De thi hoc sinh gioi lop 6

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 BỘ ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM 2020-2021 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Ngày thi: 24/3/2021 Câu (3,0 điểm) Thực phép tính a) 936 − 508 − ( 510 : 58 + 20190 )  26.18 + 27 b) 6 −  1  1               c)  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −       12   20   30   42   56   72   90  Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết: 420 a) x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + ( x + 20 ) = b) x + x +1 + x + + x +3 + + x + 2020= 22023 − Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu? Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: xy − x − y = b) Tìm số tự nhiên n để phân số A = Câu 10n + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 2n +   =1 yOz hai góc kề bù thỏa mãn xOy (5,0 điểm) Cho xOy yOz   a) Tính số đo xOy yOz yOm = 600 Tia Om có tia phân giác  yOz khơng? Vì sao? b) Vẽ tia Om cho  c) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz , Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz , Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường trịn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Câu (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n ( n > ) cho tổng: S = 1!+ 2!+ 3!+ + n ! số phương b) Cho ba số nguyên tố lớn , số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho HẾT UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút Ngày thi: 24/3/2021 🕮🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮🕮 Câu (3,0 điểm) Thực phép tính a) 936 − 508 − ( 510 : 58 + 20190 )  b) 26.18 + 27 26.52 − 26.3  1  1               c)  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −       12   20   30   42   56   72   90  Lời giải a) 936 − 508 − ( 510 : 58 + 20190 )  =936 − 508 − ( 52 + 1)  =936 − [508 − 5.26] =936 − [508 − 208] = 936 − 300 = 636 b) 27 ( + 1) 2.10 10 26.18 + 27 = = = 26.52 − 26.3 26 ( 52 − 3) 22 11  1  1               c)  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −  +  −       12   20   30   42   56   72   90  1  1 1   1  = − + + + + − 1 − + − + + −  = − 1 −  = − = 9.10  10  10  1.2 2.3 3.4   10  Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , biết 420 a) x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + ( x + 20 ) = b) x + x +1 + x + + x +3 + + x + 2020= 22023 − Lời giải 420 a) x + ( x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + ( x + 20 ) = x + x + + x + + x + + + x + 20 = 420 420 ( x + x + + x ) + (1 + + + + 20 ) = 21x + 21.20 = 420 21x + 210 = 420 21 = x 420 − 210 21x = 210 x = 10 Vậy x = 10 b) x + x +1 + x + + x +3 + + x + 2020= 22023 − 2020 x (1 + + 22 + 23 + + 2= ) 22 ( 22021 − 1) (1) Đặt A =1 + + 22 + 23 + + 22020 ⇒ A =2 + 22 + 23 + 24 + + 22021 ⇒ 2A − = A 22021 − ⇒ = A 22021 − Từ (1) ⇒ x ( 22021= − 1) 22 ( 22021 − 1) ⇒ x = 22 ⇒ x = Vậy x = Câu (3,0 điểm) Bạn Hà có hai ngăn sách Số sách ngăn A 40% số sách ngăn A B Hà cho bạn mượn sách ngăn A nên số sách ngăn A số sách tổng hai ngăn Tính tổng số sách hai ngăn lúc đầu? Lời Giải 40% = Lúc đầu số sách ngăn A số sách ngăn B Lúc sau số sách ngăn A số sách ngăn B sách ứng với 1 − =số sách ngăn B Vậy số sách ngăn B là: : Số sách ngăn A là: = 30 30 = 20 Số sách hai ngăn A B là: 20 + 30 = 50 (quyển sách) Câu (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: xy − x − y = b) Tìm số tự nhiên n để phân số A = 10n + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 2n + Lời giải a) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho: xy − x − y = xy − x − y = ⇒ ( xy − x ) − ( y − ) − = ⇒ x ( y − 2) − ( y − 2) = ⇒ ( x − 1)( y − ) = Vì x; y ∈ Z nên ( x − 1) ; ( y − ) ước Ta có bảng sau: x −1 −1 −3 y−2 −3 −1 Suy x −2 y −1 Đối chiếu điều kiện x; y ∈ Z ⇒ ( x; y ) ∈ {( 0; −1) ; ( −2;1) ; ( 2;5 ) ; ( 4;3)} b) Tìm số tự nhiên n để phân số A = A= 10n + 5 ( 2n + 3) − 10 10 = = 5− 2n + 2n + 2n + Để A đạt giá trị nhỏ − ⇒ 10n + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 2n + 10 nhỏ 2n + 10 lớn ⇒ 2n + nhỏ 2n + Mà 2n + ≥ nhỏ n = Vậy A = Câu 5 10n + nhỏ n = ⇒ A = 2n +   =1 yOz hai góc kề bù thỏa mãn xOy (5,0 điểm) Cho xOy yOz   yOz a) Tính số đo xOy yOm = 600 Tia Om có tia phân giác  yOz khơng? Vì sao? b) Vẽ tia Om cho  c) Trong trường hợp Ox, Oy, Oz , Om tia phân biệt, kẻ thêm 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz , Om ) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R Gọi A tập hợp giao điểm đường tròn nói tia chung gốc O Tính số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A Lời giải m z y O x   + a) Vì xOy yOz hai góc kề bù nên xOy yOz = 1800 =1 Mà xOy yOz Nên 1  = yOz = 600 1200 ⇒ xOy yOz = 1800 ⇒  yOz + yOz = 1800 ⇒  2 b) *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy có chứa tia Ox  =  yOm = 600 Mà xOy Nên tia Om trùng với tia Ox yOz Do tia Om khơng tia phân giác  *) Nếu Om tia nằm nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa tia Ox  Ta = có  yOm 60 = ; yOz 1200  ⇒ yOz < xOy ⇒ Tia Om nằm hai tia Oy Oz (1) =  ⇒ yOm + mOz yOz   = = yOm 60 = ; yOz 1200 ) ⇒ mOz 600 (vì  ( 2) ⇒ yOm = mOz Từ (1) ( ) ta có tia Om tia phân giác  yOz c) Mỗi đường thẳng qua điểm O cắt đường tròn tâm O bán kính R hai điểm phân biệt nên có giao điểm đường thẳng qua điểm O với đường trịn tâm O bán kính R Mà có 30 đường thẳng phân biệt qua điểm O (các đường thẳng không chứa tia Ox, Oy, Oz , Om ) nên số giao điểm 30 đường thẳng với đường trịn tâm O là: 2.30 = 60 (giao điểm) Vì tia Ox, Oy, Oz , Om tia phân biệt nên có giao điểm tia với đường tròn tâm O 64 (giao điểm) Số phần tử tập hợp A : 60 + = Nối điểm với 63 điểm lại tập hợp A ta 63 đoạn thẳng Mà có tất 64 điểm nên có số đoạn thẳng là: 63.64 = 4032 (đoạn thẳng) Tuy nhiên đoạn thẳng tính hai lần nên số đoạn thẳng có là: 4032 : = 2016 (đoạn thẳng) Vậy số đoạn thẳng tạo thành với đầu đoạn thẳng thuộc tập hợp A 2016 đoạn thẳng Câu (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n ( n > ) cho tổng: S = 1!