UBND THµNH PHè HuÕ Phòng GD ĐT Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 2009 Can Lộc Môn Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A c) Tìm x để A đạt g[.]
Phòng GD- ĐT Can Lộc Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn lớp Thời gian làm 120 phút Bài Cho biểu thức: A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị biểu thức: P = b) Cho a, b, c Độ dài cạnh tam giác Chứng minh a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phương trình: a) b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; điểm P nằm tam giác cho Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP , kẻ PH b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hànhABCD, vẽ đường thẳng d cắt cạnh AB, AD Tại M K, cắt đường chéo AC Tại G Chứng minh rằng: UBND Thành phố Huế Phịng giáo dục & đào tạo Đề thức Kì thi chọn Học sinh giỏi thành phố Huế Lớp THCS - Năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 2: (2Điểm) Giải phương trình: Bài 3: (2 điểm) Căn bậc hai 64 viết dạng sau: Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng dạng số nguyên? 2 Tìm số dư phép chia biểu thức cho đa thức Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính Độ dài Đoạn BE theo Gọi M trung điểm Đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC Tại G Chứng minh: HếT Phòng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 (Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nêu x; y số thực làm cho A xác định thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị nguyên dương A? Bài (4 điểm): a) Giải phương trình : b) Tìm số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx Bài (3 điểm): Chứng minh với n n5 n ln có chữ số tận giống Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Cho Tính SEBC? c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị khơng đổi d) Kẻ Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh Bài (2 điểm): a) Chứng minh bất đẳng thức sau: dấu) (với x y b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (với ) Đề khao sát chất lượng học sinh giỏi Bài 1: (4 điểm) 1, Cho ba số a, b, c thỏa m·n , Tính 2, Cho ba số x, y, z thỏa m·n Tìm giá trị lớn Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức với Chứng minh tồn số nguyên để Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dương x, y thỏa m·n 2, Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phương trình , Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F, CE cắt Tại O Chứng minh Tính đồng dạng , Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho Chứng minh rằng: Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm đến số bảng Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích HếT Mơn Tốn (150 phút Khơng kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b) B= có giá trị số nguyên c) D=n5-n+2 số phương (n Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) biết abc=1 b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c) Câu 3: (5 điểm) Giải phương trình sau: a) b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dương Câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA Tại E ,cắt BC Tại F a) Chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh : c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đơI diện tích tam giác DEF Mơn : Tốn ( 120 phút Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 Tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu thức sau luôn dương (hoặc âm) với giá trị biến cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh Nêu tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phương số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đường chéo AC vng góc với cạnh bên CD, Tính AD Nêu chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x +x +1 Bài 8: (3 đ) Tìm số dư phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông Tại A (AC>AB) , đường cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đường vng góc với BC Tại D cắt AC Tại E a) Chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM Hết Bài Nội dung điểm 1.1 Cho ba số a, b, c thỏa mãn , Tính 2,00 0,50 Ta có 0,50 1,00 1.2 Cho ba số x, y, z thỏa m·n Tìm giá trị lớn 2,00 1,25 Dấu = xảy 0,50 Vậy giá trị lớn B x = y = z = 0,25 Cho đa thức với Chứng minh tồn số nguyên để 2,00 1,25 Với x = 2008 chọn 0,50 Suy 3.1 0,25 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x, y nguyên dương x + 5, 3y + nguyên dương lớn 2,00 0,75 0,50 Thỏa mãn yêu cầu Bài Toán x + 5, 3y + ước lớn 49 nên có: Vậy phương trình có nghiệm ngun x = y = 3.2 Cho số tự nhiên , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d 0,75 2,00 tổng chữ số c Tính d 1,00 0,75 mà Từ (1) (2) suy d = Cho phương trình 0,25 , Tìm m để phương trình có nghiệm dương Điều kiện: 3,00 0,25 0,75 m = 1phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm phương trình trở thành 0,25 0,50 Phương trình có nghiệm dương 1,00 Vậy thỏa m·n yêu cầu Bài Toánkhi 0,25 Cho hình thoi ABCD có cạnh đường chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đường thẳng EB cắt đường thẳng DC Tại F Chứng minh đồng dạng 3,00 , Tính E đồng dạng (g-g) A O B D đồng dạng đồng dạng (c-g-c) 1,00 1,00 mà C 1,00 F Cho tam giác ABC, phân giác góc A cắt BC Tại D, Đoạn thẳng DB, DC lấy điểm E F cho