Giáo trình điều khiển hệ đa tác tử

* d ij * d ij Agent j Agent i ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Agent j g ji g ji g ij * * Trajectory Initial formation Desired formation Agent i g ij Initial position Desired position Điều khiển hệ đa tác tử Điều khiển hệ đa tác tử Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Ngày 30 tháng 11 năm 2022 Điều khiển hệ đa tác tử Bản quyền Giáo trình chia sẻ qua website cá nhân TS Trịnh Hoàng Minh (https://sites.google.com/ view/minhhoangtrinh) Việc sử dụng nội dung tài liệu với mục đích tham khảo, học tập, giảng dạy miễn phí Tuy nhiên, người đọc khơng chép nội dung giáo trình chưa có đồng ý từ tác giả Ghi Giáo trình viết LATEX, dựa template kaobook Template kaobook phân phối miễn phí qua Overleaf Người đọc sử dụng template tại: KOMA - Script, LATEX, kaobook Ngày xuất Phiên 10/2022 Lời nói đầu Phân tích điều khiển hệ đa tác tử hướng nghiên cứu quan tâm giới từ khoảng đầu năm 2000 Nội dung nghiên cứu bao gồm hệ đa tác tử tự nhiên (hiện tượng tụ bầy chim, cá), kĩ thuật (hệ robot tự hành, mạng cảm biến, lưới điện thông minh), hay tượng xã hội (mạng xã hội, mạng học thuật) Mặc dù nghiên cứu hệ đa tác tử phân chia thành nhiều hướng nghiên cứu nhỏ chun sâu, khơng có nhiều sách tham khảo, kể tiếng Anh, bao quát kiến thức điều khiển hệ đa tác tử Tài liệu biên soạn với mong muốn cung cấp nguồn tham khảo ngắn gọn tiếng Việt cho học viên hai học phần Điều khiển nối mạng Điều khiển hệ đa tác tử Đại học Bách Khoa Hà Nội Tài liệu chia thành ba phần Phần I giới thiệu hệ đa tác tử cung cấp số kiến thức lý thuyết đồ thị Phần II trình bày hệ đồng thuận tuyến tính số phương pháp phân tích thiết kế luật đồng thuận đồng hóa đầu Phần III giới thiệu số ứng dụng hệ đa tác tử bao gồm điều khiển đội hình, giữ liên kết tránh va chạm, định vị mạng cảm biến, số mơ hình động học quan điểm nghiên cứu mạng xã hội Để sử dụng tài liệu, người đọc cần có kiến thức Đại số tuyến tính, Giải tích, Tín hiệu hệ thống Lý thuyết điều khiển tuyến tính Một số kiến thức liên quan Đại số tuyến tính, Lý thuyết điều khiển liên quan cung cấp phần Phụ lục tài liệu Tài liệu tiếng Việt khơng tránh sai sót Tác giả hi vọng nhận ý kiến góp ý nội dung tài liệu từ độc giả Cuối cùng, tác giả muốn gửi lời cảm ơn tới thầy cô, bạn bè, sinh viên nước hướng dẫn, thảo luận góp ý nội dung tài liệu Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Khoa tự động hóa Trường Điện - Điện tử Đại học Bách Khoa Hà Nội Email: trinhhoangminhbk@gmail.com Mục lục Lời nói đầu iii Mục lục iv Danh mục kí hiệu x I Cơ sở Giới 1.1 1.2 1.3 thiệu hệ đa tác tử Giới thiệu, định nghĩa, ví dụ Điều khiển hệ đa tác tử Ghi tài liệu tham khảo 2 Lý thuyết đồ thị 2.1 Đồ thị 2.1.1 Đồ thị vô hướng 2.1.2 Đồ thị hữu hướng 2.1.3 Đồ thị có trọng số 2.2 Đại số đồ thị 2.2.1 Một số ma trận đồ thị 2.2.1.1 Ma trận bậc ma trận kề 2.2.1.2 Ma trận liên thuộc 2.2.1.3 Ma trận Laplace đồ thị vô hướng 2.2.2 Ma trận Laplace đồ thị hữu hướng 2.3 Ghi tài liệu tham khảo 2.4 Bài tập 7 10 11 11 11 11 12 14 17 20 21 II Hệ đồng thuận Thuật toán đồng thuận 3.1 Hệ đồng thuận gồm tác tử tích phân bậc 3.1.1 Phát biểu toán 3.1.2 Trường hợp tổng quát 3.1.3 Một số trường hợp riêng 3.2 Đồng thuận với tác tử tích phân bậc hai 3.3 Hệ đồng thuận tuyến tính tổng quát 3.4 Hệ đồng thuận tuyến tính khơng liên tục 3.4.1 Mô hình điều kiện đồng thuận 3.4.2 Liên hệ với mơ hình hệ đồng thuận liên tục 3.5 Đồng đầu hệ tuyến tính dựa quan sát trạng thái 3.5.1 Đồng hóa dựa quan sát trạng thái Luenberger 3.5.2 Bộ quan sát kết hợp đồng hóa đầu 3.6 Ghi tài liệu tham khảo 3.7 Bài tập 24 25 25 25 26 28 31 36 38 38 40 43 43 47 50 51 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov 4.1 Hàm bất đồng thuận 4.2 Phân tích theo phương pháp Lyapunov 4.3 Quá trình đồng thuận cạnh 4.4 Đồng hóa đầu hệ thụ động 4.5 Ghi tài liệu tham khảo 4.6 Bài tập trình đồng thuận cạnh III Một số ứng dụng hệ đa tác tử Điều 5.1 5.2 5.3 55 55 57 61 63 66 66 71 72 72 76 77 77 79 79 80 82 88 88 90 97 98 102 102 104 111 Định vị mạng cảm biến 7.1 Bài toán định vị mạng cảm biến 7.2 Định vị mạng dựa vị trí tương đối 7.2.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 7.2.2 Trường hợp có nút tham chiếu mạng 7.2.3 Phương pháp dựa vector hướng 7.2.3.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 7.2.3.2 Trường hợp có nút tham chiếu 7.2.4 Phương pháp dựa khoảng cách 7.3 Bài tập 113 113 113 113 114 115 115 116 117 118 số mở rộng 122 122 123 125 126 132 135 Hệ đồng thuận trọng số ma trận 9.1 Đồ thị với trọng số ma trận 138 138 5.4 5.5 5.6 5.7 Giữ 6.1 6.2 6.3 khiển đội hình Giới thiệu Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 5.3.1 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc 5.3.2 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc hai Điều khiển đội hình dựa khoảng cách 5.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 5.4.2 Luật điều khiển đội hình Điều khiển đội hình dựa vector hướng 5.5.1 Lý thuyết cứng hướng ℝ 𝑑 5.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân Ghi tài liệu tham khảo Bài tập liên kết tránh Giữ liên kết Tránh va chạm Bài tập va chạm Mơ hình động học ý kiến 8.1 Mô hình French - Degroot 8.2 Mơ hình Friendkin - Johnsen 8.3 Mơ hình Abelson mơ hình Taylor 8.4 Mơ hình Friendkin - Johnsen đa chiều 8.5 Mơ hình Hegselmann-Krause 8.6 Mơ hình Altafini 9.2 9.3 9.4 9.5 Thuật toán đồng thuận trọng số ma trận 9.2.1 Điều kiện đồng thuận 9.2.2 Hiện tượng phân cụm Đồng thuận trọng số ma trận với hệ có leader 9.3.1 Trường hợp leader đứng yên 9.3.2 Trường hợp leader chuyển động Đồ thị trọng số ma trận hữu hướng 9.4.1 Đồ thị có dạng với gốc 9.4.2 Đồ thị trọng số ma trận cân Ghi tài liệu tham khảo Phụ lục 139 139 141 144 144 146 147 148 148 150 151 A Một số kết lý thuyết ma trận A.1 Một số định nghĩa phép toán A.2 Định thức ma trận nghịch đảo A.3 Giá trị riêng, vector riêng, định lý Cayley - Hamilton A.4 Định lý Gerschgorin A.5 Chéo hóa ma trận dạng Jordan A.6 Ma trận hàm mũ A.7 Tích Kronecker A.8 Ma trận xác định dương ma trận bán xác định dương A.9 Chuẩn vector ma trận A.10 Lý thuyết Perron-Frobenius 152 152 153 153 154 154 155 156 156 157 157 B Lý thuyết điều khiển tuyến tính B.1 Hệ tuyến tính B.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov B.3 Bổ đề Barbalat 158 158 159 160 C Mô MATLAB C.1 Hàm biểu diễn đội hình 2D 3D C.2 Biểu diễn thay đổi đội hình theo thời gian 162 162 164 Tài liệu tham khảo 166 Danh sách hình vẽ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Một số ví dụ đồ thị vơ hướng Ví dụ lát cắt cạnh đồ thị 𝐺 gồm đỉnh cạnh Ví dụ lát cắt đỉnh đồ thị 𝐺 gồm đỉnh cạnh Một số đồ thị định hướng khác đồ thị 𝐺 Hình 2.1(a) Các giá trị riêng L nằm đĩa tròn 𝐵 tâm Δ + 𝑗 0, bán kính Δ = max𝑖 deg− (𝑣 𝑖 ) (vùng màu đỏ) Các trị riêng −L nằm đĩa tròn 𝐵′ đối xứng với 𝐵 qua trục ảo (vùng màu xanh) 2.6 Minh họa Ví dụ 2.2.4 2.7 Đồ thị vô hướng 𝐺1 𝐺2 2.8 Đồ thị vô hướng 𝐻1 𝐻2 10 12 3.1 Sơ đồ khối thuật tốn đồng thuận theo góc nhìn tác tử 𝑖 3.2 Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: 𝐺1 đồ thị gồm 16 đỉnh, đỉnh có đỉnh kề, 𝐺2 đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh 𝐺3 đồ thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh 3.3 Mô chuyển động tác tử với luật đồng thuận (3.19) 3.4 Mơ hệ đồng thuận Ví dụ 3.3.1 Các biến trạng thái x𝑖 → x 𝑗 𝑡 → +∞ 3.5 Đồ thị 𝐺1 liên thơng mạnh có chu kỳ 2; Đồ thị 𝐺2 𝐺3 có gốc ra, thành phần liên thông mạnh chứa gốc khơng có chu kỳ, đồ thị 𝐺3 có chứa khuyên; Đồ thị 𝐺4 , 𝐺5 liên thông mạnh khơng có chu kỳ 3.6 Mơ đối chiếu thuật tốn đồng thuận liên tục không liên tục 3.7 Sơ đồ khối mơ tả thuật tốn đồng thuận 3.8 Mô hệ đồng thuận gồm tác tử Ví dụ 3.5.1 Các biến đầu y𝑖 , 𝑖 = 1, , , dần đạt tới đồng thuận sau khoảng 100 giây 3.9 Sơ đồ mô tả đồng hóa (3.50) 3.10 Mô Ví dụ 3.5.2 3.11 Đồ thị Bài tập 3.7.3 26 20 20 21 21 30 34 37 39 42 44 45 47 49 52 ¯ = 𝚪L + L⊤ 𝚪 (a) Đồ thị 𝐺 ứng với L (b) Đồ thị 𝐺′ ứng với L⊤ (c) Đồ thị 𝐺¯ ứng với L Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác Đồ thị 𝐺 có ba chu trình, hai chu trình độc lập Mơ minh họa Ví dụ 4.3.2 Những cạnh màu đỏ tạo thành bao trùm đồ thị Các biến tương đối 𝜻(𝑡) → 𝑡 → +∞ 4.5 Hệ Σ gồm 𝑛 hệ thụ động với hàm kết nối 𝝓(·) 4.6 Mô mơ hình Kuramoto đơn giản cho hệ tác tử Ví dụ 4.4.1 4.7 Các đồ thị Bài tập 4.6.10 57 60 62 Hệ qui chiếu toàn cục ( 𝑔 Σ), hệ qui chiếu chung (𝑐 Σ), hệ qui chiếu cục (𝑖 Σ 𝑗 Σ) Mô thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối Mơ thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 2D 3D Một số ví dụ minh họa lý thuyết cứng khoảng cách Minh họa Ví dụ 5.4.2: (a) cấu hình mong muốn, (b) & (c) & (d) & (e) bốn cấu hình khác thuộc U∗ 5.6 Đội hình đặt Ví dụ 5.4.3 5.7 Đội hình gồm tác tử: (a) (b): p tiến tới đến cấu hình mong muốn; (c) (d) p tiến tới cấu hình khơng mong muốn 74 77 78 81 4.1 4.2 4.3 4.4 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 62 64 65 69 85 86 87 5.8 Ví dụ tính cứng hướng vi phân: Trong ℝ2 , đội hình (a), (b), (c) cứng hướng vi phân, đội hình (d), (e), (f) không cứng hướng vi phân Trong ℝ3 , đội hình (g), (h), (i), (j) cứng hướng vi phân, đội hình (k), (l) không cứng hướng vi phân 5.9 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát ℝ3 xuất phát từ cạnh nối hai đỉnh 5.10 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát ℝ3 xuất phát từ chu trình 𝐶4 5.11 Minh họa phân tích ổn định thuật tốn điều khiển đội hình dựa vector hướng: (a) Luật điều khiển sử dụng vector hướng; (b) Ví dụ hai điểm cân đối xứng tâm có trọng tâm; (c) 𝜹 nằm tập S 5.12 Mơ đội hình tác tử luật điều khiển (5.42) trường hợp 2D 3D 5.13 Các đồ thị 𝐺1 𝐺2 6.1 Minh họa toán giữ liên kết: tác tử có miền trao đổi thơng tin mơ tả hình trịn tâm vị trí tác tử Nếu hai tác tử nằm miền thơng tin tồn cạnh mô tả tương tác hai tác tử 6.2 Hàm trọng số 𝑎 𝑖𝑗 (p) = 𝜎𝜔 (𝜖 − 𝑑 𝑖𝑗 (p(𝑡))) tương ứng với số tham số 𝜔 𝜖 khác Dễ thấy 𝑎 𝑖𝑗 (p) → 𝑑 𝑖𝑗 (k p𝑖 − p 𝑗 k) → 𝛿 = 6.3 Minh họa việc tránh va chạm tác tử 6.4 Biểu diễn hàm 𝛽 𝑖𝑗 (k p𝑖 − p 𝑗 k) với 𝑑 = 0.75 , , 1.5 6.5 Mô luật giữ liên kết Ví dụ 6.2.1 6.6 Mơ luật giữ liên kết Ví dụ 6.2.2 7.1 Mô tả mạng cảm biến với nút tham chiếu nút mạng thường Mỗi cạnh đồ thị thể luồng thông tin (đo đạc truyền thông) nút mạng.Nhiễu 𝜺𝑖𝑗 xuất cạnh đồ thị 7.2 Minh họa định vị mạng cảm biến gồm 10 nút với luật định vị mạng (7.9) 7.3 Định vị nút dựa vào nút mốc khoảng cách 7.4 Ví dụ đồ thị cứng 3-liên thơng có hiên thực hóa 2D Đồ thị khơng thừa cứng 7.5 Đồ thị Bài tập 7.3.1 7.6 Mạng cảm biến (𝐺, p) Bài tập 7.3.4 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 Mô hệ tác tử với mơ hình F-J hai trường hợp khác đồ thị tương tác Mô hệ 10 tác tử với mơ hình Taylor  mở rộng  Mơ mơ hình F-J với ma trận C = 0.8 0.20.3 0.7  Mơ mơ hình F-J với ma trận C = 0.8 −0.2 − 0.3 0.7 Mơ hình Ye hệ có khơng có định kiến Mơ hình Ye hệ có khơng có định kiến Tăng mức độ liên kết tác tử làm mơ hình Ye ổn định đẩy nhanh q trình đồng thuận khơng làm thay đổi điểm đồng thuận mơ hình Ye Đồ thị mô tả tác tử ví dụ 8.4.3 Đồng thuận với ma trận Laplace theo mơ hình Ahn: Trái - Chủ đề (𝑥 𝑖,1 , 𝑖 = , , 5) Giữa Chủ đề (𝑥 𝑖,2 , 𝑖 = , , 5) Phải - Chủ đề (𝑥 𝑖,3 , 𝑖 = 1, , 5) Mô mơ hình Hegselmann - Krausse với 𝑑 = 0.2 , 0.4, , 1.2 (a) Đồ thị dấu cân cấu trúc; (b) Đồ thị dấu không cân cấu trúc Mơ mơ hình Altafini với đồ thị Ví dụ 8.6.1 9.1 Ví dụ đồ thị trọng số ma trận cạnh màu đỏ thể cạnh xác định dương cạnh màu xanh thể cạnh xác định dương bán xác định dương Đồ thị với cạnh màu đỏ bao trùm xác định dương 𝐺 9.2 Đồ thị minh họa hệ bốn tác tử Ví dụ 9.2.1 9.3 Ví dụ 9.2.1: Thay đổi biến trạng thái hệ với luật đồng thuận (9.5) 9.4 Đồ thị gồm đỉnh Ví dụ 9.2.2 9.5 Ví dụ 9.2.2: Thay đổi biến trạng thái hệ với luật đồng thuận (9.5) 89 92 92 93 95 99 102 103 105 105 107 109 114 117 118 118 118 119 124 126 129 130 130 131 131 131 132 134 135 136 139 143 143 144 144 150 Hệ đồng thuận trọng số ma trận chứa bao trùm xác định dương 𝑇, không gian không quan sát cặp ma trận (C , −L) sinh im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ) [8]: Antsaklis andothers (2006), Linear Systems Chứng minh Xét phương trình (9.38), x⊤ Qx = x 𝑗 − x𝑖 ∈ ker(A𝑖𝑗 ), ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸(𝑇) Vì A𝑖𝑗 ma trận xác định dương, x 𝑗 = x𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, hay nói cách khác, x ∈ im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ) Chú ý ker(Q) = ker(C), nên 𝐺 chứa bao trùm xác định dương ker(C) = im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ) Dựa kết tài liệu [8], phương trình (9.39) chứng tỏ im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ) khơng gian không quan sát cặp ma trận (C, −L) Định lý 9.4.2 Giả sử 𝐺 đồ thị trọng số ma trận thỏa mãn 𝐺¯ liên thông mạn, chứa bao trùm xác định dương, đồng thời Giả thuyết 9.4.1 thỏa mãn hệ đồng thuận (9.5) dần đạt tới trạng thái đồng thuận Giá trị đồng thuận xác định P P x∗ = ( 𝑛𝑖=1 𝑝 𝑖 x𝑖 (0))/ 𝑛𝑖=1 𝑝 𝑖 , ¯ xác định dương khả Chứng minh Xét hàm Lyapunov 𝑉 = x⊤ Px vi liên tục The derivative of 𝑉 along a trajectory of (9.5) is = x Qx Ô = 2x P xÔ = 2x PLx (9.40) Do Q l ma trn bỏn xỏc nh dng nờn Ô Theo nh lý LaSalle, quĩ đạo hệ tiến tới tập bt bin ln nht {x |Ô = 0} Do đồ thị có bao trùm xác định dương, ker(𝑄) = im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ) Do đó, x → im(1𝑛 ⊗ I𝑑 ), tức tác tử tiến tới đồng thuận x∗ Mt khỏc, (p I )Ôx = (p I𝑑 )Lx = , (9.41) P nên (p⊤ ⊗ I𝑑 )x = 𝑛𝑖=1 𝑝 𝑖 x𝑖 không thay đổi theo thời gian Từ đây, P P vector đồng thuận xác định x∗ = ( 𝑛𝑖=1 𝑝 𝑖 x𝑖 (0))/ 𝑛𝑖=1 𝑝 𝑖 Chú ý điều kiện Định lý (9.4.2) điều kiện đủ Việc xây dựng đồ thị trọng số ma trận thỏa mãn tính cân bằng, ngoại trừ trường hợp tầm thường không đơn giản 9.5 Ghi tài liệu tham khảo Những kết trình bày chương lấy phần lớn từ [143, 142] Một số phát triển thêm gần bao gồm tính điều khiển quan sát [92], xây dựng đồ thị trọng số ma trận với chất lượng cho trước [12, 45], đồng thuận trọng số ma trận bậc hai [75, 81], đồng thuận trọng số ma trận khơng liên tục [129], có đồ thị thay đổi theo thời gian [91], hay có trễ [99] Phụ lục A Một số kết lý thuyết ma trận Các kết phục lục A, B tham khảo tài liệu đại số tuyến tính [119] hay lý thuyết điều khiển [5, 83, 8] Các tài liệu hướng dẫn sử dụng MATLAB/SIMULINK với định hướng điều khiển tham khảo https://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php? aux=Home A.1 Một số định nghĩa phép toán Ma trận A ∈ ℂ𝑚×𝑛 bao gồm 𝑚𝑛 phần tử 𝑎 𝑖𝑗 (𝑖 = 1, , 𝑚 ; 𝑗 = , , 𝑛) viết thành 𝑚 hàng 𝑛 cột dạng  𝑎11   𝑎21  A=    𝑎𝑚1  𝑎12 𝑎22 𝑎𝑚2 𝑎1𝑛  𝑎2𝑛    𝑎 𝑚𝑛  Ta sử dụng kí hiệu A = (𝑎 𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 Một vector cột gồm 𝑛 phần tử ma trận với 𝑛 hàng với  𝑥1     𝑥2    x=       𝑥 𝑛    Với A B hai ma trận có kích thước, ta định nghĩa phép toán cộng, trừ ma trận nhân với đại lượng vô hướng Ma trận C = 𝑘1 A + 𝑘2 B, có phần tử 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑘 𝑎 𝑖𝑗 + 𝑘2 𝑏 𝑖𝑗 , phép trừ ma trận A − B = A +(−B) Các phép cộng ma trận thỏa mãn tính kết hợp giao hoán A + (B + C) = (A + B) + C A+B=B+A Phép nhân hai ma trận A có kích thước 𝑚 × 𝑛 B có kích thước 𝑛 × 𝑝 cho C = AB , P 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑛𝑘=1 𝑎 𝑖 𝑘 𝑏 𝑘 𝑗 Phép nhân ma trận thỏa mãn tính kết hợp thơng thường khơng thỏa mãn tính giao hốn Ma trận chuyển vị B = (𝑏 𝑖𝑗 ) ma trận A kích thước 𝑚 × 𝑛 ma trận kích thước 𝑛 × 𝑚 với phần tử 𝑏 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 Ta kí hiệu B = A⊤ Ma trận A đối xứng A = A⊤ Ma trận A phản xứng A = −A⊤ A.2 Định thức ma trận nghịch đảo Định nghĩa ma trận đơn vị kích thức 𝑛 × 𝑛 1   0 I𝑛 =    0     𝑛×𝑛  ∈ℝ   Với ma trận A kích thước 𝑚 × 𝑛 B kích thước 𝑛 × 𝑚 AI𝑛 = A I𝑛 B = B Một ma trận với toàn phần tử gọi ma trận khơng Ma trận khơng kích thước 𝑛 × 𝑛 kí hiệu 0𝑛 Kí hiệu cột ma trận A a𝑖 = [𝑎11 , , 𝑎 𝑚 ]⊤ A = [a1 , , a𝑛 ] Toán tử vec định nghĩa bởi: ⊤ ⊤ 𝑚𝑛 vec(A) = [a⊤ , , a𝑛 ] ∈ ℂ (A.1) A.2 Định thức ma trận nghịch đảo Định thức ma trận vuông A kích thước 𝑛 × 𝑛, kí hiệu det(A) = | A | tính cơng thức Laplace 𝑎22 |𝐴| =𝑎11 𝑎𝑛2 = ··· ··· 𝑎21 𝑎31 ... Điều khiển hệ đa tác tử Điều khiển hệ đa tác tử Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Ngày 30 tháng 11 năm 2022 Điều khiển hệ đa tác tử Bản quyền Giáo trình chia sẻ qua website... dư luận quyền độc tài [104, 103] 1.2 Điều khiển hệ đa tác tử Từ góc nhìn hệ thống điều khiển, trọng tâm nghiên cứu hệ đa tác tử ba tốn: (i) mơ hình hóa hệ đa tác tử, (ii) phân tích self-organized... hành Hơn nữa, hệ đa tác tử thường thiết kế để tác tử hợp tác nhằm thực nhiệm vụ phức tạp thường không thực tác tử đơn lẻ Tuy khái niệm hệ đa tác tử đời vài thập kỉ gần đây, hệ thống đa tác tử (tự