ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ “tailieumontoan com” Date Phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ thường tỏ ra hiệu quả cho lớp dạng toán “Tìm điều kiện tham số để Dạng 1 PT, BPT, HPT có nghiệm duy nhất Dạng 2[.]
ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ “tailieumontoan.com” I Lý ThuyêtDate II Bài tâp Phương pháp điều kiện cần điều kiện đủ thường tỏ hiệu cho lớp dạng toán “Tìm điều kiện tham số để: Dạng PT, BPT, HPT có nghiệm Dạng PT, BPT, HPT có nghiệm với giá trị tham số Dạng PT, BPT, HPT có nghiệm với x ∈ D Dạng PT, BPT, HPT tương đương với phương trình bất phương trình khác Khi giải ta thực bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức PT, BPT, HPT có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần cho tốn dựa việc đánh giá hay tính đối xứng toán Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, bước cần có số kĩ Chú ý viết tắt: PT: Phương trình BPT: Bất phương trình HPT: hệ phương trình Dạng 1: Sử dụng điều kiện cần đủ giải phương trình tham số Bài Tìm m để phương trình (PT) sau có nghiệm x + 2−x = m ( 1) Hướng dẫn Điều kiện cần: Trong PT (1) vai trò x – x Vì PT (1) có nghiệm x o − x o nghiệm Giả sử PT (1) có nghiệm x o x =2 − x o ⇔ x o =1 Thay vào (1) ta m = Điều kiện đủ: Ta xét m = PT (1) có dạng x + 2−x = (2) Cách Điều kiện ≤ x ≤ ( * ) Bình phương hai vế PT (2) rút gọn x ( − x ) =1 ⇔ ( x − ) =0 ⇔ x =1 (thỏa mãn (*)) Cách Áp dụng BĐT Bunhiacovski ta có: ( x + 2−x ) ≤ ( x + − x ) =4 ⇒ x + − x ≤ Đẳng thức xảy x = − x ⇔ x = Suy PT (2) có nghiệm x = Kết luận Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x + 2−x + x + 2−x = m Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử PT có nghiệm x = x ⇒ − x nghiệm PT Vậy PT có nghiệm x =2 − x ⇔ x =1 Thay x = vào PT ta được: m = Đó điều kiện cần để PT có nghiệm ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Điều kiện đủ: Với m = 4, PT có dạng: x + 2−x + x + 2−x = (2) Điều kiện đủ: Với a = b = 0, (1) có dạng: x + − x + = ⇔ = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski ta có: Vậy với a = b = phương trình nghiệm với ∀x x + − x ≤ x + − x ≤ x + − x = Do ( ) ⇔ ⇔x = nghiệm 4 x + − x = PT Bài Tìm m để Pt sau nghiệm với ∀x ≥ : x + 2x − m + 2m + = x + m − 2 ( 1) x + (m − ) x + m − 7m + 12 = (4) Điều kiện cần: Giả sử PT (3) PT(4) tương đương với Vì PT(3) ln có nghiệm x = nên PT (4) phải nghiệm x = Vì vậy, ta phải có m = m = Điều kiện đủ Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ≥ suy x = nghiệm (1), đó: ( 1) ⇔ (3 ) x + (m − 5m + ) x = Hướng dẫn Vậy với m = PT có nghiệm Bài Tìm m để hai phương trình sau tương đương: a) Nếu m = PT(3) (4) có dạng x Suy m = PT(3) tương đương với PT(4) b) Nếu m = PT(3) (4) có dạng x + 2x = −m + 2m + = m − 2 m −2 ≥ ⇔ ⇔m = − m + m + = m − ( ) Đó điều kiện cần để PT nghiệm ∀x ≥ Điều kiện đủ: Với m = 3, (1) có dạng: x ≥0 Suy với m = PT(3) tương đương với PT(4) Kết luận PT(3) tương đương với PT(4) m = m = Bài Cho phương trình:: x) ( x + )( −= 3m x + 3x + m − x + 6x + 9x − 16 = x + 2x + = x + ⇔ x + = x + ⇔ = ln Tìm m để (1) (2) tương đương Vậy, với m = PT nghiệm với ∀x ≥ Giải (2) ta biến đổi: Chú ý: Với tốn có nhiều tham số ta thấy tầm quan trọng việc lựa chọn điểm thuận lợi với việc xác định giá trị tham số thực Chúng ta xem xét ví dụ sau: Bài Tìm m để Pt sau nghiệm với ∀x : a x + − x + bx + =0 ( 1) Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ⇒ x = () ( 1) (2) Hướng dẫn x= + 3x + =0 ⇔ x = −4 Điều kiện cần: Giả sử (1) (2) tương đương suy x = nghiệm (1), đó: m >0 m ⇔= ( ) ⇔=6 3m m + ⇔ = 4 m (m + ) Vậy m = điều kiện cần để (1) (2) tương đương Điều kiện đủ: Với m = 1, (1) có dạng: ( ) ⇔ ( x − )( x + ) ( x ) −x − 3x + 10 = x + 3x (3 ) nghiệm (1), đó: ⇔ a − = ⇔ a = Đặt t = x + 3x (t ≥ ) Khi đó: Với a = 1: t = −5 (loai ) + 3t − 10 =0 ⇔ t = x= ⇔ x + 3x =2 ⇔ x = −4 ( 1) ⇔ x2 += (3 ) ⇔ t x + bx + ∀x ⇔ x + = x + bx + ⇔ bx = ⇔ b = Vậy a = b = điều kiện cần để Pt nghiệm với ∀x ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Tức (1) (2) tương đương Vậy với m = (1) (2) tương đương Dạng 2: Sử dụng điều kiện cần đủ giải hệ phương trình tham số Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 2 m x + y = x +y = Điều kiện cần: Nhận xét hệ có nghiệm ( x ; y ) ; x ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm x = y (*) 2x = m Khi đó: (HPT ) ⇔ ⇒m = 18 2x = Điều kiện đủ: Với m = 18 ta được: x + y = x + y = 18 ⇔ (HPT ) ⇔ x + y = xy = ⇔ x = y = nghiệm Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x + xy + y = m + 2 m +1 x y + xy = Điều kiện cần: Nhận xét hệ có nghiệm ( x ; y ) ; x ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm x = y (*) ; x ) nghiệm hệ, hệ có nghiệm x = y (*) Khi đó: ( * ) ⇔ x = x 02 − x + m ⇔ x 02 − 2x + m = ( ) Do x nghiệm nên PT (3) có nghiệm ∆ '(3 ) = ⇔ − m = ⇔ m = Điều kiện đủ: Với m = hệ có dạng: x = y − y + ⇒ x + y = x2 + y2 −x −y +2 y = x − x + ⇔ ( x − ) + ( y − ) = ⇔ x = y = 2 Nghiệm thỏa mãn hệ nghiệm Vậy với m = hệ có nghiệm Bài 10 Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ( ) a x + + x = y 2 x + y = x 02 + 2x = m +2 2x 0= m + (HPT ) ⇔ = m 2x 03 − ⇔ 2x − x − 2x o + = ⇒m = −3, m = − 1, m = Điều kiện đủ: Thay lại giá trị m = 1, m = −3, 3 m = − giải ta thấy có giá trị m = 1, m = − hệ 4 thỏa mãn điều kiện có nghiệm Kết luận: Với m = 1, m = − Điều kiện cần Giả sử hệ (I) có nghiệm ( x ; y ) Do ( x ; y ) nghiệm hện (I) nên suy ( −x ; y ) nghiệm hệ (I) Từ tính nghiệm suy x = −x ⇔ x = y a = suy a = -1 a = y = Thay vào hệ (I), ta Khi đó: nghiệm Điều kiện cần: Nhận xét hệ có nghiệm ( x ; y ) Hướng dẫn Hướng dẫn (y Hướng dẫn (y Hướng dẫn (y Bài Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x = y − y + m ( * ) y = x − x + m hệ thỏa mãn điều kiện có Điều kiện đủ x = x + + y a) Nếu a = - hệ (I) có dạng (II ) x + y = Ta thấy hệ (II) có hai nghiệm (x; y) = (1; -1) (x; y) = (0; -1) nên a = −1 khơng giá trị cần tìm b) Nếu a = hệ (I) có dạng x + x =y − (III ) 2 x + y = suy Từ y − = x + x suy y ≥ , từ x + y = y ≤ Vậy ta có y = \ ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ x + x = Thay y = vào hệ (III) ta x = Vậy (x; y) = (0; 1) nghiệm hệ (III) Kết luận: Hệ (I) có nghiệm a = Bài 11 Tìm a cho với giá trị b hệ phương trình sau có nghiệm: (a − ) x + y = a2 1 + (a + ) bxy = (IV ) Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử hệ (IV) có nghiệm với giá trị Bài 13 Tìm m để bất phương trình ( + x )( − x ) ≤ x − 2x + m ( 1) nghiệm ∀x ∈ − 2;4 Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ∈ − 2;4 ⇒ x = nghiệm (1), đó: ≤m −1 ⇔m ≥ Đó điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm với ∀x ∈ − 2;4 Điều kiện đủ: Giả sử m ≥ , đó: b suy với b = hệ (IV) có nghiệm, tức hệ sau có (a − ) x + y = nghiệm: (IV ) a =1 Suy a = a = -1 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: 2+x +4−x VT = ( + x )( − x ) ≤ = Biến đổi vế phải dạng: y = a) Với a = hệ (IV) có dạng bx = Suy Điều kiện đủ, Hệ có (x; y) = (0; 1) nghiệm với giá trị b Suy hệ (IV) có nghiệm với giá trị b −2x + y = b) Với a = -1 hệ (IV) có dạng 1=1 Hệ nhận (x; y) = (0; 1) nghiệm với giá trị b Kết luận Với a = a = -1 hệ (IV) có nghiệm với giá trị b Dạng 3: Sử dụng điều kiện cần đủ giải bất phương trình tham số Bài 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm nhất: x − 2m ≤ mx 2 ( 1) Hướng dẫn Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm x= x ⇒ −x nghiệm (1), Vậy (1) có nghiệm x = −x o ⇔ x = Thay x = vào (1) ta được: m = (x − 1) + m − ≥ ( + x )( − x ) ≤ x − 2x + m VP = x − 2x + m = Vậy với m ≥ bất phương trình có nghiệm với ∀x ∈ − 2;4 Bài Tìm a để phương trình hệ phương trình sau có nghiệm a) x − + − x = a; b) x + + − x − ( + x )( − x ) =a ; c ) ( 2x + a ) + ( 2x − a ) + 4x + a = a; 2 xy + x + y = a + d ) 2 a x y + xy =+ x + + y + = a x +y = 3a e) Bài Tìm a để giá trị b hệ phương trình sau có Đó điều kiện cần để bất phương trình có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sư m = (1) có dạng: x2 ≤ ⇔ x = nghiệm bất phương trình Vậy m = bất phương trình có nghiệm ( ) a x + y + x + y = b nghiệm: y −x = b Bài Tìm m để hai phương trình sau đương đương (1 + m ) x 2 ( ) − m2 − x + m2 − = x + (m − ) x + m − 3m + = ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