Năm học 20092010, tôi được sự phân công của các đồng chí trong tổ và đã làm chuyên đề cụm vấn đề này được nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia sẽ.. Vì vậy tôi đã chọn “ Lý thuyết đồng dư v[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là môn khoa học trừu tượng, suy luận cách lôgic và là tảng cho việc nghiên cứu các môn khoa học khác Số học là phần không thể thiếu và nó chiếm vai trò khá quan trọng môn này Lý thuyết chia hết vành số nguyên là nội dung khá quan trọng phần số học Hơn nữa, đây là mảng khó khăn cho giáo viên và học sinh quá trình dạy và học Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, trao đổi và học hỏi bạn bè, đồng chí đồng nghiệp và đã tìm chìa khoá để giải vấn đề này Đó là lý thuyết đồng dư Năm học 20092010, tôi phân công các đồng chí tổ và đã làm chuyên đề cụm vấn đề này nhiều đồng nghiệp quan tâm và chia Vì tôi đã chọn “ Lý thuyết đồng dư và số ứng dung” làm sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi với bạn bè đồng nghiệp nhiều lĩnh vực này II- CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Cơ sở lý luận Lý thuyết đồng dư xây dựng trên tảng là phép chia trên vành số nguyên Là nội dung suy luận cách lôgic, chặt chẽ Trên sở lý thuyết đồng dư hai nhà bác là Ơle và Fécma đã đưa định lý tiếng và cố tính ứng dụng cao Cơ sở thực tiễn Lý thuyết đồng dư cho ta phương pháp đồng dư, đố là động tác có tính chất kỷ thuật giúp chúng ta bổ sung giải vấn đề chia hết vành số nguyên Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Trao đổi qua đồng nghiệp (2) B NỘI DUNG I- ĐỒNG DƯ THỨC Định nghĩa và các điều kiện: a Định nghĩa: Cho m N *; a,b Z Nếu a và b chia cho m có cùng số dư ta nói: a và b đồng dư theo môđun m Kí hiệu: a b (mod m) Hệ thức: a b (mod m) gọi là đồng dư thức Ví dụ: 19 (mod 8); -25 (mod 4) b Các điều kiện tương đương: 1- a 2- (a - b) ⋮ m 3- b (mod m) ∃t ∈ Z cho: a = b + m.t Các tính chất a Quan hệ đồng dư là quan hệ tương đương trên tập hợp Z có nghĩa là: 1- a a (mod m) 2- a b (mod m) => b 3- a b (mod m); b a (mod m) c (mod m) => a c (mod m) b Ta có cộng vế với theo cùng môđun Cụ thể: bi (mod m) i = => (mod m) (3) c Ta có nhân vế với nhiều đồng dư thức theo cùng môđun Cụ thể: bi (mod m);i = => (mod m); Các hệ a a b (mod m) => a ± c b a + c c a d b (mod m) => a b ± c (mod m) b - c (mod m) b (mod m) => a + k.m b (mod m) a b (mod m) => a.c b.c (mod m) b (mod m) => an e a bn (mod m) ∀ n∈ N f Cho f(x) = an xn + an-1 xn-1 + +a1x + a0 ∀ ∈ Z Nếu α (mod m) thì ta có f( α ) Đặc biệt: f( α ) (mod m) f( β ) (mod m) thì ta có: f( α + k.m) (mod m) ∀ k ∈Z g β Ta có thể chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng nguyên tố với môđun Cụ thể là: a.c b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a b (mod m) (4) h Ta có thể nhân hai vế và môđun đồng dư thức với cùng số nguyên dương Cụ thể là: a b (mod m) => a.c b.c (mod m.c) Ta có thể chia hai vế và môđun đồng dư thức với cùng ước dương chúng Cụ thể là: a b (mod m); < c ƯC (a; b; m) => a/c b/c (mod m/c) k Nếu số a và b đồng dư với thêo nhiều môđun thì chúng đồng dư với theo môđun là bội chung nhỏ môđun Cụ thể là: a b (mod mi), i = ,n => a b (mod m) Trong đó: m = BCNN(m1, m2 … mn) l Nếu a và b đồng dư với theo môđun m thì chúng đồng dư với theo môđun là ước dương m Cụ thể là: a u Nếu: a b (mod m); < ∂ Ư(m) => a b (mod ∂ ) b (mod m) thì: ƯCLN( a; m) = ƯCLN( b; m) (5) II- ĐỊNH LÝ ƠLE VÀ ĐỊNH LÝ FÉCMA Định lý Ơle a Hàm số Ơle- µ(m) Cho hàm số µ(m) xác định sau: - m = ta có: µ(m) = - m > thì µ(m)là các số tự nhiên không vượt quá m – và nguyên tố với m b Công thức tính µ(m) m = pα ( p là số nguyên tố, α là số tự b.1 nhiên khác 0) Ta có: µ(m) = µ(pα) = pα (1 b.2 m = p1 p p3 p n α1 Ta có: c α2 α3 αn − p ) (pi là các số nguyên tố, α1 là số tự nhiên khác ) 1 1 µ(m) = m (1 − p )(1 − p )(1 − p )…(1 − p ) n Định lý Ơle Cho m là số tự nhiên khác và a là số nguyên tố với m Khi ta có: (mod m) (6) Định lý Fécma - Định lý Fécma Cho p là số tự nhiên khác và a là số nguyên không chia hết cho p Khi ta có: ap - 1 (mod p) - Định lý Fécma Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên bât kỳ Khi ta có: ap - a (mod p) III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG Tìm số dư phép chia Ví dụ1: Tìm số dư phép chia: 29455 – chia cho Giải: Ta có: 2945 => 29455 – Mà 25 – (mod 9) 25 – (mod 9) (mod 9) Vậy số dư 29455 – chia cho là (7) Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 109345 chia cho 14 Giải: Ta có: 109 => 109345 -3 (mod 14) (-3)345 (mod 14) Ta lại có: ( -3; 14 ) = 1 Hơn nữa: µ(14) = 14 (1 − )(1− )=6 Nên: (-3)6 (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle) => (-3)345 (-3)3 (mod 14) Mặt khác: (-3)3 = -27 (mod 14) Vậy số dư phép chia 109345 chia cho 14 là Ví dụ 2:Tìm số dư phép chia: (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 Giải: Ta có: 1998 => 1997 (mod 111) -1 (mod 111) và 1999 (mod 111) Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000 (19971998 + 19981999 +19992000 )10 Mặt khác ta có: 210 = 1024 (mod 111) 210 (mod 111) 25 (mod 111) Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – chia hết cho 13 Giải Ta có: 33 = 27 (mod 13) => 3100 = 3.399 3.1 (mod 13) (8) => 3100- (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13 Ví dụ 2: Chứng minh 62n + + 5n + chia hết cho 31 voíư n là số tự nhiên Giải: Ta có: 62 (mod 31) => 62n - 52 (mod 31) Mặt khác: Nên: 62n + 5n (mod 31) -5n + (mod 31) Vậy 62n + + 5n + chia hết cho 31 n+1 Ví dụ 3: Chứng minh 23 +3 ⋮ 11 với n là số tự nhiên 1 Giải: Ta có: µ(11) = 10; µ(10) = 10(1 − )(1 − ) = Áp dụng ĐL Ơle ta có: (3; 10) = => 3µ(10) <=> 34 (mod 10) => 34n + Đặt 34n + = 10.k + với k (mod 10) (mod 10) N n+1 Khi đó ta có: 23 +3=210 k+1 +3 Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 11) = Nên 2µ(11) <=> 210 (mod 11) (mod 11) => 210.k +3 => 210.k +3 + 23 (mod 11) n+1 23 +3 (mod 11) <=> 23 +3 (mod 11) n+1 Vậy 23 +3 ⋮ 11 Tìm chữ số tận cùng Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng 20092010 Giải: Ta có: 20092010 92010 (mod 100) Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) =1 Nên: µ(100) Hay: 940 1 (mod 100) Mà µ(100) = 100 (1− )( 1− )=40 (mod 100) => 92010 910 (mod 100) (9) Mà 910 = 3486784401 (mod 100) Vậy chữ số tận cùng 20092010 là 01 Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng 21954 Giải: Ta thấy (2; 1000) = nên chưa thể áp dụng trực tiếp định lý Ơle Ta có: (21954; 1000) = Ta xét 21951 chia cho 125 Áp dụng định lý Ơle ta có: (2; 125) = 1 (mod 125) Mà µ(125) = 125(1 − )=25 Nên: 2µ(125) Hay: 225 (mod 125) => 21951 => 21951 23 (mod 125) 2.23 (mod 125.23) <=> 21954 16 (mod 1000) Vậy chữ số tận cùng 21954 là 016 Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng 99 Giải: Áp dụng định lý Ơle ta có: (9; 100) = 1; µ(100) = 40; => 940 (mod 100) (*) Mặt khác ta có: 92 (mod 40) => 99 Đặt 99 = 40.k + với k Từ (*) và (**) suy ra: 99 Mà: 99 = 387420489 ( N **) 99 (mod 100) 89 (mod 100) Vậy chữ số tận cùng 99 (mod 40) là 89 (10) C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I- KẾT LUẬN Lý thuyết đồng dư là mảng kiến thức khá rộng và tương đối phức tạp Tuy nhiên khả ứng dụng nó thì rộng và có tính ưu việt cao Nó phục vụ nhiều quá trình giảng dạy môn Toán THCS Hơn từ lý thuyết đồng dư mở cho ta các lĩnh vực khác Ví dụ như: Phương trình vô định, Lý thuyết chia hết vành đa thức Z(x), Vì sáng kiến kinh nghiệm này tôi không thể đưa hết “Lý thuyết đồng dư và số ứng dụng” là điều tôi nung nấu và hoàn thiện nưa Trong sáng kiến này chắn còn nhiều vấn đề chưa đầy đủ Vì tôi kính mong quý vị, bạn bè đồng nghiệp góp ý chia để càng hoàn thiện II- Ý KIẾN KIẾN NGHỊ Trong nhiều năm qua, cùng với quan tâm giúp đỡ các quan nhiều mặt cho ngành giáo dục và cùng với phát triển nhanh công nghệ thong tin Các sáng kiến kinh nghiệm nhiều giáo viên ngày càng có chất lượng Tuy nhiên khả trao đổi, phạm vi ứng dụng chưa rộng rải và nhiều ý tưởng hay chưa đến với tất giáo viên và học sinh nhằm biến các ý tưởng đó thành thực Vì tôi kính mong Phòng GD-ĐT, Tổ chuyên môn phòng nên tạo điều kiện để các sáng kiến, ý tưởng hay có thể đến với tất các giáo viên và học sinh, cách có thể in ấn, đưa lên trang Web nội phòng để các ý tưởng đó trở thành thực và có ý nghĩa (11)