ĐIỆN TÍCH ĐIỆN TRƯỜNG ĐỊNH LUẬT CULOMB A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1 Hai loại điện tích Điện tích dương và điện tích âm Điện tích dương nhỏ nhất là của proton, điện tích âm nhỏ nhất là điện tích của el[.]
ĐỊNH LUẬT CULOMB A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Hai loại điện tích: - Điện tích dương điện tích âm - Điện tích dương nhỏ proton, điện tích âm nhỏ điện tích electron Giá trị tuyệt đối chúng e = 1,6.10 -19C Tương tác hai điện tích điểm đứng yên - Điểm đặt: Tại điện tích xét - Giá: Là đường thẳng nối hai điện tích - Chiều: lực đẩynếu hai điện tích dấu, lực hút hai điện tích trái dấu - Độ lớn: Trong k = 9.109 ( Nm / c ) : số điện môi Định luật bảo tồn điện tích: Trong hệ lập điện, tổng đại số điện tích số Khi điện tích chịu tác dụng nhiều lực: Hợp lực tác dụng lên điện tích Là: Xét trường hợp có hai lực: a Khí hướng với : F hướng với F , F : F = F1 + F2 b Khi F ngược hướng với F : F hướng với F F > F ngược lai c Khi F F : F hợp với F góc xác định bởi: tan = d Khi F1 = F2 F hợp với F góc B BÀI TẬP: I BÀI TẬP VÍ DỤ: Bài 1: Hai điện tích điểm cách khoảng r =3cm chân không hút lực F = 6.10 -9N Điện tích tổng cộng hai điện tích điểm Q=10-9C Tính điện đích điện tích điểm: Hướng dẫn giải: Áp dụng định luật Culong: Theo đề: (1) (2) Giả hệ (1) (2) Bài 2: Hai cầu giống mang điện, đặt chân không, cách khoảng r=1m chúng hút lực F 1=7,2N Sau cho hai cầu tiếp xúc với đưa trở lại vị trí cũ chúng đảy lực F 2=0,9N tính điện tích cầu trước sau tiếp xúc Hướng dẫn giải: Trước tiếp xúc (1) Điện tích hai cầu sau tiếp xúc: (2) Từ hệ (1) (2) suy ra: Bài 3: Cho hai điện tích +q (q>0) hai điện tích –q đặt bốn đỉnh hình vng ABCD cạnh a chân khơng, hình vẽ Xác định lực điện tổng hợp tác dụng lên điện tích nói Hướng dẫn giải: Bài 4: Cho hai điện tích q1= , q2=9 đặt hai điểm A B chân khơng AB=1m Xác định vị trí điểm M để đặt M điện tích q0, lực điện tổng hợp tác dụng lên q0 0, chứng tỏ vị trí M khơng phụ thuộc giá trị q0 Hướng dẫn giải: q1 q0 q2 A B F20 F10 Giả sử q0 > Hợp lực tác dụng lên q0: Do đó: Theo phép tính tốn ta thấy AM không phụ thuộc vào q Bài 6: Hai điện tích q1, q2 đặt cách khoản r=10cm tương tác với lực F khơng khí F lực tương tác F hai điện tích phải đạt cách dầu? Hướng dẫn giải: Bài 7: Cho hai điện tích điểm q 1=16 q2 = -64 lực điện tổng hợp tác dụng lên điện tích điểm q 0=4 đặt dầu Để đặt hai điểm A B chân không cách AB = 100cm Xác định đặt tại: a Điểm M: AM = 60cm, BM = 40cm b Điểm N: AV = 60cm, BN = 80cm Hướng dẫn giải: A a Vì MA + MB = AB điểm M, A, B thẳng hàng M nằm AB M Lực điện tổng hợp tác dụng lên q0: q1 Vì q0 q2 hường với nên: hường với b Vì vng N Hợp lực tác dụng lên q0 là: F hợp với NB góc : tan = = 0,44 Bài 8: Một cầu nhỏ có khối lượng m = 1,6g, tích điện q = 2.10-7C treo sợi dây tơ mảnh Ở phía cần phải đạt điện tích q2 để lực căng dây giảm nửa Hướng dẫn giải: Lực căng sợi dây chưa đặt điện tích:T = P = mg Lực căng sợi dây đặt điện tích: T = P – F = Vậy q2 > có độ lớn q2 = 4.10-7C Bài 9: Hai cầu kim loại nhỏ hồn tồn giống mang điện tích q = 1,3.10-9C q2=6.5.10-9C, đặt khơng khí cách kh oảng r đẩy với lực F Chi hai cầu tiếp xúc nhau, đặt chung lớp điện môi lỏng, cách khoảng r lực đẩy chúng bằn F a Xác đinh số điện môi b Biết lực tác đụng F = 4,6.10-6N Tính r Giai a Khi cho hai cầu tiếp xúc thì: q = q = 0,5 ( q + q ) Ta có: b Khoảng cách r: Bài 10: Hai cầu kim loại giống nhau, mang điện tích q 1, q2 đặt cách 20cm hút bợi lực F = 5.10-7N Nối hai cầu dây dẫn, xong bỏ dây dẫn hai cầu đẩy với lực F = 4.10-7 N Tính q1, q2 Hướng dẫn giải: Khi cho hai cầu tiếp xúc thì: q = q = 0,5 ( q + q ) Áp dụng định luật Culong: Vậy q1, q2 nghiệm phương trình Bài 11: Hai cầu nhỏ giống nhau, khối lượng m = 0,2kg, treo điểm hai sợi tơ mảnh dài l = 0,5m Khi cầu tích điện q nhau, chúng tách khoảng a = 5cm Xác đinh q Hướng dẫn giải: Quả cầu chịu tác dụng ba lực hình vẽ Điều kiện cân bằng: P + T Ta có: T Bài 12: Hai điện tích điểm đặt chân không, cách khoảng r = 4cm Lực đẩy tĩnh điện chúng F = -10 -5N a Tính độ lớn điện tích b Tìm khoảng cách r1 chúng để lực đẩy tĩnh điện F = 2,5.10-6N a Độ lớn điện tích: Khoảng cách r1: Bài 13: A Người ta đặt ba điện tích q = 8.10-9C, q2=q3=-8.10-C ba đỉnh tam giác ABC cạnh a = = 6cm khơng khí Xác định lực tác dụng lên điện tích q0=610-9C đặt tâm O tam giác Hướng dẫn giải: Lực tổng hợp tác dụng lên q0: O B C F = F cos 20 = F Vậy F = 2F1 = 72.10 -5 N Bài 14: Tại ba đỉnh tam giác đều, người ta đặt ba điện tích giống q 1=q2=q3=6.10-7C Hỏi phải đặt điện tích thứ tư q đâu, có giá trị để hệ thống đứng yên cân Hướng dẫn giải: Điều kiện cân điện tích q3 đặt C F có phương phân giác góc C Suy F giá ngược chiều với F Xét tương tự với q1, q2 suy q0 phải nằm tâm tam giác II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Khoảng cách prôton êlectron r = 5.10 -9 (cm), coi prôton êlectron điện tích điểm Tính lực tương tác chúng ĐS: F = 9,216.10-8 (N) Bài 2: Hai điện tích điểm đặt chân không cách khoảng r = (cm) Lực đẩy chúng F = 1,6.10 -4 (N) Tính độ lớn hai điện tích ĐS: q1 = q2 = 2,67.10-9 (C) Bài 3: Hai điện tích điểm đặt chân không cách khoảng r = (cm) Lực đẩy chúng F = 1,6.10-4 (N) Để lực tương tác hai điện tích F 2= 2,5.10-4 (N) Tính khoảng cách hai điện tích ĐS: r2 = 1,6 (cm) Bài 4: Hai điện tích điểm q1 = +3 ( C) q2 = -3 ( C),đặt dầu ( = 2) cách khoảng r = (cm) Lực tương tác hai điện tích là: ĐS: lực hút với độ lớn F = 45 (N) Bài 5: Hai điện tích điểm đặt nước ( = 81) cách (cm) Lực đẩy chúng 0,2.10-5 (N) Hai điện tích đóĐS: dấu, độ lớn 4,025.10-3 ( C).Bài 6: Hai cầu nhỏ có điện tích 10 -7 (C) 4.10-7 (C), tương tác với lực 0,1 (N) chân không Khoảng cách chúng là:ĐS: r = (cm) Bài 7: Có hai điện tích q = + 2.10-6 (C), q2 = - 2.10-6 (C), đặt hai điểm A, B chân không cách khoảng (cm) Một điện tích q3 = + 2.10-6 (C), đặt đương trung trực AB, cách AB khoảng (cm) Độ lớn lực điện hai điện tích q q2 tác dụng lên điện tích q3 ĐS: F = 17,28 (N) Bài 8: Cho hai điện tích dương q1 = (nC) q2 = 0,018 ( C) đặt cố định cách 10 (cm) Đặt thêm điện tích thứ ba q điểm đường nối hai điện tích q1, q2 cho q0 nằm cân Xác định vị trí q ĐS: cách q1 2,5 (cm) cách q2 7,5 (cm) Bài 9: Hai điện tích điểm q1 = 2.10-2 ( C) q2 = - 2.10-2 (ỡC) đặt hai điểm A B cách đoạn a = 30 (cm) khơng khí Lực điện tác dụng lên điện tích q0 = 2.10-9 (C) đặt điểm M cách A B khoảng a có độ lớn là: ĐS: F = 4.10-6 (N) Bài 10: Một cầu khối lượng 10 g,được treo vào sợi cách điện Quả cầu mang điện tích q 1= 0,1 Đưa cầu thứ mang điện tích q2 lại gần cầu thứ lệch khỏi vị trí lúc đầu,dây treo hợp với đường thẳng đứng góc =300 Khi cầu nằm mặt phẳng nằm ngang cách cm Tìm độ lớn q lực căng dây treo? g=10m/s ĐS: q2=0,058 ; T=0,115 N Bài 11: Hai điện tích điểm q1=-9.10 C q2=4.10 C nằm cố định hai điểm AB cách 20 cm chân khơng a Tính cường độ điện trường tai điểm M nằm đường trung trực AB cách A 20cm b Tìm vị trí cường độ điện trường không Hỏi phải đặt điện tích q đâu để nằm cân bằng? -5 -5 Bài 12: Hai bụi khơng khí cách đoạn R = 3cm hạt mang điện t ích q = -9,6.10 -13C a Tính lực tĩnh điện hai điện tích b Tính số electron dư hạt bụi, biết điện tích electron e = -16.10 -19C ĐS: a 9,216.1012N b 6.106 11 Bài 13: Electron quay quanh hạt nhân nguyên tử Hiđro theo quỹ đạo trịn bán kính R= 5.10 m a Tính độ lớn lực hướng tâm đặt lên electron b Tín vận tốc tần số chuyển động electron ĐS: a F = 9.10 -8N b v = 2,2.106m/s, f = 0,7.1016Hz Bài 14: Hai vật nhỏ mang điện tích đặt khơng khí cách đoạn R = 1m, đẩy lực F = 1,8N Điện tích tổng cộng hai vật Q = 3.10-5C Tính điện tích vật.ĐS: q1 = 2.10-5C, q2 = 10-5C hặc ngược lại ĐIỆN TRƯỜNG A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: Khái niệm điện trường: Điện trường dạng vật chất: - Tồn xung quanh điện tích - Tác dụng lực điện lên điện tích khác đặt vào Cường độ điện trương: Véctơ cường độ điện trường đại lượng đặc trưng cho điện trường mặt tác dụng lực: E = Cường độ điện trường điện tích điểm Q - Điểm đặt: Tại điểm xét - Giá: Là đường thẳng nối điện tích điểm điểm xét - Chiều: Hướng vào Q Q < 0; hướng xa Q Q >0 - Độ lớn: E = k Lực tác dụng lên điện tích đặt điện trường:F = q E q > : F hướng với E q < : F ngược hướng với E I BÀI TẬP VÍ DỤ: Bài 1: Cho hai điểm A B nằm đường sức điện trường điện tích điểm q > gây Biết độ lớn cường độ điện trường A 36V/m, B 9V/m a Xác định cường độ điện trường trung điểm M AB b Nếu đặt M điện tích điểm q = -10-2C độ lớnn lực điện tác dụng lên q lực q A M B bao nhiêu? Xác định phương chiều Ta có: (1) EM (2) (3) Lấy (1) chia (2) Lấy (3) chia (1) Với: b Lực từ tác dụng lên qo: q0 0) đặt hai điểm A B với AB = 2a M điểm nằm đường trung trực AB cách AB đoạn x a Xác định vectơ cường độ điện trường