TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG “tailieumontoan com” Date Cho Parabol (P) ( )2 0y ax a= ≠ và đường thẳng y bx c= + có đồ thị là (d) Khi đó hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm của phương trì[.]
TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Date “tailieumontoan.com” II Bài tâp I Lý Thuyêt Cho Parabol (P): y ax (a ≠ ) đường = thẳng = y bx + c có đồ thị (d) Khi hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: ax= bx + c (*) • (P) cắt (d) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (d ) : y= (m ≠ ) 2mx − m + Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x , x thỏa mãn x − x = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) (*) có hai nghiệm phân biệt • (P) khơng cắt (d) ⇔ phương trình (*) vơ nghiệm • (P) tiếp xúc với (d) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép Bài Cho parabol (P): y = x đường thẳng 2mx − m + ⇔ x − 2mx + m −= x= (*) 1 Có ∆=' m − + > 0, ∀m 2 Vậy PT (*) ln có hai nghiệm phân biệt x , x hay (d) cắt (P) tai hai điểm phân biệt A, B Theo hệ thức Vi-et, ta có: x + x =2m ; x x =m − x − x =2 ⇔ ( x + x ) − 4x x =4 ⇔ 4m − (m − ) =4 ⇔ m =1 (do m ≠ ) Bài Cho parabol (P): = y ax (a > ) đường thẳng ( d ) : 2x − y − a = a) Tìm a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B b) Gọi x A , x B hoành độ hai điểm A, B Tìm giá trị nhỏ biểu thức: = T + x A + x B x A x B Lời giải a) PT hoành độ giao điểm (P) (d) ax = 2x − a ⇔ ax − 2x + a = ( 1) Điều kiện cần đủ để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B PT(1) có hai nghiệm phân biệt ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ x A , x B ⇔ ∆ ' = − a > ⇔ < a < (do a > ) Chú ý: Cơng thức tính khoảng hai điểm M, N: b) Áp dụng hệ thức Vi-et cho PT(1) ta có + xB xA = a ; x= A x B MN = Thay vào T thu 1 T = + =+ 2a x A + x B x A x B a Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương 2a a a , ta có 2 = 1 ⇔a = a Đẳng thức xảy 2a = Vậy giá trị nhỏ T 2 đạt a = Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Cho Parabol (P) có phương trình y = x đường thẳng (d) có phương trình = y kx + (k tham số) Tìm k để đường thẳng d cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M,N cho MN = 10 Lời giải (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M ( x ; y ) , N ( x ; y ) x ; x nghiệm phương trình : x − kx − = Xét ∆= k + > với k, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Do (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt x + x = k Theo hệ thức Vi-ét ta có: x x = −1 Vì M, N thuộc (d) nên y 1= kx + 1; y = kx + ⇒ y − y 1= k ( x − x ) Ta có: MN = ( x − x ) + ( y − y ) ( ⇔ 10 ( ) 40 = 1+k2 =( x − x ) + k ( x − x ) ) (x ( ) ⇔ ( + k ) k − x1 ) 2 ⇔ + k ( x + x ) − 4x x = 40 2 + = 40 ⇔ k + 5k − 36 = ⇔k = ±2 Vậy với k = ±2 đường thẳng d cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M, N cho MN = 10 − x1 ) + (y − y ) 2 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): a T ≥ 2a (x y = − x Gọi (d) đường thẳng qua điểm I(0;2 2) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (d) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B k thay đổi b) Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A B trục hồnh Chứng minh tam giác IHK vuông I Lời giải a) PT đường thẳng (d) có hệ số góc k đường qua điểm I(0;-2) y = kx – PT hoành độ giao điểm (d) (P) − x = kx − ⇔ x + 2kx − = ( * ) Có ∆ '= k + > 0, ∀k Vậy PT (*) có hai nghiệm phân biệt x ; x Chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x x = −4 Giả sử tọa độ điểm A, B A ( x ; y ) , B ( x ; y ) Gọi H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A B trục hoành nên tọa độ H, K là: H ( x ;0 ) , K ( x ;0 ) Do IH = x 12 + 4; IK = x 22 + 4; HK = (x − x ) Suy ra: IH + IK = x 12 + x 22 + = x 12 + x 22 − 2x x = ( x − x ) = HK 2 Chứng tỏ tam giác IKH vuông I (theo định lý Pythagore đảo) Bài Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = − x điểm I ( 0; −2 ) điểm M (m ;0 ) (với m tham số, m ≠ ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M, I Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A, B với độ dài đoại thẳng AB lớn Lời giải ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ PT đường thẳng (d) qua hai điểm I ( 0; −2 ) M (m ;0 ) x − m PT hoành độ giao điểm (d) (P) − x 2= x − ⇔ mx + 4x − 4m= ( * ) m Có ∆ ' = + 4m > 0, ∀m Vậy PT(*) ln có hai nghiệm phân biệt x ; x , chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Khi đó, tọa độ giao điểm A, B x 12 x 22 A x ; − ; B x ; − y là= Từ AB =( x − x ) 2 (x + − x ) (x + x ) ( x + x )2 = ( x + x ) − 4x x + Áp dụng hệ thức Vi-ét cho PT(*) ta có: − ; x A x B = −4 x A + xB = m Thay vào (1) thu được: −4 2 16 = − ( −4 ) + AB m m 16 = + 16 + > 16 ∀m m m Suyra AB > ( 2 ) ( 1) Bài Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x đường thẳng (d ) : y = 2x − m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ ( x ; y ) (x ; y ) cho x x ( y + y −48 )= −48 )= ⇔ x x ( 2x − m + + 2x − m + ) = −48 ⇔ x x 2 ( x + x ) − 2m + = −48 ⇔ (m − ) 8 − 2m + = −48 ⇔ m − 6m − = m = −1 (TM ) ⇔ m = (loai ) Bài Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x đường thẳng (d ) : y =( k − ) x + Tìm k để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ y y ( x ; y ) ( x ; y ) cho y + y = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x − (k − 1) x − = PT có ac =−4 < 0, nên ln có hai nghiệm phân biệt x + x = k − x ; x Khi đó: x x = −4 y = x 12 y = x Vậy y + y 2= y y ⇔ x 12 + x 22= x 12 x 22 ⇔ ( x + x ) − 2x x = x 12 x 22 ⇔ (k − 1) + = 16 ⇔ k =1 ± 2 Bài Cho parabol (P): y = −x đường thẳng (d ) : y = ( − m ) x + − 2m Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ ( x ; y ) ( x ; y ) 1 2 cho y − y = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x − 2x + m − =0 ( ) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ⇔ ∆ ' > ⇔ m < Khi x ; x hai nghiệm x + x = PT(1), ta có: x 2 (m − ) x 1= Ta có: x x ( y + y y = 2x − m + y = 2x − m + x + ( − m ) x + − 2m = ( 1) PT (1) có ∆ ' > ⇔ m ≠ −1 nên ln có hai nghiệm phân biệt x ; x Khi đó: y = ( − m ) x + − 2m y = ( − m ) x + − 2m =2 ⇔ ( − m )( x − x ) =2 x + x = m − x x m = − Do y − y 2 ⇔ ( − m ) ( x + x ) − 4x x = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 2 ⇔ (m − ) ( x + x ) − 4x x B = ⇔ (m − ) (m + 1)2 = ± 6; m = ± Tìm được: m = Bài Cho parabol (P ) : y = x đường thẳng (d ) : y = 2mx − m − 2m + (với m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A , B nằm bên phải x + x = Theo hệ thức Vi-et ta có : x x = −m Ta có y = x + m , y = x + m ⇒ y − y = x − x (x − x1 ) 2014 + (y2 − y1 ) Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (d ) = 2mx − m − 2m + ⇔ x − 2mx + m + 2m − = ( 1) (d ) cắt (P) hai điểm phân biệt A , B đểu nằm bên phải trục tung phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt x , x m > ⇔ m > ⇔ m > ( * * ) m < −3 ⇔ (x − x ) + (x − x ) ⇔ (x − x ) 2014 =⇔ ( x − x ) =1 thỏa mãn Bài 10 Tìm m để đường thẳng (d ) : y= x + m (P ) hai điểm phân biệt ) , B ( x ; y ) cho : ) + (y − y ) = cắt đồ thị y = x − x1 2014 = ⇔ ( x + x ) − 4x x = ⇔ + 4m = ⇔m = thỏa mãn Vậy với m = (P) cắt (d) thỏa mãn điều kiện đề Bài 10 Cho parabol (P ) : y = x đường thẳng 11 :y d= x − Gọi A , B giao điểm (P ) d Tìm tọa độ điểm C trục tung cho CA + CB có giá trị nhỏ Lời giải Hoành độ A B nghiệm phương trình: Từ (*) (**) suy < m < (x = 2014 ∆ ' > ⇔ −2m + > ⇔ m < ( * ) Khi đó, theo định lý Vi-et ta có : 2m x + x = Để x , x dương : x x = m + 2m − x + x > 2m > ⇔ x x > m + 2m − > A (x ; y 2014 trục tung (P ) : x Khi x ; x nghiệm phương trình (1) 2 2014 2014 (P) cắt (d) hai điểm phân biệt ⇔ x =x + m có hai nghiệm phân biệt ∆ = + 4m > ⇔ m > − 3 16 x = x = Suy A ( 4;4 ) , B ; Dễ thấy hai điểm A , B nằm phía so với trục tung Lấy điểm A ' ( −4;4 ) đối xứng với A qua trục tung Khi CA + CB = CA '+ CB ≥ A ' B , nên CA + CB đạt Lời giải ⇔ x2 −x −m = (1) có 11 = x x − Phương trình có hai nghiệm: giá trị nhỏ A ',C , B thẳng hàng, tức C giao điểm đường thẳng A ' B với trục tung Phương trình đường thẳng d ' qua A ' B có dạng y= ax + b ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ 4 =−4a + b a= − Suy d ' : y = ⇔ Ta có hệ − x+ a +b = b = 16 3 Vậy C 0; 2 Bài Cho hai hàm số y = x y = mx Tìm m để hai đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt ba đỉnh tam giác Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y = −2 x + Parabol ( P ) : y = x Tìm tọa độ giao điểm A, B (d ) ( P ) Tính độ dài đường cao OH tam giác OAB Bài Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) := y mx + 2m, với m tham số Gọi A H giao điểm (d) với trục hoành trục tung Tìm tất giá trị m để ( d ) cắt (P) hai điểm C D nằm hai phía trục tung cho C có hồnh độ âm BD = AC Bài 4.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) có phương trình y = x hai đường thẳng (d): y = m ; (d’): y = m2 (với < m < ) Đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt A, B; đường thẳng (d’) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt C, D (với hoành độ điểm A D số âm) Tìm m cho diện tích hình thang ABCD gấp lần diện tích tam giác OCD Bài Cho parabol ( P ) y = x đường thẳng d : y = ( m + 1) x − m − Với giá trị m d cắt (P) 2 hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) cho biểu thức T = y1 + y2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : x − y + 12 = a) Tìm tọa độ giao điểm A B ( d ) ( P ) b) Tìm tọa độ điểm C nằm ( P ) cho tam giác ABC vuông C ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Phương trình hồnh độ giao điểm m m − x =mx ⇔ x − m x = 0⇔ x= 0; x = ; x = 2 m m2 m m2 ;B − ; H giao điểm AB trục tung, suy Gọi ba giao điểm O (0;0); A ; 2 2 = = AB m ; OH m2 Tam giác OAB ⇒ OH = m2 AB ⇔ = 2 Giải tìm m = 0; m = 3; m = − , loại m = Vậy m = m 3; m = − Bài Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x = −2 x + = x ⇔ x + x − = ⇔ x = −3 + Với x =1 ⇒ y =1 + Với x =−3 ⇒ y =9 Vậy tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) A(1;1), B (−3;9) Gọi C , D giao điểm ( d ) trục Ox,Oy Khi 3 C ;0 , D ( 0;3) 2 Đường cao OH tam giác OAB đường cao OH tam giác vng OCD Ta có 3 OC.OD OC =; OD = = = ⇒ OH = 2 OC + OD 3 +3 2 Vậy OH = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : x = mx + 2m ⇔ x − mx − 2m = (*) Có: ∆ = m + 8m ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt d ∩ Ox =A ⇒ A ( −2;0 ) d ∩ Oy =B ⇒ B ( 0;2m ) C D nằm phía trục tung C có hồnh độ âm: x1 < 0; x2 > ⇒ x1 x2 < ⇔ −2m < ⇔ m > m > Ta có: ⇔ ∆ > ⇔ m + 8m > ⇔ m < −8 Gọi E F thứ tự hình chiếu C lên trục Ox D lên trục Oy CE = y1 = mx1 + 2m = m ( x1 + ) ; BF = yF − yB = y2 − yB = mx2 + 2m − 2m = mx2 ∆ACE ∆DBF Ta có: DF / / Ox CE / / Oy nên: m ( x1 + ) mx2 = x +2 1 ⇔ = ( 2 x2 ( g g ) ⇒ AC CE = = BD FB m > ) ⇒ x2 = x1 + ⇒ x1 + x1 + = m m−4 x1 = ⇒ ⇒ ( m − )( 2m + ) = −18m ⇔ 2m − 4m + 18m − 16 = m + x = m = −8 ⇔ m + m − = ⇔ m + m − = ⇔ ( m + )( m − 1) = ⇔ m = (tm) Vậy giá trị cần tìm m = ( ) ( ) m ; m , C ( m; m ) , D ( −m; m ) Bài 4.Tính A − m ; m , B ( m−m Tính S ∆OCD = m ; S ABCD = ( = 9.S ∆OCD ⇔ m − m Do S ABCD )( )( ) m + m ( > m > ) ) m + m= 9m3 ⇔ 10m m + m − m − = Đặt 1 m = t > ⇒ 10t + t − t − = ⇔ t − (10t + 6t + ) = ⇔ t = 2 Suy m = 1 Kết luận, m = giá trị cần tìm 4 Bài 5.Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: x = ( m + 1) x − m − ⇔ x − ( m + 1) x + 2m + = 0(*) 2 Đường thẳng (d) cắt ( P ) hai điểm ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ ( m + 1) − 2m − ≥ ⇔ 2m − m ≥ ⇔ ≤ m ≤ 2 Với ≤ m ≤ ( d ) cắt ( P ) hai điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ (ktm) x1 + x2 = ( m + 1) 2m + x= x2 Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: Ta có: A x1 ; x12 , B x2 ; x22 1 ⇒ T =y1 + y2 − x1 x2 = ( x12 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x1 x2 2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 =2 ( m + 1) − 4m − =−2m + 4m =−2 ( m − 2m + 1) + 2 = −2 ( m − 1) + 2 Vì ( m − 1) ≥ ∀m ∈ [ 0;2] Đặt t = m − ⇒ m ∈ [ 0;2] ⇒ t ∈ [ −1;1] ⇒ t ∈ [ 0;1] ⇒ T = − ( m − 1) = − 2t ≥ ∀t ∈ [ 0;1] m = m = Vậy MinT =0 ⇔ t =1 ⇔ ( m − 1) =1 ⇔ Bài a) Ta có ( d ) := y x =6 ⇒ y =9 1 x+6⇔ x + Phương trình hồnh độ giao điểm x = 2 x =−4 ⇒ y =4 Vậy giao điểm A ( 6;9 ) , B ( −4; ) 13 b) Gọi C c ; c ∈ ( P ) c ≠ 6, c ≠ −4 Ta gọi M trung điểm AB, suy M 1; 2 Ta có ∆ABC vng C nên = MC 5 (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) = AB 2 13 125 1 Suy ( c − 1) + c − = 2 4 1 1 c − c − 2c + 12 =0 ⇔ c − c3 + c3 − c − 2c + 4c − 6c + 12 =0 16 16 8 1 ⇔ c ( c − ) + c ( c − ) − 2c ( c − ) − ( c − ) = 16 x = (n) 1 ⇔ ( c − ) c + c − 2c − =0 ⇔ x =6 ( l ) 16 x = −4 l () ⇔ Vậy điểm C ( 2;1) điểm thỏa đề ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Phương trình hoành độ giao điểm m m − x =mx ⇔ x − m x = 0⇔ x= 0; x = ; x = 2 m m2 m m2 ;B − ; H giao điểm AB trục tung, suy Gọi ba giao điểm O (0;0); A ; 2 2... trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) là: x = −2 x + = x ⇔ x + x − = ⇔ x = −3 + Với x =1 ⇒ y =1 + Với x =−3 ⇒ y =9 Vậy tọa độ giao điểm ( d ) ( P ) A(1;1), B (−3;9) Gọi C , D giao điểm (... phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = − x điểm I ( 0; −2 ) điểm M (m ;0 ) (với m tham số, m ≠ ) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M, I Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm