De cap huyen 2010 2011 §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m §ç V¨n L©m Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn Tr−êng THCS TT T©n Uyªn §Ò + §¸P ¸N thi chän häc sinh giái lí[.]
Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đề + ĐáP áN thi chọn học sinh giỏi lớp cấp huyện Môn: Toán Thời gian: 150 phút Năm học: 2010 - 2011 Câu 1: (5 điểm) a + b3 a −2 − b −2 − ab : −1 −1 Cho: A = a b a b a, Tìm điều kiƯn cđa a, b ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa b, Rót gän A 2, Cho ba sè nguyªn x, y, z tháa m2n: x + y + z ⋮ chøng minh r»ng: M = {(x + y)(y + z)(z + x) 2xyz} Câu (3 điểm) So s¸nh: 2+ − 2− 2+ + 2− TÝnh tỉng: S = vµ 3 1 + + + +1 + 100 99 + 99 100 Câu (4 điểm) Giải phơng trình hệ phơng trình sau đây: a, + 2x = x x − − y + = b, 2 x − + y + = 15 C©u 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu đờng trung tuyến đờng cao ứng với cạnh huyền 7cm Câu 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến KA, KB với đờng tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đờng kính AOC Tiếp tuyến đờng tròn (O) C cắt AB E Chứng minh rằng: KBC đồng dạng với OBE Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án a b3 a −2 − b −2 − ab : −1 −1 C©u 1: Cho: A = a− b a −b a, §KX§: a > 0, b > 0, a ≠ b a 3− b 1 1 b, Rót gän: A = − ab : − : − b a b a− b a ( a − b )(a + ab + b) b2 − a b − a = − ab : a b : ab ( a b ) − (b − a)(b + a) ab = a + ab + b − ab : a b b−a (b + a) = (a + b) : = ab VËy A = ab a.b 2, Cho ba sè nguyªn x, y, z tháa m2n: x + y + z ⋮ chøng minh r»ng: M = {(x + y)(y + z)(z + x) − 2xyz}⋮ ( ) ( ) ( ) Ta cã: x3 - x = (x -1)x(x + 1) (Vì tích số nguyên liªn tiÕp chia hÕt cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) = (x3 - x) + (y3 - y) + (z3 - z) (Vì biểu thức ngoặc chia hÕt cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) ⋮ Mµ (x + y + z) ⋮ ⇒ x3 + y3 + z3 Mặt khác: (x + y + z)3 = (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + x) + z3 = x3 + 3xy(x + y) + y3 + 3(xz + yz)(x + y + z) + z3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz Do (x + y + z) ⋮ vµ x3 + y3 + z3 ⋮ ⇒ 3xyz ⋮ VËy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz = {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (v× x + y + z ⋮ 6) = (6k - z)(6k - x)( 6k - y) - 2xyz = 6N - xyz - 2xyz = 6N - 3xyz (vì 6N 3xyz 6) (đpcm) Câu So sánh: Đặt A = = = 2+ 2+ + 2− 2+ − 2− 2+ + 2− 4+2 + 4−2 3 + − −1 +1 + −1 = ( 2( = 4+2 − 4−2 vµ ) 3) 2+ − 2− 2+ + 2− ( + 1)2 − ( − 1) = 3 ( + 1) + ( − 1) = VËy 2+ − 2− 2+ + 2− = 3 1 + + + +1 + 100 99 + 99 100 * Víi mäi n ∈ N ta cã: (n + 1) n − n n + (n + 1) n n n + 1 = = − = − Do ®ã n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 1 1 − + − + − + + − =1= S= 10 10 2 3 99 100 TÝnh tæng: S = Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Câu Giải phơng trình hệ phơng trình sau đây: x a, + 2x − = x ⇔ 2x − = x − 6x + x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ (x − 2)(x − 6) = x − 8x + 12 = x ≥ ⇔ x = 2(Lo¹i) ⇔ x = x = Vậy phơng trình có nghiệm x = x − − y + = b, (*) §KX§: x ≥ 1, y ≥ -2 x − + y + = 15 Đặt U = x 0, V = y + ≥ Khi ®ã U − 3V = 2U − 6V = (*) ⇔ ⇔ 2U + 5V = 15 2U + 5V = 15 U − 3V = U = ⇔ ⇔ (T/m) 11V = 11 V = x = 26 x − = VËy (*) ⇔ ⇔ (T/m) VËy hÖ cã mét nghiÖm nhÊt (26; -1) y = − y + = C©u 4: (4 điểm) Tính diện tích tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu đờng trung tuyến ®−êng cao øng víi c¹nh hun b»ng 7cm (Tù viÕt GT/KL) Gäi AB = c, BC = a, CA = b, AH = h (Víi < a, b, c, h < 72) Khi ®ã a2 = b2 + c2 (Pitago) A 1 +) S = bc = (2bc) = (b + c2 − a + 2bc) 4 1 b c = (b + c) − a = (a + b + c)(b + c − a) h 4 1 = (a + b + c)(a + b + c − 2a) = 72.(72 − 2a) (1) 4 B H C M BC a 1 a +) Mặt khác: AM = = S = ah = a.( − 7) (2) a 2 2 1 a Tõ (1) vµ (2) ta cã phơng trình: 72.(72 2a) = a.( 7) 5184 - 144a = a2 - 14a 2 ⇔ a + 130a - 5184 = ⇔ (a - 32)(a + 162) = ⇔ a = 32 (T/m) a = -162 (loại) S = 72.(72 − 2a) = 18.(72 - 2.32) = 144 (cm2) VËy SABC = 144 (cm2) C©u 5: (4 điểm) Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến KA, KB với đờng tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đờng kính AOC Tiếp tuyến đờng tròn (O) C cắt AB E CMR: KBC đồng dạng với ∆ OBE (HS Tù ghi GT/KL) C/m Chó ý: HS cha học góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây 2 = K (Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Ta có: K Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên = 900 mµ KO lµ trung trùc cđa AB ⇒ AHK 1 = A (Cïng phơ víi AOK ) ⇒ K 1 = C (Cïng phơ víi AOK ) L¹i cã: A 2 = C 1 VËy: K - XÐt ∆BKO vµ ∆BCE cã: = CBE = 900 (gt) KBO 2 = C (C/m trªn) K ⇒ ∆BKO ∆BCE BK BO ⇒ = (1) BC BE = 900 + OBC Mặt khác: OBE = 900 + OBE KBC = KBC (2) ⇒ OBE Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆ OBE ∆ KBC (c.g.c) (®pcm) A O H C B E K ... - 3xyz Do (x + y + z) ⋮ vµ x3 + y3 + z3 ⋮ ⇒ 3xyz ⋮ VËy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz = {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (v× x + y + z ⋮ 6) = (6k - z)(6k - x)( 6k -. .. cã: x3 - x = (x -1 )x(x + 1) ⋮ (Vì tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x + y + z) = (x3 - x) + (y3 - y) + (z3 - z) ⋮ (V× biểu thức ngoặc chia hết cho 6) ⇒ x3 + y3 + z3 - (x... trình: 72.(72 − 2a) = a.( − 7) ⇔ 5184 - 144a = a2 - 14a 2 ⇔ a + 130a - 5184 = ⇔ (a - 32)(a + 162) = ⇔ a = 32 (T/m) hc a = -1 62 (lo¹i) ⇒ S = 72.(72 − 2a) = 18.(72 - 2.32) = 144 (cm2) VËy SABC = 144