së gi¸o dôc ®µo t¹o qung ninh phßng gi¸o dôc thµnh phè h¹ long @ kú thi chän häc sinh giái líp 8 thµnh phè n¨m häc 2004 2005 ®Ò thi m«n to¸n Ngµy thi / /2005 Thêi gian lµm bµi 150 phót (kh«ng kÓ thêi[.]
phòng giáo dục thành phố hạ long - @ - kú thi chän học sinh giỏi lớp thành phố năm học 2004 - 2005 đề thi môn : toán Ngày thi : / ./2005 Thêi gian lµm bµi : 150 (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Có hay không số tự nhiên n thoả mÃn: n + n + chia hÕt cho 2005 ? b) Cho x vµ y lµ hai sè thùc cho số nguyên Chứng minh số nguyên Bài 2: Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) ( x+ 6)(x + 7) + a vµ Q(x) = x2 + 7x + 14 Tìm giá trị cđa a ®Ĩ ®a thøc P(x) chia hÕt cho ®a thức Q(x) Bài 3: Tìm x biết: + + =0 Bài 4: Cho tam giác ABC Lấy điểm O cho tia AO nằm hai tia AB AC Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a) Tứ giác MNPQ hình ? Vì ? b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ b»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC HÕt - Họ tên : Sè b¸o danh : híng dÉn chÊm thi HSG thành phố năm học 2004-2005 môn toán lớp Bài Sơ lợc lời giải B Ta chứng minh n + n + kh«ng chia hÕt cho víi µi n N 1a) XÐt n = 5k + r víi n => n2 + n + = 5p + r2 + r+1 điể Thử trực tiếp trờng hợp r => r2 + r + m 1;2;3 => n2 + n + chia cho d lµ 1;2;3 => n2 + n + kh«ng chiahÕtcho Mặt khác thấy 2005 chia hết cho Vậy số tự nhiên n thoả mÃn: n2 +n+1 chia hÕt cho 2005 1b) Tõ gi¶ thiÕt => ( )( ) Z => Z ®iĨ m => ( )2 Z => Z (®pcm !) B §Ỉt x + 7x + = t => Q(x) = t + = q(t) µi vµ P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t + 4t3 - 36t2 144t + a = p(t) ®iĨ m Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896 Khi ®ã P(x) chia hÕt cho Q(x) p(t) chia hÕt cho q(t) a = -896 VËy víi a = -896 th× P(x) chia hết cho Q(x) B Đặt: =a; =b; = c => a + b ài +c=0 Chứng minh đợc víi a+b+c = th× a3 + b3 + c3 = điể abc m Khi giả thiết 5/4 x = 15 + + Điểm 2,0 ® 0,5 ® 0,5 ® 1,0 ® 1,0 ® 0,5 ® 1,25 ® 1,25 ® 1,0 ® 0,5 ® 2,0 ® =0 = x = 70 hc x = 1,5 đ Vậy giá trị cần tìm x là: x = 70 x = 5/4 x = 15 B A A µi Q P Q P O B C N a) ® M N B C Tứ giác MNPQ hình bình hành M O Giả sử MNPQ hình chữ nhËt => MQ MN => AO b) BC Do d/t MNPQ = d/t ABC => => AO = AH (®êng ®iĨ cao cđa ABC) m => O tia AH cho AO = AH (với AH đờng cao ABC) Ngợc lại, lÊy ®iĨm O tia AH cho AO = AH (víi AH - ®êng cao cđa ABC), dƠ chứng minh đợc tứ giác MNPQ hình chữ nhật d/t MNPQ = d/t ABC Vậy điểm O cần t×m tia AH cho AO = AH (với AH đờng cao ABC) Có điểm O thoả mÃn yêu cầu toán 2,0 đ 1,0 ® 1,5 ® 0,5 ® 1,5 ® 0,5 ® ... = t => Q(x) = t + = q(t) µi vµ P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t + 4t3 - 36t2 144t + a = p(t) điể m Chia p(t) cho q(t), đợc p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896 Khi ®ã P(x) chia hÕt... - 112).q(t) + a + 896 Khi ®ã P(x) chia hÕt cho Q(x) p(t) chia hÕt cho q(t) a = -8 96 VËy víi a = -8 96 th× P(x) chia hÕt cho Q(x) B Đặt: =a; =b; = c => a + b ài +c=0 Chứng minh đợc với...Họ tên : Sè b¸o danh : híng dÉn chÊm thi HSG thµnh năm học 200 4-2 005 môn toán lớp Bài Sơ lợc lêi gi¶i B Ta sÏ chøng minh n + n + không chia hết cho với ài n