Tuyen tap de thi vao lop 10 chuyen khoa hoc tu nhien

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TUYỂN TẬP 65 ĐỀ TOÁN VÀO 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022 Website:tailieumontoan.com TUYỂN TẬP ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi vào lớp 10 mơn tốn, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô em đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học khoa học tự nhiên Hà Nội Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy em học sinh luyện thi vào lớp 10 có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập đề thi toán vào lớp 10 chuyên Đại học khoa học tự nhiên giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC PHẦN 1: ĐỀ THI Đề số 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Đề thi Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2022 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2022 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2021 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2021 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2020 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2020 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2019 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2019 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2018 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2018 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2017 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2016 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2016 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2015 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2014 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2014 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2013 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2013 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2012 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2012 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2011 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2011 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2010 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2010 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2009 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2009 (vòng 2) Trang PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I (4 điểm) 6 ( xy + ) + x3 y + x = 42 1) Giải hệ phương trình  42  x + x y + x + 30 y = 2) Giải phương trình : ( )( ) x + + 3 − x + 3 ( x + )( − x ) = 24 Câu II (2 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức : 25 y + 354 x + 60= 36 x + 305 y + ( y − x ) 2022 2) Trên bàn có hộp rỗng (trong hộp khơng có viên bi nào) Người ta thực lần thêm bi vào hộp theo quy tắc sau : lần ta chọn hộp bỏ vào hộp viên, hộp viên, hai hộp lại hộp viên Hỏi số lần thêm bi để nhận số bi hộp số tự nhiên liên tiếp ? Câu III (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD ( AB < AD ) nội tiếp đường tròn ( O ) Trên cạnh AD lấy hai điểm E F ( E , F ∠BOC 1) Chứng minh BE CF cắt điểm nằm đường tròn ( O ) không trùng với A, D) cho E nằm A F, đồng thời ∠ABE + ∠DCF = 2) Đường thẳng qua O song song với BC cắt BE , CF theo thứ tự M , N Chứng minh ∠DAM + ∠ADN + ∠AOD = 180° 3) Dựng hình chữ nhật MNPQ cho NQ song song với BD, đồng thời MP song song với AC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật MNPQ tiếp xúc với đường trịn ( O ) Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh : 2a a + b 6a + 2c 4a + 3b + c 32a + + + ≥ a + b a + c 3b + c b+c 2a + b + c Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I (3,5 điểm) 1) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 + + = Chứng minh : a b c 1 1  abc + +  =  a + bc b + ca c + ab  ( a + bc )( b + ca )( c + ab ) 2 x + xy + y = 2) Giải hệ phương trình  +1 2x + y + 3 x + y = Câu II (2,5 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức : ( x + y )( x + y ) + xy = ( x + y ) + x y + xy 2) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện sau c ≤ b < a ≤ 3; b + 2a ≤ 10; b + 2a + 2c ≤ 14 Tìm giá trị lớn biểu thức:  2 3 a b ab a b a b + + + ≤ + + + ( )( )  P = 4a + b + 2b + 4c Câu III (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) Điểm P nằm tam giác ABC Gọi E , F hình chiếu vng góc P cạnh CA, CB Giả sử tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn ( K ) 1) Chứng minh AP vng góc với BC 2) Chứng minh AP = 2OK 3) Đường thẳng qua P vng góc với AP cắt đường trịn hai điểm Q, R Chứng minh đường tròn tâm A bán kính AP tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp ∆KQR Câu IV (1 điểm) Cho điểm A1 , A2 , , A30 theo thứ tự nằm đường thẳng cho độ dài đoạn Ak Ak +1 k (đơn vị dài), với k = 1, 2, , 29 Ta tô màu đoạn thẳng A1 A2 , , A29 A30 màu (mỗi đoạn tô màu) Chứng minh với cách tô màu,, ta chọn hai số nguyên dương ≤ j ≤ i ≤ 29 cho hai đoạn Ai Ai +1 Aj Aj +1 tô màu i − j bình phương số nguyên dương Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Bài Giải phương trình 13 − x + 18 x + = 61 + x + ( − x )( x + 8)  x + y + x y = (1) Bài Giải hệ phương trình:  + =− x x y x y ( ) )  ( Bài Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết chia n cho 7, 9, 11, 13 số dư tương ứng 3, 4, 5, Bài Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm tam giác ( P không nằm cạnh) Gọi J , K , L tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC , PCA , PAB  + CKA + ALB =450° Chứng minh BJC Giả sử PB = PC PC < PA Gọi X , Y , Z hình chiếu vng góc J , K , L  cạnh BC , CA, AB Dựng hình bình hành XYWZ Chứng minh W nằm phân giác BAC Bài Cho tập A = {1; 2; 3; ; 2021} Tìm số nguyên dương k lớn ( k > ) cho ta chọn k số phân biệt từ tập A mà tổng hai số phân biệt k số chọn không chia hết cho hiệu chúng  HẾT  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2021 – 2022 Mơn: TỐN (VỊNG 2) Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu 1) Với a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c ≠ (a + b)(b + c)(c + a ) = Chứng minh a b + abc + ab(a + b + c) + = ⋅ a (a + b + c) + + abc b (a + b + c) + + abc ( a + b + c) 2  x + y + xy + x y = 11  2) Giải hệ phương trình:   3 xy ( x + y ) + 31 = x + 18 y + 13 xy Câu 1) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn 3x + 29 = y 2) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ( a + b + c ) + ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức M = a +1 b +1 c +1 + + ⋅ a + 10a + 21 b + 10b + 21 c + 10c + 21  nhọn có đường trịn nội tiếp ( O ) Các điểm M , N thuộc Câu Cho hình thoi ABCD có BAD cạnh CB, CD cho MN tiếp xúc (O) P tam giác CMN không cân MN cắt AB, AD E , F Gọi K , L trực tâm ∆BME , ∆DNF 1) Chứng minh OP qua trung điểm I KL 2) Gọi H trực tâm tam giác CMN Chứng minh OI EF − = − CH MN 3) Gọi EK , FL cắt BD S , T NS cắt MT Q Đường tròn nội tiếp tam giác CMN tiếp xúc MN với G Chứng minh PQ song song với GH Câu Giả sử a1 , a2 , , a2021 số thực thỏa mãn a a1 a + 2 + + 2021 = 2 + a1 + a2 + a2021 Chứng minh tồn số nguyên k (1 ≤ k ≤ 2021) cho kak a1 2a2 2k + + + + ≤ ⋅ 2 + a1 + a2 + ak ……………………….HẾT……………………… Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I (4 điểm)  x + y + xy = 1) Giải hệ phương trình :  9 x =xy + 70 ( x − y ) 2) Giải phương trình: 11 − x + x − = 24 + ( − x )( x − 1) Câu II (2 điểm) 1) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn x y − 16 xy + 99 = x + 36 y + 13 x + 26 y 2) Với a, b số thực dương thỏa mãn ≤ 2a + 3b ≤ ;8a + 12b ≤ 2a + 3b + 5ab + 10 3a + 8b + 10ab ≤ 21 Chứng minh rằng: Câu III (3 điểm)  góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường tròn (O) Điểm Cho tam giác ABC có BAC  Lấy điểm M , N thuộc (O) cho đường thẳng D thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC CM , BN song song với đường thẳng AD 1) Chứng minh AM = AN 2) Gọi giao điểm đường thẳng MN với đường thẳng AC , AB E , F Chứng minh bốn điểm B, C , E , F thuộc đường tròn 3) Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM , AN Chứng minh đường thẳng EQ, FP, AD đồng quy Câu IV (1 điểm) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a ( a + bc ) b ( ab + 2c ) + b ( b + ca ) c ( bc + 2a ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 + c ( c + ab ) a ( ca + 2b ) ≥4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Câu I (4 điểm) ( x + y )( x + 1) = 1) Giải hệ phương trình:  3 243  y + xy + x + y + x + y + 12 y + 13 = ( )( ) 2) Giải phương trình: ( x − 12)7 + (2 x − 12)7 + (24 − x)7 = Câu II (2 điểm) 1) Tìm tất số nguyên dương a, b, c cho ba số 4a + 5b; 4b + 5c; 4c + 5a bình phương số nguyên dương 2) Từ bốn số thực (a, b, c, d ) ta xây dựng số (a + b, b + c, c + d , d + a ) liên tiếp xây dựng số theo quy tắc Chứng minh hai thời điểm khác nhau, ta thu số (có thể khác thứ tự) số ban đầu phải có dạng ( a, −a, a, −a ) Câu III (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A với ∠BAC < 90o Gọi P giao điểm BE với trung trực BC Gọi K hình chiếu vng góc P lên AB Gọi Q hình chiếu vng góc E lên AP Gọi giao điểm EQ PK F 1) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F thuộc đường tròn 2) Gọi giao điểm KQ PE L Chứng minh LA vng góc LE 3) Gọi giao điểm FL AB S Gọi giao điểm KE AL T Lấy R điểm đối xứng với A qua L Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AST đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc với Câu IV (1 điểm) Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh b c  1 1   a  + + − 1 + ≥ + 3 + +  abc a b c   bc ca ab  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2019 – 2020 Mơn: TỐN (VỊNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Đề số Bài a, Giải phương trình: 26 x + x + 30 + 26 x += x + 30  x + y = b, Giải hệ phương trình:  27 ( x + y )(2 + y + xy ) = Bài a, Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn: ( x − x + 1)( y + xy ) = x − b, Với x,y số thực thay đổi thỏa mãn 1≤ y ≤ xy + ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ biểu x2 + thức M = y +1 Bài Cho hình vng ABCD, đường trịn (O) nội tiếp hình vng tiếp xúc với cạnh AB, AD hai điểm E,F Gọi G giao điểm đường thẳng CE BF a, Chứng minh năm điểm A,F,O,G,E nằm đường tròn b, Gọi giao điểm đường thẳng FB đường tròn M(M ≠ F) CMR M trung điểm đoạn thẳng BG c, CMR trực tâm tam giác GAF nằm đường tròn (O) Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = Chứng minh rằng: 1 2 x y z  + + ≥ + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2  Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038     TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUN NĂM 1992 MƠN : TỐN (Vịng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài ( P =n + 2n3 + 2n + n + = n + n ) + (n 2 ) +n +7 Do n nguyên nên n + n0 Đặt = k n + n ta có P = k + k + > k Ta có: ( P < (k + 3)    vì (k + 3) − P = 5k + > ) Do k < P < (k + 3) ⇒ P = (k + 1) p= (k + 2) Với P= (k + 1) tức k + k + = k + 2k + ta thu k= ⇒ n + n = ⇒ n = n = −3 Với P= (k + 2) tức k + k + = k + 4k + ta thu k = ⇒ n + n =1 ⇒ n = khơng có nghiệm nguyên Vậy P số phương n = n = −3 (khi P = 49 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A= 1 + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Đặt x =+ a 2bc, y =+ b 2ac, z =+ c 2ab x, y, z > x + y + z = (a + b + c) 1 , 1 1 + +  9 mà x + y + z1 nên A9 x y z ( x + y + z) A = ( x + y + z) Bài Với n ∈  ta ký hiệu tổng chữ số n S ( n ) Ta có = N ( )= ( ) = 1945 3.1945 85835 < 105835 Nên N có khơng q 5835= chũ số mà a S= ( N ) 5835.9 52515 suy a có khơng q chữ số, b S= = ( a ) 5.9 45 Trong số tự nhiên từ đến 45 số có tổng chữ số lớn 39 tổng chữ số 12 Suy S ( b ) 12 Ta biết với n ∈  S ( n ) ≡ n ( mod9 ) , S ( b ) ≡ b =S ( a ) ≡ a = S ( N )( mod9 ) Mà N = 85835 suy N ≡ −1( mod9 ) hay S ( b ) ≡ −1( mod9 ) Do S ( b ) 12 nên S ( b ) = Vậy tổng chữ số b Bài Giả sử K nằm đoạn BC phía C (trường hợp AB > AC ) , dễ thấy ∠ ACK nhọn ∠ ACB tù suy cung AB không chứa C lớn cung ACE Trên cung AB không chứa C lấy điểm E cho cung BE cung AC , ACBE hình thang cân 2.7 Đáp án tuyển sinh lớp 10 năm 1992(cho thí sinh chun tốn chuyên tin)55 Ta có ∠ AEB + ∠ EAB = ∠ EAC + ∠ EAB = ( ∠ EAB + ∠ BAD ) = 2∠ EAD = 90 suy ∠ ABE = 90 nên AE đường kính đường trịn ( O ) ngoại tiếp ABC Do AB + AC = AB + EB = AE = R Chú ý: Có thể chứng minh cách lấy điểm M cung AB không chứa C cho cung AM cung AC , sau chứng minh ∠ BAM = 90 , từ suy đẳng thức AB + AC = 4R2 Bài Gọi đường thẳng cho d1 , d , …, d1992 giao điểm đường thẳng di , d k Aik Aki a) Xét đường thẳng di 1992 đường thẳng cho Do khơng có đường thẳng đồng quy nên giao điểm Akl cặp đường thẳng d k , dl ( k ≠ i, l ≠ i ) nằm di Do số giao điểm hữu hạn nên có giao điểm gần nhất, giả sử Akl Ta chứng minh tam giác Akl Aki Ali tam giác xanh Thật tam giác bị đường thẳng d m 1989 đường thẳng cịn lại cắt d m phải cắt hai đoạn Akl Aki Akl Ali , giả sử d m cắt đoạn Akl Aki Akm Akm gần di Akl , trái với giả thiết Akl điểm gần di Như Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com với đường thẳng di tồn tam giác xanh có cạnh nằm Trên di ta chọn cạnh tam giác xanh ta thu 1992 cạnh khác tam giác xanh Từ suy số tam giác xanh khơng 1992 : = 664 b) Xét đường thẳng di số 1992 đường thẳng cho Nếu nửa mặt phẳng có bờ di có giao điểm cặp đường thẳng cịn lại nửa mặt phẳng ta lấy giao điểm gần di lý luận câu a) ta hai tam giác xanh nằm hai phía di Hai tam giác có hai cạnh nằm di hai cạnh khác (khơng có ba đường đồng quy) Ta chứng minh số đường thẳng mà giao điểm cặp đường thẳng cịn lại nằm phía khơng vượt q Thật vậy, giả sử có đường thẳng vậy, chẳng hạn di , d k , dl Khi xét đường thẳng d n khác, d n cắt di , d k , dl điểm phân biệt Ani , Ank , Anl Trong điểm có điểm nằm hai điểm kia, giả sử Ank Khi hai giao điểm Ani Anl nằm hai phía d k trái với giả thiết Vậy có 1990 đường thẳng mà hai phía đường có giao điểm đường thẳng lại Theo lý luận có hai tam giác xanh nằm hai phía đường thẳng có hai cạnh khác nằm Trong hai đường thẳng cịn lại, đường thẳng có cạnh tam giác xanh Như số cạnh khác tam giác xanh khơng 1990 × += 3982 = 1327.3 + Suy số tam giác xanh khơng 1327 + = 1328 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 1991 MÔN : TỐN (Vịng 1) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài 1 a+x + a−x a+x − a−x = b Để có nghĩa ta phải có −a ≤ x ≤ a Do vế phải dương nên x > a + x − a − x > suy Vậy điều kiện x là: < x ≤ a Với điều kiện (1) tương đương với 2a + a − x 2a − a − x 2 = b⇒ 2a − a2 − x2 −1 = b a ( b − 1) 2a =a − a − x ⇒ a − x = b +1 b +1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Do Nếu b < (2) vơ nghiệm (1) vơ nghiệm Nều b ≥ (2) tương đương với a (b − 1) 4b 2a a2 − x2 = a2 b ⇒ x2 = ⇒x= ± 2 b +1 (b + 1) (b + 1) Loại nghiệm âm ta nghiệm x = 2a b thoả mãn điều kiện < x ≤ a ( b + ≥ b ) b +1 Vậy (1) có nghiệm b ≥ nghiệm x = 2a b b +1 x + ax + b + = Giả sử x1 , x2 hai nghiệm nguyên (1) Do b ≠ −1 nên x1 ≠ x2 ≠ Theo định lý Viét ta có −a  x1 + x2 =   x1 x2= b + → a + b = ( x1 + x2 ) + ( x1 x2 − 1) = x12 + x22 + x12 x22 +   2 ( )( )  =x12 + x22 + Do x1 , x2 số nguyên khác nên x12 + x22 + số nguyên không bé a + b hợp số Bài a x + a y + az =  b x + b y + bz = c3 x + c y + cz =  Nhân (1) với b (2) với a trừ vế cho nhau, sau chia cho a − b ≠ ta phương trình ab ( a + b ) x + aby = −1 Tương tự, nhân (1) với c (3) với a trừ vế cho nhau, sau chia cho a − c ≠ ta ac ( a + c ) x + acy = −1 Khi hệ cho tương đương với Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a x + a y + az =  −1 ab ( a + b ) x + aby = ac ( a + c ) x + acy = −1  Nhân (4) với c , (5) với b trừ vế cho nhau, sau chia cho b − c ≠ ta abcx = 1 a+b+c a+b+c 1 ,y = − hay x = Thay x = vào ( ) thu y = − Thay x = abc abc abc abc abc ab + bc + ca Vậy nghiệm hệ cho vào (1) thu z = abc a+b+c ab + bc + ca x= ,  y= − ,  z= abc abc abc Bài Dễ thấy x chia dư x lẻ dư x chẵn Phương trình cho tương đương với 7x − = 3.2 y Nếu x lẻ x − chia dư với y ≥ 3.2 y : y Với y = ta nghiệm là= x 1,= y Nếu x chẵn tức x = z ( z ngun dương) phương trình (1) có dạng (7 z )( ) + 7z − = 3.2 y ( )( ) Vì 2,3 số nguyên tố, nên (2) dạng phân tích z + z − thành tích thừa số nguyên tố Do z + chia dư nên z + = 2n ⋅ ( 3) với n số nguyên dương Từ ta có z − = 2n − suy (2) có dạng ( ) ( ) 2n 2n − = 3.2 y ⇒ 2n +1 2n −1 − = 3.2 y Do 2n −1 − không chia hết 2n −1 − = hay n = Thay vào (3) ta thu z = suy x = Thay x = vào (1) ta nghiệm là= x 2,= y Vậy phương trình cho có hai nghiệm ngun dương là= x 1,= y và= x 2,= y Bài Gọi giao điểm EF với AB, CD tương ứng I , K Qua F kẻ đường thẳng song song với AB CD cắt AD M , cắt BC N Ta có MF AM BN FN = = = ⇒ MF = FN DC AD BC DC Do AB / / MN , CD / / MN nên ba đường thẳng đồng quy EC , ED, EK cắt đường thẳng AB, MN , DC thành đoạn thẳng tỷ lệ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com IA KD FM = = = IB KC FN Suy EF qua trung điểm I , K AB CD S IJK = S NJC ⇒ S ICK = S ICN ⇒ KN / / IC Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi theo (1) AJ qua trung diểm E KN suy S AKJ = S ANJ mà S AKP = SCJN nên S APJ = S AIC ⇒ PJ = JC ⇒ S BPJ = S BJC Do S BIM = S IJK nên từ ta có S BIKP = SCJIM Tương tự ta chứng minh SCJIM = S AKJN Vậy diện tích ba tứ giác không gạch chéo Bài Trên nửa đường trịn đường kính AB ta lấy 1991 điểm khác khác A, B : A1 , A2 , A3 , …, A1991 Giả sử Ai , Aj , Ak ba điểm chúng, Ai , Aj , Ak khơng thẳng hàng Giả sử nửa đường tròn cho AJ nằm Ai Ak (tức Aj thuộc cung nhỏ Aj Ak )  Ai Aj Ak Và ∆Ai Aj Ak tam giác tù Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy mặt phẳng tồn 1991 điểm mà ba điểm chúng ba đỉnh tam giác tù Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 1991 MÔN : TỐN (Vịng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 Rút gọn =  2 − 44 + 16 A =   − (2 + 2) )( ( ) 3 −4 = − 20   3+4 = P = ( x − y )5 + ( y − z )5 + ( z − x )5 Đặt a =x − y,   b =y − z ,   z − x =− ( a + b ) Khi 𝑃𝑃 Bài = 𝑎𝑎5 + 𝑏𝑏 − (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)5 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)[𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 − (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)4 ] = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)(𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎4 − 4𝑎𝑎3 𝑏𝑏 − 6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 − 4𝑎𝑎𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 ) = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)[−5(𝑎𝑎3 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 )] = −5(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ) = 5(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)[(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 + (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧) + (𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)2 ] = 5(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑦𝑦 − 𝑧𝑧)(𝑧𝑧 − 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑧𝑧𝑧𝑧)  a + b + c =  α + β + γ = α β γ  + + = a b c Từ phương trình ta có c = − (a + b) ,   γ = − (α + β ) Thay vào phương trình ta α a β γ  0 + + = b c  0 → (α b + β a )( a + b ) + (α + β ) ab =   → α b + β a + 2ab (α + β ) = 2   → α b + β a − 2abγ = Tương tự β c + γ b − 2bcα = 2 γ a + α c − 2ca β = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cộng (1), (2), (3) ta   ( β + γ ) a + (γ + α ) b2 + (α + β ) c − ( bcα + ca β + abγ ) = → ) ( − α a + β b + γ c = ( bcα + ca β + abγ )=  2 α β γ  = 2abc  + +=    a b c Vậy A= α a + β + β b + γ c 2= ≤ a, b, c, d ≤ Đặt P = a + b + c + d − ab − bc − cd − da a) Ta có a − ab = a (1 − b ) ≥ 0  dấu "=" đđạt được  ⇔ a = 0  hoặc  b = b − bc ≥ 0  dấu "=" đđạt đượ= c ⇔ b 0 hoặ c c = c − cd ≥ 0  dấu "=" đđạt đượ c ⇔ c 0  hoặ c  d = = c  ⇔ d 0  hoaë c  a d − da ≥ 0  dấu "=" đđạt đượ = = Cộng bốn bất đẳng thức ta P ≥ Giả sử dấu "=" đạt được, bốn bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) phải đẳng thức Từ (1) ta có a = b = Nếu a = từ (4) ta có d = , từ ( 3) ta có c = từ ( ) suy b = Vậy a= b= c= d= Nếu b = từ (2) ta có c = , từ (3) ta có d = từ (4) suy a = Vậy a= b= c= d= Ngược lại dễ thấy với a= b= c= d= a= b= c= d= p = Tóm lại: P ≥ 0, P = a= b= c= d= a= b= c= d= b) Từ (1 − a )( a − b ) ≥ → − a − b + ab ≥ → a + b − ab ≤ Vậy a + b − ab ≤ 1,   dấu "=" đđạt đượ= c ⇔ a 1 hoặ = c b Tương tự b + c − bc ≤ 1,  dấu "=" đđạt đượ = c  ⇔ b =  hoaëc  c c + d − cd ≤ 1,  dấu "=" đđạt đượ = c  ⇔ c =  hoaëc  d d + a − da ≤ 1,  dấu "=" đđạt đượ = c  ⇔ d =  hoaëc  a Mặt khác ( a + c )( b + d ) ≥  → ab + bc + cd + da ≥  → − ( ab + bc + cd + da ) ≤  Dấu "=" đđạt được  =  ⇔ a + c 0  hoặ= c  b + d  → a = c = 0  hoaëc  b = d = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cộng bất đẳng thức ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ta p ≤ hay p ≤ Nếu dấu "=" đạt bất đẳng thức có dấu "=", vậy, từ (9) ta có a= c= b= d= Với a= c= từ ( ) , ( ) suy b= d= Với b= d= từ ( ) , ( ) suy a= c= Ngược lại, với a= c= 0, b= d= b= d= 0, a= c= P = Tóm lại P ≤ 2, P = a= c= 0, b= d= b= d= 0, a= c= Chú ý: Có thể giải cách khác sau: P = ( a + c )(1 − b − d ) + b + d ) → P = ( b + d )(1 − a − c ) + a + c) → P = ( a + c )( − b − d ) + ( b + d )( − a − c )   ≤ (a + c + − b − d ) + (b + d + − a − c)  2.5 Đáp án tuyển sinh lớp 10 năm 1991(cho thí sinh chuyên toán chuyên tin)47 Do a + c + − b − d ≥ 0,  2 b + d + − a − c ≥ nên từ ta có P ≤ [( a + c + − b − d ) + ( b + d + − a − c )]2 = 4  hay  2 P≤ Dấu "=" đạt  a + c + − b − d =  a = c = 0,  1 b= d = →  b + d + − a − c =  b = d = 0, a = c = (vì ≤ a, b, c, d ≤ 1) Bài Giả sử k số tự nhiên thoả mãn a < 10k ,  10 d < k Đặt an= a + nd xn = Do an a d = +n 1991 1991 1991 a d > nên tồn số tự nhiên m mà < 10k 1991 1991 xm −1 ≤ 10k < xm Mặt khác xm =xm −1 + d 10k 10k 1992.10k < xm −1 + ≤ 10k + = 1991 1991 1991 1991 Từ (1) ( ) ta có 10k < xm < 1992.10k → 1991.10k < 1991.xm < 1992.10k 1991 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Hay 1991.10k < am < 1992.10k Do am= a + md số có bốn chữ số 1991 Bài Gọi 100 người dự hội thảo a1 , a2 , a3 , …, a99 , a100 Giả sử a1 quen biết với 67 người a2 , a3 , …, a68 Khi khơng kể a1 32 người a69 , a70 , …, a100 a2 quen biết với 34 người số a3 , a4 , …, a68 Không tổng quát, giả sử a2 quen biết với a3 , a4 , …, a36 Tương tự, không kể a1 , a2 64 người a37 , a38 , …, a100 a3 quen biết với người số a4 , a5 , …, a36 , chẳng hạn a3 quen biết với a4 Từ ta có người a1 , a2 , a3 , a4 đôi quen biết Bài 1) Cùng phía với hình vng CD dựng tam giác M ′CD Khi ADM cân D BCM cân C nên ta có  ′ = 90 − 60 = 30 → DAM ′ = CBM ′ = 75 ADM ′ = BCM Mặt khác, dễ thấy M ′ nằm phía với hình vng ABCD dối với AB Theo giả thiết M  nằm hình vng  ABM = BAM = 15 suy M ′ ≡ M hay MCD dều Chú ý: Có thể chứng minh phản chứng sau:  MDC  Giả sử MCD không dều Dễ thấy  AMD = BMC (c-g-c) suy MC MD = = , MCD Có hai khả  < CD    < 60 suy MD  = 75 nên a) MDC ADM > 30 Mà DAM = MCD  < 750 → AD < MD < CD vơ lý (Vì ABCD hình vuông) DMA   > 60 , lý luận tương tự dẫn đến điều vơ lý, giả thiết MCD không b) MDC = MCD sai Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com = Trong hình vng ABCD dựng bốn điểm M , N , P, Q thoả mãn MAB        MBA = NBC = NCB = PCD = PDC = QDA = QAD = 15 theo chứng minh trên, bốn tam giác MCD, NDA, PAB QBC Ta chứng minh tập hợp điểm { A, B, C , D, M , N , P, Q} thoả mãn điều kiện toán 8.7 = 28 đoạn thẳng nối hai tám điểm Ta chia chúng thành nhóm sau: a) cạnh AB, BC , CD, DA hình vng ABCD Có tất b) đường chéo AC , BD hình vng ABCD c) cạnh MN , NP, PQ, QM hình vng MNPQ (dễ thấy MNPQ hình vng) d) đường chéo MP, NQ hình vng MNPQ e) đoạn MA, MB, NB, NC , PC , PD, QD, QA f) đoạn MC , MD, ND, NA, PA, PB, QB, QC Ta chứng minh đoạn nhóm e) f ) thoả mãn điều kiện toán (Việc chứng minh đoạn nhóm cịn lại thoả mãn điều kiện toán đơn giản hơn, bạn đọc tự chứng minh)  Do AMD cân D  ADQ = MDQ = 15 nên DQ trung trực AM hay trung trực AM qua hai điểm D, Q , đoạn khác nhóm e) chứng minh tương tự Do MCD dều cịn MQD cân Q nên trung trực MD qua hai điểm C , Q Đối với đoạn khác nhóm f ) chứng minh tương tự Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUN NĂM 1989 MƠN : TỐN (Vịng 1) Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài Gọi tập hợp số phương  P ( x ) = ax + bx + c Ta có P ( ) = c ∈  → c = c12 ,   c1 ∈  P (1) = a + b + c ∈  a + b ∈  2a= a1 ∈  P ( −1) = a − b + c ∈  →  → 2a= b1 ∈  a − b ∈  P ( ) = 16a + 4b + c12 = k , k ∈  → 8a1 + 2b1 = k − c12 Do 8a1 + 2b1 chẵn nên k − c12 chẵn hay k c1 tính chẵn, lẻ nên k − c12 : → b1  → b = b1 ∈ Do a − b ∈  nên từ ta có a ∈  P ( ) = 4a + 2b + c12 = t ,   t ∈  → 4a + 2b = t − c12 → t − c12 chẵn suy t c1 tính chẵn, lẻ nên ta có t − c12 : → b chẵn Vậy a, b, c ∈  b chẵn Bài Đặt  3 = a + ab + b − a − 3b + 1989 P ( ) → P  2 = a − ab + b + a + b + + 2ab − 4a − 4b + 4.1989 − 12  ( = a − b) + 3(a + b − 2) + 4.1986 ≥ 4.1986 2 Suy P ≥ 1986 , dấu "=" đạt a − b = →a =b =  1  a + b − = Vậy P đạt giá trị bé 1986, đạt a= b= Bài Gọi 52 số nguyên dương cho a1 , a2 , …, a52 Mỗi số có dạng ( ) = i= 100bi + ci , bi , ci ∈  ≤ ci ≤ 99,  1,52 Nếu số c1 , c2 , …, c52 có hai số nhau, giả sử ci = ck → − ak = 100 ( bi − bk )100 Nếu tất c1 , c2 , …, c52 đơi khác có 51 số khác 50 , giả sử c1 , c2 , …, c51 Khi ta đặt = di 100 − ci d1 , d , …, d51 số nguyên khác ≤ di ≤ 100 Như Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 102 số c1 , c2 , …, c52 , d1 , d , …, d51 nhận không 101 giá trị (từ dến 100) có số chúng Do số c1 , c2 , …, c51 khác d1 , d , …, d51 khác nên hai số ci d k suy c= d= 100 − ck → ci + ck = 100 , i ≠ k i k ci ≠ 50 → + = ak 100 ( bi + bk ) + 100 :100 Bài Kéo dài BE , CF đoạn EI = BE FK = CF Khi  ABI , ACK cân A   BAK = CAK = 30  = 150 B, A, K thẳng hàng, C , A, K thẳng hàng Nếu BAC BK =BA =AK =IA + AC =IC = Do E , M , F trung điểm IB, BC , CK nên EM = IC = MF ⇒MEF cân BK M Gọi giao điểm IC BK O trường hợp ta có A, B, O, I nằm đường trịn góc hai tia BK , CI 150 Từ ta có   = MFE = 15 MEF Bài Giả sử theo thứ tự bạn học sinh a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 Ta chứng minh toán phản chứng Giả sử ngược lại: Khơng có bạn đứng cách hai bạn lớp (1) Không tổng quát giả sử a5 học sinh lớp A , a4 a6 khơng thể thuộc lớp A Vì có hai khả sau: a4 a6 thuộc lớp B Khi a4 cách a2 a6 , a6 cách a4 a8 nên a2 a8 thuộc lớp A suy a5 đứng cách hai bạn lớp a2 a8 , trái với giả thiết (1) a4 a6 thuộc hai lớp khác nhau, không tổng quát giả sử a4 thuộc lớp A a6 thuộc lớp B Do a4 cách a3 a5 , nên a3 thuộc lớp B Do a6 cách a3 a9 nên a9 thuộc lớp A Do a5 cách a1 a9 nên a1 thuộc lớp B Do a2 cách a1 , a3 nên a2 thuộc lớp A Do a5 cách a2 , a8 nên a8 thuộc lớp B Do a6 , a8 thuộc lớp B nên a7 thuộc lớp A Như a7 đứng cách hai bạn lớp A a5 a9 , trái với giả thiết (1) Vậy hai khả a) b) dẫn đến vô lý nên điều giả sử (1) sai Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2011 (vòng 2) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2 010 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2 010 (vòng 2) Đề thi. .. thầy cô em đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học khoa học tự nhiên Hà Nội Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy em học sinh luyện thi vào lớp 10 có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành... MỤC LỤC PHẦN 1: ĐỀ THI Đề số 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Đề thi Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN Hà Nội năm 2022 (vòng 1) Đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học KHTN