+ 2!+ 3!+ + n ! số phương b) Cho ba số nguyên tố lớn , số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Lời giải a) Vì n ∈ N ; n > nên: +) Nếu n = ta có: S = (là số phương) nên n = thỏa mãn +) Nếu n = ta có: S =1!+ 2! =3 (khơng số phương) nên n = không thỏa mãn +) Nếu n = ta có: S =1!+ 2!+ 3! = (là số phương) nên n = thỏa mãn +) Nếu n = ta có: S =1!+ 2!+ 4! = 33 (khơng số phương) nên n = không thỏa mãn +) Nếu n ≥ ta có: 5! = 120 nên S số tự nhiên có chữ số tận Mà số phương có chữ số tận chữ số: 1;4;5;6;9 S khơng số phương với n ≥ Vậy n ∈ {1;3} b) Gọi ba số nguyên tố lớn a, b, c Giả sử a > b > c Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c ba số nguyên tố lẻ Vì số sau lớn số trước d đơn vị, số nguyên tố khác số lẻ nên d số d a − b =  d chẵn b − c = a − c = 2d  Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c khơng chia hết cho Do ba số số a, b, c ln tồn hai số có số dư chia hiệu hai số chia hết cho  d 3 ⇒ ⇒ d 3 (vì UCLN ( 2;3) = )  2d  Mà d số chẵn nên d  Vậy d   HẾT  PHÒNG GD VÀ ĐT YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Câu (5 điểm) Thực phép tính: A =1 + − − + + − − + + + 2018 − 2019 − 2020 Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2013.2014 (5 điểm) Tìm x biết x −1 + x + x +1 = 112 x ; y Tìm số nguyên thỏa mãn xy − 10 x + y = 12 , a + 2b = tổng a + b + c có giá trị lớn Tìm số a, b, c không âm, cho a + 3c = Câu (3 điểm) Cho S =5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52016 Chứng tỏ S chia hết cho 65 Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai thừa số nguyên tố khác p1 p2 Biết a có tất 40 ước, hỏi a có ước? Câu (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho AI = 4cm Trên tia BA lấy điểm K cho BK = 2cm a) Chứng tỏ điểm I nằm A K b) Tính IK Cho AB = 22014 cm Gọi C1 trung điểm AB ; Gọi C2 trung điểm AC1 ; Gọi C3 trung điểm AC2 ;…; Gọi C2014 trung điểm AC2013 Tính C1C2014 Câu Cho 100 điểm có điểm thẳng hàng, qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất đường thẳng? (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên a b thỏa mãn (100a + 3b + 1) ( 2a + 10a + b ) = 225 HẾT PHÒNG GD VÀ ĐT YÊN ĐỊNH ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP CỤM NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 🕮🕮☞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ☜🕮🕮 Câu (5 điểm) Thực phép tính: A =1 + − − + + − − + + + 2018 − 2019 − 2020 Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2013.2014 Lời giải Từ 1, 2, 3, , 2020 có 2020 số Nhóm số thành nhóm ta 2020 : = 505 (nhóm) Ta có: A =1 + − − + + − − + + + 2018 − 2019 − 2020 A = (1 + − − ) + ( + − − ) + + ( 2017 + 2018 − 2019 − 2020 ) A= −2020 ( −4 ) 505 = Ta có: A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 2013.2014.3 3A = 1.2.3 + 2.3 ( − 1) + 3.4 ( − ) + + 2013.2014 ( 2015 − 2012 ) Câu 3A = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + + 2013.2014.2015 − 2012.2013.2014 A = 2013.2014.2015 ⇒ A= 2723058910 (5 điểm) Tìm x biết x −1 + x + x +1 = 112 Tìm số nguyên x; y thỏa mãn xy − 10 x + y = 12 , a + 2b = tổng a + b + c có giá trị lớn Tìm số a, b, c khơng âm, cho a + 3c = Lời giải 1) Ta có: x −1 + x + x +1 = 112 x −1 x −1 x −1 2 + 2 + 2 = 112 x−1 (1 + + 22 ) = 112 x−1.7 = 112 x−1 = 112 : x−1 = 16 x−1 = 24 x − =4 x=5 2) Ta có: xy − 10 x + y − = ⇒ x ( y − 5) + ( y − 5) = ⇒ ( x + 1)( y − ) = ⇒ ( x + 1)( y − ) =1.7 =7.1 =( −1) ( −7 ) =( −7 ) ( −1) Lập bảng 2x +1 −1 −7 3y − −7 −1 x −1 −4 − Thỏa mãn Thỏa mãn y Loại Loại Vậy cặp số ( x; y ) là: ( 0; ) , ( 3; ) , a + 2b = suy 2a + 2b + 3c = 17 Từ a + 3c = Hay ( a + b + c ) + c = 17 Câu Để a + b + c lớn phải có c nhỏ nhất, mà c ≥ nên c = 17 Khi a = , b = Giá trị lớn a + b + c = 2 (3 điểm) Cho S =5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52016 Chứng tỏ S chia hết cho 65 Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai thừa số nguyên tố khác p1 p2 Biết a có tất 40 ước, hỏi a có ước? Lời giải 1) Ta có: + 52 + 53 + 54 = ( + 53 ) + ( + 53 ) = 130 + 5.130 ⇒ + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 S =5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52016 = ( + 52 + 53 + 54 ) + 54 ( + 52 + 53 + 54 ) + + 52012 ( + 52 + 53 + 54 ) Tổng có 504 số hạng chia hết cho 130 nên S chia hết cho 130 Do S chia hết cho 130 nên S chia hết cho 65 2) Ta có: = a p1m p2n ⇒ a= p13m p23n Số ước a 40 nên ta có ( 3m + 1)( 3n + 1) = 40 m 3;= n ⇒ m = 1; n = = Số a = p12 m p22 n có số ước ( 2m + 1)( 2n + 1) = 3.7 = 21 Câu (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm Trên tia AB lấy điểm I cho AI = 4cm Trên tia BA lấy điểm K cho BK = 2cm a) Chứng tỏ điểm I nằm A K b) Tính IK Câu 1  2022  1 1 ⇒ B = 1 − + − + −  + 2020 − 2021  − 2022 3   3 3 1 1 1 Xét C =− + − + −  + 2020 − 2021 3 3 3 1   1 1 ⇒ 3C =3 ⋅ 1 − + − + −  + 2020 − 2021  3   3 3 1 1 1 ⇒ 3C =3 − + − + − +  + 2019 − 2020 3 3 3 1 = > C + 3C = − 2021 ⇒ 4C =− 2021 ⇒ 4C < ⇒ C < 3 2022 3 ⇒ B < − 2022 ⇒ B < Vậy B < 16 (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên x , y biết: 2020 x + 4088483 = 2022 y b) Hai người xe đạp từ hai địa điểm A B ngược chiều Người từ A xuất phát lúc giờ, người từ B xuất phát lúc 12 phút Để hết quãng đường AB , người từ A cần giờ, người từ B cần Hỏi đến hai người gặp Lời giải a) Từ 2020 + 4088483 = 2022 suy 2022 y > 4088483 > ⇒ y > ⇒ 2022 y số chẵn x y Suy 2020 x + 4088483 số chẵn Mà 4088483 số lẻ nên 2020 x số lẻ ⇒ x = Khi ta có: 2022 y = 20200 + 4088483 = + 4088483 = 4088484 ⇒ 2022 y = 20222 ⇒ y = Vậy x = y = Câu b) Để hết quãng đường AB , người từ A cần giờ, người từ B cần nên sau 1 người từ A (quãng đường), người từ B (quãng đường), hai 1 người + = (quãng đường) 12 1 1 12 phút hay giờ, người từ A ⋅ = (quãng đường) 15 Do đó, kể từ lúc người từ B xuất phát (lúc 12 phút) hai người gặp 14 hai người cần hết − = (quãng đường) 15 15 14 14 14 12 : = ⋅ = (giờ) hay 36 phút Thời gian để hai người hết quãng đường 15 12 15 15 Vậy