ĐIỂM CỐ ĐỊNH, ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH “tailieumontoan com” Date Khi giải bài toán về đường cố định và điểm cố định ta thường thực hiện các bước như sau a) Tìm hiểu bài toán Khi tìm hiểu bài toán ta xác định đượ[.]
Date ĐIỂM CỐ ĐỊNH, ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH “tailieumontoan.com” I Lý Thuyêt II Bài tâp Khi giải toán đường cố định điểm cố định ta thường thực bước sau: a) Tìm hiểu tốn: Khi tìm hiểu tốn ta xác định + Yếu tố cố định(điểm, đường, … ) + Yếu tố chuyển động(điểm, đường, … ) + Yếu tố không đổi(độ dài đoạn, độ lớn góc, … ) Bài Cho đừng thẳng d đường trịn (O;R) khơng giao A điểm di động d Vẽ AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh rằng: a) Đường thẳng BC qua điểm cố định b) Điểm H thuộc đường cố định Hướng dẫn d + Quan hệ không đổi(Song song, vng góc, thẳng hàng, … ) b) Dự đốn điểm cố định: Dựa vào vị trí đặc biệt B O M K H yếu tố chuyển động để dự đốn yếu tố cố định Thơng thường ta tìm hai vị trí đặc biệt cộng thêm với đặc điểm bất biến khác tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đốn điểm cố định c) Tìm tịi hướng giải: Từ việc dự đốn yếu tố cố định tìm mối quan hệ yếu tố với yếu tố chuyển động, yếu tố cố định yếu tố không đổi A C a) Kẻ OM ⊥ d ( M ∈ d ) , gọi = K BC ∩ OM OH OK OH OA = ⇒ OK = ( 1) OM OA OM Tam giác OAB vng B có BH đường cao, theo hệ thức lượng tam giác ta có: OH = OA OB = R (2) ∆OHK ∆OMA ( g g ) ⇒ Từ (1) (2) ta có: OK = OR OM không đổi Vậy K cố định = 90o ,OK cố định ⇒ H thuộc đường tròn b) Ta có: OHK đường kính OK cố định Bài Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Một đường trịn (O) di động ln qua hai điểm B, C Vẽ tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (O) (D, E tiếp điểm) a) Chứng minh D thuộc đường cố định ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ b) Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định c) Gọi MN đường kính đường trịn (O), vng góc với BC Gọi K giao điểm AM với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định Hướng dẫn E H I' A N C I B Bài Cho đường tròn (O; R) điểm cố định A ngồi đường trịn (O) BC đường kính quay quanh O (đường thẳng BC khơng qua A) Đường trịn qua A, B, C cắt OA A M a) Chứng minh M điểm cố định b) Trường hợp AB, AC cắt đường tròn (O) D, E Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định c) Chứng minh tâm đường tròn qua A, D, E di động đường cố định Hướng dẫn O D B K A D P M AD AB = AC AD ⇒ AD= AC AB ⇒ AD= AC AB không đổi Do A cố định AD = AC AB không đổi suy D thuộc K O N M Q E a) ∆ADB ∆ACD ( g − g ) ⇒ ( đường tròn cố định A ; AC AB b) Vẽ OH ⊥ BC ) H ⇒ H trung điểm BC ⇒ H cố định AEO = AHO = ADO = 90 ⇒ A, E, H, O, D thuộc đường o trịn đường kính AO OC OM OA ⇒ OM = khơng đổi, M cố định b) AO cắt (O) P, Q (P nằm A, Q) AO cắt DE K AE AK = ⇒ AK AM = AE AC AM AC AE AP ∆AEP ∆AQC ( g g ) ⇒ = ⇒ AE AC = AP AQ AQ AC ∆AEK ∆AMC ( g g ) ⇒ ⇒ AI AH = AE = AD = AB AC AB AC , không đổi ⇒ AI = AH Suy ra: AK AM= AP AQ ⇒ AK= ( 1) AH AM AK AD ∆ADK ∆AMD ( g g ) ⇒ = ⇒ AK AM = AD ( ) AD AM Mặt khác theo câu b) AI AH = AD ( ) Từ (1), (2) (3) suy ra: AI AH = AI '.AH ⇒ AI = AI ' ⇒ I ≡ I ' Vậy KN qua điểm cố định I R OA = ⇒ AEK KMC AE AI = AH AE ⇒ I cố định c) Gọi I’ giao điểm KN AB AK AI ' ∆AKI ' ∆AHM ( g g ) ⇒ = ⇒ AI '.AH = AK AM a) ∆OAB ∆OCM ( g g ) ⇒ OA = OB ⇒ OM = OB OC = KMC (ABMC nội tiếp) = DBC (BCED nội tiếp), DBC AEK =AD ⇒ AHE =AEI Mà AE = AD nên AE ∆AEI ∆AHE ( g g ) ⇒ C AP AQ không đổi AM ⇒ cố định Vậy DE qua điểm cố định K c) Gọi N giao điểm đường tròn (ADE) OA KA KE ∆KAE ∆KND ( g g ) ⇒ = ⇒ KA KN = KD KE KD KN Tương tự: KD KE = KP KQ Suy KA KN= KP KQ ⇒ KN= ⇒ N cố định KP KQ , không đổi KA Gọi O’ tâm đường tròn qua A, D, E ⇒O 'A = O ' N ; N cố định A cố định Vậy N di động đường cố định trung trực AN ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Cho điểm cố địunh A nằm ngồi đường trịn (O;R) Vẽ AB, AC tiếp tuyến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) D điểm di động tia đối tia BA, E điểm di III Bài tâp vân dung động tia đối tia CA Đường thẳng qua O vng góc với DE cắt BC M Gọi N trung điểm DE Chứng minh MN qua điểm cố định Hướng dẫn D K A B O M C N L E Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với OM cắt AB, AC K, L suy KL//DE KBO = KMO = 90o ⇒ Tứ giác KBOM nội tiếp = ⇒ KMO MBO = OCM Tương tự: OLM Mặt khác: OB = OC (=R) = OCM ⇒ ∆OBC cân O ⇒ MBO ⇒ ∆OKL cân O Do MKO = OLM ∆OKL cân O mà có OM đường cao nên đường trung tuyến, đó: MK= ML = ∆ADE có KL//DE ⇒ KL AK KL 2KM KM = = = AD DE 2DN DN = ∆AKM ∆ADN (c g c ) ⇒ KAM DAN Suy hai tia AM, AN trùng Suy A, M, N thẳng hàng Vậy đường thẳng MN qua điểm cố định A Bài Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động tia đối tia DC Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm A C Đường trịn (O) thay đổi ln qua A B Gọi PQ đường kính đường trịn (O), PQ vng góc AB, (P thuộc cung lớn AB) Gọi CP cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I Chứng minh QI qua điểm cố định đường tròn (O) thay đổi Bài Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B cố định thuộc đường trịn (AB khơng phải đường kính) Gọi Trên đoạn AB lấy hai M trung điểm cung nhỏ AB điểm C, D phân biệt khơng nằm đường trịn Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn cho tương ứng E, F khác M 1) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn 2) Gọi O1, O2 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF Chứng minh C, D thay đổi đoạn AB đường thẳng AO1 BO2 cắt điểm cố định Bài Cho tam giác ABC điểm D di chuyển cạnh BC (D khác B C) Đường tròn (O1) qua D tiếp xúc AB B Đường tròn (O2) qua D tiếp xúc AC C Gọi E giao điểm thứ hai (O1) (O2) a) Chứng minh D di động đoạn BC đường thẳng ED qua điểm cố định b) Kết cịn khơng trường hợp D di động ngồi đoạn BC Bài Cho góc vng xAy, điểm B cố định Ay, điểm C di chuyển Ax Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 6.Cho đường tròn tâm O, dây AB Điểm M di chuyển cung lớn AB Các đường cao AE, BF tam giác ABM cắt H Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự C, D ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ a) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M vng góc với CD ln qua điểm cố định b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD qua điểm cố định Bài 7.Cho tam giác ABC, M điểm thuộc đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác Gọi D điểm đối xứng với M qua AB, E điểm đối xứng với M qua BC Chứng minh điểm M di chuyển đường trịn (O) DE ln qua điểm cố định Bài 8.Cho đường tròn tâm (O) Từ điểm A cố định (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O) (B, C tiếp điểm) Lấy điểm M cung nhỏ BC Gọi D, E, F thứ tự hình chiếu từ M đến BC, AC, AB Gọi MB cắt DF P, MC cắt DE Q Chứng minh đường thẳng nối giao điểm hai đường trịn ngoại tiếp tam giác MPF MQE ln qua điểm cố định Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi M, N thứ tự điểm di động đường thẳng AB, AC cho trung điểm I MN nằm cạnh BC Chứng minh đường tròn qua điểm A, M, N qua điểm cố định khác A khơng chứa A Vẽ đường trịn Bài tốn 10 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I điểm BC (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ đường tròn (O2) qua I tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn (O1), (O2) a) Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng b) Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE ln qua điểm cố định khác A Bài toán 11 Cho đường trịn tâm O đường kính AB, điểm C cố định đường kính (C khác O) Điểm M chuyển động đường trịn Đường vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E, F Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua qua điểm cố định khác A Bài toán 12 Cho tam giác ABC, đường cao AH, (H nằm B C) Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác = CAF = α < 900 , AEB BAE CAF cho BAE = AFC = 900 Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF ln qua điểm cố định khác H góc α < 900 thay đổi Bài toán 13 Cho đường tròn (O) dây cung AB Lấy điểm E dây cung AB (E khác A B) Qua E vẽ dây cung CD đường tròn (O) Trên hai tia DA, DB lấy hai điểm P, Q đối xứng qua E Chứng minh đường tròn (I) tiếp xúc với PQ E qua C qua điểm cố định E di động dây cung AB HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Gọi H trung điểm CD giao điểm AB với MO, OH E, F Có tam giác OBM vuông B, đường cao BE Suy OE OM = OB2 = R2 (1) F Có FHM = FEM = 900 Suy tứ giác MEHF nội tiếp Có hai tam giác vng OHM OEF đồng dạng A M D C d H E OH OM OE.OM (2) = ⇒ OF = OE OF OH R2 Từ (1) (2) suy OF = OH Suy O B Do đường tròn (O), đường thẳng d cho trước, nên OH không đổi Suy OF khơng đổi, điểm F cố định Do đường thẳng AB qua điểm F cố định * Nhận xét: + Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán AB cắt OH điểm cố định + Vận dụng tứ giác nội tiếp để khẳng định đường thẳng qua điểm cố định + Vận dụng hệ thức luợng tam giác vuông để giải + Bài toán trường hợp điểm M nằm tia đối tia CD Khi đường thẳng AB qua điểm F cố định Bài Gọi IQ cắt AB K Ta có tứ giác PDKI nội tiếp Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDP Suy P CI CK = ⇒ CI.CP = CD.CK (1) CD CP I O Có hai tam giác CIB CAP đồng dạng Suy CI CA = ⇒ CI.CP = CA.CB (2) CB CP A CA.CB CD Từ (1) (2) suy CK.CD = CA.CB ⇒ CK = D Q Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD không đổi (D trung điểm AB) Khi độ dài CK khơng đổi; nên K cố định Suy IQ qua điểm K cố định * Nhận xét: + Do điểm A, B, C cố định, nên dự đoán đường thẳng IQ cắt AB điểm cố định + Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng cho qua điểm cố định ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ K B C Bài 1) Xét trường hợp C nằm A D M = (sđ MB + sđ AE ), Có MCB C A D B H = (sđ MA + sđ AE ) MFE = MFE ⇒ MCB Mà sđ MB = sđ MA + + BCE = Có MCB 1800 Suy BCE O O1 O2 E F = 1800 MFE N Suy tứ giác CDFE nội tiếp * Xét trường hợp D nằm A C Ta chứng minh C, D, F, E nằm đường tròn Vậy C, D, F, E nằm đường trịn 2) Hạ O1H ⊥ AC, có O1A = O1C ⇒ ∆ O1AC cân O1 ⇒ O1H vừa tia phân giác AO 1C ⇒ AO1C = AO1H Mà AO 1C = AEC ⇒ AO1H = AEC Mà AEC = MAB Suy AO1H = MAB = 900 Xét ∆ AO1H vuông H ⇒ AO H + HAO 1 = 900 = 900 ⇒ MAO + HAO ⇒ MAB 1 Do MA tiếp tuyến (O1) Kéo dài AO1 cắt (O) N Suy MON = 2.MAN = 2.90 = 1800 ⇒ M, O, N thẳng hàng, có MN ⊥ AB Suy N điểm cung lớn AB Lập luận tương tự BO2 qua N điểm cung lớn AB Do AO1, BO2 qua N điểm cung lớn AB Lập luận tương tự D nằm A C AO1 BO2 qua N Vậy AO1 , BO2 qua điểm cố định * Nhận xét: + Đường trịn (O) cho trước, nên dự đốn AO1 qua điểm cung lớn AB + Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng qua điểm cố định, điểm cung Bài a) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S BED; CED Suy Có ABC = = ACB + BED + CED = BAC + ABC + ACB = 1800 BAC Do tứ giác ABEC nội tiếp Gọi DE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S = BED; nên hai cung AC SB Từ ABC Do S điểm cố định O D C B O1 O2 E ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ b) Trường hợp điểm D nằm đoạn BC Chẳng hạn D nằm tia đối tia CB (trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự) Ta chứng minh bốn điểm A, B, C, E nằm đường tròn (O) Gọi DE cắt (O) điểm thứ hai S Kẻ tia Cy tia đối tia CA A S E O O2 B D C y DCy; ACB Khi đường trịn (O2) = ta có CED = DCy O1 = ACB (không đổi) Suy CED (không đổi) Suy SEC = 1800 − CED Nên góc SEC khơng đổi Vậy điểm S cố định * Nhận xét: + Chứng minh A, B, C, E nằm đường tròn + Đường thẳng DE qua điểm cố định S S không điểm cung khác với toán Bài Gọi H giao điểm AI với MN Từ CM = CN, nên tam giác CMN cân C y B Suy CNM Do BNH = 900 − C = 900 + C N H Do I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, nên BIA = 900 + C Do BIA = BNH Suy tứ giác BIHN nội tiếp =900 ⇒ BHI =900 Do tam giác ABH vng H, lại Lại có BNI I x A M = 450 Suy tam giác ABH vng cân H có BAH Do A, B cố định, nên điểm H cố định Vậy MN qua điểm H cố định * Nhận xét: + Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN qua điểm cố định = α tam giác ABH vuông H, AB cho + Trường hợp tổng quát xAy = α Suy điểm H cố định trước, BAH ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ C Bài = MAB a) Kẻ tiếp tuyến Mx với đường tròn (O) Ta có M x = MAB Có tứ giác ABEF nội tiếp đường trịn đường kính AB, nên MEF M =M , nên Mx//EF Suy OM ⊥ EF Do MEF E F Ta có H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MCD, HE ⊥ MD, nên E H trung điểm MD O C Tương tự F trung điểm MC A B Suy EF đường trung bình tam giác MCD Do EF//CD, mà OM ⊥ EF Suy OM ⊥ CD Do điểm cố định O K b) Gọi K điểm đối xứng với O qua AB, ta có OK ⊥ AB, mà MH ⊥ AB Suy MH//OK Lại có tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh lần khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng Do MH = OK Vậy tứ giác MHKO hình bình hành Suy HK//OM, mà OM ⊥ CD, nên HK ⊥ CD Vậy đường thẳng kẻ từ H vng góc CD qua điểm K Do O, AB cho trước, nên K điểm cố định * Nhận xét: + Trong phần a) dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường trịn, dự đốn đường thẳng cho qua điểm O cố định + Trong phần b) dựa vào tính chất tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng D Bài Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC, BC Ta có H, I, K thẳng hàng (đường thẳng Xim- xơn) Gọi N trực tâm tam giác ABC D H A = BCF , AN cắt (O) F Ta có BCN suy BC trung trực NF, mà BC trung trực = F = N ME Suy E 1 =C , K =C Suy K =E , NE//HK Có F 1 1 Chứng minh tương tự có ND//HK Vậy D, N, E thẳng hàng Vậy DE qua trực tâm N tam giác ABC, nên DE qua điểm cố định * Nhận xét: + Dựa vào tứ giác nội tiếp, ta chứng minh H, I, K thẳng hàng; đường thẳng Xim – xơn + Dự đoán đường thẳng DE qua trực tâm tam giác ABC cố định + Chứng minh đường thẳng DE qua trực tâm tam giác ABC M I N B O 1 K F ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ E C Bài ọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF MQE cắt M, N Đường thẳng MN cắt PQ, BC thứ tự K I Ta có tứ giác MDCE, MDBF nội tiếp Từ tứ giác nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung A ; MBF Suy MCE = MDF = MCB = MDE = MBC = + PDQ = PMQ + PDM + QDM Suy PMQ + MCB + MBC = PMQ 1800 Do Do MPDQ tứ giác nội tiếp Suy MQP = MDP = MCB PQ//BC E N F M K P Q C B D I Suy KQ tiếp tuyến đường tròn Từ MQP = MCB = MEQ ngoại tiếp ∆ MQE Chứng minh tương tự KP tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ∆ MPF Ta có KM KN = KQ2, KM KN = KP2 Suy KP = KQ Xét tam giác MBC, PQ//BC, KP = KQ Theo định lí Ta lét, suy I trung điểm BC Vậy MN qua điểm cố định I trung điểm BC * Nhận xét: + Cạnh BC cố