải tích hàm ứng dụng Tham khảo H Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, 2011, chương 3; [Con90, ch 5] Đường cong lấp đầy không gian Một kết gây tị mị ngạc nhiên: Định lí Tồn đường cong liên tục lấp đầy hình chữ nhật mặt phẳng Chính xác hơn, tồn toàn ánh liên tục từ khoảng [0, 1] lên hình vng [0, 1]2 tơpơ Euclid Chú ý ánh xạ đơn ánh, nói cách khác đường cong khơng thể đơn Một đường cong gọi đường cong Peano Nó xây dựng giới hạn trình lặp đường cong tuyến tính khúc [Mun00, tr 271] Hướng dẫn đọc thêm Quyển sách viết Kelley [Kel55] tài liệu kinh điển nguồn tham khảo chuẩn dù xuất từ năm 1955 Nó có lối trình bày trừu tượng, khơng có hình vẽ nào! Quyển sách Munkres [Mun00] giáo trình chuẩn nay, có lối thể nhiều đại so với tài liệu Kelley, với nhiều ví dụ, hình vẽ tập Quyển sách Hocking Young [HY61] có nhiều kết sâu khó Tài liệu hai tài liệu Kelley Munkres trình bày nhiều chủ đề chưa thảo luận giảng Một giáo trình gần viết Roseman [Ros99] khảo sát chủ yếu Rn cụ thể Tài liệu [AF08] giới thiệu nhiều áp dụng thú vị gần tôpô Gợi ý cho số tập 1.8 There exists an infinite countable subset of A 1.14 ∞ n=1 [ n, n + 1] = [1, ∞) 1.15 Use the idea of the Cantor diagonal argument in the proof of 1.3 In this case the issue of different presentations of same real numbers does not appear 1.16 Use the injective map g ◦ f 1.19 For A ⊂ Z+ , if n ∈ A let an = 1, otherwise let an = Consider the map A → a = a1 a2 · · · an Use 1.17 and 1.16 1.20 Proof by contradiction 2.19 Show that each ball in one metric contains a ball in the other metric with the same center 3.16 Use 3.15 to construct a homeomorphism bringing {0} × [0, 1] to {0} × [ 21 , 1], and [0, 1] × {0} to {0} × [0, 12 ] 3.27 Let f : ∂D n → ∂D n be a homemomorphism Consider F : D n → D n , F ( x ) = x f ( x x ) (radial extension) 3.28 Compare the subinterval [1, 2π ) and its image via ϕ 4.17 Use the characterization of connected subspaces of the Euclidean line 4.24 Let A be countable and x ∈ R2 \ A There is a line passing through x that does not intersect A (by an argument involving countability of sets) 4.30 Use 3.15 to modify each letter part by part See 3.16 Use connectedness to distinguish spaces 5.3 Let C be a countable subset of [0, Ω) The set c∈C [0, c ) is countable while the set [0, Ω) is un- countable This implies C is bounded from above 5.13 Consider the set of all irrational numbers 6.8 This is a special case of 6.2 6.10 Use Lebesgue’s number 6.13 See the proof of 6.1 6.15 Use 6.13 6.16 Use 6.15 6.18 Let X be a compact không gian metric, and let I be an open cover of X For each x ∈ X there is an open set Ux ∈ I containing x There is a number x > such that the ball B ( x, x ) is ) | x ∈ X } is an open cover of X, therefore there is a x finite subcover { B( xi , i ) | ≤ i ≤ n} Let = min{ i | ≤ i ≤ n} Let x ∈ X and consider B( x, ) There is an i0 , ≤ i0 ≤ n, such that x ∈ B( xi0 , i0 ) Then B( x, ) ⊂ B( xi0 , i0 ) ⊂ Ui0 contained in Ux The collection { B( x, 75 76 6.19 A bouquet of circles 6.22 Use 6.21 6.29 Use 6.13 6.30 Use 6.29 6.32 (⇐) Use 6.16 and 5.10 6.33 Use 6.16 to show that if Y = ∞ i =1 Xi is not connected then there are two disjoint sets U and V which are open in X such that Y ⊂ U ∪ V, U ∩ Y = ∅, and V ∩ Y = ∅ Show that if O is an open set of X containing Y then O contains Xn for some n, by using the nested sequence of closed sets ( Xn \ U )n and 6.8 In the the case of path-connectedness, look at the Topologist’s sine curve 7.6 Look at their bases 7.13 Only need to show that the projection of an element of the basis is open 7.15 Use 7.2 to prove that the inclusion map is continuous 7.16 Use 7.15 7.17 Let ( xi ) and (yi ) be in ∏i∈ I Xi Let γi be a continuous path from xi to yi Let γ = (γi ) 7.18 (b) Use 7.15 (c) Fix a point x ∈ ∏i∈ I Xi Use (b) to show that the set A x of points that differs from x at at most finitely many coordinates is connected Furthermore A x is dense in ∏i∈ I Xi 7.19 Use 7.15 It is enough to prove for the case an open cover of X × Y by open sets of the form a product of an open set in X with an open set in Y For each “slice” { x } × Y there is finite subcover {Ux,i × Vx,i | ≤ i ≤ n x } Take Ux = nx i =1 Ux,i The collection {Ux | x ∈ X } covers X so there is a subcover {Ux j | ≤ j ≤ n} The collection {Ux j ,i × Vx j ,i | ≤ i ≤ n x j , ≤ j ≤ n} is a finite subcover of X × Y 7.21 Use 6.16 7.28 (⇐) Use 6.16 and the Urysohn lemma 8.1 8.6 Use 6.30 and 6.14 and the proof of Urysohn lemma 8.13 Use 8.12 8.7 See 7.1 and 7.3 8.9 Use 6.29 Use a technique similar to the one in 7.19 9.25 Cut the square by a suitable diagonal, then glue back the resulting two triangles at a different pair of edges 9.26 Cut one of the two squares by a suitable diagonal, then glue a different pair of edges of the resulting two triangles 9.27 To give a rigorous argument we can simply describe the figure below The map from X = ([0, 1] × [0, 1]) \ [0, 1] × { 21 } to Y = [0, 2] × [0, 12 ) given by ( x, y) → ( x, y), y < 12 , ( x + 1, − y), y > 12 , is bijective and is continuous The induced map to Y/(0, y) ∼ (2, y) is surjective and is continuous Then its induced map on X/(0, y) ∼ (1, − y) is bijective and is continuous, hence is a homeomorphism between X/(0, y) ∼ (1, − y) and Y/(0, y) ∼ (2, y) KHÔNG GIAN THƯƠNG 77 B A C C A B C C C C A B B A 9.38 The idea is easy to be visualized in the cases n = and n = Let S+ = { x = ( x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Sn | x1 ≥ 0}, the upper hemisphere Let S0 = { x = ( x1 , x2 , , xn+1 ) ∈ Sn | x1 = 0}, the equator Let f : Sn → S+ be given by f ( x ) = x if x ∈ S+ and f ( x ) = − x otherwise Then the following diagram is commutative: Sn f / S+ p◦ f Sn /x ∼ − x f˜ ( p / S+ /x ∼ − x, x ∈ S0 Then it is not difficult to show that S+ /x ∼ − x, x ∈ S0 is homeomorphic to RPn = D n /x ∼ − x, x ∈ ∂D n 9.44 Examine the following diagram, and use 9.2 to check that the maps are continuous X x X/( R1 ∪ R2 ) q / X/R1 / ( X/R1 )/ R˜ 78 Tài liệu tham khảo [AF08] Colin Adams and David Fransoza, Introduction to topology: Pure and applied, Prentice Hall, 2008 [Ams83] [BBI01] M A Amstrong, Basic topology, Springer, 1983 Dmitri Burago, Yuri Burago, and Sergei Ivanov, A course in metric geometry, American Mathematical Society, 2001 [Bre93] Glen E Bredon, Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 139, Springer, 1993 [Cai94] George L Cain, Introduction to general topology, Addison-Wesley, 1994 [Con90] John B Conway, A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990 [Cro78] Fred H Croom, Basic concepts of algbraic topology, Springer-Verlag, 1978 [dC76] Manfredo Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, 1976 [DFN85] Boris A Dubrovin, Anatoly T Fomenko, and Sergey P Novikov, Modern Geometry–Methods and Applications, Part II, Springer-Verlag, 1985 [DFN90] Boris A Dubrovin, Anatoly T Fomenko, and Sergey P Novikov, Modern Geometry–Methods and Applications, Part III, Springer-Verlag, 1990 [Duc05] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2005 [Dug66] James Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, 1966 [EH10] Herbert Edelsbrunner and John L Harer, Computational topology: an introduction, AMS, 2010 [End77] Herbert B Enderton, Elements of set theory, Academic Press, 1977 [Eng89] Ryszard Engelking, General topology, Heldermann Verlag, 1989 [Gal10] Joseph A Gallian, Contemporary abstract algebra, Brooks/Cole, 2010 [GP74] Victor Guillemin and Alan Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, 1974 [Hat01] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001, available at http://www.math.cornell.edu/~hatcher [Hir76] Morris W Hirsch, Differential Topology, Springer, 1976 79 80 [HS74] TÀI LIỆU THAM KHẢO Morris W Hirsch and Stephen Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, Academic Press, 1974 [Hun74] Thomas W Hungerford, Algebra, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1974 [HY61] John G Hocking and Gail S Young, Topology, Dover, 1961 [J84] Klaus Jăanich, Topology, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1984 [Kel55] [KF75] John L Kelley, General topology, Van Nostrand, 1955 A N Kolmogorov and S V Fomin, Introductory real analysis, Dover Publications Inc., 1975 [KMM04] Tomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow, and Marian Mrozek, Computational homology, Springer, 2004 [Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997 [Lee11] John M Lee, Introduction to topological manifolds, 2nd ed., Springer, 2011 [Lee13] John M Lee, Introduction to smooth manifolds, 2nd ed., Springer, 2013 [Mas91] William S Massey, A basic course in algebraic topology, Springer, 1991 [Mil97] John Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton University Press, 1997 [Moi77] Edwin E Moise, Geometric topology in dimensions and 3, Springer-Verlag, 1977 [MT01] Bojan Mohar and Carsten Thomassen, Graphs on surfaces, JHU Press, 2001 [Mun84] James Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley, 1984 [Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991 [Mun00] James Munkres, Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000 [Ros99] Dennis Roseman, Elementary topology, Prentice-Hall, 1999 [Rud86] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986 [Sas11] Anant R Sastri, Elements of Differential Topology, CRC Press, 2011 [SJ70] Lynn A Steen and J Arthur Seebach Jr., Counterexamples in topology, Holt, Rinehart and Winston, 1970 [Spi65] [Spi99] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965 Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol 2, Publish or Perish, 1999 [Tu13] Loring W Tu, Introduction to manifolds, Springer, 2nd ed., 2013 [Vas01] V A Vassiliev, Introduction to Topology, American Mathematical Society, 2001 [Vic94] James W Vick, Homology theory: an introduction to algebraic topology, 2nd ed., Springer-Verlag, 1994 TÀI LIỆU THAM KHẢO 81 [VINK08] O Ya Viro, O A Ivanov, N Yu Netsvetaev, and V M Kharlamov, Elementary topology problem textbook, preprint, 2008 [Vugt3] Huỳnh Quang Vũ, Bài giảng Giải tích 3, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, http://www.math.hcmus.edu.vn/~hqvu/gt3.pdf Chỉ mục 2S , Alexandroff, 42 điểm, 42 ánh xạ compắc hóa Stone-Cech, 50 đóng, 22 mở, 22 dải Mobius, 64 rời rạc, 30 ánh xạ liên tục, 19 giá, 56 Định lí khả metric Urysohn, 73 đồ thị, 51 hội rời, 51 đồng nhất, 24 hội tụ, 35 định lí Borsuk–Ulam, 27 họ đánh số, định lí mở rộng Tiestze, 58 họ tất tập con, đường đi, 27 đường cong Peano, 74 khối lập phương Hilbert, 48 đường cong lấp đầy không gian, 74 không gian đường cong sine, 28 đếm thứ nhất, 36 đường thẳng Sorgenfrey, 18 đồng phơi, 21 điểm tắc, 33 dính, 14 chuẩn tắc, 33 tụ, 14 Hausdorff, 33 trong, 14 hồn tồn tắc, 50 khơng gian con, 20 bất biến Niemytzki, 38 tôpô, 26 thương, 61 bổ đề Urysohn, 54 không gian bổ đề Zorn, 10 trù mật, 37 bao đóng, 15 khơng gian tơpơ biên, 15 liên thông, 25 biểu đồ thành phần liên thông, 25 giao hốn, 62 khơng gian vectơ tơpơ, 52 sở, 15 không gian xạ ảnh, 66 sở lọc, 38 khả metric, 33 Cantor diagonal argument, khoảng cách Hausdorff, 38 chùm đường tròn, 66 lân cận, 13 chai Klein, 65 lọc, 38 chuẩn, 14 lưới, 35 compắc phổ dụng, 73 địa phương, 43, 45 mặt cầu, 21 compắc hóa, 42 82 CHỈ MỤC 83 mặt phẳng xạ ảnh, 66 sắp, mặt xuyến, 63 tốt, 12 P ( S ), metric tương đương, 17 mở, 13 nút, 71 ba lá, 71 hình-số-8, 71 nhóm tơpơ, 53 phép đồng phôi, 21 tương đương, tổng chèn, 66 thứ tự chặn dưới, phần tử cực tiểu, phần tử nhỏ nhất, từ điển, toàn phần, phép đẳng cự, 24 phép chiếu nổi, 22 Tiên đề chọn, 10 phép nhúng, 21 tiền sở, 15 phép nhúng chìm, 65 tiền-compắc, 42 phân hoạch đơn vị, 55, 56 phần trong, 15 quan hệ, tương đương, tương đương cực tiểu, 72 số Lebesgue, 41 tích Decartes, 10 tính bị chặn hồn tồn, 42 tính giao hữu hạn, 41 tính tốt, tơpơ compắc-mở, 57 Euclid, 14 hiển nhiên, 13 không gian con, 20 mịn hơn, 15 phần bù hữu hạn, 16 rời rạc, 13 sinh tập con, 16 tích, 47 tương đối, 20 thứ tự, 16 thô hơn, 15 Zariski, 53 tôpô hội tụ theo điểm, 56, 59 tập Cantor, 11 tập hợp đếm được, đóng, 14 định hướng, 35 tiên đề tách, 33 ... ta đề cập đến tôpô Mệnh đề Cho X không gian tôpô Y ⊂ X Tôpô không gian Y tôpô thô Y cho ánh xạ chứa (hay ánh xạ nhúng) i : Y → X, x → x liên tục Nói cách khác, tơpơ khơng gian Y tôpô sinh ánh... không gian liên thông không liên thông đường 4 SỰ LIÊN THÔNG 29 sin(1/x) 0.8 0.6 0.4 0.2 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 4.4: Topologist’s sine curve Kí hiệu A = {(... 2.1.) Bài tập 2.2 Tập hợp { x ∈ Q | − √ 2