Chứng minh rằng: Kẻ EH A AC Tại K đồng dạng H B AB Tại H, FK (g-g) 1,00 K E D F 1,25 C 0,50 Tương tự 3,00 (đpcm) 0,25 Trên bảng có số tự nhiên Từ đến 2008, người ta làm sau lấy hai số 2,00 thay hiệu chúng, làm đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng cịn lại số khơng? Giải thích Khi thay hai số a, b hiệu hiệu hai số Tính chấtt chẳn lẻ tổng số có bảng khơng đổi Mà bảng khơng thể cịn lại số ; 1,00 1,00 1 Câu Nội dung 1.1 điểm 2,0 (0,75 điểm) 1.2 0.5 0,5 (1,25 điểm) 0,25 0,25 0,25 2,0 2.1 + Nêu + Nêu 2.2 (1) : (1) s (thỏa m·n điều kiện : (1) 0,5 ) (cả hai không bÐ 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm 0,5 (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm: 0,25 (2) 0,5 Vậy phương trình đ· cho có nghiệm Phịng Giáo dục - Đào tạo TRựC NINH ***** 0,25 đáp án hướng dẫn chấm thi Học sinh giỏi Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn8 Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần giá trị lớn A, Từ tìm tất giá trị ngun dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 2x(x + y) + (x – y) + 2(x – y) + = A + (x – y + 1) = A = – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với x ; y) A 2 (0,5đ) + A = + A = Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng hạn: + Vậy A có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài 2: (4 điểm) (0,5 điểm) a) (1 điểm) (0,5 điểm) b) x + y + z = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 2 x2009 = y2009 = z2009 Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vậy x = y = z = Bài (3 điểm) (0,5 điểm) (0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,5 điểm) Cần Chứng minh: n – n 10 - Chứng minh : n5 - n n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) (vì n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5) = n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia HếT cho (1,25 điểm) 5 - Vì ( ; ) = nên n – n 2.5 tức n – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống (0,75 điểm) 10 Bài 4: điểm Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với (gg) 0,5 điểm Từ suy * Chứng minh (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với (cgc) 0,75 điểm - Suy Câu b: 1,5 điểm - XÐt = 120o = 60o EDB vuông Tại D có ED = - Lý luận cho = 30o 0,5 điểm = 30o EB 0,5 điểm Từ 0,5 điểm 0,25 điểm - Từ ECA SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) - Chứng minh CM.CA = CI.BC - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm ECB 11 Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) điểm Bài 5: (2 điểm) a) x, y dấu nên xy > 0, (*) (**) Bất đẳng thức (**) ln đúng, suy bđt (*) (đpcm) (0,75đ) b) Đặt (0,25đ) Biểu thức cho trà thành P = t2 – 3t + P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + - Nêu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t–2 0;t–1>0 Đẳng thức xảy t = x = y (1) (0,25đ) - Nêu x; y trái dấu >0 t1 (2) - Từ (1) (2) suy ra: Với x 0;y ln có P Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pm=1 x=y Bài (3 điểm) Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 đáp án , biểu điểm, hướng dẫn chấm Mơn Tốn8 Nội dung )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ )…….(292+29+ 0,5 )(292-29+ ) Mẫu thức viết thành 0,5 )(22-2+ )(42+4+ Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ điểm 1,0 Khi cho a giá trị Từ đến 30 thì: Tử thức viết thành (22+2+ (0,25đ) Đẳng thức xảy x = y Có a4+ = (12+1+ (0,25đ) )(42-4+ )……(302+30+ =………….=k2+k+ )(302-30+ ) 0,5 0,5 12 Nên A= Bài 2: điểm ý a: điểm -Có ý tưởng tách, thêm bớt thể để sử dụng bước sau -Viết dạng bình phương hiệu - Viết bình phương hiệu - lập luận kết luận ý b: điểm Phân tÝch tử thức thành nhân Tử Rút gọn kết luận Bài : điểm *Từ 2a + b ≤ b ≥ ta có 2a ≤ hay a ≤ Do A=a2 - 2a - b ≤ Nên giá trị lớn A a=2và b=0 * Từ 2a + 3b ≤ suy b ≤ Do A ≥ a2 – 2a – + =( Vậy A có giá trị nhỏ - )2 a = ≥và b = Bài : điểm - Chọn ốn đạt điều kiện Đề thức Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức Bài (4 điểm) 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 - Biểu thị đại lượng theo ốn số liệu đ· biết(4 đại lượng) - lập phương trình - Giải phương trình - đối chiếu trả lời thời gian ô tô - lập luận , Tính trả lời thời gian tơ lại Bài : điểm ý a : điểm Phòng giáo dục đào tạo kim bảng 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x 0,25 0,5 0,5 0,5 Kiểm tra chất lượng Học sinh giỏi Năm học 2008 – 2009 Mơn Tốn lớp Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề 13 a/Với mäi số a, b, c không đång thời nhau, h·y Chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc b/ Cho a + b + c = 2009 Chứng minh Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo m·n 2a + 3b trị nhỏ biểu thức A = a2 – 2a – b 2a + b Tìm giá trị lớn giá Bài (3 điểm) Giải Bài Toánbằng cách lập phương trình Một tơ Từ A đến B Cïng lóc tơ thứ hai Từ B đến A vơÝ vởn tốc vởn tốc ô tô thứ Sau chóng gổp Hái ô tô qu·ng đường AB mờt bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhän, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đường trung trực BC AC cắt Tại O Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chóng cắt Tại H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác ? b) Gọi G träng tâm ABC , Chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ?