SỐ CHÍNH PHƯƠNG “tailieumontoan com” Date Tính chất (1) Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng các chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 9 Nhận xét Số chính phương không thể có chữ tận cùng bằng các chữ s[.]
Date SỐ CHÍNH PHƯƠNG “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt ❗ n số phương nếu: = n k2 ( k ∈ Z ) Tính chất: (1) Số phương có chữ số tận chữ số 0, 1, 4, 5, 6, Nhận xét: Số phương khơng thể có chữ tận chữ số 2, 3, 7, (2) Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n ∈ N) (3) Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + ( n ∈ N ) (4) Nếu n < k < (n + 1) ( n ∈ Z) k khơng số phương 2 (5) Mọi số phương chia cho 5, cho dư 1, 0, (6) Nếu a số phương, a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p2 (7) Nếu tích hai số a b số phương số a b có dạng a = mp2 , b = mq2 (7) Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 (8) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn II Bài tâp Dạng 1: Chứng minh A số phương C/m : = A k2 ( k ∈ Z ) Bài Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Lời giài Ta có: A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vì n ∈ N nên n2 + 3n + ∈ N Vậy A số phương Bài Cho: B= 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k + )( k + ) với k ∈ N Chứng minh 4B + số phương Lời giài Ta thấy biểu thức B tổng biểu thức nghĩ đến việc phải thu gọn biểu thức B trước Ta có: n (n + )(n + ) = n (n + )(n + ) (n + ) − (n − ) = n (n + )(n + )(n + ) − (n − ) n (n + )(n + ) Áp dụng: = 1.2.3 ( 1.2.3.4 − 0.1.2.3 ) = 2.3.4 ( 2.3.4.5 − 1.2.3.4 ) = 3.4.5 ( 3.4.5.6 − 2.3.4.5 ) k ( k + )( k + ) = k ( k + )( k + )( k + ) − ( k − ) k ( k + )( k + ) 4 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Cộng theo vế đẳng thức ta được: B= 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k + )( k + ) k ( k + )( k + )( k + ) ⇒ 4B + = k ( k + )( k + )( k + ) + = (k Theo ví dụ ta có: 4B + 1= + 3k + ) Vì k ∈ nên k + 3k + ∈ Vậy 4B + số phương Bài Chứng minh rằng: C = 11 + 44 + với 2n n n số tự nhiên Chứng minh C số phương Lời giải Ta có:= C 11 00 + 11 + 44 +1 n n n Đặt a = 11 9a = 99 n Bài Một số tự nhiên có tổng chữ số 2018 số phương không ? sao? Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số 2018 n Ta có : 2018 = 3m + nên số tự nhiên n chia dư 2, số n có dạng 3k + với k số tự nhiên Mặt khác số phương trình khơng có dạng 3k + suy số tự nhiên n khơng số phương Bài Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Giả sử: a = 2m + ; b = 2n + ,với m , n ∈ Ta có: a2 + b2 = (2m + 1)2 + (2n + 1)2 n n = 4(m2 + n2 + m + n) + = 4k + với k ∈ Do 99 + = 10 = 9a + n n Khơng có số phương có dạng 4k + a2 + b2 khơng phải số phương C= a 10n + a + 4a + = a ( 9a + ) + 5a + ⇒ C = 9a + 6a + 1= ( 3a + ) 2 ⇒C = 33 4 n −1 Vậy C số phương Nhận xét: Khi biến đổi số có nhiều chữ số giống thành số phương ta nên đặt n a = 11 99 + = 10 = 9a + n n Dạng 2: Chứng minh số khơng số phương Để chứng minh n khơng số phương, tùy vào tốn ta sử dụng cách sau: 1) Chứng minh n viết dạng k2 ( k ∈ Z ) 2) Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k số nguyên 3) Chứng minh n có tận 2; 3; 7; 4) Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 5) Chứng minh n có dạng 3k + 6) Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2 Bài Chứng minh số A = n + 2n + 2n + 2n + n ∈ N n > khơng phải số phương Lời giải Ta có: A = n + 2n + 2n + 2n + ( (n ) ( ) = + n ) + (n + ) > (n + n ) ⇒ A > (n + n ) ∀n > = n + 2n + n + n + 2n + 2 (n +n + ) ( ⇒ A < n2 + n + ( ) ∀n > = n + 2n + 2n + n + 2n + (n = Do n + n 2 Mặt khác: 2 ) ) + 2n + 2n + 2n + + n = A ( < A < n2 + n + ) Ta có (n2 + n) (n2 + n + 1) hai số tự nhiên liên tiếp nên A khơng