Bài gi�ng Tôpô Bài giảng Tôpô Huỳnh Quang Vũ Phiên bản 30 tháng Tám, 2018 ∞ 2 i Đây là tập bài giảng phục vụ cho một chuỗi các buổi học giới thiệu về môn tôpô cho sinh viên tại Đại học Khoa học Tự nhi[.]
Bài giảng Tôpô Huỳnh Quang Vũ Phiên 30 tháng Tám, 2018 ∞ i Đây tập giảng phục vụ cho chuỗi buổi học giới thiệu môn tôpô cho sinh viên Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Nó viết để tác giả trình bày cho sinh viên Tác giả khơng viết để nhắm đến với giảng viên khác hay người đọc tự học Khi viết giảng tác giả dự định nhiều giải thích thảo luận triển khai lớp Bằng cách ưu tiên trình bày vấn đề thiết yếu, tác giả hy vọng giảng phù hợp để sử dụng lớp học Một số chi tiết để dành cho bạn sinh viên tự hoàn chỉnh để thảo luận lớp Dấu trước vấn đề nhằm lưu ý người đọc vấn đề điển hình, quan trọng (là kết dùng sau) Các vấn đề đánh dấu * tương đối khó Phiên tập giảng viết tiếng Anh, cập nhật địa http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/n.pdf, file nguồn có http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/n.zip Bản dịch tiếng Việt Phần Tơpơ Đại cương Lê Chiêu Hoàng Nguyên, tháng 10 năm 2018 Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ ii Mục lục Giới thiệu I Tôpô đại cương Tập hợp vô hạn Không gian tôpô 13 Sự liên tục 19 Sự liên thông 25 Sự hội tụ 33 Không gian compắc 40 Tích khơng gian 47 Hàm thực Không gian hàm 54 Không gian thương 61 Một số đề tài khác 73 Gợi ý cho số tập 75 Tài liệu 78 iii iv MỤC LỤC MỤC LỤC Giới thiệu Tơpơ (Topology) ngành tốn học nghiên cứu hình dạng Một tập hợp trở thành không gian tôpô (topological space) phần tử cho lớp lân cận (neighborhoods) Trên không gian tôpô phép toán phải liên tục, nghĩa là, mang lân cận định vào lân cận Một điều thú vị lại khơng có khái niệm khoảng cách Tơpơ phần Hình học mà khơng đề cập đến khoảng cách Hình 0.1: Có thể thực chuyến kín cho cầu băng qua lần nhất? Đây toán “Bảy cầu Konigsberg”, nghiên cứu Leonard Euler vào kỷ 18 Ta thấy vấn đề chẳng phụ thuộc đến kích thước cầu Đặc trưng ngành Tơpơ Các phép tốn đối tượng tơpơ nới lỏng so với hình học: bên cạnh việc di chuyển quen thuộc, tơpơ cịn cho phép thực động tác kéo giãn hay uốn cong, vốn khơng phép hình học Ví dụ, Tơpơ, đường trịn - cho dù to nhỏ hay đặt đâu - Mọi đường ellipse đường tròn Tuy vậy, mặt khác, tôpô xé hay phá vỡ khơng phép: đường trịn khác đường thẳng Các phép tốn tơpơ, dù linh hoạt hơn, gìn giữ vài tính chất thiết yếu khơng gian Những đóng góp ngành Tơpơ Tơpơ cung cấp khái niệm cho toán học xuất nhu cầu khái niệm liên tục Nó tập trung vào số tính chất thiết yếu khơng gian, sử dụng việc nghiên cứu định tính Nó hữu dụng metric hay tọa độ khơng sẵn có, khơng tự nhiên, không cần thiết Tôpô thường không đứng mình: có nhiều ngành Tơpơ đại số (Algebraic topology), Tơpơ vi phân (Differential topology), Tơpơ hình học (Geometric topology), Tôpô tổ hợp (Combinatorial topology), Tôpô lượng tử (Quantum topology), Tơpơ khơng thường tự giải vấn đề, mà đóng góp hiểu biết thiết lập cơng cụ quan trọng Tơpơ đóng vai trị bật Hình học vi phân, Giải tích tồn cục, Hình học đại số, Vật lí lí thuyết MỤC LỤC Phần I Tôpô đại cương ... nhắm đến với giảng viên khác hay người đọc tự học Khi viết giảng tác giả dự định nhiều giải thích thảo luận triển khai lớp Bằng cách ưu tiên trình bày vấn đề thiết yếu, tác giả hy vọng giảng phù... đứng mình: có nhiều ngành Tôpô đại số (Algebraic topology), Tôpô vi phân (Differential topology), Tơpơ hình học (Geometric topology), Tơpơ tổ hợp (Combinatorial topology), Tôpô lượng tử (Quantum... định Các tập hợp xuất thảo luận gọi tập mở Một cách ngắn gọn, tôpô hệ thống tập mở Tôpô thiết lập cho luận bàn liên tục Định nghĩa Một tôpô (topology) tập hợp X họ τ tập X thỏa mãn: (a) Tập ∅ tập