M b Xác định x để cường độ điện trường M cực đại, tính giá trị Hướng dẫn giải: E1 M a Cường độ điện trường M: E ta có: E2 x a a A B q H Hình bình hành xác định hình thoi: -q E = 2E1cos (1) b Từ (1) Thấy để Emax x = 0: Emax = Bài 3: Một cầu nhỏ khối lượng m=0,1g mang điện tích q = 10 -8C treo sợi dây không giãn đặt vào điện trường đường sức nằm ngang Khi cầu cân bằng, dây treo hợp với phương thẳng đứng góc a Độ lớn cường độ điện trường b Tính lực căng dây Lấy g = 10m/s Tính: có b lực căng dây: Bài 4: Một điện tích điểm q1 = 8.10-8C đặt điểm O Trong chân không a Xác định cường độ điện trường điểm M cách O đoạn 30cm b Nếu đặt điện tích q2 = - q1 M n ps chịu lực tác dụng nào? Hướng dẫn giải: a Cường độ điện trường M: b Lực điện tác dụng lên q2: Vì q2 0 đặt A B khơng khí cho biết AB = 2a a Xác định cường độ điện trường điểm M đường trung trực AB cách Ab đoạn h b Định h để EM cực đại Tính giá trị cực đại Hướng dẫn giải: a Cường độ điện trường M: M h q1 A a a H q2 B ta có: Hình bình hành xác định hình thoi: E = 2E1cos b Định h để EM đạt cực đại: Do đó: EM đạt cực đại khi: Aq1 q2 q3 B D C Bài 7: Bốn điểm A, B, C, D khơng khí tạo thành hình chưc nhật ABCD cạnh AD = a = 3cm, AB = b = 4cm Các điện tích q 1, q2, q3 đặt A, B, C Biết q 2=-12,5.10-8C cường độ điện trường tổng hợp D Tính q1, q2 Hướng dẫn giải: Vectơ cường độ điện trường D: Vì q2 < nên q1, q3 phải điện tích dương Ta có: C Tương tự: II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Một điện tích đặt điểm có cường độ điện trường 0,16 (V/m) Lực tác dụng lên điện tích 2.10 -4 (N).Tính độ lớn điện tích ĐS: q = ( C) Bài 2: Cường độ điện trường gây điện tích Q = 5.10 -9 (C), Tính cường độ điện trường điểm chân khơng cách điện tích khoảng 10 (cm) ĐS: E = 4500 (V/m) Bài 3: Ba điện tích q giống hệt đặt cố định ba đỉnh tam giác có cạnh a Tính độ lớn cường độ điện trường tâm tam giác ĐS: E = Bài 4: Hai điện tích q1 = 5.10-9 (C), q2 = - 5.10-9 (C) đặt hai điểm cách 10 (cm) chân không Tính độ lớn cường độ điện trường điểm nằm đường thẳng qua hai điện tích cách hai điện tích ĐS: E = 36000 (V/m) Bài 5: Hai điện tích q1 = q2 = 5.10-16 (C), đặt hai đỉnh B C tam giác ABC cạnh (cm) không khí Tính cường độ điện trường đỉnh A tam giác ABC ĐS: E = 1,2178.10-3 (V/m) -9 Bài 6: Hai điện tích q1 = 5.10 (C), q2 = - 5.10-9 (C) đặt hai điểm cách 10 (cm) chân khơng Tính độ lớn cường độ điện trường điểm nằm đường thẳng qua hai điện tích cách q (cm), cách q2 15 (cm) ĐS: E = 16000 (V/m) Bài 7: Hai điện tích q1 = 5.10-16 (C), q2 = - 5.10-16 (C), đặt hai đỉnh B C tam giác ABC cạnh (cm) không khí Xác định cường độ điện trường đỉnh A tam giác ABC ĐS: E = 0,7031.10-3 (V/m) ĐIỆN THẾ -HIỆU ĐIỆN THẾ CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP I ĐIỆN THẾ - HIỆU ĐIỆN THẾ N Công lực điện trường đều: A = qEd d: Là hình chiếu độ dời đường sức Điện thế: a Điện điểm điện trường cơng lực điện trường làm điện tích q di chuyển từ M b Điện điểm M gây điện tích q: c Điện điểm nhiều điện tích gây ra: V = V + V2 + … + Vn Hiệu điện thế: AMN công lực điện trường làm di chuyển điện tích q từ M đến N Thế tĩnh điện: Wt(M) = q.VM Liên hệ cường độ điện trường hiệu điện M N d Véc tư cường độ điện trường hướng từ nới có điện lớn tới bé II CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TRƯỜNG ĐỀU: Gia tốc: - Độ lớn gia tốc: Chuyển động thẳng biến đổi đều: - Các phương trình động học: Chuyển động cong: Chọn hệ trục toạ độ 0xy có a - Phương trình chuyển động: với - Phương trình quỹ đạo; b xiên góc với - Phương trình chuyển động: - Phương trình quỹ đạo: B BÀI TẬP: I BÀI TẬP VÍ DỤ: Bài 1: Hiệu điện hai điểm C D điện trường U CD= 200V Tính: a Cơng điện trường di chuyển proton từ C đến D b Công lực điện trường di chuyển electron từ C đến D Hướng dẫn giải: a Công lực điện trường di chuyển proton: A = qpUCD = 1, 10 200 = 3,2 10 b Công lực điện trường di chuyển e: A = eUCD = 1, 10 200 = 3,2 10 Bài 2: Ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác vuông điện trường đều, cường độ E=5000V/m Đường sức điện trường song song với AC Biết AC = 4cm, CB = 3cm Góc ACB=900 a Tính hiệu điện điểm A B, B C, C A b Tích cơng di chuyển electro từ A đến B Hướng dẫn giải: A C a Ta có: B b Công dịch chuyển electron: Bài 3: Một electron bay với vận tốc v = 1,12.10 7m/s từ điểm có điện V1 = 600V, theo hướng đường sức Hãy xác định ddienj V2 điểm mà electron dừng lại Áp dụng định lí động năng: = -6,65.10-17J Mặt khác: Bài 4: Một electron bắt đầu chuyển động dọc theo chiều đường sức điện trường tụ điện phẳng, hai cách khoảng d = 2cm chúng có hiệu điện U = 120V Electron có vận tốc bai nhiêu sau dịch chuyển quãng đường 3cm Áp đụng định lý động năng: A = 0,5 m v Mặt khác: A =F.s =q.E.s=q s Do đó: Bài 5: Một electron bay từ âm sang dương tị điện phẳng Điện trường khoảng hai tụ có cường độ E=6.10 4V/m Khoảng cách giưac hai tụ d =5cm a Tính gia tốc electron b tính thời gian bay electron biết vận tốc ban đầu c Tính vận tốc tức thời electron chạm dương a Gia tốc electron: b thời gian bay electron: c Vận tốc electron chạm dương: v = at = 3,2.10 7m/v Bài 6: Giữa hai kim loại đặt song song nằm ngang tích điện trái dấu có hiệu điện U 1=1000V khoảng cách hai d=1cm Ở giưã hai có giọt thủy ngân nhỏ tích điện dương nằm lơ lửng Đột nhiên hiệu điện giảm xuống U = 995V Hỏi sau giọt thủy ngân rơi xuống dương? Hướng dẫn giải: - Khi giọt thủy ngân cân bằng: Khi giọt thủy ngân rơi: + Do đó: Thời gian rơi giọt thủy ngân: Bài 7: Một electron bay vào điện trường theo hướng ngược với hướng đường sức với vận tốc 2000km/s Vận tốc electron cuối đoạn đường hiệu điện cuối đoạn đường 15V Hướng dẫn giải: Áp dụng định lý động năng: Bài 8: Một electron bay điện trường hai tụ điện tích điện đặt cách 2cm với vận tốc 3.10 7m/s theo ngsong song với tụ điện Hiệu điện hai phải để electron lệch 2,5mm đoạn đường 5cm điện trường Ta có (1 Mặt khác: (2) Từ (1) (2): II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Hai kim loại song song, cách (cm) nhiễm điện trái dấu Muốn làm cho điện tích q = 5.10 -10 (C) di chuyển từ đến cần tốn công A=2.10 -9 (J) Coi điện trường bên khoảng hai kim loại điện trường có đường sức điện vng góc với Tính cường độ điện trường bên kim loại đó.ĐS: E = 200 (V/m) Bài 2: Một êlectron chuyển động dọc theo đường sức điện trường Cường độ điện trường E = 100 (V/m) Vận tốc ban đầu êlectron 300 (km/s) Khối lượng êlectron m = 9,1.10 -31 (kg) Từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vận tốc êlectron khơng êlectron chuyển động qng đường bao nhiêu.ĐS: S = 2,56 (mm) Bài 3: Hiệu điện hai điểm M N U MN = (V) Công điện trường làm dịch chuyển điện tích q = - ( nhiêuĐS: A = - ( C) từ M đến N bao J) Bài 4: Một cầu nhỏ khối lượng 3,06.10-15 (kg), mang điện tích 4,8.10-18 (C), nằm lơ lửng hai kim loại song song nằm ngang nhiễm điện trái dấu, cách khoảng 2(cm) Lấy g = 10 (m/s2) Tính Hiệu điện đặt vào hai kim loại ĐS: U = 127,5 (V) Bài 5: Công lực điện trường làm di chuyển điện tích hai điểm có hiệu điện U = 2000 (V) A = (J) Độ lớn điện tích bao nhiêu.ĐS: q = 5.10-4 (C) Bài 6: Một điện tích q = ( C) di chuyển từ điểm A đến điểm B điện trường, thu lượng W = 0,2 (mJ) Tính hiệu điện hai điểm A, B ĐS: U = 200 (V) Bài 7: Hai điện tích điểm q1 = 0,5 (nC) q = - 0,5 (nC) đặt hai điểm A, B cách 6(cm) khơng khí Tính cường độ điện trường trung điểm AB.ĐS: E = 10000 (V/m) Bài 8: Hai điện tích điểm q1 = 0,5 (nC) q2 = - 0,5 (nC) đặt hai điểm A, B cách 6(cm) khơng khí Tính độ điện trường điểm M nằm trung trực AB, cách trung điểm AB khoảng l = (cm).ĐS: E = 2160 (V/m) Bài 9: Một điện tích q = 10 -7 (C) đặt điểm M điện trường điện tích điểm Q, chịu tác dụng lực F = 3.10 -3 (N) Cường độ điện trường điện tích điểm Q gây điểm M có độ lớn bao nhiêu.ĐS: EM = 3.104 (V/m) Bài 10: Một điện tích điểm dương Q chân khơng gây điểm M cách điện tích khoảng r = 30 (cm), điện trường có cường độ E = 30000 (V/m) Độ lớn điện tích Q là:ĐS: Q = 3.10-7 (C) Bài 11: Hai điện tích điểm q1 = 2.10-2 ( C) q2 = - 2.10-2 ( C) đặt hai điểm A B cách đoạn a = 30 (cm) khơng khí Tính cường độ điện trường điểm M cách A B khoảng a ĐS: EM = 2000 (V/m) ... Công lực điện trường đều: A = qEd d: Là hình chiếu độ dời đường sức Điện thế: a Điện điểm điện trường công lực điện trường làm điện tích q di chuyển từ M b Điện điểm M gây điện tích q: c Điện điểm... niệm điện trường: Điện trường dạng vật chất: - Tồn xung quanh điện tích - Tác dụng lực điện lên điện tích khác đặt vào Cường độ điện trương: Véctơ cường độ điện trường đại lượng đặc trưng cho điện. .. NGHỊ Bài 1: Một điện tích đặt điểm có cường độ điện trường 0,16 (V/m) Lực tác dụng lên điện tích 2.10 -4 (N).Tính độ lớn điện tích ĐS: q = ( C) Bài 2: Cường độ điện trường gây điện tích Q = 5.10