thể số phương ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Dạng 3: Điều kiện để số số phương Để A số phương = A k2 ( k ∈ Z ) Bài Tìm số nguyên n cho n (n + ) số phương Bài Tìm số ngun dương n cho A = (n + 3)(4n2 + 14n + 7) số phương (Đề thi chọn HSG Tốn tỉnh Thái Bình) Lời giải Lời giải Để= k2 A n (n + ) số phương n (n + ) = với k số tự nhiên, đó: Ta có: 4n2 + 14n + 7= (n + 3)(4n + 2) +1 n số n + 3n = k2 nguyên dương nên n +3 4n2 + 14n + nguyên tố Vì vậy, để A số phương 4n2 + 14n 4k ⇔ 4n + 12n = Ta có ( 2n + 2k + ) ≥ ( 2n − 2k + ) ⇔ 4n + 12n + 9= 4k + 2 Do n ∈ Z + nên ta có ( 2n + ) ⇔ ( 2n + ) − ( 2k ) = + n + phải số phương ⇔ ( 2n + 2k + )( 2n − 2k + ) = Và =9.1 =3.3 =( −1 ) ( −9 ) =( −3 ) ( −3 ) Trường hợp : 2n + 2k + = n += k = n ⇔ ⇔ ⇒A = 2n − 2k + =1 n − k =−1 k =2 Trường hợp : 3 k n 2n + 2k += n += = ⇔ ⇔ ⇒A = 2 3 0 n k n k k − = + = − = Trường hợp : 2n + 2k + =−1 n + k =−2 n =−4 ⇔ ⇔ ⇒A = 2n − 2k + =−9 n − k =−6 k =2 Trường hợp : 2n + 2k + = −3 n + k = −3 n = −3 ⇔ ⇔ ⇒A = 2n − 2k + =−3 n − k =−3 k =0 Vậy n =−4; −3;0;1 ta có A số phương Bài Tìm số ngun n cho n + 1955 n + 2014 số phương Lời giải Giả sử n + 1955 = a ; n + 2014 = b2 với a , b ∈ N a < b Khi đó: b − a = 59 ⇔ ( b − a )( b + a ) = 59 a a 29 b −= = ⇔ ⇔ b + a 59 = = b 30 Dễ dàng suy n = −1114 ≤ 4n + 14n + < ( 2n + ) ⇒ 4n + 14n + 7= ( 2n + ) 2 ⇒ n= Khi n + = số phương Thử lại, với n = , ta có A = 102 Vậy số nguyên dương cần tìm n = III Bài tâp vân dung = a 11 1, = b 0 Bài Cho , Chứng minh 2016 2015 ab + số tự nhiên Bài Cho A = + + 2 + + + 33 Hỏi A có số phương khơng? Vì sao? Bài Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương (Đề thi HSG lớp - Phòng GDĐT Phúc Yên - Vĩnh Phúc) Bài 4: Chứng minh số nguyên x, y biểu thứ A =( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y có giá trị số phương Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 số phương Bài 6: Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương (Đề thi HSG lớp huyện Vĩnh Lộc năm 2018-2019) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 5: Giả sử 2010 + n2 số phương 2010 + n2 Bài Ta có: = m2 (m ∈ N ) b = 0 = 0 − + = 9 + = 9a + Từ suy m2 - n2 = 2010 ⇔ (m + n) (m – n) = 2010 ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 Như số m n phải có số chẵn (1) 2015 ⇒ ab + = 2016 2016 ( 3a + ) = 3a + ∈ N tính chẵn lẻ (2) ab + số tự nhiên Vậy Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ số m + n m – n Từ (1) (2) ⇒ m + n m – n số chẵn ⇒ (m + n) (m – n) 2006 Bài Ta có khơng chia hết cho A = + + (2 + + ) + + (2 30 + 31 + 32 + 33 ) ( ) ( = + 2 + + 2 + + + 30 + + 2 + ( ) ) ⇒ Điều giả sử sai = + 2.30 + + 29 30 = + + + 29 3.10 Vậy không tồn số tự nhiên n để 2010 + n2 số Ta thấy A có chữ số tận phương Mà số phương khơng có chữ số tận Bài 6: Để A số phương A = n + n + = a (a ∈ N ) Do đó, A khơng số phương - Ta có: n + n + = a2 Vậy A khơng số phương Bài Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương Với n = 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 32 số phương Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … n! có tận chữ số nên khơng phải số phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề n = 1; n = 4n + 4n + 24 = 4a 23 ⇔ ( 2a ) − ( 2n + ) = 23 ⇔ ( 2a + 2n + )( 2a − 2n − ) = - Vì a, n số tự nhiên nên (2a +2n +1) số tự nhiên 2a + 2n + > 2a – 2n -1 Do 2a + 2n = + 23 = 4a 24 ⇔ ⇔ a = 6, n = 2n − 1 = 2a −= 4n 20 - Vậy n = Bài 4: Ta có A =( x + y )( x + y )( x + y )( x + 4y ) + y ( = x + 5xy + y )( x ) + 5xy + y + y Đặt x + 5xy + y =t (t ∈ Z ) A= (t – y2)(t + y2) + y4 = t2 -y4+ y4 = t2 ( = x + 5xy + y ) 2 Vì x, y, z ∈ Z nên x + 5xy + y ∈ Z Vậy A số phương ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