së gi¸o dôc ®µo t¹o qung ninh së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o qu¶ng ninh kú thi häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt n¨m häc 2008 2009 §Ò thi chÝnh thøc m«n To¸n ( b¶ng A ) Hä vµ tªn, ch÷ ký cña gi¸m thÞ sè 1[.]
sở giáo dục đào tạo quảng ninh - kú thi häc sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 thpt năm học 2008-2009 Đề thi thức môn : Toán Họ tên, chữ ký giám thị số ( bảng A ) Ngµy thi : 24/11/2008 Thêi gian lµm bµi : 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): Giải phơng trình : = Bài (4 điểm): Cho số thực a, b thoả mÃn ab Chứng minh phơng trình sau có nghiƯm thùc ph©n biƯt: x - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) = Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC có trị biểu thức = = BC = a HÃy tính giá theo a Bài (5 điểm): Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' với độ dài cạnh a Tính thể tích khối tứ diện BDC'A' theo a Điểm M chạy cạnh AA' điểm N chạy cạnh BC cho AM = BN = m (0 < m < a) Chøng minh r»ng m thay ®ỉi víi < m < a, đờng thẳng MN cắt vuông góc với đờng thẳng cố định Bài (4 điểm): Cho số thực dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc T = xyz - HÕt -Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: sở giáo dục đào tạo quảng ninh hớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2008-2009 môn toán, bảng A Bài Sơ lợc lời giải điể m Cho B TX§: ≤ x ≤ Cã: (1) ( ài điểm = 12 0,5 Xét f(x) = vµ g(x) = víi ≤ x ≤ đ Dễ chứng minh đợc: f(x) > f(x) đồng biến 0; g'(x) = /2 > 0; => g(x) 1,0 > g(x) đồng biến trên 0; đ => y = f(x).g(x) đồng biến 0; y(0) y(x) ≤ y(4) = 12 1,5 Do ®ã (1) x = Vậy ph/trình đà cho có ® nghiÖm x=4 0,5 ® 0,5 ® ) B XÐt hµm sè f(x) = x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) víi x R µi Cã f'(x) = 3x2 - 3(a2 + b2) ; Do ab nªn f'(x) = cã nghiƯm phân biệt x = x1 = x = x2 ==> điểm f(x) có CĐ CT Chia f(x) cho f'(x), đợc f(x) = (1/3)x.f'(x) - 2(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Khi fCĐ.fCT=f(x1).f(x2)=(-2(a2+b2)x1+2(a3+b3)).( 2(a2+b2)x2+ 2(a3+b3)) = … = - 4a2b2 a2 + b2 + (a-b)2 => fCĐ.fCT < Suy phơng trình đà cho có nghiệm thực, phân biệt Bài 3 điểm Tõ gi¶ thiÕt => A + B + C = 7A = => sin3A = sin4A áp dụng định lý hàm số sin cho ABC, đợc: b = 2R.sinB; c = 2R.sinC a = 2R.sinA R bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC Khi : (1/b) + (1/c) = (1/2R)(1/sinB + 1/sinC) =(1/2R).(sin2A+sin4A)/(sin2A.sin4A)=(1/R).(sin3A.cosA)/ (sin2A.sin4A) = 1/2R.sinA = 1/a V¹y : (1/b) + (1/c) = 1/a 1,0 ® 1,0 ® 1,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,5 ® 0,5 ® B Chøng minh ®ỵc BD = BA' = BC' = DA' = DC' = A'C' = a µi 4.1 => tø diƯn BDC'A' lµ tø diện Chứng minh đợc: = Vlập phơng - 4.VABDA' điểm Tính đợc: Vlập phơng = a3; VABDA' = (1/6)a3 Suy = (1/3).a3 B Gäi P, Q, O lần lợt trung điểm AB, C'D', PQ, có ài 4.1 PQ cố định Lấy điểm S thuéc c¹nh A'D' cho D'S = AM = BN ®iĨm Chøng minh ®ỵc MS // AD' => MS // PQ Chứng minh đợc NS qua O => N mặt phẳng (PQSM) => MN cắt PQ Từ giả thiết chứng minh đợc APM = BPN => PM = PN Tõ ®ã suy MN PQ VËy MN cắt vuông góc với PQ (đpcm !) Bài Bài điể m Sơ lợc lời giải Từ giả thiết => / ; dấu đăng thức có 1/(1+x) = 0,5 đ ; dấu đăng thøc cã 1/(1+x) = 0,5 ® 3/(3+z) (2) ≥ / 1,0 đ 1,5 ; dấu đăng thức có 2/(2+y) = ® / / 1,0 ® = 3/(3+z) (1) Hoàn toàn tơng tự, có: 1,0 đ điể m x, y, z > nên áp dụng BĐT Côsi, đợc: => 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 2/(2+y) (3) Nhân vế-vế BĐT trên, đợc: 23.6/(1+x)(2+y) (3+z) Suy ra: xyz 48 Dấu đẳng thức cã 1/(1+x) = 2/(2+y) =3/(3+z) = 1/3 x = 2; y = z = 1,0 đ 0,5 đ Cho Vậy giá trị nhỏ biểu thức T = xyz 2.4.6 = 48 Hìn h vÏ bµi C B N B C P D A K A D R O M B' C' B' C' Q A' D' A' S D' C¸c chó ý chấm: Hớng dẫn chấm trình bày sơ lợc cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác đợc điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nhng không đợc vợt số điểm dành cho câu, phần Có thể chia điểm phần nhng không dới 0,25 đ phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm Không làm tròn điểm Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải đợc trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ Bài 5: Các số thực x, y thoả m·n : x2 + y2 - xy = TÝnh giá trị nhỏ giá trị lớn biĨu thøc F = Bµi 5: Cho a, b số thực thoả mÃn: 256a 27b Chứng minh r»ng: x4 + ax3 + b víi x Bài 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh Điểm M di động cạnh AB điểm N di động cạnh AC cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh mặt phẳng (DMN) qua điểm cố định thứ hai khác D Tính giá trị biểu thức B ài 4.1 điểm Gọi H trực tâm ABC, chứng minh đợc DH mặtphẳng (ABC) Kết hợp với giả thiết m/p (DMN)m/p (ABC), suy H lu«n MN VËy H m/p (DMN) => (đpcm !) B ài 4.2 Tính đợc diện tích AMN = (1/2).AM.AN.sinA = AM.AN /4 Mặt khác lại có: SABC = SANH + SAMH = (1/2)AH.sin(A/2) (AM+AN) = (1/4).(AM + AN)/ Tõ ®ã suy ra: AM.AN /4 = (1/4).(AM + AN)/ 2,5 ®iĨm hay : (1/AM) + (1/AN) = µi B D A N H M B H×nh vÏ C 1,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® C B N B C P D A K A D R O M B' C' B' C' Q A' D' A' S D' ... biểu thức T = xyz - HÕt -Hä tên thí sinh: Sè b¸o danh: së gi¸o dục đào tạo quảng ninh hớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 200 8-2 009 môn toán, bảng A Bài... cho f''(x), ®ỵc f(x) = (1/3)x.f''(x) - 2(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Khi fCĐ.fCT=f(x1).f(x2)= (-2 (a2+b2)x1+2(a3+b3)).( 2(a2+b2)x2+ 2(a3+b3)) = = - 4a2b2 a2 + b2 + (a-b)2 => fC§.fCT < Suy phơng trình... ph/trình đà cho có đ nghiệm x=4 0,5 đ 0,5 đ ) B Xét hàm số f(x) = x3 - 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) víi x R µi Cã f''(x) = 3x2 - 3(a2 + b2) ; Do ab nên f''(x) = có nghiệm phân biệt lµ x = x1 = vµ