ĐỒNG DƯ THỨC “tailieumontoan com” Date Do vậy ta có nhận xét sau đây 1 ( )moda b n a b n≡ ⇔ − 2 Nếu a chia cho b dư r thì ( )moda r b≡ Tính chất Với mọi , , ,a b c n ∈ và 0n > ta có (1) ( )moda a n[.]
Date ĐỒNG DƯ THỨC “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt II Bài tâp ❗ Cho a , b số nguyên n số nguyên dương Ta định nghĩa a đồng dư với b theo mơđun n kí hiệu là: a ≡ b ( mod n ) , a b có số dư chia cho n Do ta có nhận xét sau đây: ( a ≡ r ( mod b ) ⇒ r số dư a ≤ r < b * Phương pháp: Nếu chia cho b ) a ≡ b mod n ⇔ a − b n ( Nếu a chia cho b dư r a ≡ r mod b ) Tính chất: Bài a) Tìm số dư phép chia 15325 – cho b) Tìm số dư phép chia 20162018 + cho Lời giài Với a , b , c , n ∈ n > ta có: ( ) (2) a ≡ b ( mod n ) ⇔ b ≡ a ( mod n ) (3) Nếu a ≡ b ( mod n ) b ≡ c ( mod n ) a ≡ c ( mod n ) (4) a ≡ b ( mod n ) ⇒ a ± c ≡ b ± c ( mod n ) (5) Nếu ac ≡ bc ( mod n ) (c , n ) = a ≡ b ( mod n ) (6) Nếu a ≡ b ( mod n ) ⇒ a k ≡ b k ( mod n ) , ∀k ≥ k Nếu a ≡ b ( mod n ) ⇒ (a + b ) ≡ b k ( mod n ) , ∀k ≥ (7) Nếu a ≡ b ( mod n ) c ≡ d ( mod n ) thì: a ± b ≡ c ± d ( mod n ) ab ≡ cd ( mod n ) (1) a ≡ a mod n Dạng 1: Tìm số dư phép chia có dư a) Ta có 1532 = 9.170 + ≡ (mod 9) 15325 ≡ 25 (mod 9) ⇒ 15325 – ≡ 25 – (mod 9) Vì 25 – = 31 ≡ (mod 9) Do 15325 – ≡ (mod 9) Vậy số dư cần tìm b) Ta có 2016 ≡ (mod 5) 20162018 ≡ 12018 (mod 5) ⇒ 20162018 + ≡ 12018 + (mod 5) Vì + = ≡ (mod 5) Do 20162018 + ≡ (mod 5) Vậy số dư cần tìm Bài Chứng minh (20132016 + 20142016 – 20152016 )10 106 Lời giài Ta phải tìm số tự nhiên r cho = r ≡ (20132016 + 20142016 – 20152016 )10 (mod 106) Ta có 2013 = 106.19 – ⇒ 2013 ≡ –1(mod 106) ⇒ 20132016 ≡ 1(mod 106) 2014 = 106.19 ⇒ 2014 ≡ (mod 106) ⇒ 20142016 ≡ 0(mod 106) 2015 = 106.19 + ⇒ 2015 ≡ 1(mod 106) ⇒ 20152016 ≡ 1(mod 106) Do (20132016 + 20142016 – 20152016 )20 ≡ (mod 106) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Dạng 2: Chứng minh chia hết * Phương pháp: Để chứng minh a m đa chứng minh ( a ≡ ( mod m ) Ta xét trường hợp sau Bài Chứng minh 42018 – Lời giải Trường hợp Do 43 = 64 ≡ (mod 9) ⇒ 42016 = ( ) 672 ( Lời giải ) Nếu n= 3k k ∈ N ⇒ n 2n ⇒ n 2n + ⇒ loại ≡ 1(mod 9) Trường hợp Mà 42 = 16 ≡ 7(mod 9) ⇒ 42018 = 42016 42 ≡ (mod 9) Vậy 42018 – ≡ (mod 9) ) Bài Tìm số tự nhiên n cho n 2n + hay 42018 – ( ) ( 3k + ) k Nếu n =3k + k ∈ N ⇒ n 2n + 1= Bài Chứng minh 122n+1 + 11n+2 133 ( n ∈ N) Lời giải Cách 1: Ta có 12 = 144 ≡ 11(mod 133) ; +1 +1 = 3k 3k + + 3k += + 3k 3k + + 2.8k + ( ) ⇒ n 2n + 1 ⇔ 2.8k + ≡ −1 ( mod ) ⇒ 8k ≡ ( −1 ) ( mod ) k 11 = 121 ≡ –12(mod 133) ⇒ 2.8k + 1 ⇔ ( −1 ) + ≡ ( mod ) k Do 122n+1 = 12 (122 ) ≡ 12 11n (mod 133) n tương đương với k chẵn 11n+2 = 112 11n ≡ –12 11n (mod 133) ⇔ k = 2m (m ∈ N ) ⇒ n = 6m + (m ∈ N ) Do 122n+1 + 11n+2 ≡ 12 11n – 12 11n ≡ (mod 133) Trường hợp Vậy với n ∈ N 122n+1 + 11n+2 133 ( ) ( 3k + ) k Nếu n =3k + k ∈ N Cách 2: Ta có 122 = 144 ≡ 11(mod 133) ⇒ 122n ≡ 11n (mod 133) (1) Mà 12 ≡ – 112 (mod 133) (2) ⇒ n + 1= n +2 +1 = 3k 33k + + 2.2 3k += + 3k 3k + + 8k + + ( ) Nhân vế với vế (1) (2) ta có : ⇒ n 2n + ⇔ ( −1 ) 122n 12 ≡ 11n (– 112) (mod 133) ⇒ k+1 lẻ k = 2m (m ∈ N ) ⇒ n = 6m + (m ∈ N ) ⇒ 12 ≡ –11 2n+1 n+2 (mod 133) ( Bài Tìm số tự nhiên n có chữ số cho chia n cho 131 dư 112 chia n cho 132 dư 98 Lời giải ) Bài Tìm số tự nhiên n cho 3n + + 2n + 19 Lời giải n ≡ 98 ( mod 132 ) ⇒ n= 132k + 98 ( k ∈ N )( ) Ta có 3n + + 2n + = 16.8n + 3.9n ) ( Vì 16 ≡ −3 mod 19 ⇒ 16.8n ≡ −3.8n mod 19 ( n n ) ( ) n ⇒ 132 + 98 ≡ 112 ( mod 131 ) ) ( n Do 16.8 + 3.9 19 −3 + 3.9 ≡ mod 19 ⇔ 9n − 8n ≡ ( mod 19 ) ⇔ 9n ≡ 8n ( mod 19 ) ⇒n = ( ) ( ) Vì trái lại 9n ≡ 8n mod 19 ⇒ ≡ mod 19 vô lý Vậy n = ) n ≡ ( mod ) Dạng 3: Tìm điều kiện biến để chia hết ( + ≡ ( mod ) Vậy điều kiện cần tìm n ≡ mod 122n+1 + 11n+2 ≡ (mod 133) hay 122n+1 + 11n+2 133 ( k +1 ) ⇒ k + 98 + 33 = 112 + 33 ( mod 131 ) ⇒ k ≡ 14 ( mod 131 ) ⇒ k ≡ 131m + 14 (m ∈ N )( ) Từ (1) = (2) n 131.132m + 1946= ⇒ n 1946 Dạng 4: Giải phương trình nghiệm nguyên liên quan đến số nguyên tố * Phương pháp: ( ) +) Tìm chữ số tận a ≡ r mod 10 ;0 ≤ r < b r chữ số tận a ( ) +) Tìm chữ số tận a ≡ r mod 100 ;10 ≤ r < 100 r chữ số tận a ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho số A = 2012 2013 tìm chữ số tận A Lời giải Ta có 2013 = 4.503 + Vì 2012 ≡ ( mod 10 ) ⇒ 2012 ≡ ( mod 10 ) ( ⇒ 2012 ⇒ 2012 ) 2013 503 ≡ ( mod 10 ) ⇔ 2012 2012 ≡ ( mod 10 ) ≡ 6.2 ( mod 10 ) ⇔ 2012 2013 ≡ ( mod 10 ) Vậy A có chữ số tận Bài Cho số A = 2012 2013 tìm hai chữ số tận A Lời giải Ta có = 2013 20.100 + 13 2012 ≡ ( mod 10 ) ⇒ 2012 ≡ 76 ( mod 100 ) 20 ( ⇒ 2012 20 ) 100 ≡ 76 ( mod 100 ) ⇔ 2012 2000 ≡ 76 ( mod 100 )( ) Bài Tìm số dư phép chia a) 8! – cho 11 b) 20142015 + 20162015 + 2018 cho c) 250 + 4165 cho d) 15 + 35 + 55 + + 975 + 995 cho Bài Tìm số dư phép chia : a) 15325 – cho ; b) 22000 cho 25; c) 20142015 cho 13 Bài Tìm số dư phép chia : a) A = 352 – 353 + 354 – 358 + 3516 + 3532 cho 425 2016 b) B = 1010 + 1010 + 1010 + + 1010 Mặt khác 2012 ≡ 12 ( mod 100 ) ⇒ 2012 ≡ 12 ( mod 100 ) III Bài tâp vân dung ⇒ 2012 ≡ 84 ( mod 100 ) ⇒ 2012 ≡ 56 ( mod 100 ) ⇒ 2012 12 ≡ 56 ( mod 100 ) ⇒ 2012 2013 ≡ 72 ( mod 100 )( ) Từ (1) (2) 2013 ⇒ 2012 = 2012 2000 2012 2013 ≡ 76.72 ( mod 100 ) ⇔ 2012 2013 ≡ 72 ( mod 100 ) Bài 10 a) Hãy tìm chữ số tận 910 b) Hãy tìm hai chữ số tận 31000 Lời giải a) Tìm chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 10 Vì 92n + = 9.81n ≡ 9(mod 10) Do 910 số lẻ nên số 99 có chữ số tận b) Tìm hai chữ số tận số tìm dư phép chia số cho 100 10 Ta có 34 = 81 ≡ – 19(mod 100) ⇒ 38 ≡ (– 19)2(mod 100) Mà (– 19)2 = 361 ≡ 61(mod 100) Vậy 38 ≡ 61(mod 100) 310 ≡ 61.9 ≡ 549 ≡ 49 (mod 100) 320 ≡ 492 ≡ 01 (mod 100) ( 492 = 2401 = 24.100 + 1) 10 Bài cho a) Tìm chữ số tận 43 b) Tìm hai chữ số tận 3999 c) Tìm ba chữ số tận số 2512 Bài Chứng minh : a) 412015 – ; b) 24n+1 – 15 (n ∈ N); c) 376 – 276 13 ; d) 2015 – 341 Bài Chứng minh 189079 + 19452015 + 20172018 Bài a) Chứng minh 55552222 + 22225555 + 155541111 b) Cho M = 220119 + 11969 + 69220 + (220 + 119 + 69)102 69 Vậy A có hai chữ số tận là: 72 220 119 Chứng minh M 102 Bài Chứng minh 52n-1 2n+1 + 22n-1 3n+1 38 ( n ∈ N*) Bài a) Với giá trị số tự nhiên n 3n + 63 chia hết cho 72 b) Cho A = 20n + 16n – 3n – Tìm giá trị tự nhiên n để A 323 Bài 10 Tìm tất số nguyên tố p cho p2 + 20 số nguyên tố Bài 11 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a + 20 b + 13 chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A = 4a + 9b + a + b cho 21 Do 31000 ≡ 01 (mod 100) nghĩa hai chữ số sau 31000 01 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Với toán dạng này, phương pháp chung tính tốn để đến a ≡ b (mod m) với b số có trị tuyệt đối nhỏ (tốt b = ± 1) từ tính thuận lợi an ≡ bn (mod m) a) 8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 Ta có 3.4 = 12 ≡ (mod 11) ; 2.6 = 12 ≡ (mod 11) ; 7.8 ≡ (mod 11) Vậy 8! ≡ (mod 11) ⇒ 8! – ≡ (mod 11) Số dư phép chia 8! – cho 11 b) 2014 ≡ – (mod 5) ⇒ 20142015 ≡ – (mod 5) 2016 ≡ (mod 5) ⇒ 20162015 ≡ (mod 5) ; 2018 ≡ (mod 5) 20142015 + 20162015 + 2018 ≡ (mod 5) c) 23 ≡ (mod 7) ⇒ 250 = (23)16 ≡ (mod 7) 41 ≡ –1 (mod 7) ⇒ 4165 ≡ (–1)65 ≡ –1 (mod 7) 250 + 4165 ≡ – ≡ (mod 7) d) 15 ≡ (mod 4); 35 ≡ – (mod 4) ; 55 ≡ (mod 4) ; ; 975 ≡ (mod 4); 995 ≡ – (mod 4) Đáp số : Dư Bài a) 1532 ≡ (mod 9) ⇒ 15325 ≡ 25 ≡ (mod 9) ⇒ 15325 – ≡ (mod 9) b) 25 = 32 ≡ (mod 25) ⇒ 210 = (25)2 ≡ 72 ≡ – (mod 25) 22000 = (210)200 ≡ (– 1)200 ≡ (mod 25) c) 2014 = 155.13 – nên 2014 ≡ – (mod 13); 20152016 = 2k + (k ∈ N) ⇒ 20142015 2016 ≡ (– 1)2k+1 ≡ – (mod 13) Đáp số : dư 12 Bài a) Ta có 352 = 1225 = 425.3 – 50 ≡ –50(mod 425) 353 = 352 35 ≡ –50 35 ≡ – 1750 ≡ –50(mod 425) 354 = (352)2 ≡ (– 50)2 ≡ 2500 ≡ –50(mod 425) Tương tự với 358 ; 3516 ; 3532 Từ có A ≡ –100(mod 425) Hay số dư phép chia A cho 425 325 b) Ta có 105 = 7.14285 + ≡ 5(mod 7); 106 = 5.10 ≡ 1(mod 7); n 10n – = 99 96 ≡ (mod 2) 99 96 ≡ 0(mod 3) ⇒ 10 – ≡ 0(mod 6) n −1soˆ ′9 n −1soˆ ′9 ⇒ 10n ≡ 4(mod 6) 10n = 6k + (k, n ∈ N*) 6k + Do = 1010 10 = n (10 ) k 104 ≡ 104 (mod 7) Vậy B ≡ 104 +104 +104 + +104 ≡ 10 104 ≡ 105 ≡ 5(mod 7) Bài a) Ta tìm dư phép chia số cho 10 Vì 42 ≡ 6(mod 10) nên 43 = 49 = (42)4.4 ≡ 6.4 ≡ 4(mod 10) ⇒ chữ số tận ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ b) Ta tìm dư phép chia số cho 100 Theo ví dụ chuyên đề 26 ta có 31000 ≡ 01 (mod 100) nghĩa hai chữ số sau 31000 01 Số 31000 bội số nên chữ số hàng trăm chia cho phải có số dư để chia tiếp 201 chia hết cho ( số dư hay 001; 101 khơng chia hết cho 3) Vậy số 3999 = 31000 : có hai chữ sô tận 201 : = 67 c) Ta tìm dư phép chia số cho 1000 Do 1000 = 125.8 trước hết ta tìm số dư 2512 cho 125 Từ đẳng thức: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 ta có nhận xét a 25 (a + b)5 ≡ b5 (mod 125) Vì 210 = 1024 ≡ – (mod 25) nên 210 = 25k – (k ∈ N) Từ nhận xét ta có 250 = (210)5 = (25k – 1)5 ≡ – (mod 125) Vì 2512 = (250)10 212 ≡ (– 1)10 212 ≡ 212 (mod 125) Do 212 = 210 22 = 1024 ≡ 24.4 ≡ 96 (mod 125) Vậy 2512 ≡ 96 (mod 125) Hay 2512 = 125m + 96, m∈ N Do 2512 ; 96 nên m ⇒ m = 8n (n ∈ N) 2512 = 125 8n + 96 = 1000n + 96 Vậy ba chữ số tận số 2512 096 Bài Để chứng tỏ a m ta chứng minh a ≡ (mod m) a) 41 = 42 – ≡ – (mod 7) Do 412015 ≡ (– 1)2015 ≡ – (mod 7) Hay 412015 ≡ (mod 7) ⇒ 412015 – ≡ (mod 7) b) Ta có 24 = 16 ≡ (mod 15) ⇒ 24n ≡ (mod 15) ⇒ 24n – ≡ (mod 15) Do 24n+1 – = 2(24n – 1) ≡ (mod 15) c) Ta có 33 = 27 ≡ (mod 13) ; 376 = (33)25.3 ≡ (mod 13) Ta có 24 ≡ (mod 13) ⇒ 26 ≡ 12 ≡ – (mod 13) 276 = (26)12 24 ≡ (mod 13) Do 376 – 276 ≡ (mod 13) hay 376 – 276 13 d) 341 = 11 31 * Ta có 25 = 32 ≡ –1(mod 11) ; 20 = 22 – ≡ – (mod 11) Do 2015 ≡ (– 2)15 ≡ –(25)3 ≡ 1(mod 11) * 2015 = (25)3 (53)5 ≡ 1(mod 31) 25 ≡ 1(mod 31) 53 ≡ 1(mod 31) Do 2015 ≡ (mod 11.31) hay 2015 ≡ (mod 341) ⇒ 2015 – 341 Bài 1890 ≡ (mod 7) ; 1945 ≡ – (mod 7) ; 2017 ≡ (mod 7) 189079 ≡ (mod 7) ; 19452015 ≡ – (mod 7) ; 20172018 ≡ (mod 7) ⇒ đpcm Bài a)Ta có 5555 = 793.7 + ≡ 4(mod 7); 2222 = 318.7 – ≡ – 4(mod 7) ⇒ 55552222 + 22225555 ≡ 42222 + (– 4)5555 ≡ – 42222(43333– 1) (mod 7) 1111 Do 43333 – = ( 43 ) − 1 ; 43 = 64 ≡ (mod 7) nên (43)1111 ≡ (mod 7) Hay 43333 – ≡ (mod 7) Do 55552222 + 22225555 ≡ (mod 7) 155541111 = (2 7777)1111 = 21111 77771111 ≡ (mod 7) ⇒ đpcm ❗ liên hệ tài liệu word tốn SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ b) Ta có 102 = 2.3.17 Ta có (220 + 119 + 69)102 ≡ (mod 102) *220 ≡ (mod 2) ; 119 ≡ – (mod 2) ; 69 ≡ (mod 2) ⇒ M ≡ (mod 2) *220 ≡ (mod 3) ; 119 ≡ – (mod 3) ; 69 ≡ (mod 3) ⇒ M ≡ (mod 3) *220 ≡ –1(mod 17);119 ≡ (mod 17) ; 69 ≡ 1(mod 17) ⇒ M ≡ (mod 17) (Để ý 11969 69220 số lẻ) ; ⇒ M ≡ (mod 2.3.17) Hay M 102 Bài Đặt A = 52n-1 2n+1 + 22n-1 3n+1 Ta có A 2, ∀ n ∈ N* ; Ta có A = 2n (52n-1 + 2n-1 3n+1) = 2n (25n-1 10 + 6n-1 9) Do 25 ≡ (mod 19) ⇒ A ≡ 2n (6n-1 10 + 6n-1 9) ≡ 2n.6n-1 19 ≡ (mod 19) Hay A 19 Mà (2 ; 19) = ⇒ A 19 ⇒ A 38 Bài a) Ta có 72 = 8.9 (8; 9) = *63 ≡ (mod 9); n = 3n ≡ (mod 9) 3n + 63 ≡ (mod 9) *Mặt khác, với n = 2k (k ∈ N*) 3n – = 32k – = 9k – ≡ 1k – ≡ (mod 8) 3n + 63 = 3n – + 64 ≡ (mod 8) Vậy với n = 2k (k ∈ N*) 3n + 63 72 b) Ta có 323 = 17 19 (17; 19) = *A = (20n – 1) + (16n – 3n) = P + Q Ta có 20n ≡ 1(mod 19) ⇒ P ≡ (mod 19) Nếu n = 2k (k∈ N*) Q = 162k – 32k ≡ (– 3)2k – 32k ≡ 32k – 32k ≡ (mod 19) ⇒ A = P + Q ≡ (mod 19) * A = (20n – 3n ) + (16n –1) = P’ + Q’ 20n ≡ 3n (mod 17) Do P’ = 20n – 3n ≡ (mod 17) Nếu n = 2k (k∈ N*) Q’ = 162k – = (– 1)2k – ≡ – ≡ (mod 17) ⇒ A = P’ + Q’ ≡ (mod 17) Do (17 ; 19) = nên A ≡ (mod 17 19) Vậy với n = 2k (k ∈ N*) A = 20n + 16n – 3n – 323 Bài 10 Với p = p2 + 20 = 29 số nguyên tố Với p ≠ p2 ≡ (mod 3) nên p2 + 20 ≡ 21 ≡ (mod 3) Vậy p2 + 20 mặt khác p2 + 20 > nên p2 + 20 hợp số Vậy có số nguyên tố cần tìm p = Bài 11 Do a + 20 21 ⇒ a ≡ (mod 3) a ≡ (mod 7) b + 13 21 ⇒ b ≡ (mod 3) b ≡ (mod 7) Suy A = 4a + 9b + a + b ≡ + + + ≡ (mod 3) ⇒ A ≡ 10 (mod 3) Xét a = 3k + ; b = 3q + với k, q ∈ N ta có 4a = 43k+1 = 64k ≡ (mod 7) 9b = 93q+2 ≡ 23q+2 ≡ 8q ≡ (mod 7) Do A = 4a + 9b + a + b ≡ + + + ≡ 10 (mod 7) ⇒ A ≡ 10 (mod 7) A ≡ 10 (mod 3) A ≡ 10 (mod 7) mà (3; 7) = nên A ≡ 10 (mod 3.7) Hay A ≡ 10 (mod 21) Vậy số dư phép chia A cho 21 10 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... + 1010 + 1010 + + 1010 Mặt khác 2012 ≡ 12 ( mod 100 ) ⇒ 2012 ≡ 12 ( mod 100 ) III Bài tâp vân dung ⇒ 2012 ≡ 84 ( mod 100 ) ⇒ 2012 ≡ 56 ( mod 100 ) ⇒ 2012 12 ≡ 56 ( mod 100 ) ⇒ 2012 2013 ≡ 72