đến 48 phút hai người gặp Cho ∆ABC có cạnh BC = 10 cm Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 3MC a) Tính độ dài đoạn thẳng MB MC = 90° b) Vẽ tia phân giác Mx  AMC Chứng tỏ xMy AMB tia phân giác My  c) Trên cạnh BC vẽ thêm 2021 điểm khác điểm B , C , M Hỏi vẽ tam giác có đỉnh A ? Lời giải A x B y C M Mà MB + MC = 10 (cm) BC ( M nằm hai điểm B C ) nên MB + MC = a) Ta có MB = 3MC nên tỉ số MB MC Ta có: MB = 10 : ( + 3) 3= (cm) ⇒ MC = 10 – = (cm) Vậy MB = cm ; MC = cm  = BMA  b) Vì tia Mx tia phân giác  AMB nên xMA AMy =  AMC Vì tia My tia phân giác  AMC nên  1 1     = xMA + AMy= BMA + AMC = ⋅ BMA + AMC = ⋅ BMC = ⋅180°= 90° Ta có: xMy 2 2 c) Nếu vẽ thêm 2021 điểm khác B , C , M ta có 2024 điểm phân biệt Mỗi đoạn thẳng cạnh BC tạo với A tam giác đỉnh A Nối điểm M với điểm số 2023 điểm lại đoạn thẳng BC ta đoạn thẳng nên có 2023 đoạn thẳng nhận điểm M đầu mút Có 2024 điểm điểm M nên có 2024.2023 đoạn thẳng Nhưng đoạn 2024.2023 = 1012.2023 đoạn thẳng cạnh BC thẳng tính hai lần Suy có Vậy có tất 1012.2023 tam giác đỉnh A thỏa mãn yêu cầu toán  HẾT  ( ) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN: TỐN Thời gian làm 120 phút - Ngày thi: / Bài /2021 (4.0 điểm) Thực phép tính cách hợp lí: a) A = 125 ( −86 ) ( −2 ) ( −1) 2n (với n ∈ N * ) 6 6 − + − +6 39.97 + 40 901 11 b) A = ⋅ 97.40 − 57 + − + − 901 11 Bài (3.0 điểm) a) Tìm chữ số a, b để B = a123b chia cho 2,5 dư b) Cho p p + số nguyên tố ( p > 3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số? Bài (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x , biết: 2 2 101 + + + ⋅⋅⋅ + = x ( x + 3) 770 5.8 8.11 11.14 b) Tìm cặp số nguyên ( x ; y ) biết: Bài x −1 1 + = y+2 (3,0 điểm) Khối trường có số học sinh giỏi chiếm 90%, số học sinh giỏi số học sinh khá; cịn số học sinh trung bình yếu 30 em, khơng có học sinh Tính số học sinh giỏi khối Bài (6,0 điểm) Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm , AC = 2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC  = 60° , tính số đo OAC b) Giả sử cho OAB c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2021 điểm phân biệt (khác A, B, C ) Hỏi có góc đỉnh O tạo thành Bài (1,0 điểm) Chứng tỏ rằng: S = + 1 1 + + + ⋅⋅⋅ + 3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số? Lời giải a) Vì B = a123b chia cho dư nên B có chữ số tận Suy ra: b = Khi đó: B = a1231 Vì B = a1231 chia cho dư nên tổng chữ số B chia cho dư Suy ra: a = ( ≤ a ≤ ) Vậy:= a 3;= b b) Do p số nguyên tố lớn nên = p 6n − = p 6n + (với n ∈ N * ) + Nếu = p 6n + p + = 6n + + = 6n + = ( 2n + 3) hợp số (Không thỏa mãn) Suy ra: = p 6n − Khi đó: p + 100 =6n − + 100 =6n + 99 =3 ( 2n + 33) hợp số Vậy: p + 100 hợp số Bài (3.0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x , biết: 2 2 101 + + + ⋅⋅⋅ + = x ( x + 3) 770 5.8 8.11 11.14 b) Tìm cặp số nguyên ( x ; y ) biết: x −1 1 + = y+2 Lời giải a) 2 2 101 + + + ⋅⋅⋅ + = 5.8 8.11 11.14 x ( x + 3) 770  101 2 3 3 + + + ⋅⋅⋅ +  = x ( x + 3)  770  5.8 8.11 11.14 1 1 1 1 101 − + − + − + ⋅⋅⋅ + − = ⋅ 8 11 11 14 x x + 770 1 303 − = x + 1540 1 303 = − x + 1540 1 = x + 308 x+3= 308 = x 308 − x = 305 Vậy x = 305 b) x −1 1 (Điều kiện: y ≠ −2 ) + = y+2 ⇒ x+2 = y+2 ⇒ ( x + )( y + ) = ( *) Do x ; y số nguyên y ≠ −2 nên từ (*) ta có bảng giá trị sau: x+2 −9 −1 −3 y+2 −1 −9 −3 x −11 −3 −5 −1 y −3 −11 −5 −1 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy cặp số nguyên cần tìm ( x; y ) =( −11; − 3) ; ( −3; − 11) ; (1;1) ; ( −5; − ) ; ( −1;7 ) ; ( 7; − 1) Bài (3.0 điểm) Khối trường có số học sinh giỏi chiếm 90% , số học sinh giỏi số học sinh khá; số học sinh trung bình yếu 30 em, khơng có học sinh Tính số học sinh giỏi khối Lời giải 10% (Số học sinh khối 6) Phân số số học sinh trung bình yếu là: 100% − 90% = Số học sinh khối là: 30 :10% = 300 (học sinh) Số học sinh giỏi là: 300.90% = 270 (học sinh) Vì 4 số học sinh giỏi số học sinh nên số học sinh giỏi số học sinh Suy ra: Số học sinh giỏi số học sinh giỏi Do đó: Số học sinh giỏi là: 270 ⋅ 120 (học sinh) = 150 (học sinh) Số học sinh là: 270 − 120 = Vậy khối trường có 120 học sinh giỏi 150 học sinh Bài (6.0 điểm) Cho điểm O nằm đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy điểm A, B, C cho AB = 6cm , AC = 2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BC = 60° , tính số OAC  b) Giả sử cho OAB c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2021 điểm phân biệt (khác A, B, C ) Hỏi có góc đỉnh O tạo thành Lời giải a) Trường hợp 1: B C nằm phía A Ta có: BC = AB − AC = − = (cm) Trường hợp 2: B C nằm khác phía A Ta có: BC = AB + AC = + = (cm) b) Trường hợp 1: B C nằm phía A =  Ta có: OAB AOC= 60° Trường hợp 2: B C nằm khác phía A  + OAC = Ta có: OAB 180° (vì kề bù)   ⇒ OAC = 180° − OAB = 180° − 60= ° 120° c) 2024 điểm phân biệt Trên đường thẳng d có 2021 + = Vì góc đỉnh O tạo thành 2024 điểm đường thẳng d đỉnh O 2024.2023 nên số góc đỉnh O tạo thành là: = 2047276 (góc) Vậy có 2047276 góc đỉnh O tạo thành Bài (1.0 điểm) Chứng tỏ rằng: S = + 1 1 + + + ⋅⋅⋅ +  ABD ( 55° > 30° ) ⇒ Tia BD nằm hai tia BA BC =  ⇒ ABD + DBC ABC  = ⇒ DBC ABC −  ABD = 55° − 30°= 25° ⇒ DBC c) Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz= 90° Tính số đo góc ABz  > DBA  ( 90° > 30° ) Ta có DBz ⇒ Tia BA nằm hai tia BD Bz =  ⇒ ABz + DBA DBz  − DBA  ⇒ ABz = DBz = 90° − 30°= 60° ⇒ DBC Câu (2,0 điểm) 1 1 < + + + + < 31 32 33 60 a) Chứng minh rằng: b) a2 (b + c ) Tìm số nguyên dương a , b , c biết rằng: a − b3 − c = 3abc = Lời giải a) Chứng minh rằng: Đặt S = 1 1 < + + + + < 31 32 33 60 1 1 + + + + 31 32 33 60   1  1 1  1 Ta có: S=  + + +  +  + + +  +  + + +  40   41 42 50   51 52 60   31 32 1   1   1   S > + + +  +  + + +  +  + + +  40   50 50 50   60 60 60   40 40 ⇒S> 1 37 36 + + = > = 60 60 1   1   1   S <  + + +  +  + + +  +  + + +  30   40 40 40   50 50 50   30 30 ⇒S< Vậy b) 1 47 48 + + = < = 60 60 ⇒ a > b3 + c ⇒ a > b3 ⇒ a > b a > c ⇒ a > c ⇒ 2a > b + c ⇒ 4a > ( b + c ) a2 (b + c ) Mà = ⇒ 4a > a ⇒a