định cho trước, nên dự đoán đường thẳng MN qua điểm cố định thuộc cạnh BC + Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp, từ suy MN qua trung điểm PQ + Vận dụng định lí Talét để suy MN qua trung điểm BC O Bài Xét trường hợp M thuộc cạnh AB N thuộc tia đối tia CA (trường hợp N thuộc cạnh AC chứng minh tương tự) Gọi giao điểm đường cao AH tam giác ABC với đường tròn qua điểm A, M, N G Vì ∆ ABC cân A, nên AH phân giác BAC Vậy GM = GN, hay ∆ GMN cân G ⇒ GI ⊥ MN (1) Lại có ∆ GIM đồng dạng ∆ CHA (g g) nên IGM = ACB = ABC A M B I C H N G Có B, G nằm nửa mặt phẳng bờ MI = 900 Suy tứ giác MBIG nội tiếp Suy GBM Suy GB ⊥ AB B Do G giao điểm AH đường thẳng qua B vng góc AB Suy G cố định Vậy đường tròn qua A, M, N qua điểm cố định khác A * Nhận xét: + Do đường cao AH tam giác ABC cân cho trước, nên dự đốn đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AH G, G điểm cố định + Chứng minh tứ giác MBIG nội tiếp Vận dụng tứ giác nội tiếp, để chứng minh đường tròn qua điểm cố định ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài 10 a) Tứ giác ABIC nội tiếp, nên A + ACI = 1800 ⇒ B +C = 1800 ABI K K Do K +K = Có B = = ;C 1800 1 2 D Do B, K, C thẳng hàng b) Có ∆ IBD = ∆ ICE (c g c) O B = IEC Do ADI + AEI = Suy IDB 1800 Suy tứ giác ADIE nội tiếp Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định I khác A K O1 C x E O2 y I , nên I điểm cố định Nhận xét: + Có I điểm BC Để chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định, dự đốn điểm cố định I + Chứng minh tứ giác ADIE nội tiếp, suy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm I Bài 11 * Trường hợp điểm C thuộc đoạn OB Gọi K giao điểm đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác AEF với cạnh AB E = MAB (cùng phụ với góc B) Ta có F = MAB (cùng bù với EFK =F , ) Suy F có F 1 M FC trung trực BK, hay BC = CK Do B, C cố định, nên K điểm cố định Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF ln qua điểm K cố định * Tương tự trường hợp điểm C thuộc đoạn OA Ta có đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm K cố định * Nhận xét: + Đường trịn (O), đường kính AB cố định, + Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AB K, dự đốn K điểm cố định F A K O B C F M E K A O C B Bài 12 Cách Gọi M, N, P thứ tự trung điểm BC, AC, AB Có tam giác AEB đồng dạng tam giác AFC Từ tứ giác AHBE, AHCF nội tiếp Suy AHE = ABE = ACF = AHF Có EP = MN = 1 = FN = AC AB , PM 2 A α α F N P E B H M ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ C = EPB + BPM = 2α + BAC = 2α + MNC = MNF Có EPM = MFN Do ∆ EPM = ∆ MNF, suy EMP = EMP + PMN + NMF = MFN + MNC + NMF Suy EMF = 2.NCF = 2.ACF = 1800 − FNC = 2.ACF ⇒ EHF = EMF Mà EHF Có H, M nằm nửa mặt phẳng bờ EF Suy E, H, M, F nằm đường tròn Suy đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF ln qua điểm cố định M trung điểm BC (khác H) * Nhận xét: + Dự đốn đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF qua trung điểm BC + Chứng minh bốn điểm E, H, M, F nằm đường tròn Bài 13 Gọi M giao điểm AB đường tròn (I), EP tiếp tuyến (I), nên CMA = PEC = QED = BDC Mặt khác BAC P I Suy tam giác CMA đồng dạng với tam giác QED (g g) ⇒ AM DE = CM QE C A E (1) BMC; ABC , Chứng minh tương tự DEP = = ADC M O Q D nên tam giác BMC đồng dạng tam giác DEP (g g) BM DE DE = = (2) CM PE QE AM BM Từ (1) (2) suy = ⇒ AM = BM CM CM ⇒ Do đường trịn (I) ln qua trung điểm M AB điểm cố định * Nhận xét: + Đoạn thẳng AB cố định, dự đốn đường tròn (I) qua điểm cố định thuộc đoạn AB, dự đốn điểm trung điểm AB + Chứng minh M trung điểm AB dựa vào tỉ số có mẫu số ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ B