Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Hng Yªn §Ò chÝnh thøC §Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn n¨m häc 2007 2008 M«n To¸n (dµnh cho líp chuyªn To¸n, Tin) Thêi gian 150 phót (kh«ng kÓ giao ®Ò[.]
Sở giáo dục đào tạo Hng Yên §Ị chÝnh thøC §Ị thi tun sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2007 - 2008 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 18 tháng năm 2007 Phần I: Trắc nghiệm (3,0 điểm) Trong câu sau đây, hÃy chọn phơng án viết chữ đứng trớc phơng án vào làm Câu Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình 6x2 - 5x + = 0, phơng trình bậc hai có nghiệm x1+ x2 vµ x1x2 lµ: A 36t2 – 36t + =0 B t2 – t + =0 C 5t2 – 36t + 36 = D 36t2 + 36t + =0 C©u Cho biĨu thøc P = 2x - 2x + Víi x tho¶ m·n tập hợp tất giá trị biểu thức là: A R B C D Câu Với m, phơng trình x2-(m-1)x-m2+m-2 = A có hai nghiệm trái dấu C có hai nghiệm dơng B D Câu Phơng trình có hai nghiệm âm vô nghiệm cã nghiƯm lµ A vµ B vµ C D -1 Câu Phơng trình âm dơng A vô nghiệm B có hai nghiệm phân biệt C cã nghiƯm kÐp D cã hai nghiƯm ph©n biƯt C©u Giá trị biểu thức là: A B -1- C -2 D -2 Câu Có Giá trị cđa H = lµ A H=4 B H= C H=7 D H=1 Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx+m2-5 Đờng thẳng (d) qua gốc toạ độ khi: A m= C m=2 B m=0 D m= ;m=- C©u Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Khi ®ã: A AH2 = BH BC C AB2 =BH HC B AHB đồng dạng với CAB D Câu 10 Cho tam giác ABC nhọn có AB R2 > R3 B R1 < R2 < R3 < R C R = R1 = R2 = R3 D R = R1 + R2 + R3 Câu 11 Cho góc xOy, điểm A Ox, điểm B, C Oy (A, B, C phân biệt khác O) thoả mÃn OA2 = OB.OC thì: A Ox tiếp tuyến đờng tròn ®i qua A, B, C B Oy lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn qua A, B, C C D OAB đồng dạng với ABC 2.OA = OB + OC Câu 12 Cho tam giác ABC có đờng cao AH, gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh AC AB Khi đó: A diện tích HEF B HEF đồng dạng với C HEF vuông D diƯn tÝch ABC ABC Tø gi¸c ABHE néi tiÕp đờng tròn -2- Phần II: Tự luận (7,0 điểm) Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình x2 - 2mx + m - = (1) a Chøng minh với m > phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mÃn nghiệm nghiệm đơn vị Bài 2: (2,0 điểm) 2007 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + 2xy + y2 - 3x - 3y + b Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC tam giác cân (có A = 600) nội tiếp đờng tròn tâm O, ngoại tiếp đờng tròn tâm I Gọi H trực tâm tam giác ABC Đờng thẳng OH cắt cạnh AB M cắt cạnh AC N tròn a Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C nằm đờng b Chøng minh BM + CN = MN c Gäi D E lần lợt tiếp điểm đờng tròn I với cạnh AB, BC AI cắt DE t¹i G Chøng minh gãc AGC b»ng 900 -HÕt - -3- Họ tên thí sinh: Chữ ký cđa c¸n bé coi thi sè Sè b¸o danh:………… Phòng thi số: Sở giáo dục đào tạo Hng Yªn Híng dÉn chÊm thi tun sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2007 - 2008 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin) Đề thứC I Các ý chÊm thi 1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ trình bày bớc lời giải nêu kết Trong bài, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ 2) Nếu thí sinh giải với cách giải khác với cách giải đáp án giám khảo chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho hay phần 3) Cặp chấm thảo ln chi tiÕt thèng nhÊt viƯc vËn dơng HDCT nµy 4) Các điểm thành phần điểm cộng toàn phải giữ nguyên không đợc làm tròn Phần I Trắc nghiệm (3 điểm) Mỗi câu cho 0,25 điểm Đáp ¸n C© u 10 11 12 Đ/án A B A B A B D D B C A A PhÇn Tự luận (7 điểm) Bài (2 điểm) a) Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có a = 1; b’ = -m; c = m - >0 Nên PT (1) có nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 hai nghiệm (1), áp dụng định lý Vi-ét ta -4- 0,5 đ đợc x1 x2 = x1 x2 = = m-1 > víi m>1 = 2m > với m>1 Do (1) có hai nghiệm dơng phân biệt với m>1 0,5 đ b) Không tính tông quát, giả sử x1 < x2 Ta cã Tõ (1) vµ (3) ta cã , Thay vào (2) ta đợc 0,5 đ =m-1 4m2-4m+1=6 Vậy với (2m-1)2=6 (1) có nghiệm thoả mÃn nghiệm nghiệm đơn vị 0,5 ® Bµi (2 ®iĨm) a) Ta cã A= x2 + 2xy + y2 -3x -3y + 2007 = (x+y)2 – 3(x+y) + 2007 = (x+ y - )2 + với x, y Mặt khác ta có: A= x+y- =0 x+y= -5- 0,5 ® VËy A = x+y= 0,5 đ b) Nhận xét: p số nguyên tố => 4p2 + > , 1> 6p2 + Đặt x = 4p2 + = 5p2 - (p -1)(p + 1) y = 6p2 + => 4y = 25p2 - (p -2)(p +2) 0,25 ® Khi ®ã: - NÕu p chia d hc d (p 1)(p+1) => x mà x > suy x không số nguyên tè - NÕu p chia d hc d th× (p - 2)(p + 2) => 4y mµ (4,5) = => y mµ y > => y không số nguyên tố Do p 5, mà p số nguyên tố => p =5 0,25 ® 0,25 ® Thư víi p = x = 101, y = 151 số nguyên tố Đáp số p = * Cách khác : Nhận xét: 4a2+ 1> 6a2 + 1> p số nguyên tố Gọi r lµ sè d cđa phÐp chia p cho => r {0,1,2,3,4} Ta cã p = 5k + r với k số tự nhiên - Lần lợt thay p = 5k + 1, p = 5k + vào 4p2 + suy 4p2 + chia hết cho => 4p2 + không số nguyên tố - Lần lợt thay p = 5k + 2, p = 5k + vµo 4p2 + th× suy 6p2 + chia hÕt cho => 6p2 + không số nguyên tố - Do vËy p chia hÕt cho , mµ p nguyên tố nên p =5 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 3: (1,5 điểm) -6- A B' C' H I N O M C B Gọi BB CC đờng cao tam giác ABC Tam giác ABC nhọn nên H O n»m tam gi¸c ABC => H, O, I nửa mặt phẳng bờ BC (1) - Tứ gi¸c AB’HC’ néi tiÕp => => BHC = 1200 BOC = BIC = 1800 120 C’HB’ = 1800 – C’AB’ = 1200 0,25 ® (2) BAC = 1200 IBC - (3) ICB = 1800 - ( ABC + ACB) = (4) Tõ (2), (3) , (4) => 0,25 ® BHC = BIC = 0,25 ® BOC = 1200 (6) Từ (1) (6) => năm điểm B,C,O,H,I thuộc đờng 0,25 tròn đ b) Từ BHOC nội tiÕp => Tam gi¸c ACC’ cã Do vËy NH NHC = OHC = C’ = 900 => OBC = OHC = 900 - CAC’ = 300 NCH => tam giác NHC cân N => NC = Tơng tự MB = MH Tõ ®ã cã BM + CN = MN c) -7- 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® A A D D I I G B C E C E B G H×nh H×nh Trờng hợp 1: G nằm DE ( hình 1) Ta có GEC = BED (đ.đ) Tam giác BDE cân B => Tam giác AIC có BED = AIC = 1800 - (7) IAC - ICA = 1800 - ( BAC +BCA) = 1800 - mµ CIG = 180 - AIC = nên CIG = CEG => tứ giác IEGC nội tiếp đợc => IEC = 900 hay AGC = 900 IGC = Trờng hợp 2: G thuộc đoạn DE Chøng minh t¬ng tù ta cã CIG = => tứ giác IGEC nội tiếp đợc => IGC = GEB = 1,0® IEC = 900 (Lu ý: NÕu chøng minh trờng hợp hình cho 0,75đ) -8- ... khác : NhËn xÐt: 4a2+ 1> vµ 6a2 + 1> p số nguyên tố Gọi r lµ sè d cđa phÐp chia p cho => r {0,1,2,3,4} Ta cã p = 5k + r víi k số tự nhiên - Lần lợt thay p = 5k + 1, p = 5k + vµo 4p2 + th× suy 4p2... có hai nghiệm dơng phân biệt với m>1 0,5 đ b) Không tính tông quát, giả sử x1 < x2 Ta cã Tõ (1) vµ (3) ta cã , Thay vào (2) ta đợc 0,5 đ =m-1 4m2-4m+1=6 Vậy với (2m-1)2=6 (1) có nghiệm thoả mÃn... 4p2 + th× suy 4p2 + chia hết cho => 4p2 + không số nguyên tố - Lần lợt thay p = 5k + 2, p = 5k + vµo 4p2 + th× suy 6p2 + chia hÕt cho => 6p2 + không số nguyên tố - Do vËy p chia hÕt cho , mµ p